高一数学函数的单调性PPT 课件
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函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
3.会利用单调性求参数取值范围．(重点)
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
新教材高中数学第三章函数的单调性课件新人教B版必修第一册ppt
【解析】选 C.对于 A，y＝－2x 在定义域上无单调性，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上 是增函数，所以 A 错误； 对于 B，y＝x2＋1 1 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，所以 B 错误； 对于 C，y＝－3x2－6x 图像是抛物线，对称轴是 x＝－1，所以函数在[－1，＋∞)上是 减函数，所以 C 正确； 对于 D，a>0 时，y＝ax＋3 在(－∞，＋∞)上为增函数，a<0 时，y＝ax＋3 在(－∞， ＋∞)上是减函数，所以 D 错误．
A．[1，2]
B．12，2
C．(1，2]
D．21，2
【思路导引】分别考虑 x>0，x<0，分界点三个方面的因素求范围．
【解析】选 A.因为函数 f(x)＝（ －2x2b＋－（1）2－x＋b）b－x，1，x≤x0>，0， 2b－1>0，
在 R 上为增函数，所以 2－2 b≥0， 解得 1≤b≤2. b－1≥0，
3．函数 y＝|x－1|的单调增区间是____________． 【解析】作出函数的图像，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像； (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．
【补偿训练】 画出函数 y＝|x|(x－2)的图像，并指出函数的单调区间． 【解析】y＝|x|(x－2)＝x－2－x22＋x＝2x（ ＝x－－（1）x－2－1）1，2＋x≥1，0，x<0， 函数的图像如图所示． 由函数的图像知：函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)， 单调递减区间为(0，1).
类型三 函数单调性的应用(数学运算、逻辑推理) 利用单调性解函数不等式 【典例】已知函数 f(x)的定义域为[－2，2]，且 f(x)在区间[－2，2]上是增函数， f(1－m)＜f(m)，则实数 m 的取值范围为________． 【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围．
函数的单调性 PPT精品课件
3 x 证明：令 f ( x) sin x x , 则 f (0) 0, 3!
x2 f ( x) cos x 1 , 2
f ( x) sin x x.
当x 0时, sin x x, 故在 (0,)内 f ( x) 0,
因此 , f ( x)在[0,)单调上升 , 又 f (0) 0,
六、教学过程设计
问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图 象，并且观察函数变化规律？
y
2 1 -2 -1 O 1 2
y=2x y= -2x
x
-2 -1
y
2 1 O 1 2
y
y=x2+1
1
x
-1 -2
-1 -2
O
1
x
增函数、减函数 问题2 ？ ？
单调性是局部性质
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是:
⑴ 确定 f ( x) 的定义域；
⑵ 求 f ( x ) ，令 f ( x) 0 求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间；
⑷ 判别 f ( x ) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
f (0) 0, f ( x) e x 1.
当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0); 当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0).
从而得证.
x3 例4. 证 明 当 x 0时, sin x x . 3!
∴函数
2
2 1
f ( x) x 2 1
x2 f ( x) cos x 1 , 2
f ( x) sin x x.
当x 0时, sin x x, 故在 (0,)内 f ( x) 0,
因此 , f ( x)在[0,)单调上升 , 又 f (0) 0,
六、教学过程设计
问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图 象，并且观察函数变化规律？
y
2 1 -2 -1 O 1 2
y=2x y= -2x
x
-2 -1
y
2 1 O 1 2
y
y=x2+1
1
x
-1 -2
-1 -2
O
1
x
增函数、减函数 问题2 ？ ？
单调性是局部性质
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是:
⑴ 确定 f ( x) 的定义域；
⑵ 求 f ( x ) ，令 f ( x) 0 求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间；
⑷ 判别 f ( x ) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
f (0) 0, f ( x) e x 1.
当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0); 当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0).
从而得证.
x3 例4. 证 明 当 x 0时, sin x x . 3!
∴函数
2
2 1
f ( x) x 2 1
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
【思考3】这样的变化过程能写完吗?
