【新教材教案】5.2.1 三角函数的概念教学设计(1)-人教A版高中数学必修第一册

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5.2.1 三角函数的概念(教学设计)

5.2.1 三角函数的概念课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：图1-2-1 (2)结论①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． (3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点O 的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)．三角函数定义定义域名称 sinα yr R 正弦 cosα x r R余弦tanαy x⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域 sin α R cos αRtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：图1-2-2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．四、典例分析、举一反三题型一三角函数的定义及应用例1：求53π的正弦、余弦和正切值.例2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P ′(1，－2)，则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.基础练习题 1、求π4、3π2、7π6的三角函数值.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧本节课我们主要学习了哪些内容? 1.三角函数的定义.2.运用三角函数数学思想解决问题.六、板书设计七、作业课本179页练习及182页练习.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.。

【教案】三角函数的概念课时设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

普通高中教科书人教A 版数学第一册（必修）5.2三角函数的概念（3课时，单元教学设计）一.单元内容和内容解析1.内容三角函数的概念，三角函数的基本性质：三角函数的符号、公式一、同角三角函数的基本关系.本单元的知识结构：本单元建议用3课时.第1课时.三角函数的概念；第2课时，三角函数的基本性质；第3课时，概念和性质的简单应用.2.内容解析（1）内容的本质三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学、物理和天文等其他学科的重要基础.（2）蕴含的数学思想和方法研究思路如下：背景——研究对象——对应关系的本质——定义的过程.本单元的学习中，学生在经历这个过程而形成三角函数的同时，“顺便”就可得到值域、函数值的符号、公式一即同角三角函数的基本关系等性质.（3）知识的上下位关系传统上，人们习惯把三角函数看成是锐角三角函数的推广，利用象限角终边上点的坐标比定义三角函数.任意三角函数的现实背景是周期变化现象，是“周而复始”变化规律的数学课话.因此，整体上，任意角三角函数知识体系的建立，应与其他基本初等函数类似.（4）育人价值单位圆上点的运动规律三角函数的概念三角函数的基本性质三角函数的符号公式一同名三角函数的基本关系本节课从生活中存在“周而复始”的现象引入周期函数中最典型——三角函数的数学刻画，通过在平面直角坐标系中单位圆的建立，逐步实现本节课的教学目标.在此过程中培养了学生的数学想象、数学抽象、数学建模、数学运算等数学学科核心素养（5）教学重难点根据上述分析，可以确定本单元的教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，公式一，同角三角函数的基本关系.其中，正弦函数、余弦函数的定义是重中之重.二．单元目标和目标解析1.目标（1）了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系.（2）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养.（3）掌握三角函数数值的符号.（4）掌握公式一，初步体会三角函数的周期性.，sin2x+cos2x=1，体会三角（5）理解同角三角函数的基本关系式：tan x=sin xcos x函数的内在联系，通过运用基本关系进行三角恒等变换，发展数学运算素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能如了解线性函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的现实背景那样，知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具，能体会到匀速圆周运动在周而复始变化现象中的代表性.（2）学生在经历“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题（单位圆上的点P以A为起点做旋转运动，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况），使研究对象简单化、本质化；学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系并抽象出三件函数概念；能根据定义求给定角的三角函数值.（3）学生根据定义得出三角函数在各象限取值的符号规律.（4）学生能根据定义，结合终边相同的角的表示，得出公式一，并能根据此描述三角函数周而复始的取值规律，求某些角（特殊角）的三角函数值.（5）学生能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并得出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换.三．单元教学问题诊断分析三角函数概念的学习，其认知基础是函数的一般观念以及对幂函数、指数函数和对数函数的研究经验，另外还有圆的有关知识.这些认知准备对于分析“周而复始”变化现象中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用.然而，前面学习的基本初等函数，涉及的量（常量与变量）较少，解析式都有明确的运算含义，在三角函数中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，是“α与x，y直接对应”，无须计算，虽然α，x，y都是实数，但实际上是“集合元素间的对应”.所以，三角函数中的对应关系，与学生的已有经验距离较大，由此产生第一个学习难点；理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解.为了破除学生在对应关系认识上的定势，帮助他们搞清楚三角函数的“三要素”，应该根据一般函数概念引导下的下位学习的特点，先让学生明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程，然后再下定义.这样不仅使三角函数定义的引入更自然，而且由三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质.具体地，可以先让学生完成“时，让学生找给定一个特殊角，求它的终边与单位圆交点的坐标”的任务，例如，当α=π6出相应点P的坐标，并体会到点P的坐标的唯一确定想；在借助信息技术，让学生观察任意给定一个角α∈R，它的终边与单位圆的交点坐标是否唯一，从而为理解三角函数的对应关系奠定基础.利用信息技术，可以很容易地建立单位圆上点地横坐标、纵坐标、角、弧之间地联系，并且可以在角地变化过程中进行观察，发现其中地规律性.所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.对于三角函数的定义，可以通过以下几点帮助学生理解.第一，α是一个任意角，同时也是一个实数（弧度数），所以“设α是一个任意角”的意义实际上是“对于R中的任意一个数α”.第二，“它的终边OP与单位圆相交于点P（x,y）”实际上给出了两个对应关系，即（1）实数α（弧度）对应点P的纵坐标y；（2）实数α（弧度）对应点P的纵坐标x，其中y,x∈[−1,1].因为y对于R中的任意一个数α，它的终边唯一确定，所以交点P（x,y）也唯一确定，也就是纵坐标y和横坐标x都有α唯一确定，所以对应关系（1）（2）分别确定了一个函数，这是理解三角函数定义的关键.第三，引进sinα，cosα分别表示“α的终边与单位圆交点的纵坐标”“α的终边与单位圆交点的横坐标”，故对于任意一个实数α，按对应关系（1），在集合B={z|-1≤z≤1}中都拥有唯一确定的数sinα与之对应；按对应关系（2），在集合B中都有唯一确定的数cosα与之对应.所以，sinα，cosα都是一个由α所唯一确定的实数.这里，对符号sinα，cosα和tanα的认识是第二难点.可以通过类比引进符号log a b表示a x=b中的x，说明引进这些符号的意义.本单元的第三个学习难点是对于三件函数内在联系行的认识.出现这个难点的主要原因在于三角函数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数学习中没有这个经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何返现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强.为此，教学中应在思想方法上加强引导.例如，可以通过问题“对于给定的角α，点P（sinα，cosα）是α的终边与单位圆的交点，而tanα则是点P的纵坐标与横坐标之比，因此这三个函数之间一定有内在联系.你能从定义出发，研究一下他们有怎样的联系吗”引导学生探究同角三角函数的基本关系.四．单元教学支持条件分析为了加强学生对单位圆上点的坐标随角（圆心角）的变化而变化的直观感受，需要利用信息技术建立任意角、角的终边与单位圆的交点、角的旋转量、交点坐标等之间的关联.教学中，可以动态改变角α的终边OP（P为终边与单位圆的交点）的位置，引导学生观察OP位置的变化所引起的点P坐标的变化规律，感受三角函数的本质，同时感受终边相同的角具有相同的三角函数值，以及各三角函数在合象限中符号的变化情况.五．单元教学设计安排本单元共两个课时，具体分配如下：第1课时：三角函数的概念；第2课时：三角函数的基本性质；第3课时：概念和性质的简单应用.PA第一课时（一）课时教学内容在一般函数概念的指导下，按“概念形成”的方式展开形成三角函数的概念（二）课时教学目标（1）了解三角函数的背景，并借助单位圆理解任意角三角函数的定义（2）掌握三角函数值的符号（3）掌握公式一，初步体会三角函数的周期性（三）教学重点与难点重点：任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义难点：任意角的三角函数概念的构建过程（四）教学过程设计1.创设问题情境，提出研究问题引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”的变化现象，圆周运动是这类现象的代表.如图1所示，圆O 上的点P 以A 为起点做逆时针方向的旋转.在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小刻画点P 的位置变化.又根据弧度制的定义，角α的大小与圆O 的半径无关.因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动，现在的任务是：如图1所示，单位圆O 上的点P 以点A 为起点做逆时针方向旋转，建议一个函数模型，刻画点P 的位置变化情况.图一问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为可以按怎样的路径研究上述问题？师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论得出研究路径是：明确研究背景——对应关系的特点分析——下定义——研究性质设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向2.分析具体事例，归纳共同特征 O引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题.如图2所示，以单位圆的圆心O 为原点，以射线OA 为x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，以点A 的坐标（1，0），点P 的坐标（x ，y ）.射线OA 从x 轴的非负半轴开始，绕点O 按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.问题2：当α=π6时，点P 的坐标时什么？当α=π6或2π3时，点P 的坐标又是什么？他们是唯一确定的吗？一般的，任意给定一个角α，它的终边OP 于单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？师生互动：在学生求出当α=π6时点P 的坐标后追问以下问题.追问：（1）求点P 的坐标要用到什么知识？（直角三角形的性质）（2）求点P 的坐标步骤是什么？点P 的坐标唯一吗？（画出π6的终边OP ，过点P 做x 轴的垂线交x 轴于M ，在R t ΔOMP 中，利用直角三角形的性质可地得到点P 的坐标是（√32，12）.）（3）如何利用上述经验求当α=2π3时点P 的坐标？（可以发现，∠MOP=π3，而点P 在第二象限，可得点P 的坐标是（-12，√32）.）（4）利用信息技术，刻画一个角α，观察它的终边OP 语单位圆交点P 的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？（对于R 中的任意一个角α，它的终边OP 与单位圆交点为P （x,y ），无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的，这里有两个对应关系：f ：实数α（弧度）对应于点P 的纵坐标yg ：实数α（弧度）对应于点P 的横坐标x根据上述分析，f ：R →[-1,1]和g ：R →[-1,1]都是从集合R 到集合[-1,1]的函数.）设计意图：以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备.3.任意角三角函数的定义与辨析问题3：请同学们先阅读教科书第177-178页，再回答如下问题：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？（2）符号sin α，cos α和tan α分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？图2（3）为什么说当α≠π2+kπ时，tanα的值是唯一确定的？（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是{x |x≠π2+kπ，k∈Z}?师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题.设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号log a b表示a x=b中的x），理解三角函数符号的意义.4.任意角三角函数与锐角三角函数的联系问题4：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，设x∈(0,π2)，把锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为z1，并把本节三角函数定义求得的x的正弦记作y1.z1和y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？师生活动：教师引导学生作出R tΔABC，其中∠A=x，∠C=90o，再把它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在x轴的正半轴上，得出y1=z1的结论.设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性.5.任意角三角函数概念的初步应用例1：利用三角函数的定义求5π3的正弦、余弦和正切值师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并求出答案.设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵.课堂练习：（1）利用三角函数的定义，求π，3π2的三个三角函数值（2）说出几个使cosα=1的α的值.师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”.设计意图：检验学生对定义的理解情况.例2：如图3所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标（x,y），点P与原点的距离为r，求证：sinα=yr ，cosα=xr，tanα=yx师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：（1）你能根据三角函数的定义作图表示sinα，cosα吗？（2）在你所作图形中yr ，xr，yx各表示什么，你能找到它们与任意角α的三角函数的关系吗设计意图：通过问题引导，使学生找到△OMP，△O M O P O，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.追问：例2实际上给出了证明三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的.你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在交流的基础上得出准确的定义.设计意图：加深学生对三角函数定义的理解.课堂练习：已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s，求2s时点P所在的位置，师生活动：由学生独立完成后，学生代表展示作业.设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义.（五）目标检测设计1.利用三角函数的定义，求7π6的三个三角函数值.2．已知角θ的终边多点P（-12，5），求角θ的三角函数值.设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情况。

