高考数学人教A版(理)一轮复习：第二篇 第5讲 对数与对数函数

第5讲 对数与对数函数

A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2011·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

15log 30.3则

( )．

A ．a >b >c

B ．b >a >c

C ．a >c >b

D ．c >a >b

解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫

15log 30.3＝5log 3103，1

log 23.4>log 2103>log 3103，∴log 23.4>log 3103>log 43.6，∴5log 23.4>5log 310

3>5log 43.6，故选C. 答案 C

2．(2013·徐州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )． A ．0

D ．a ≥2

解析 因为y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a

2

4，故要

使函数y ＝log a (x 2

－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 2

4>0，得1

答案 C

3．(2013·九江质检)若函数f (x )＝log a (x ＋b )

的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是

( )．

解析 由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0

4．若函数f (x )＝log a (x 2

－ax ＋3)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1

2时，

f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为 ( )．

A ．(0,1)∪(1,3)

B ．(1,3)

C ．(0,1)∪(1,23)

D ．(1,23)

解析 “对任意的x 1，x 2，当x 1

2时，f (x 1)－f (x 2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f (x )有意义”．事实上由于g (x )＝x 2－ax ＋3在x ≤a

2时递减，从而⎩⎪⎨⎪⎧

a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为(1,23)．故选

D. 答案 D

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭

⎪⎫

23，＋∞，则a ＝________.

解析 由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫

a 3，＋∞，

所以a 3＝2

3，a ＝2.

答案 2

6．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则(log 128)⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫

13－2＝________.

解析 框图的实质是分段函数，log 128＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫

13－2＝9，由框图可以看出输出

9

－3＝－3. 答案 －3. 三、解答题(共25分)

7．(12分)已知函数f (x )＝log 12(a 2

－3a ＋3)x . (1)判断函数的奇偶性；

(2)若y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )＝log 1

2(a 2－3a ＋3)x 的定义域为R . 又f (－x )＝log 1

2(a 2－3a ＋3)－x ＝－log 1

2(a 2－3a ＋3)x ＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数．

(2)函数f (x )＝log 1

2(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则y ＝(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为增函数，

由指数函数的单调性，知a 2－3a ＋3>1，解得a <1或a >2.

所以a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)． 8．(13分)已知函数f (x )＝－x ＋log 2

1－x

1＋x

. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12 014的值；

(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 2

1－x 1＋x ＋log 21＋x

1－x

＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛

⎭⎪⎫－12 014＝0.

(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋

2

x ＋1

)， 当x 1

1－a

1＋a

. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．函数f (x )＝lg(a x ＋4a －x －m )(a >0且a ≠1)的定义域为R ，则m 的取值范围为

( )．

A ．(0,4]

B ．(－∞，4)

C ．(－∞，4]

D ．(1,4]

解析 由于函数f (x )的定义域是R ，所以a x ＋4a x －m >0恒成立，即m

a x 恒成立，由基本不等式知只需m ≤4. 答案 C

2．已知函数f (x )＝|lg x |，若0

D ．[3，＋∞)

解析 作出函数f (x )＝|lg x |的图象，由f (a )＝f (b )，0