怎么借助字母符号表示上述具体例子的共同点？
分析：
只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
【思考4】这里对x1，x2有什么要求？
只取 −∞， 上的某些数是否可以？请举例说明.
任取x1，x2∈ −∞， ，只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
新知探究
1
函数的单调性
【问题2】请同学们在草稿本上用列表法画出 = 图像.
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
【思考4】这里对x1，x2有什么要求？
只取 −∞， 上的某些数是否可以？请举例说明.
任取x1，x2∈ −∞， ，只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
【思考5】模仿上述方法，给出“在区间 ， + ∞ 上，随的增大而增
大”的符号语言刻画.
2 2 2 2 2 x1 x2
则 f x1 f x2
.
x1 x2 x2 x1
x1 x2
x1 , x2 (, 0) ， x1 x2 0 .
又 x1 x2 ， x1 x2 0 .
f x1 f x2 0 ，即 f x1 f x2 .
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
新知探究
函数单调性与最值(第1课时)-课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
2
D. ( 3]
总结：判断函数单调性的方法
1、图像法
2、定义法
3、直接法
4、性质法
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减
5、复合函数法（同增异减）
题型二、用定义法证明函数的单调性
x＋2
例 1：证明函数 f(x)＝
在(－1，＋∞)上单调递减．
x＋1
[证明] ∀ x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
1
1
得 ≤< .
7
3
7
3
五、已知单调性求参
ax 1
例3：函数 f（x )
在区间（ 2，
)上单调递增，
x2
则a的取值范围是（
）
1
A（
. 0, )
2
C.( 2, )
1
B. ( ,)
2
D. (,1) (1, )
1
解：当a 0时，f（x)
在区间（ 2，
例3.函数f ( x) | x 2 6 x 8 | 的单调递增区间为（
A.[3, )
C.( 2,3), (4, )
B. (,2), (4, )
D. (,2], [3,4]
）
题型一、求函数的单调区间或判断函数单调性
3
A（
. - ，
]
2
C.[ 0, )
3
B. ( ,)
．
题型二、用定义法证明函数的单调性
例3.定义在（0，
）上的函数f ( x)满足f ( xy ) f ( x) f ( y ),
1
f ( ) 1, 当x 1时，f ( x) 0.
3
（1）求f (1)的值；
D. ( 3]
总结：判断函数单调性的方法
1、图像法
2、定义法
3、直接法
4、性质法
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减
5、复合函数法（同增异减）
题型二、用定义法证明函数的单调性
x＋2
例 1：证明函数 f(x)＝
在(－1，＋∞)上单调递减．
x＋1
[证明] ∀ x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
1
1
得 ≤< .
7
3
7
3
五、已知单调性求参
ax 1
例3：函数 f（x )
在区间（ 2，
)上单调递增，
x2
则a的取值范围是（
）
1
A（
. 0, )
2
C.( 2, )
1
B. ( ,)
2
D. (,1) (1, )
1
解：当a 0时，f（x)
在区间（ 2，
例3.函数f ( x) | x 2 6 x 8 | 的单调递增区间为（
A.[3, )
C.( 2,3), (4, )
B. (,2), (4, )
D. (,2], [3,4]
）
题型一、求函数的单调区间或判断函数单调性
3
A（
. - ，
]
2
C.[ 0, )
3
B. ( ,)
．
题型二、用定义法证明函数的单调性
例3.定义在（0，
）上的函数f ( x)满足f ( xy ) f ( x) f ( y ),
1
f ( ) 1, 当x 1时，f ( x) 0.