5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)

【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =

=
3
，cos
2
tan =

=
3
−1
3
2
所以sin =
=

=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.

（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，

= − , −

（4）在角的终边上取一点

则 −
则 =

,

=−
=

,

−

= −；
−, ，即 = −, = , = ，

当 = 或

时，点的坐标是(, )和(− ， )

一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，
即 = .
π

转 3 弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；

【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第五章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．题型三任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

高中数学教案《三角函数的概念》

教学计划：《三角函数的概念》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够准确理解三角函数（正弦、余弦、正切）的基本定义，并能识别其在直角三角形中的表示。

o学生能够掌握三角函数值与角度之间的对应关系，理解三角函数是周期函数的特点。

o学生能够运用三角函数的基本性质进行简单的计算与推导。

2.过程与方法：o通过观察、比较和归纳，引导学生从实际情境中抽象出三角函数的概念。

o借助图像直观展示三角函数的周期性，培养学生的数形结合能力。

o通过小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流与合作，共同探索三角函数的性质。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。

o培养学生的探究精神和创新思维，鼓励他们勇于提出问题并尝试解决。

o引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。

二、教学重点和难点●重点：三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、图像及基本性质。

●难点：理解三角函数值与角度之间的对应关系，以及三角函数周期性的概念。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过展示如钟摆运动、海浪波动等自然界中的周期性现象，引导学生思考这些现象背后的数学规律，从而引出三角函数的概念。

●复习旧知：回顾直角三角形的相关知识，如勾股定理、锐角与钝角的定义，为学习三角函数做好铺垫。

●明确目标：简要介绍本节课的学习目标，即掌握三角函数的基本概念、图像及基本性质。

2. 讲授新知（15分钟）●定义讲解：详细讲解正弦、余弦、正切三种三角函数在直角三角形中的定义，强调它们与边长的比例关系。

●图像展示：利用多媒体设备展示三种三角函数的图像，引导学生观察图像特征，如正弦、余弦函数的周期性，正切函数的间断性等。

●性质归纳：结合图像，引导学生归纳出三角函数的基本性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。

3. 互动探究（10分钟）●小组讨论：将学生分成若干小组，每组分配一个探究任务，如“探究正弦函数在哪些区间内是增函数？”、“尝试用三角函数表示一个圆上某点的坐标”。

