高考数学人教A版(理)一轮复习：第二篇 第5讲 对数与对数函数
2025年高考数学一轮知识点复习-对数与对数函数【课件】
第四步：将 y＝|log2(x＋1)|的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度，便得到 所求函数的图象，如图 4.
方法二：y＝|log2(x＋1)|＋2 ＝l－oglo2（g2（x＋x＋ 1）1） ＋＋ 2（（x≥－0）1<，x<0）， 分别作出函数在(－1，0)和[0，＋∞)上的两段图象即得 y＝|log2(x＋1)|＋2 的图象(如图 4)．
(2)已知当 0<x≤14时，有 x<logax，则实数 a 的取值范围为__11_6_，__1__．
【解析】 若 x<logax 在 x∈0，14时成立，则 0<a<1，且 y＝ x的图象在
y＝logax 图象的下方，则
0<a<1， 14<loga41，所以a12>14， 解得116<a<1.
即实数 a 的取值范围是116，1.
4．(2024·吉林永吉四中月考)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递增区间为
() A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C√．(3，＋∞)
D．(1，3)
解析 设 g(x)＝x2－2x－3，可得函数 g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，
＋∞)上单调递增，又 x2－2x－3>0，解得 x<－1 或 x>3，根据复合函数的单调
方法二：可以画直线 y＝1，直线与四个函数图象交点的位置自左向右， 其对应函数的底数由小到大．
3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知 a＝log52，b＝log83，c＝21，则下列判断正确
的是( )
第二章 第5讲 对数与对数函数-2025年高考数学备考
第二章函数第5讲对数与对数函数课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数（a ＞0，且a ≠1）.对数的运算2022浙江T7；2022天津T6；2021天津T7；2020全国卷ⅠT8该讲命题热点为对数运算、对数函数的图象与性质的判断及应用，常与指数函数综合考查，且难度有上升趋势.在2025年备考过程中要熟练掌握对数的运算性质和换底公式；学会构造新函数，结合单调性比较大小；注意对函数图象的应用，注意区分对数函数图象和指数函数图象.对数函数的图象及应用2019浙江T6对数函数的性质及应用2021新高考卷ⅡT7；2021全国卷乙T12；2020全国卷ⅠT12；2020全国卷ⅡT11；2020全国卷ⅢT12；2019全国卷ⅠT3学生用书P0341.对数与对数运算（1）对数的概念一般地，如果a x ＝N （a ＞0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作①x ＝log a N，其中a 叫做对数的②底数，N 叫做③真数.以10为底的对数叫做常用对数，记作④lg N；以e 为底的对数叫做自然对数，记作⑤ln N .（2）对数的性质、运算性质及换底公式性质log a 1＝⑥0，log a a ＝⑦1，l ＝⑧N （N ＞0），其中a ＞0，且a ≠1.运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log a （M ·N ）＝⑨log a M ＋log a N；（2）log a＝⑩log a M －log a N ；（3）log aMn ＝⑪n log a M，log a a n ＝⑫n（n ∈R ）.换底公式log a b ＝⑬log log（a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0）.推论：（1）log a b ·log b a ＝⑭1；（2）lo b n ＝log a b ；（3）log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .2.对数函数的图象和性质函数y ＝log a x （a ＞1）y ＝log a x （0＜a ＜1）图象性质定义域：⑮（0，＋∞）.值域：⑯R.图象过定点⑰（1，0），即恒有log a 1＝0.当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0.当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0.在（0，＋∞）上单调递⑱增.在（0，＋∞）上单调递⑲减.规律总结1.对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a ，1），（1，－1），函数图象只在第一、四象限.2.