3
（1）求f (1)的值；
【课件】函数的单调性的判断方法+第一课时高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(4)在某区间单调的函数的图像特征(几何特征)：
单调递增
图像从左向右上升
单调递减
图像从左向右下降
【用定义判断函数单调性】
利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:
①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且 x1<x2; ②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并 用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判 断差的符号的方向变形; ③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号, 当符号不确定时,可进行分类讨论; ④判断：根据定义得出结论.
y
O
x
题型一：用定义证明函数的单调性
解：f (x) x3 1在(， )上
例：判断函数f (x) x3 1 是减函数，证明如下：
在(， )上的单调性， 并证明你的结论。
证明函数单调 性的问题，只需严 格按照定义的步骤 就可以了。
在(，0)上任取x1 , x2 ,且x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x13 1) ( x23 1)
例 根据定义证明函数y x 1 在区间(1, )上单调递增 x
证明：x1, x2 (1, ),且x1 x2 ,有
1 1
1 1
y1
y2
x1
x1
x2
x2
( x1
x2 )
x1
x2
( x1
x2 )
x2 x1 x1 x2
x1 x2 x1 x2
( x1 x2
1)
由x1, x2 (1, ), 得x1 1, x2 1.
所以x1 x2 1, x1 x2 1 0.又由x1 x2 , 得x1 x2 0.
3.1.2函数的单调性(第1课时)课件-高一数学(人教B版必修第一册)
的斜率都大于 0 ,函数递减的充要条件是其图像上任意两
点连线的斜率都小于 0.
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
一般地, 若 是函数
的定义域的子集, 对任意
且
,记
(1) 恒成立; (2) 成立.
，
, 则:
在 上是增函数的充要条件是
在上
在 上是减函数的充要条件是
在 上恒
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
【训练 1】(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是( )
A.y＝－1 B.y＝2x－1 C.y＝1－2x D.y＝(2x－1)2 x
【解析】对于 A，y＝－1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调
递增；对于 B，y＝2x－1 在 R 上单调递增；对于 C，y＝1
－2x 在 R 上单调递减；
对于
＝（x2－x1x）21（x22x2＋x1）.当 x1<x2<0 时，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数.当 0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)>f(x2).∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数.
【解析】∵f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)， ∴2m>－m＋9，即 m>3，故选 C.
课堂练习
【训练 3】定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x1，x2∈R(x1
≠x2)，有f（x2）x2－－fx（1 x1）<0，则(
)
A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)
函数单调性说课稿PPT(共25张PPT)
19
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
3.2.1函数的单调性1-高一数学人教A版必修一同步课件
五、 当堂检测（5分钟）
• 2．下列函数在区间(0，＋∞)上单调递减的是( • A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 • C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1
)C
解: 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上单调递减，故选C．
五 、当堂检测（5分钟） 3.
解：
五 、当堂检测（5分钟）
(2)函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递减．理由如下： ∀x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21－1 1－x22－1 1 ＝x22x－21－11－x22x－21－11 ＝xx221－－x11xx222＋ －x11. 因为 x21－1>0，x22－1>0，x2＋x1>0，x2－x1>0， 所以 f(x1)>f(x2)，故函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
情况思考：当自变量x由小变大时,函数值 f (x)
是如何变化的？
(1) f (x) x1 (2) f (x) x2
y
y
4
o
x
1.从左至右图象—上—升—— 2.在区间 (-∞, +∞)上，
随着x的增大，f(x)的值 随着增—大———
1
x
-2 -1 O 1 2
1.(-∞,0]上从左至右图象 降落 当x增大时f(x)随着 减小
2.(0,+∞)上从左至右图象 上升 ， 当x增大时f(x)随着 增大
三 、点拨精讲（28分钟）
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
y y f(x)