人教A版新课标高中数学必修一教案《三角函数的概念》

《三角函数的概念》♦教材分析L _______ J本课是《任意角的三角函数》这一章的概念课，具有核心地位、统领全局的作用.在此之前，学生已经学习了锐角三角函数，弧度制，对三角函数(正弦，余弦，正切)有一定的了解，了解了锐角三角函数在解三角形中的作用. 为本节课的学习提供了知识准备.本节将学习任意角三角函数的概念、表示及关系.借用单位圆直观的表示三角函数的对应值.♦教学目标1•了解任意角三角函数概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；2•掌握任意角三角函数的代数表示，理解任意角三角函数的正弦，余弦，正切概念，体会用单位圆进行数学研究的一般过程.♦教学重难点♦教学重点：本节的重点是利用单位圆模型理解任意角三角函数概念的形成过程.'♦课前准备"I♦1•教学问题：(1)学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数是可能会出现障碍，由于学生在此之前学习了直角三角形中的锐角三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比来表示锐角三角函数，要克服这一点，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系；(2)学生在理解将终边上任意一点去在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会形成障碍.(3)学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，可能会受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题.2.教学支持条件：计算机，几何画板，科大讯飞问答系统.♦教学过程I【问题1】在初中，我们学过锐角三角函数，如图1,在直角三角形OMP中，M是直角那么根据锐角三角函数的定义，0的正弦，余弦，正切分别是什么？【设计意图】帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义.【预设师生活动】教师提出问题，学生回答.【问题2】在上节课的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在说说的角可以是任意大小的正角，负角和零角•那么任意角的三角函数又该怎么定义呢?【设计意图】引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数.【预设师生活动】老师引导学生：(1)能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？(2 )将锐角推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？(3)如图2:在平面直角坐标系中如何定义任意角的三角函数？(4)终边是0P的角一定是锐角吗？如果不是，能用直角三角形的边长来定义吗？当的终边不在第一象限该怎么办？(5 )我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的一条边长呢？(渗透数形结合的思想)(6)利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？【问题3】大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？【设计意图】为引入单位圆做铺垫.【预设师生活动】教师提出问题后，课组织学生展开讨论，在学生不能回到正确时，可启发他们思考：(1)我们在定义1弧度的角时，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂？(2)对于一个三角函数，比如y sin •它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定后，能不能取终边任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单易懂些？怎样取？(加强与几何的联系))【问题4】大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？【设计意图】引导学生在用单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义.【预设师生活动】由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理【设计意图】让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更/>)【问题5】根据任意三角函数的定义，要求角的三个三角函数值其实就是求什么?能突出三角函数概念的本质.【预设师生活动】在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值例1已知角的终边过点P (1, 3)，求角的正弦、余弦和正切值.2 2【设计意图】从最简单的问题入手，然后通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想.【预设师生活动】在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识.5变式1：求的正弦、余弦和正切值.3变式2: 已知角的终边过点P (- 3, - 4)，求角的正弦、余弦和正切值.【问题6】你们能否给出正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域？【设计意图】研究一个函数，就是要研究其三要素，而三要素中最本质的是对应法则和定义域，三角函数的对应法则已经有定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域，通过利用定义求定义域，即完善了三角函数概念的内涵，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念.【预设师生活动】学生求出定义域，教师进行整理【问题7】上述三种函数的值在各象限的符号会怎么样？【设计意图】通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想.【预设师生活动】学生回答，教师进行整理.例2.求证：(1)当不等式组Sin 0成立时，角为第三象限角；tan 0sin 0(2)当角为第三象限角时，不等式组成立.tan 0【设计意图】通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念.【预设师生活动】在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练；【问题8】三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？【设计意图】引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想.【预设师生活动】在教师的引导下，由学生讨论完成.例3先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值；Q A A(1)sin —；(2)cos3 ;(3)tan( ------- );(4)cos( 672°)4 6 '【设计意图】将确定函数值的符号与求函数值这两个问题结合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念.【预设师生活动】先完成题(1)，再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题.练习(1)填表.(2)设是三角形的一个内角，在sin , cos , tan , tan?中，有可能取负值的是---------------(3)选择“ >”，“ <”，“=”填空：4 o osin( —) 0; tan 556 0; cos( 450 ) 0;317ta n( —) _______ 0;(4)选择(1)sin 0;(2)sin 0;(3) cos 0;(4) tan 0; (5) tan 0 中适当的关系式的序号填空:例4 (备选) 如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为 h0,它的直径为2R ,逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发(如图1所示)，过了 30秒后，你离地面的高度为多少？过了 t0秒呢？【设计意图】通过应用三角函数定义，熟悉和记忆特殊角的三角函数值，三角函数值的符号，公式一，以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解.【预设师生活动】根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容做具体调整. 5.小结【问题9】从锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数的定义，你能回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角的三角函数的定义的吗？锐角三角函数与解直角三角形相关，在初中我们是利用直角三角形边的比值来表示锐角的三角函数.通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了，我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数.借助平面直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数. 【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容. 【预设师生活动】在学生给出定义后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点.【问题10】今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用，能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了那些问题？【设计意图】回顾和总结三角函数在本节课中的应用.(1) 当角为第一象限角时， _______________ ，反之也成立； (2) 当角为第二象限角时， _______________ ，反之也成立； (3) 当角为第三象限角时， _______________ ，反之也成立； (4) 当角为第四象限角时， ________________，反之也成立；7 (5 )求的正弦，余弦和正切值.6(6) 已知角的终边经过点P (-12, 5)，求角的正弦，余弦和正切值.(7) 求下列三角函数值：cos1109°; tan19 3；si n(10500);ta n( 31 4)；图1【预设师生活动】在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生定义应用过程中所蕴含的数形结合的思想．。

高中数学第5章三角函数 5.2.1 三角函数的概念第一册数学教案

5.2.1 三角函数的概念在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(2)结论①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x；③yx叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x≠0)．(3)总结yx＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．5．公式一1．sin(－315°)的值是( ) A ．－22 B ．－12 C.22 D.12C [sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝22.] 2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．] 3．sin 253π＝________.32 [sin 253π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝sin π3＝32.] 4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＋sin α的值为________． 3＋12 [cos α＝x ＝32，sin α＝y ＝12，故cos α＋sin α＝3＋12.] 三角函数的定义及应用 [探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？提示：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．2．sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P 点在终边上的位置的改变而改变．【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，则sin θ＋tan θ的值为________．(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路点拨] (1)依据余弦函数定义列方程求x → 依据正弦、正切函数定义求sin θ＋tan θ(2)判断角α的终边位置→分类讨论求sin α，cos α，tan α(1)310＋3010或310－3010 [因为r ＝x 2＋9，cos θ＝x r ，所以1010x ＝xx 2＋9. 又x ≠0，所以x ＝±1，所以r ＝10. 又y ＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝310＋3010.当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，则sin θ＋tan θ＝310－3010.](2)[解] 直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．三角函数值符号的运用【例2】 (1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.[思路点拨] (1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限． (2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．(1)C [因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限．](2)[解] ①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误. 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.1．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．－2＜a ≤3 [因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上，因为α终边过(3a －9，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3.]2．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．四 [角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴角α2是第四象限角．]诱导公式一的应用【例3】求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (2)sin 7π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4cos 13π3.[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54. 利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k π＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k ∈Z . (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值. (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值. 3．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π. [解] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 25π·tan 0＝sin π6＋0＝12. 1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．1．思考辨析(1)sin α表示sin 与α的乘积．( )(2)设角α终边上的点P (x ，y )，r ＝|OP |≠0，则sin α＝yr，且y 越大，sin α的值越大．( )(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (4)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( )[提示] (1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝y r.但y 变化时，sin α是定值． (3)正确．(4)错误．终边落在y 轴上的角的正切函数值不存在．[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值为( ) A ．1 B ．－1 C.22D ．－22B [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]3．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝15，则sin β＝________.－15 [设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，则角β的终边与单位圆相交于点Q (x ，－y )，由题意知y ＝sin α＝15，所以sin β＝－y ＝－15.]4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4.[解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.。