如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右对数函数的底数逐渐增大.注意当对数函数的底数a 的大小不确定时，需分a ＞1和0＜a ＜1两种情况进行讨论.3.反函数指数函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）与对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）互为反函数，它们的图象关于直线⑳y ＝x对称（如图所示）.反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域，互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性.1.[全国卷Ⅰ]设a log34＝2，则4－a＝（B）A.116B.19C.18D.16解析解法一因为a log34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝14＝19，故选B.解法二因为a log34＝2，所以a＝2log34＝log39log34＝log49，所以4a＝9，所以4－a＝14＝19，故选B.2.[多选]以下说法正确的是（CD）A.若MN＞0，则log a（MN）＝log a M＋log a NB.对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数C.函数y＝ln1+1－与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同D.对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，0）且过点（a，1）,（1，－1），函数图象只在第一、四象限3.lg25＋lg2·lg50＋（lg2）2＝2.4.若log a34＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（0，34）∪（1，＋∞）.5.设log a2＝m，log a3＝n，则a2m＋n的值为12.6.[2023北京高考]已知函数f（x）＝4x＋log2x，则f（12）＝1.解析因为f（x）＝4x＋log2x，所以f（12）＝412log212＝2＋log22－1＝2－1＝1.学生用书P035命题点1对数的运算例1（1）[2022天津高考]化简（2log43＋log83）（log32＋log92）的值为（B）A.1B.2C.4D.6解析（2log43＋log83）（log32＋log92）＝（2lo g223＋log233）×（log32＋log322）＝（log23＋13log23）（log32＋12log32）＝43×log23×32×log32＝2，故选B.（2）[2022浙江高考]已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝（C）A.25B.5C.259D.53解析由2a＝5得a＝log25.又b＝log83＝log23log28＝13log23，所以a－3b＝log25－log23＝log253＝log453log42＝2log453＝log4259，所以4a－3b＝4log4259＝25 9，故选C.方法技巧对数运算的一般思路（1）转化：①利用a b＝N⇔b＝log a N（a＞0且a≠1）对题目条件进行转化；②利用换底公式化为同底数的对数运算.（2）利用恒等式：log a1＝0，log a a＝1，log a a N＝N，log＝M.（3）拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算性质化简.（4）合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.训练1（1）[2024江苏省如皋市教学质量调研]我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lg N＝n＋lg a（0≤lg a＜1）.当n＞0时，N是n＋1位数，则41000是（C）位数.（lg2≈0.3010）A.601B.602C.603D.604解析由lg41000＝lg22000＝2000lg2≈2000×0.3010＝602＝602＋lg1，得n＝602，所以41000是603位数.故选C.（2）[2024山东泰安第二中学模拟]（2＋1027）－23＋2log32－log349－5log259＝－716.解析原式＝[（43）3]－23＋log34－log349－5log53＝（43）－2＋log39－3＝916＋2－3＝－716.