f(x2 )
f(x1 )
O
x1
x2 x
在给定区间上任取x1,x2 ,
x1 x2
f(x1 ) f(x2 )
高一数学函数的单调性课件
1：观察下列函数的图象，指出函数图像的变化 趋势。
y y=2x+1(xR ) y y=(x-1)2-1(xR )
ox （1）
o
-1
12 x
（2）
y
1
o （3）
y 1 (x (0,)) 10 T(C
x
8 °)
6
1
4
x
2
-O 2
24
6（8 41）0121416 18 2022 24t刻(时)
数学理论
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A， 区间IA．
如果对于区间I内的任意两个值x1， x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就 说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为 y＝f(x)的单调增区间．
2.1.3 函数的简单性质
； https:///rsizhibiao/ rsi指标 ；
例题讲解
注意： (1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间； (2)写单调区间时，注意区间的端点； (3)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区
间不发生改变； (4)单调区间不能随便求并集．
例题讲解
例2
Hale Waihona Puke 求证：函数f(x)＝－
1 x
－1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．
证明：任取x1＜x2＜0，则
苏教版高中数学教材必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
数学理论 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在 区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减 区间．
如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或
单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具
y y=2x+1(xR ) y y=(x-1)2-1(xR )
ox （1）
o
-1
12 x
（2）
y
1
o （3）
y 1 (x (0,)) 10 T(C
x
8 °)
6
1
4
x
2
-O 2
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6（8 41）0121416 18 2022 24t刻(时)
数学理论
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A， 区间IA．
如果对于区间I内的任意两个值x1， x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就 说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为 y＝f(x)的单调增区间．
2.1.3 函数的简单性质
； https:///rsizhibiao/ rsi指标 ；
例题讲解
注意： (1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间； (2)写单调区间时，注意区间的端点； (3)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区
间不发生改变； (4)单调区间不能随便求并集．
例题讲解
例2
Hale Waihona Puke 求证：函数f(x)＝－
1 x
－1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．
证明：任取x1＜x2＜0，则
苏教版高中数学教材必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
数学理论 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在 区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减 区间．
如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或
单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具
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如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或
单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具
有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单 调区间．
例题讲解
例1 画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1)y＝－x2＋2； (2)y＝ 1 (x≠0)；
x
(3)y＝ 1 ＋1 (x≠0) ．
x
解：(1)单调增区间为(－∞，0]，单调减区间为 (0，＋∞)．
所以f(x2)＞f(x1)．
故f(x)在(－∞，0)上是单调增函数．
根据定义证明函数单调性的步骤： ⑴取值；⑵作差变形；⑶定号；⑷判断．
课堂训练
练习： 1．证明f(x)＝－ x 在定义域上是减函数．
2.证明：函数f(x)= -2x2+3，在区间(-∞，0]单调递增。
例3. 函数f(x)= 2x2+2ax+a2-2a在区间(- ∞,3]上是单调 递减，求实数a的范围。
求证：函数 f(x)＝－
1 x
－1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．
证明：任取x1＜x2＜0，则
f(x2)－f(x1)＝＝(－1 －x12
－1)－(－ 1 ＝ x2－x1
1 －1)
x1
．