5.2.1三角函数的概念(1)学案(学生版)人教版高中数学必修一

5.2.1 三角函数的概念（第1课时）【学习目标】1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．【教材知识梳理】一．利用单位圆定义任意角的三角函数在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以为半径的圆为单位圆．前提在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R ，它的终边与交于点P (x ，y )，那么：定义正弦把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作，即y ＝余弦把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作，即x ＝正切单位圆上点P 的纵坐标与横坐标的比值y x为函数值的函数叫做α的正切函数，记作，即y x ＝ (x ≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数．正弦函数y ＝sin x ，定义域为；余弦函数y ＝cos x ，定义域为；正切函数y ＝tan x ，定义域为 .α的终边上任意一点的坐标定义三角函数推广到一般情况：设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P (异于原点)，其坐标为(x ，y )，且OP ＝r ＝ x 2＋y 2 (r ＞0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝ (x ≠0). 注意：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P (x ，y )所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．二．三角函数值在各象限的符号三角函数值的符号变化规律可概括为“ ”，即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sinα＝sinβ，则α＝β.( )(2)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( )(3)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．( )(4)若α是第二象限角，且(,)P x y 是其终边与单位圆的交点，则cos x α=-．（）(5)由三角函数的定义，可知1≤sinα≤1.（）【教材例题变式】【源于P179例2】例1 (1)若角α的终边经过点P (5，－12)，求sin α，cos α，tan α的值．(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．【源于P178例1】例2 .利用三角函数的定义求下列各角的正弦、余弦和正切值． (1)2π； (2)4π-； (3)34π， (4)73π．【源于P180例3】例3 .对于sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>与⑥tan 0θ<，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第一象限角的充要条件是_____；（2）角θ为第二象限角的充要条件是_____；（3）角θ为第三象限角的充要条件是_____；（4）角θ为第四象限角的充要条件是______.【源于P181例4】例4 .确定下列三角函数值的符号：①sin 156°；②cos 165π；③cos(－450°)；④tan )817(π-；⑤sin )34(π-；⑥tan 556°. 【教材拓展延伸】例5．（1）已知θ是第二象限角，试判断()()tan sin tan cos θθ的符号．（2）若()()sin cos cos sin 0θθ<，求θ的终边的位置．【课外作业】基础过关：1．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（）A ．45B ．35C ．35D ．45- 2．若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 3．点()cos2023,tan8A ︒在平面直角坐标系中位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin α=（）A ．BC ． D5．已知角θ的终边经过点1,2P ⎛- ⎝⎭，则角θ可以为（） A ．76π B ．23π C ．43π D ．53π 6．（多选）已知点()(),20P m m m -≠是角α终边上一点，则（）A ．tan 2αB ．cos αC ．sin cos 0αα<D ．sin cos 0αα> 7．若点(4,)P a -在角240°的终边上，则实数a 的值是__________.8．点P 从点()10A ，出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标是___________.9．已知角α的终边落在直线3y x =-上，求2sin 3cos αα+的值.能力提升：10.设角θ是第一象限角，且满足cos=cos 22θθ-，则2θ的终边所在的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．（多选）函数y sin cos tan sin cos tan x x x x x x =++的值可能为（） A ．﹣3 B ．3 C ．1 D ．﹣112．（多选）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（）A ．sin(100°)B ．cos(220°)C ．tan(10)D ．cos013．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．14．已知角α的终边上一点P 与点()1,2A -关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点O 中心对称，则sin sin αβ+=______．15．已知角α的终边上有一点)1Pa +，a ∈R ． (1)若60α=︒，求实数a 的值．(2)若cos 0α>且tan 0α<，求实数a 的取值范围．16．如图所示，滚珠P ，Q 同时从点(2,0)A 出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，滚珠Q 按顺时针方向每秒钟转6π弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠P ，Q 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(2)求从出发到第二次相遇滚珠P ，Q 各自滚动的路程．。