命题点2对数函数的图象及应用例2（1）[浙江高考]在同一直角坐标系中，函数y＝1，y＝log a（x＋12）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（D）A BC D解析若0＜a ＜1，则函数y ＝1是增函数，y ＝log a （x ＋12）是减函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，选项D 可能成立；若a ＞1，则y ＝1是减函数，而y ＝log a （x ＋12）是增函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，没有符合的图象.故选D.（2）已知当0＜x ≤14时，有＜log a x ，则实数a 的取值范围为（116，1）.解析若＜log a x 在x ∈（0，14]时成立，则0＜a ＜1，且y ＝的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出y ＝，y ＝log a x 的图象如图所示.＜log a 14，所以0<<1，12＞14，解得116＜a ＜1.故实数a 的取值范围是（116，1）.方法技巧与对数函数有关的图象问题的求解策略1.对于图象的识别，一般通过观察图象的变化趋势、利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.2.对于对数型函数的图象，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.训练2（1）[多选/2024辽宁省部分学校模拟]已知a x ＝b －x （a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1），则函数y ＝log a （－x ）与y ＝b x 的图象可能是（AB）解析因为a x ＝b －x ，即a x ＝（1）x ，所以a ＝1，当a ＞1时，0＜b ＜1，函数y ＝b x 在R 上单调递减，且过点（0，1），因为y ＝log a x 与y ＝log a （－x ）的图象关于y 轴对称，故y ＝log a （－x ）在（－∞，0）上单调递减且过点（－1，0），故A 符合题意.当0＜a ＜1时，b ＞1，函数y ＝b x 在R 上单调递增，且过点（0，1），y ＝log a （－x ）在（－∞，0）上单调递增且过点（－1，0），故B 符合题意.故选AB.（2）[2024安徽省皖江名校联考]已知函数f （x ）＝｜log 3｜｜｜,≠0，0，=0，设a ，b ，c ，d是四个互不相同的实数，且满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝f （d ），则｜a ｜＋｜b ｜＋｜c ｜＋｜d ｜的取值范围是（4，＋∞）.解析作出函数f（x）的图象，如图所示，易知f（x）图象关于y轴对称.设f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m（m＞0），且a＞b＞c＞d，作直线y＝m，则由图象得0＜b＜1＜a，则由题意知，log3a＝－log3b，且a＝－d，b＝－c，所以ab＝1，即b＝1，则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜＝2（a＋b）＝2（a＋1）＞4，所以｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范围是（4，＋∞）.命题点3对数函数的性质及应用角度1比较大小例3（1）[2021新高考卷Ⅱ]若a＝log52，b＝log83，c＝12，则（C）A.c＜b＜aB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.a＜b＜c解析a＝log52＝log54＜log55＝12＝c，b＝log83＝log89＞log88＝12＝c，所以a＜c＜b.故选C.（2）[2024天津市蓟州区第一中学模拟]已知函数f（x）在R上是增函数，若a＝f（log215），b＝f（log24.1），c＝f（20.5），则a，b，c的大小关系为（A）A.a＜c＜bB.b＜a＜cC.c＜b＜aD.c＜a＜b解析log215＝－log25＜－log24＝－2，log24.1＞log24＝2，20.5＝2∈（1，2），故log215＜20.5＜log24.1.由于f（x）在R上是增函数，故f（log215）＜f（20.5）＜f（log24.1），所以a＜c＜b.故选A.方法技巧比较对数值大小的常用方法1.底数相同时，比较真数的大小；真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的形式，再比较大小，也可以借助对数函数的图象比较大小.2.当底数和真数都不相同时，常借助0，1或题干中出现的有理数等中间量比较大小，也可以通过作差或者作商比较大小.角度2解对数方程或不等式例4（1）[2024湘豫名校联考]已知函数f（x）＝log2｜x｜＋x2，则不等式f（ln x）＋f（－ln x）＜2的解集为（D）A.（1e，1）B.（1e，e）C.（1，e）D.（1e，1）∪（1，e）解析由题可知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），∴ln x≠0.