x1 x2
x1x2
因为x1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所
以
x2－x1 x1x2
＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，
函数的单调性(1)
1：观察下列函数的图象，指出函数图像的变化 趋势。
y y=2x+1(xR ) y y=(x-1)2-1(xR )
ox （1）
o
-1
12 x
（2）
y
1
o （3）
y 1 (x(0,)) 10 T(C
x
8 °)
6
1
4
x
2
-O 2
24
6（8 41）0121416 18 2022பைடு நூலகம்24t刻(时)
3.下列函数在区间(0,2)上是递增函数的是（ ）
1
A.y=
B.y=2x-1
x
C.y=1-2x
D.y=(2x-1)2
4.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数， x∈(-∞，2]时是减函数，则f(1)的值（ ）
A.1
B.y=-1
C.y=3
D.-3
5.已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,1]上是减 函数,则a 的范围是（ ）
练习：1.函数y=f(x)在R上单调递增，且f(m2)>f(-m)， 则实数m的范围（ ）
A.(-∞,-1) C.(-1,0)
B.(0,+ ∞) D.(- ∞,-1)∪(0,+ ∞)
2.若函数f(x)=kx+b在R上为增函数，则（ ）
A.k≥0,b∈R C.k≤0,b∈R
B.k>0, b∈R D.k<0, b∈R
2.1.3 函数的简单性质
； https:/// 好系统重装助手 重装助手
ysh04zvb
在你们眼里就是这样的人？”韩哲轩满头黑线但还是坚持很勉强的笑，他把匕首从自己那边推到了桌子的另一边，“这是你 的。”“诶？”张祁潭警惕的看看韩哲轩，又看看桌子上的匕首，小心翼翼的将它拿了起来。“确实……是我的。当时找玉玺 时丢在了郭扬家……”“你想怎样！”韩哲轩归还了匕首，慕容凌娢感觉心里有底，气势就又回来了。“要不是我冒着生命危 险把匕首给找回来，以郭扬的能力，天亮之前就能找出这柄匕首的出处。”韩哲轩看向张祁潭，眼神中竟闪着凄冷的寒光， “你觉得他会饶过谁？”“哎~苍天饶过谁！”张祁潭颤抖着收起匕首，沉寂片刻，说道，“我签。”“这就签？”慕容凌娢 一脸懵逼，不过既然张祁潭要签，她也不好意思再说什么。“看在你后续工作干的不错的份上，我也签吧……”“非常感谢。” 韩哲轩心满意足的收起本子。“哦对了，你刚才说的福利……我还真是不太懂。”慕容凌娢笑容变猥琐了。“别想多。晴穿会 鱼龙混杂，干什么的都有。大多数成员在晴穿会帮助下达到自己目的后，会反馈一些东西给晴穿会以表自己的忠诚，而晴穿会 则把这些东西收集起来，作为奖励让业绩好的成员自己挑选……这样一说倒有点像绩效工资了。”韩哲轩吐槽。“你有什么想 要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来换……“你 猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看啊。”张祁 渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。“话说签简 体字还是繁体字？草书还是楷书？”（古风一言）柔情绕指尖，谁的琴弦，在谁的袅娜中化作悲言，指尖弦断。第116章 超自 然协会“你有想要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来 换……“你猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看 啊。”张祁渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。 “话说签简体字还是繁体字？草书还是楷书？”“繁体字吧。”韩哲轩把毛笔递了上去，“毕竟穿越过来之前所在时空不同， 还是统一用这个时代的繁体字比较整齐。”“呵，原来夏桦有这样的强迫症……”慕容凌娢也在本子上签下了龙飞凤舞一笔写 成的四个字。“多谢，我先走了。”韩哲轩跳到了窗台上，“明天这屋子就又归我了，你有什么东西赶快拿走。” “知道知 道，慢走不送。”慕容凌娢敷衍的挥挥手。“我也走了，拜
数学理论
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A， 区间IA．
如果对于区间I内的任意两个值x1， x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就 说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为 y＝f(x)的单调增区间．
数学理论 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在 区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减 区间．
(2)单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
例题讲解
注意： (1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间； (2)写单调区间时，注意区间的端点； (3)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区
间不发生改变； (4)单调区间不能随便求并集．
例题讲解
例2
苏教版高中数学教材必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具
有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单 调区间．
例题讲解
例1 画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1)y＝－x2＋2； (2)y＝ 1 (x≠0)；
x
(3)y＝ 1 ＋1 (x≠0) ．
x
解：(1)单调增区间为(－∞，0]，单调减区间为 (0，＋∞)．
所以f(x2)＞f(x1)．
故f(x)在(－∞，0)上是单调增函数．
根据定义证明函数单调性的步骤： ⑴取值；⑵作差变形；⑶定号；⑷判断．