高一【数学(人教A版)】三角函数的概念-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期上课题三角函数的概念教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1. 初步理解借助单位圆上点的坐标定义三角函数，理解任意角的三角函数的概念；2.在三角函数定义的过程中进一步认知函数的本质，体会数形结合思想方法的作用；3.经历三角函数概念的抽象过程，提升学生思维的严谨性，发展数学抽象素养.教学重点：任意角的三角函数概念.教学难点：用单位圆上点的坐标定义三角函数.教学过程时间教学环节主要师生活动创设情景，导入新课问题引入：在客观世界中存在大量循环往复、周而复始的周期现象，比如日出日落、钟摆运动等，匀速圆周运动是这类现象的代表，在前面的学习中我们已经知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？如右图所示,圆O上的点P以A为起点做逆时针旋转,在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化.根据弧度制的定义，角α的大小与圆O的半径无关，我们能否建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况?【设计意图】开门见山引出研究内容、过程与研究方法，指明点P随着角度的变化而变化，明确构建函数模型的目标，让学生初步了解本节课学习的方向，为具体研究指明方向.引导探究，形成新知分析要解决这个问题，我们需要什么工具？①建立函数模型,要利用直角坐标系.②根据任意角的定义，需要借助单位圆.如图，以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标是()1,0，点P的坐标是(),x y. 把该问题抽象为一个质点P从点A()1,0开始在单位圆上的运动.问题1：这个运动过程中的有哪些变量，判断它们之间是否具有函数关系.如果有，能否写出函数解析式？（1）点P在单位圆上运动过程中涉及的变量有：点P的横坐标x、纵坐标y，弧长l，旋转角度α；（2）判断变量：,,,x y lα间的哪两个变量能否构成函数关系？过过点P作PM⊥x轴于M,根据勾股定理可知221OM PM+=，即221x y+=，显然变量x、y间的对应关系不符合函数定义.在弧度制学习中我们已经知道变量,lα之间的关系，并且变量,x y与α的关系和,x y与l的关系等价，所以我们研究变量,x y与α的关系.问题2: 若角α终边与单位圆交于点P，如何求点P的坐标呢？追问1：当我们遇到一般性问题应该如何研究？特殊化：不妨设3απ=，此时点P在第一象限, 构造直角三角形，过点P向x轴引垂线交x轴于M,Rt OMP∆中,可得12OM=,32PM=,即12x=,32y=,所以点P的坐标为13,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭.追问2:当23απ=时，点P的坐标是什么？同样,当23απ=时，点P在第二象限, 可得12x=-,32y=,所以点P的坐标为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.追问3：任意给定一个角α，点P 的坐标唯一确定吗？因为单位圆的半径不变，点P 的坐标只与角α的大小有关，当角α确定时，点P 的坐标是(),x y 也唯一确定.追问4：在展示的运动变化的过程中，观察角α的终边与单位圆的交点P 的坐标，有什么发现？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？对任意一个实数α，它的终边OP 与单位圆的交点P 的横、纵坐标x 、y 都是唯一确定的，有如下对应关系：任意角α(弧度)→ 唯一实数x ； ①任意角α(弧度)→ 唯一实数y ． ②一般地，任意给定一个角R α∈，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标，无论是横坐标x ，还是纵坐标y ，都是唯一确定的.所以，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是角α的函数.【设计意图】以函数的对应关系为指向，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角α (弧度)的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫.下面给出这些函数的定义：如图，设α是一个任意角，R α∈，它的终边OP 与单位圆相交于点(),P x y ，那么把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记做sin α，即sin y α=；把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记做cos α，即cos x α=；把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x叫做α的正切函数，记做tan α，即()tan 0y x xα=≠. 问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？实数α(弧度)对应于点P 的纵坐标y →正弦函数；实数α(弧度)对应于点P 的横坐标x →余弦函数；当点P 的横坐标为0时，角α的终边在y 轴上，此时()2k k Z απ=+π∈，所以tan y xα=无意义.用新知标为13,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以53515sin,cos,tan 3.32323πππ=-==-【设计意图】通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵.例2 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(),x y，点P与原点的距离为r.求证：sinyrα=，cosxrα=，tanyxα=引导学生分析问题：①你能根据三角函数的定义作图表示sinα和cosα吗？②在你所作的图形中，yr，xr，yx表示什么？你能找到它们与任意角α的三角函数的关系吗？解：设角α的终边与单位圆交于点0P()00,x y，分别过点,P P作x轴的垂线00,PM P M，垂足分别为,M M，则000,PM y P M y==，00,,OM x OM x==OMP∆11OM P∆.所以得到001P M PMr=,即yyr=.因为y与y同号，所以yyr=，即sinyrα=.同理可证：cosxrα=，tanyxα=.【设计意图】通过问题引导，使学生找到OMP∆、11OM P∆，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.追问：例2实际上给出了任意角的三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的，能否用严格任意角三角函数的概念是三角函数知识的基础，我们以后要学习的有关三角函数其他知识都建立在我们对三角函数的概念的理解与认识上，所以同学们一定要认真学习和体会今天所学的知识.三角函数是如何定义的？我们除了学习单位圆定义，还有什么定义方法？①单位圆定义法:建立直角坐标系，使角α的顶点与坐标原点重合，终边与单位圆的交点为P ，即可由点P 坐标(),x y 得到三角函数定义.正弦函数：()sin y x x R =∈;余弦函数：()cos y x x R =∈;正切函数：tan y x =,2x x k k Z π⎧⎫≠+π∈⎨⎬⎩⎭. ②终边定义法: 建立直角坐标系，对于任意角α，角α终边上的任意一点P 的坐标为(),x y ，它到原点O 的距离为22r x y =+，那么sin y r α=，cos x r α= ，tan y xα=. 在我们研究三角函数概念的过程中，你体会到了什么数学思想方法？在任意角的三角函数的概念建构的过程中，我们运用了转化与化归、数形结合、函数思想，这些思想方法在我们今后的学习中非常重要，我们一定认真体会.。

5-2-1三角函数的概念教案——高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章三角函数5.2.1三角函数的概念教学设计一、教学目标1. 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，会求具体弧度的三个三角函数值.2.从三角函数的定义认识其定义域、函数值在各个象限的符号.3.根据定义理解公式一，初步解决与三角函数值有关的一些简单问题.二、教学重难点1.教学重点三角函数的定义.三角函数值在各个象限内的符号，公式一.2.教学难点用角的终边上的点刻画三角函数.三角函数值的符号的应用.三、教学过程（一）探究一：三角函数的概念1.定义：设α是一个任意角，α∈R，它的終边OP与单位圆交于点P（x，y）.（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα；（3）把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=（x ≠0）.2.记法：通常将三角函数记为：正弦函数：sin ,y x x =∈R ；余弦函数：cos ,y x x =∈R ；正切函数：tan ,()2y x x k k ππ=≠+∈Z . 探究二：三角函数的定义域交流讨论完成下表：探究三：各象限角的三角函数值的符号各个象限角的三角函数值的符号求证：角θ为第三象限角的充要条件是sin 0,(1)tan 0.(2)θθ<⎧⎨>⎩.证明：先证充分性，即如果（1）（2）式都成立，那么θ为第三象限角.因为（1）式sin 0θ<成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为（2）式tan 0θ>成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.因为（1）（2）式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限.于是角θ为第三象限角.再证必要性，即如果角θ为第三象限角，那么（1）（2）式都成立.因为角θ为第三象限角，所以sin 0θ<，同时tan 0θ>，即（1）（2）式都成立.综上，命题得证.探究四：公式一公式一：sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan .k k k k απααπααπα+⋅=+⋅=+⋅=∈Z 其中在运算中起到简化的作用，即利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到2π范围角的三角函数值.（二）课堂练习1.已知4sin 5α=，α在第二象限，则tan α=（） A ．43 B ．43- C ．34 D ．34- 答案：B 解析：由4sin 5α=及α是第二象限角，得3cos 5α==-，所以sin tan s 43co ααα==-. 故选： B2.如果点(sin ,cos )P θθ位于第三象限，那么角θ所在的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C3.已知点()2,0A -，()2,0B ，若圆()()22230x y r r -+=>上存在点P （不同于点A ，B ），使得0PA PB ⋅=，则r 的取值范围是( )A.(1,5)B.[]1,5C.(]1,3D.[)3,5 答案：B解析：0PA PB ⋅=，∴点P 在以AB 为直径的圆224x y +=上. 圆222(3)(0)x y r r -+=>上存在点P （不同于点A ，B ），使得0PA PB ⋅=，∴圆222(3)(0)x y r r -+=>与圆224x y +=有公共点，|2|32r r ∴-≤≤+，解得15r ≤≤，故选B.（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1.三角函数的定义.2.三角函数的定义域.3.各象限角的三角函数值的符号.4.公式一.四、板书设计1.定义：正弦函数：sin ,y x x =∈R ；余弦函数：cos ,y x x =∈R ；正切函数：tan ,()2y x x k k ππ=≠+∈Z . 2.三角函数的定义域.3.各象限角的三角函数值的符号.4.公式一sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan .k k k k απααπααπα+⋅=+⋅=+⋅=∈Z 其中。