∵f（－x）＝log2｜－x｜＋（－x）2＝log2｜x｜＋x2＝f（x），∴f（x）是偶函数，∴由f（ln x）＋f（－ln x）＜2可得2f（ln x）＜2，即f（ln x）＜1.当x＞0时，f（x）＝log2x＋x2.∵y＝log2x和y＝x2在（0，＋∞）上都是单调递增的，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（1）＝1，∴｜ln x｜＜1且ln x≠0，∴1e＜x＜e且x≠1，所以原不等式的解集为（1e，1）∪（1，e）.故选D.（2）[2024江苏省淮安市五校联考]已知x＝4log6－9log6，y＝9log4＋6log4，则的值为（B）2 B.2C.5＋1D.5－1解析令log6x＝m，log4y＝n，则x＝6m，y＝4n.由x＝4log6－9log6，y＝9log4＋6log4可得6m＝4m－9m，4n＝9n＋6n，进而可得（32）m＝1－（32）2m，故（32）m＋（32）2m＝1，同理得（32）2n＋（32）n＝1，所以（32）m与（32）n均为方程t2＋t－1＝0的实数根，由t2＋t－1＝0，解得t t因为（32）m＞0，（32）n＞0，所以（32）m＝（32）n由于函数y＝（32）x为增函数，所以m＝n，＝64＝（32）m＝－1+52，故选B.方法技巧1.（1）log a f（x）＝b⇔f（x）＝a b（a＞0，且a≠1）.（2）log a f（x）＝log a g（x）⇔f（x）＝g（x）（f（x）＞0，g（x）＞0）.2.解简单对数不等式，先统一底数，化为形如log a f（x）＞log a g（x）的不等式，再借助y ＝log a x的单调性求解.角度3对数函数性质的应用例5（1）[全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（D）A.是偶函数，且在（12，＋∞）单调递增B.是奇函数，且在（－12，12）单调递减C.是偶函数，且在（－∞，－12）单调递增D.是奇函数，且在（－∞，－12）单调递减解析由2+1≠0，2－1≠0，得函数f（x）的定义域为（－∞，－12）∪（－12，12）∪（12，＋∞），其关于原点对称，因为f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除A，C.当x∈（－12，12）时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函数f（x）单调递增，排除B.当x∈（－∞，－12）时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln2r12－1＝ln（1＋22－1），易知函数f（x）单调递减，故选D.（2）[全国卷Ⅰ]若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则（B）A.a＞2bB.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2解析令f（x）＝2x＋log2x，因为y＝2x在（0，＋∞）上单调递增，y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增.又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2（2b），所以f（a）＜f（2b），所以a＜2b.故选B.方法技巧对数型复合函数的单调性问题的求解策略（1）对于y＝log a f（x）型的复合函数的单调性，有以下结论：函数y＝log a f（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）＞0）的单调性在a＞1时相同，在0＜a＜1时相反.（2）研究y＝f（log a x）型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝log a x，则只需研究t＝log a x及y＝f（t）的单调性即可.注意研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错.训练3（1）[2024河南名校联考]“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析二次函数y＝x2－ax＋12图象的对称轴为x＝2，若函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞≤2，2＋12≥0，即a≤94，故“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的充分不必要条件.故选A.