课堂训练
练习： 1．证明f(x)＝－ x 在定义域上是减函数．
2.证明：函数f(x)= -2x2+3，在区间(-∞，0]单调递增。
例3. 函数f(x)= 2x2+2ax+a2-2a在区间(- ∞,3]上是单调 递减，求实数a的范围。
求证：函数 f(x)＝－
1 x
－1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．
证明：任取x1＜x2＜0，则
f(x2)－f(x1)＝＝(－1 －x12
－1)－(－ 1 ＝ x2－x1
1 －1)
x1
．
x1 x2
x1x2
因为x1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所
以
x2－x1 x1x2
＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，
函数的单调性(1)
1：观察下列函数的图象，指出函数图像的变化 趋势。
y y=2x+1(xR ) y y=(x-1)2-1(xR )
ox （1）
o
-1
12 x
（2）
y
1
o （3）
y 1 (x(0,)) 10 T(C
x
8 °)
6
1
4
x
2
-O 2
24
6（8 41）0121416 18 2022பைடு நூலகம்24t刻(时)
3.下列函数在区间(0,2)上是递增函数的是（ ）
1
A.y=
B.y=2x-1
x
C.y=1-2x
D.y=(2x-1)2
4.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数， x∈(-∞，2]时是减函数，则f(1)的值（ ）
A.1
B.y=-1
C.y=3
D.-3
5.已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,1]上是减 函数,则a 的范围是（ ）
练习：1.函数y=f(x)在R上单调递增，且f(m2)>f(-m)， 则实数m的范围（ ）
A.(-∞,-1) C.(-1,0)
B.(0,+ ∞) D.(- ∞,-1)∪(0,+ ∞)
2.若函数f(x)=kx+b在R上为增函数，则（ ）
A.k≥0,b∈R C.k≤0,b∈R
B.k>0, b∈R D.k<0, b∈R
2.1.3 函数的简单性质
； https:/// 好系统重装助手 重装助手
ysh04zvb
在你们眼里就是这样的人？”韩哲轩满头黑线但还是坚持很勉强的笑，他把匕首从自己那边推到了桌子的另一边，“这是你 的。”“诶？”张祁潭警惕的看看韩哲轩，又看看桌子上的匕首，小心翼翼的将它拿了起来。“确实……是我的。当时找玉玺 时丢在了郭扬家……”“你想怎样！”韩哲轩归还了匕首，慕容凌娢感觉心里有底，气势就又回来了。“要不是我冒着生命危 险把匕首给找回来，以郭扬的能力，天亮之前就能找出这柄匕首的出处。”韩哲轩看向张祁潭，眼神中竟闪着凄冷的寒光， “你觉得他会饶过谁？”“哎~苍天饶过谁！”张祁潭颤抖着收起匕首，沉寂片刻，说道，“我签。”“这就签？”慕容凌娢 一脸懵逼，不过既然张祁潭要签，她也不好意思再说什么。“看在你后续工作干的不错的份上，我也签吧……”“非常感谢。” 韩哲轩心满意足的收起本子。“哦对了，你刚才说的福利……我还真是不太懂。”慕容凌娢笑容变猥琐了。“别想多。晴穿会 鱼龙混杂，干什么的都有。大多数成员在晴穿会帮助下达到自己目的后，会反馈一些东西给晴穿会以表自己的忠诚，而晴穿会 则把这些东西收集起来，作为奖励让业绩好的成员自己挑选……这样一说倒有点像绩效工资了。”韩哲轩吐槽。“你有什么想 要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来换……“你 猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看啊。”张祁 渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。“话说签简 体字还是繁体字？草书还是楷书？”（古风一言）柔情绕指尖，谁的琴弦，在谁的袅娜中化作悲言，指尖弦断。第116章 超自 然协会“你有想要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来 换……“你猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看 啊。”张祁渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。 “话说签简体字还是繁体字？草书还是楷书？”“繁体字吧。”韩哲轩把毛笔递了上去，“毕竟穿越过来之前所在时空不同， 还是统一用这个时代的繁体字比较整齐。”“呵，原来夏桦有这样的强迫症……”慕容凌娢也在本子上签下了龙飞凤舞一笔写 成的四个字。“多谢，我先走了。”韩哲轩跳到了窗台上，“明天这屋子就又归我了，你有什么东西赶快拿走。” “知道知 道，慢走不送。”慕容凌娢敷衍的挥挥手。“我也走了，拜
数学理论
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A， 区间IA．
如果对于区间I内的任意两个值x1， x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就 说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为 y＝f(x)的单调增区间．
数学理论 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在 区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减 区间．
(2)单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
例题讲解
注意： (1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间； (2)写单调区间时，注意区间的端点； (3)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区
间不发生改变； (4)单调区间不能随便求并集．
例题讲解
例2
苏教版高中数学教材必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