人教版A高中数学必修第一册5.2.1 三角函数的概念教学设计(1)

5.2.1 三角函数的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第五章《三角函数》,本节课是第3课时,这是节关于任意角的三角函数的概念课.三角函数是高中范围内继指数函数、对数函数和幂函数之后学习的函数,是函数的一个下位概念,与指对数函数、幂函数属于同一抽象( 概括)层次。

它是一种重要的基本初等函数,是解决实际问题的重要工具,也是学习数学中其他知识内容的基础。

在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。

在此基础上,随着角的概念的推广,引入弧度制,相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数,此时它与三角形已经没有什么关系了。

任意角的三角函数是研究一个实数集( 角的弧度数构成的集合)到另一个实数集( 角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。

认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。

本节课将围绕任意角三角函数的概念展开,任意角三角函数的概念是本节课的重点,能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键。

A.借助单位圆理解任意角三角函数的定义;B.根据定义认识函数值的符号,理解诱导公式一;C.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题;D.体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结1.教学重点:任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义;2.教学难点:任意角的三角函数概念的建构过程。

多媒体一、复习回顾,温故知新 1. 1弧度角的定义【答案】等于半径长的圆弧所对的圆心角 2. 角度制与弧度制的换算:【答案】︒︒︒≈==30.571801180）（弧度，ππ3. 关于扇形的公式【答案】.21)3(;21)2(;12lR S R S R l ===αα）（ 4.在初中我们是如何定义锐角三角函数的? 【答案】.tan ,cos ,sin abc a c b ===ααα二、探索新知探究一.角α的始边在x 轴非负半轴,终边与单位圆交于点P 。

教学设计1：5.2.1 三角函数的概念

5.2.1三角函数的概念【课标要求】课程标准：1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等．教学重点：三角函数的定义；三角函数在各象限内的符号．教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程.【知识导学】知识点一三角函数的概念(1)单位圆中三角函数的定义(2)三角函数的定义域知识点二三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知识点三诱导公式(一)【新知拓展】(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．(2)终边相同的角的同名三角函数值相等．【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)若sinα<0，且tanα<0，则α在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(3)tan405°－sin450°＋cos750°＝________.(4)sin2·cos3·tan4的值的符号为________．答案 (1)D (2)－1213 513 －125 (3)32(4)负【题型探究】题型一三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．[解] r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |，若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34. [条件探究] 在本例中，若将题设条件改为：已知角α的终边在直线y ＝3x 上，问题不变，怎样求解？解因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点．则r ＝ a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3a a＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝a －2a＝－12，tan α＝3a a ＝ 3. 金版点睛利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．(3)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．[跟踪训练1] (1)设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25 B ．－25 C.15 D ．－15(2)已知角α终边上的点P (4,3m )，且sin α＝22m ，求m 的值．答案 (1)A (2)见解析解析 (1)∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1.即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15. ∵a <0，∴a ＝－15，∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45， ∴sin α＝－45，cos α＝35， ∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. (2)∵P (4,3m )，∴r ＝16＋9m 2，∴sin α＝y r ＝3m 16＋9m 2＝22m ，两边平方，得9m 216＋9m 2＝12m 2. ∴m 2(9m 2－2)＝0，∴m ＝0或m ＝±23. 题型二三角函数值的符号例2 (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①tan120°·sin269°；②cos4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. [解析] (1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角．综上可知，α为第三象限角．(2)①∵120°是第二象限角，∴tan120°<0.∵269°是第三象限角，∴sin269°<0，∴tan120°·sin269°>0.②∵π<4<3π2，∴4弧度是第三象限角，∴cos4<0. ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0，∴cos4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0. [答案] (1)C (2)见解析金版点睛判断给定角的三角函数值正负的步骤(1)确定α的终边所在的象限；(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断．[跟踪训练2] (1)若三角形的两内角A ，B 满足sin A ·cos B <0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都有可能(2)点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．答案 (1)B (2)二解析 (1)三角形内角的取值范围是(0，π)，故sin A >0.因为sin A cos B <0，所以cos B <0，所以B 是钝角，故三角形是钝角三角形．(2)因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以tan α<0，cos α<0，则角α的终边在第二象限. 题型三与三角函数有关的定义域问题例3 求下列函数的定义域：(1)y ＝sin x ＋cos x tan x； (2)y ＝－cos x ＋sin x .[解] (1)要使函数有意义，需tan x ≠0，∴x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z ，∴x ≠k π2，k ∈Z . 于是函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ，x ≠k π2，k ∈Z . (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ≥0，sin x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，解得2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z . 金版点睛求解函数定义域的解题策略(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于与三角函数有关的函数定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．[跟踪训练3] 求下列函数的定义域：(1)y ＝sin x ＋tan x ；(2)y ＝sin x ＋tan x .解 (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ∈R ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)当sin x ≥0且tan x 有意义时，函数才有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤(2k ＋1)π，x ≠k π＋π2(k ∈Z )． ∴函数的定义域为{ x | 2k π≤x <2k π＋π2或2k π＋π2<x ≤2k π＋π，k ∈Z }. 题型四诱导公式(一)的应用例4 计算：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5tan4π； (2)sin1140°cos(－690°)＋tan1845°.[解] (1)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos 12π5tan0＝sin π6＋0＝12. (2)原式＝sin(3×360°＋60°)cos(－2×360°＋30°)＋tan(5×360°＋45°)＝sin60°cos30°＋tan45°＝32×32＋1＝74. 金版点睛利用诱导公式化简的步骤(1)将已知角化为k ·360°＋α(k 为整数，0°≤α<360°)或2k π＋β(k 为整数，0≤β<2π)的形式．(2)将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．(3)借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的．[跟踪训练4] 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan(－15π4))； (2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52. 【随堂达标】1．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A.12B ．－12C ．－32D ．－33 答案 C解析由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32. 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( ) A ．1B ．0C ．2D ．－2 答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C．钝角三角形D．锐角或钝角三角形答案C解析因为sin A>0，所以cos B，tan C中一定有一个小于0，即B，C中有一个钝角．4．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a＝________.答案43 3解析tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝33＝a4，解得a＝433.5．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°＝1＋1＋1＋1＝4.。

高中数学人教A版(2019)必修第一册 5 三角函数的概念教案

5.2.1三角函数的概念一、教学目标：1、借助单位园理解任意角的三角函数的定义2、会利用相似关系，由角a 终边上任意一点的坐标得出任意角的正弦，余弦，正切的三角函数的定义。

3、能根据定义理解正弦，余弦，和正切函数在各个象限及坐标轴上的符号，会求一些特殊角的三角函数值4、理解并掌握公式一，并会用公式一进行三角函数式的化简或恒等式的证明。