（2）[2024河南商丘高三名校联考]已知a＝log64，b＝log53，c＝log76，则（B）A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析由题意得a，b，c∈（0，1），∵log64·log67＜（log64+log672）2＝（log6282）2＜1，∴log64＜1log67＝log76，即a＜c.∵a＝log64＝log64256＞log64216＝34，b＝log53＝log5481＜log54125＝34，∴a＞b.综上所述，可得b＜a＜c.故选B.（3）[2024湖北名校联考改编]已知奇函数f（x）＝lg1+B1+（k≠1），则不等式－1＜f（x）＜lg12的解集为（13，911）.解析因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＋f（x）＝lg1－B1－＋lg1+B1+＝lg1－221－2＝0，所以k2＝1.因为k≠1，所以k＝－1，则由－1＜f（x）＜lg12，得lg110＜lg1－1+＜lg12，所以110＜1－1+＜12，解得13＜x＜911.学生用书P038指数、对数、幂值比较大小的策略策略1直接法例6（1）[2023南京六校联考]若a ＝0.40.5，b ＝0.50.4，c ＝log 324，则a ，b ，c 的大小关系是（D）A.a ＜b ＜cB.b ＜c ＜aC.c ＜b ＜aD.c ＜a ＜b解析因为0.40.5＜0.50.5＜0.50.4，所以a ＜b .因为c ＝log 324＝lo 2522＝25log 22＝0.4＜0.40.5＝a ，所以c ＜a ＜b ，故选D.（2）[2022全国卷甲]已知9m ＝10，a ＝10m －11，b ＝8m －9，则（A）A.a ＞0＞bB.a ＞b ＞0C.b ＞a ＞0D.b ＞0＞a解析因为9m ＝10，所以m ＝log 910，所以a ＝10m －11＝10log 910－11＝10log 910－10log 1011，因为log 910－log 1011＝lg10lg9－lg11lg10＝（lg10）2－lg 9·lg 11lg9·lg10＞（lg10）2－（lg9+lg112）2lg9·lg10＝1－（lg992）2lg9＞0，所以a ＞0.b ＝8l 910－9＝8l 910－8l 89，因为log 910－log 89＝lg10lg9－lg9lg8＝lg10·lg8－（lg9）2lg9·lg8＜（lg10+lg82）2－（lg 9）2lg9·lg8＝（lg802）2－（lg812）2lg9·lg8＜0，所以b ＜0.综上，a ＞0＞b .故选A.策略2图象法例7[2024山西大学附中模拟]若e a ＝－ln a ，e －b ＝ln b ，e －c ＝－ln c ，则（B ）A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析在同一直角坐标系中作出y ＝e x ，y ＝e －x ，y ＝ln x ，y ＝－ln x 的图象，如图所示，由图象可知a ＜c ＜b .故选B.策略3构造函数法例8[全国卷Ⅰ]设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则（D）A.2x ＜3y ＜5zB.5z ＜2x ＜3yC.3y ＜5z ＜2xD.3y ＜2x ＜5z解析令2x ＝3y ＝5z ＝k ，由x ，y ，z 为正数，知k ＞1.解法一（作差法）易知x ＝lglg2，y ＝lglg3，z ＝lglg5.因为k ＞1，所以lg k ＞0，所以2x －3y ＝2lg lg2－3lg lg3＝lgH （2lg3－3lg2）lg2×lg3＝lgHlg 98lg2×lg3＞0，故2x ＞3y ，2x －5z ＝2lg lg2－5lg lg5＝lgH （2lg5－5lg2）lg2×lg5＝lgHlg 2532lg2×lg5＜0，故2x ＜5z .所以3y ＜2x ＜5z .解法二（作商法）易知x ＝lg lg2，y ＝lglg3，z ＝lg lg5.由23＝23×lg3lg2＝lg9lg8＞1，得2x ＞3y ，由52＝52×lg2lg5＝lg 25lg 52＞1，得5z ＞2x .所以3y ＜2x ＜5z .解法三（函数法）易知x ＝ln ln2，y ＝ln ln3，z ＝lnln5.设函数f （t ）＝En ln（t ＞0，t ≠1），则f （2）＝2ln ln2＝2x ，f （3）＝3ln ln3＝3y ，f （5）＝5ln ln5＝5z .f '（t ）＝ln ·ln －1·En （ln ）2＝（ln －1）ln （ln ）2，易得当t ∈（e ，＋∞）时，f '（t ）＞0，函数f （t ）单调递增.因为e ＜3＜4＜5，所以f （3）＜f （4）＜f （5）.又f （2）＝2ln ln2＝2×2ln 2ln2＝4ln ln4＝f （4），所以f （3）＜f （2）＜f （5），即3y ＜2x ＜5z .方法技巧指数、对数、幂值比较大小的策略1.直接利用函数的性质，题目中出现的常数，特殊值（如0，1）等比较大小.2.当待比较大小的代数式无法单独分离出来时，通常会考虑代数式的几何意义，通过图象，利用交点坐标比较大小.3.