二、教学重难点教学重点：三角函数的定义教学难点：对三角函数概念的抽象过程及定义的理解．三、情景导入江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓的把水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然，把水车放在坐标系中，点p 为水车上一点，它转动的角度为a,水车的半径为r ，点p 的坐标如何表示？四、预习检查五、教学过程① 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？② 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？1.三角函数的定义前面，我们已经把角的范围扩展到了任意角，并用弧度制来度量角，将角和实数建立一一对应关系.接下来，我们将建立一个数学模型，刻画单位圆上点P 位置变化情况.(以点A 为起点做逆时针方向旋转)191 sin -1050tan 3π︒、（）2sin ,cos ,tan Pαααα、已知角则分别是多少？以单位圆的圆心为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P(x,y)射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα,即y=sinα;(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,即x=cosα(3)把点P的纵坐标和横坐标的比值y叫做α的正切函数,记作tanα,即xy=tanα(x≠0).x我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.例1、2.同角三角函数的符号一全正、二正弦、三正切、四余弦例2、3.特殊角的三角函数4.诱导公式一终边相同的角的对应三角函数相同.其中k ∈Z做题时，把角同化为(0~2π)即(0°~360°)终边相同的角，简化计算. 例4：求下列三角函数的值。

三角函数的概念教学设计高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

三角函数的概念教学设计【教材分析】1、教学内容分析本节课来自《普通高中教科书-数学-必修第一册》（人教A版2019）第五章《三角函数》5.2.1三角函数的概念，这是一节关于任意角的三角函数的概念课.三角函数是高中学习了指数函数、对数函数和幂函数之后学习的函数,它是一种重要的基本初等函数,是解决实际问题的一种重要工具,也是学习数学中其他知识内容的基础。

2、教学对象分析在初中学生已经学习了直角三角形中，一些特殊锐角的三角函数值。

而本节课是把锐角的三角函数值推广到任意角的三角函数值。

比较抽象，学生的思维跨度大，比较难理解。

3、教学环境分析根据教学内容和学生的学习情况，选择多媒体教室，利用几何画板等信息技术辅助教学。

【教学目标分析】1、借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．【教学重难点】1、教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；2、教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】（一）、情景导入在客观世界中存在大量循环往复、周而复始的现象，比如日出日落、钟摆，摩天轮等,我们把这种现象叫周期现象，在前面的学习中，我们用指数函数模型来刻画病毒增长问题和储蓄复利问题；用对数函数来刻画地震的震级变化问题和溶液PH值问题，那我们该用什么函数模型来刻画周期现象的运动规律呢？设计意图：让学生在一连串的追问下，思考问题，使学生的注意力回归课堂。

（二）探索新知1、不失一般性，我们先研究单位圆上点的运动，如图，单位圆⊙O 上的点P 以A 为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P 的位置变化情况．根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？2、角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点P 。

当6πα=时，点P 的坐标是什么？当322ππα或= 时，点P 的坐标又是什么？它们唯一确定吗？一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗？设计意图：在问题的引领下，通过解决一个个的问题，让学生了解三角函数的定义，提高学生分析问题、概括能力。

高中数学第五章三角函数5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念课件新人教A版必修第一册

sin α cos α tan α
助学批注批注❶ 是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．批注❷ 三角函数值在各象限的符号由α的终边所在的象限决定．批注❸ 作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2 π(或 0°～360°)范围内的三角函数值．
基础自测 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( × ) (2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝yr，且y越大，sin α的值越大．( × ) (3)已知α是三角形的内角，则必有cos α＞0.( × ) (4)若sin α＞0，则α一定在第一或第二象限．( × )
136π＋tan
(－173π)＋sin
33
6π＝____2____．
解＝c析os：π6c＋osta1n36ππ3＋＋tsainn
(－173π)＋sin 2π
6π＝cos
(2π＋π6)＋tan
(－6π＋π3)＋sin
(4π＋2π)
＝
3 2
+
3＋0
＝323.
方法归纳
判断三角函数值符号的步骤
巩固训练2 已知角α为第三象限角，则点P(tan α，sin α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：D
解析：∵角α为第三象限角，tan α＞0，sin α＜0， ∴点P(tan α，sin α)在第四象限．
题型 3 诱导公式一的应用
5.2.1 三角函数的概念
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准 (1)理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值．(2)掌握任意角三角函数在各象限的符号．(3)掌握三角函数诱导公式一并会应用．

人教A版(2019)高中数学必修第一册第五章5.2.1三角函数的概念(第二课时)教案

《5.2.1 三角函数的概念（第二课时）》教学设计1．掌握三角函数值的符号；2．掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性．教学重点：函数值的符号、诱导公式一．教学难点：对诱导公式的发现与认识．PPT课件．资源引用：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号、【知识点解析】对三角函数值符号的理解（一）创设情境引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？预设的师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性：预设答案：因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导．（二）新知探究1．三角函数值的符号问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？预设的师生活动：由学生独立完成．预设答案：用集合语言表示的结果是：当α∈{β|2k π＜β＜2k π+π，k ∈Z }时，sin α＞0；当α∈{β|2k π+π＜β＜2k π+2π，k ∈Z }时，sin α＜0；当α∈{β|β=k π，k ∈Z }时，sin α=0．其他两个函数也有类似结果．设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等．例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，①tan θ＞0．② 预设的师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明．预设答案：先证充分性．因为①式sin θ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为②式tan θ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立．设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力．2．诱导公式一问题2：联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你有发现什么？师生活动：学生在问题引导下自主探究，发现诱导公式一．追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？（2）你认为诱导公式一有什么作用？预设答案：（1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式一及其体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．在此过程中，可以培养学生用联系的观点看待问题，发展直观想象等素养．例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：（1）cos 250°；（2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π；（3）tan (－672°)；（4）tan 3π．解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos 250°＜0；（2）因为4π-是第四象限角，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π＜0；（3）因为tan (－672°)＝tan (48°－2×360°)＝tan 48°，而48°是第一象限角，所以tan (－672°)＞0；（4）因为tan 3π＝tan (π+2π)=tan π，而π的终边在x 轴上，所以tan π=0．例3 求下列三角函数值：（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）；（2）cos4π9；（3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π11．解：（1）sin 1480°10′=sin (40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645；（2）9πππcos cos(2π)cos 444=+==（3）11πππtan()tan(2π)tan 6663-=-==．师生活动：以上都是教科书中的例题，难度不大，可以由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．在用计算器验证时，提醒学生注意角度制的设置．（三）课堂练习教科书第182页练习第1，2，3，4，5题．（四）布置作业教科书习题5.2第1，3，4，5，7，8，9，10题．（五）目标检测设计1．求下列三角函数的值：（1）cos （－23π6）；（2）tan 25π6．设计意图：考查诱导公式一，特殊角的三角函数值．2．角α的终边与单位圆的交点是Q，点Q的纵坐标是12，说出几个满足条件的角α．设计意图：考查正弦函数的定义，诱导公式一．3．对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第二象限角的充要条件是________；（2）角θ为第三象限角的充要条件是________．设计意图：考查三角函数值的符号规律．。

人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数的概念教案

《5.2.1 三角函数的概念（第一课时）》教学设计教学目标1．了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系；2．经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养．教学重难点教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义．教学难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解；对符号sinα，cosα和tanα的认识．课前准备PPT课件教学过程（一）创设情境引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．如图1，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化．又根据弧度制的定义，角α的大小与⊙O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：如图1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．图1问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？预设的师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流、讨论．预设答案：明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质．设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向．（二）新知探究引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题．如图2，以单位圆的圆心O 为原点，以射线OA 为x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A 的坐标为(1，0)，点P 的坐标为(x ，y )．射线OA 从x 轴的非负半轴开始，绕点O 按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP ．问题2：当α=6π时，点P 的坐标是什么？当α=2π或3π2时，点P 的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗？预设的师生活动：在学生求出α=6π时点P 的坐标后追问以下问题．追问：（1）求点P 的坐标要用到什么知识？（2）求点P 的坐标的步骤是什么？点P 的坐标唯一确定吗？（3）如何利用上述经验求α=3π2时点P 的坐标？（4）利用信息技术，任意画一个角α，观察它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？预设答案：（1）直角三角形的性质；（2）画出6π的终边OP ，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于M ，在Rt △OMP 中，利用直角图2三角形的性质可得点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2123，；（3）可以发现，∠MOP =3π，而点P 在第二象限，可得点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321，；（4）对于R 中的任意一个角α，它的终边OP 与单位圆交点为P (x ，y )，无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的．这里有两个对应关系：f ：实数α（弧度）对应于点P 的纵坐标y ，g ：实数α（弧度）对应于点P 的横坐标x ．根据上述分析，f ：R →[－1，1]和g ：R →[－1，1]都是从集合R 到集合[－1，1]的函数．设计意图：以函数的对应关系为定向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备．问题3：请同学们先阅读教科书第178～179页，再回答如下问题：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？（2）符号sin α，cos α和tan α分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？（3）为什么说当α≠2π＋k π时，tan α的值是唯一确定的？（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R ？而正切函数的定义域是{x ∈R |x ≠2π＋k π，k ∈Z }？预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．预设答案：（1）正弦函数的对应关系：sin α →点P 的纵坐标y ；余弦函数的对应关系：cos α →点P 的横坐标x ；正弦函数的对应关系：tan α →xy （2）分别表示y ，x ，；引入符号log a b 表示a x =b 中的x ．（3）当α≠2π＋k π时，如果α确定，那么α的终边确定，终边与单位圆的交点P 确定，P 点的横、纵坐标x 、y 就会唯一确定，因此x y 的值也是唯一确定的，所以tan α的值也是唯一确定的．（4）当α＝2π＋k π时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标x 等于0，所以x y ＝tan α无意义．除此之外，对于任意角α，P 点的横、纵坐标的值x ，y 都是存在且唯一确定的．设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号log a b 表示a x =b 中的x ），理解三角函数符号的意义．问题5：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π0，，把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为y 1，并把按本节三角函数定义求得的x 的正弦记为z 1．y 1与z 1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？预设的师生活动：教师引导，学生作图并得出结论．预设答案：作出Rt △ABC ，其中∠A =x ，∠C =90°，再将它放入直角坐标系中，使点A 与原点重合，AC 在x 轴的正半轴上，可得出y 1=z 1的结论．对于余弦、正切也有相同的结论．设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性．例1 利用三角函数的定义求3π5的正弦、余弦和正切值．预设的师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并得出答案．预设答案：在直角坐标系中，作∠AOB =3π5（图3）．易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321，．所以，sin 233π5-=，cos 213π5=，tan 33π5-=．设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵．练习：在例1之后进行课堂练习：（1）利用三角函数定义，求π，2π3的三个三角函数值．（2）说出几个使cos α＝1的α的值．预设的师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”．预设答案：（1）sin π＝0，cos π＝－1，tan π＝0；sin2π3＝－1，cos 2π3＝0，tan 2π3不存在．（2）α＝0，2π，－2π等．设计意图：检验学生对定义的理解情况．例2 如图4，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点O 重合）的坐标为(x ，y )，点P 与原点的距离为r ．求证：sin α=r y ，cos α=r x ，tan α=x y ．师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：（1）你能根据三角函数的定义作图表示出sin α，cos α吗？（2）在你所作出的图形中，r y ，r x ，xy 各表示什么，你能找到它们与做任意角α的三角函数的关系吗？图3预设答案：如图5，设角α的终边与单位圆交于点P 0 (x 0，y 0)．分别过点P ，P 0作x 轴的垂线PM ，P 0M 0，垂足分别为M ，M 0，则|P 0M 0|=|y 0|，|PM |=|y |，|OM 0|=|x 0|，|OM |=|x |，△OMP ∽△OM 0P 0．于是r PM M P ||1||00 ，即|y 0|=ry ||．因为y 0与y 同号，所以y 0=r y ，即sin α=r y ．同理可得cos α=r x ；tan α=x y ．设计意图：通过问题引导，使学生找到△OMP ，△OM 0P 0，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明．追问：例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的．你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？预设的师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在交流的基础上得出准确的定义．预设答案：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点O 重合）的坐标为(x ，y )，点P 与原点的距离为r ，则r y 、r x 、xy 分别叫做角α的正弦、余弦、正切．设计意图：加深学生对三角函数定义的理解．练习：在例2之后进行课堂练习：（3）已知点P 在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s ．求2 s 时点P 所在的位置．图5图4预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表展示作业．预设答案：以坐标原点为圆心O ，OP 所在直线为x 轴正方向建立平面直角坐标系．2 s 时点P 所在位置记为Q ．因为点P 是在半径为2的圆上按顺时针方向作匀速圆周运动，角速度为1rad/s ，所以圆心角∠POQ ＝－2 rad ．所以2 s 时，点P 在该坐标系中的位置为（2cos 2，－2sin 2）．设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义．（三）布置作业（四）目标检测设计（1）利用三角函数定义，求6π7的三个三角函数值．（2）已知角θ的终边过点P (－12，5)，求角θ的三角函数值．预设答案：（1）sin6π7＝－21，cos 6π7＝－23，tan 6π7＝33；（2）sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ＝－512．设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情况．1、最困难的事就是认识自己。

数学人教A版必修第一册5.2.1三角函数的概念

tan = 无意义，此时 = + ( ∈ )

2
问题5：初中也有三角函数,那初高中的定义有什么区分
和联系?
初中定义
联系
函数值符号
角的范围
函数值定义
高中定义
高中三角函数的定义统一和兼容了初
中三角函数的定义
？
？
锐角
？
边长比值
？
值均为正数
？
任意角
？
终边上点的坐标
？
可正可负可零
知识应用合作交流
y0
y
由相似三角形的对应边成比例，可得

1
r
y
又 y0与y同号，
y0
r
y
x
y
sin
同理可得：cos , tan
r
r
x
α
M
M0
O
P0 x0 , y0
·
P x, y
x
例2:如图，∠α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点
O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r；
[变式 1]
已知角 α 的终边上一点 P(－15a,8a) (a∈R 且 a≠0)，求 α
的三角函数值．
解 ∵x＝－15a，y＝8a，∴r＝－15a2＋8a2＝17|a| (a≠0)．
(1)若 a>0，则 r＝17a，于是
8
15
8
sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，
17
17
15
(2)若 a<0，则 r＝－17a，于是
8
15
8
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，