式子结构比较麻烦，或呈现一定规律时，通常会构造新函数，利用新函数的单调性比较大小.4.作差、作商也是比较大小常用的方法.训练4（1）[2024山东省枣庄市第三中学模拟]设x ＝e 0.03，y ＝1.032，z ＝ln （e 0.6＋e 0.4），则x ，y ，z 的大小关系为（A）A.z ＞y ＞x B.y ＞x ＞z C.x ＞z ＞yD.z ＞x ＞y解析易得ln x＝0.03，ln y＝2ln1.03＝2ln（1＋0.03），令f（x）＝x－2ln（1＋x）（0＜x ＜110），则f'（x）＝1－2r1＝－1r1＜0，∴f（x）在（0，110）上递减，∴f（x）＜0－2ln（1＋0）＝0，则x＜2ln（1＋x），∴0.03＜2ln（1＋0.03），故y＞x.y＝1.032＝1.0609，z＝ln（e0.6＋e0.4）＞ln20.6+0.4＝ln2＋ln＝ln2＋12，易得ln2＞35，∴z＞1.1，∴y＜z.故z ＞y＞x，故选A.（2）[多选/2023黑龙江西北八校联考]已知实数x，y，z满足z·ln x＝z·e y＝1，则下列关系式可能成立的是（ABC）A.x＞y＞zB.x＞z＞yC.z＞x＞yD.z＞y＞x解析由题知实数x，y，z满足ln x＝e y＝1，在同一直角坐标系中分别作出函数m＝ln n，m＝e n，m＝1的大致图象，如图所示，再分别作出与n轴平行且与三个函数图象均相交的直线，依次记为m＝m1，m＝m2，m＝m3，如图所示.由直线m＝m1与三个函数图象的交点情况可得z＞x＞y，由直线m＝m2与三个函数图象的交点情况可得x＞z＞y，由直线m＝m3与三个函数图象的交点情况可得x＞y＞z.故选ABC.（3）[多选/2024广东省汕头市金禧中学模拟]若0＜c＜b＜1＜a，则下列不等式正确的是（ABC）A.log2024a＞log2024bB.log c a＞log b aC.（c－b）a c＞（c－b）a bD.（a－c）a c＞（a－c）a b解析对选项A：因为a＞1＞b＞0，且f（x）＝log2024x为增函数，所以f（a）＞f（b），即log2024a＞log2024b，故A正确.对选项B：因为a＞1＞b＞c＞0，所以log a c＜log a b＜0，所以1l＞1l，即log c a＞log b a，故B正确.对选项C，D：由题意易知a c＜a b且c－b＜0，a－c＞0，所以（c－b）a c＞（c－b）a b，（a－c）a c＜（a－c）a b，所以C正确，D错误.故选ABC.1.[命题点1/2024江苏省南通市教学质量调研]若3x＝4y＝6z＝k，且2＋1－1＝12，则实数k 的值为36.解析∵3x＝4y＝6z＝k，∴x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，则2＋1－1＝2log3＋1log4－1log6＝2log k3＋log k4－log k6＝log k9＋log k4－log k6＝log k（9×46）＝log k6＝12，∴12＝6，即k＝36.2.[命题点2/2024辽宁省大连市滨城高中联考]函数y＝log a x＋a x－1＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（k，b），若m＋n＝b－k且m＞0，n＞0，则9＋1的最小值为（B）A.9 B.8 C.92 D.52解析因为函数y＝log a x＋a x－1＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，3），所以m＋n ＝3－1＝2，所以2（9＋1）＝（m＋n）（9＋1）＝10＋9＋≥10＋29＝16，所以9＋1≥8，当且仅当n＝12，m＝32时等号成立，故选B.3.[命题点2]已知函数f（x）＝ln x，则函数y＝f（11－）的图象大致为（D）解析f（11－）＝ln11－＝－ln（1－x），其定义域为（－∞，1），且为增函数，故选D.4.[命题点3角度1]已知函数f（x）＝2｜x｜，a＝f（log0.53），b＝f（log45），c＝f（cosπ3），则（B）A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.b＞a＞cD.c＞a＞b解析a＝f（log0.53）＝f（－log23），b＝f（log45）＝f（log25），c＝f（cosπ3）＝f（12），易知函数f（x）＝2｜x｜为偶函数，∴a＝f（log23）.又当x＞0时，函数f（x）＝2｜x｜＝2x单调递增，且log23＞log25＞12，∴f（log23）＞f（log25）＞f（12），∴a＞b＞c.故选B.5.[命题点3角度2，3/多选/2024湖南名校联考]已知函数f（x）＝lg（x2－x＋414），则（ACD）A.f（x）的最小值为1B.∃x∈R，满足f（1）＋f（x）＝2C.f（log92）＞f（23）D.f（90.1－12）＞f（30.18－12）解析由题知f（x）＝lg[（x－12）2＋10]，则f（x）在（－∞，12）上单调递减，在（12，＋∞）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（12）＝lg10＝1，A正确.因为f（x）≥1，f（1）＞1，所以f（1）＋f（x）＞2，B错误.易知f（x）图象关于x＝12对称，因为0＜log92＝lg2lg9＜lg2lg8＝13，所以｜log92－12｜＞16，又｜23－12｜＝16，所以f（log92）＞f（23），C正确.因为90.1＝30.2＞30.18＞1，所以90.1－12＞30.18－12＞12，所以f（90.1－12）＞f（30.18－12），D正确.故选ACD.6.[思维帮角度1，3]已知实数a，b满足a＝log23＋log86，6a＋8a＝10b，则下列判断正确的是（C）A.a＞2＞bB.b＞2＞aC.a＞b＞2D.b＞a＞2解析先比较a与2的大小：a＝log23＋log86＝log23＋lo236＝log23＋13log26＝log23＋13（log22＋log23）＝1+4log233＝1+log2813，又2＝log2643，且log281＞log264，所以1+log2813－log2643＞0，即a＞2.再比较b与2的大小：因为a＞2，所以6a＋8a＞62＋82＝102，又6a＋8a＝10b，所以b＞2.最后比较a与b的大小：令f（x）＝6x＋8x－10x，x＞2，t＝x－2，t＞0，则x＝t＋2，令g（t）＝6t＋2＋8t＋2－10t＋2，t ＞0，则g（t）＝36×6t＋64×8t－100×10t＜36×8t＋64×8t－100×10t＝100×8t－100×10t ＜0，即当x＞2时，6x＋8x＜10x，所以6a＋8a＝10b＜10a，所以b＜a.综上，a＞b＞2.故选C.7.[思维帮角度2]若e－1·x3＝－ln x2·x3＝－1，则下列不等关系一定不成立的是（D）A.x1＜x3＜x2B.x3＜x1＜x2C.x3＜x2＜x1D.x1＜x2＜x3解析由e－1·x3＝－ln x2·x3＝－1，得e－1＝－ln x2＝－13.由e－1＞0，得0＜x2＜1，x3＜0.作出函数y＝e－x，y＝－ln x（0＜x＜1），y＝－1（x＜0）的大致图象，如图，由图可知x1＜x3＜x2，x3＜x1＜x2，x3＜x2＜x1均能够成立，只有D选项中的式子不可能成立.故选D.8.[思维帮角度3]已知a＜5且a e5＝5e a，b＜4且b e4＝4e b，c＜3且c e3＝3e c，则（D）A.c＜b＜aB.b＜c＜aC.a＜c＜bD.a＜b＜c解析解法一易知a，b，c均大于零.a e5＝5e a⇒e55＝e，b e4＝4e b⇒e44＝e，c e3＝3e c⇒e33＝e，所以设函数f（x）＝e，则有f（5）＝f（a），f（4）＝f（b），f（3）＝f（c），且f'（x）＝e（－1）2，则易得f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，作出f（x）在（0，＋∞）上的大致图象，如图，因为a＜5，b＜4，c＜3，所以a＜b＜c.解法二由题知，a＜5，b＜4，c＜3，因为a e5＝5e a，所以两边同时取对数可得ln a＋5＝ln5＋a，即ln－ln5－5＝1，同理可得ln－ln4－4＝ln－ln3－3＝1，即点A（a，ln a）与点D（5，ln5）连线的斜率k1＝1，点B（b，ln b）与点E（4，ln4）连线的斜率k2＝1，点C（c，ln c）与点F（3，ln3）连线的斜率k3＝1.因为点A，B，C，D，E，F均在函数y＝ln x的图象上，且AD∥BE∥CF，所以作出对应的示意图如图所示，由图可得a＜b＜c.故选D.学生用书·练习帮P2681.[2023宁夏六盘山高级中学模拟]若f（x）满足对定义域内任意的x1，x2，都有f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），则称f（x）为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（D）A.f（x）＝2xB.f（x）＝（12）xC.f（x）＝x2D.f（x）＝log3x解析因为log3x1＋log3x2＝log3x1x2，满足f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），所以f（x）＝log3x是“好函数”，故选D.2.[2024四川成都模拟]已知a＝log0.70.3，b＝log0.30.7，c＝0.5，则a，b，c的大小关系为（D）A.a＜c＜bB.c＜b＜aC.a＜b＜cD.b＜c＜a解析依题意，a＝log0.70.3＞log0.70.72＝2，b＝log0.30.7＝1log0.70.3＜12，而c＝0.5，所以b＜c ＜a.故选D.3.已知函数f（x）＝x＋1－2，x∈（2，8），当x＝m时，f（x）取得最小值n.则在平面直角坐标系中，函数g（x）＝lo g1｜x＋n｜的图象是（A）解析∵函数f（x）＝x－2＋1－2＋2≥（－2）·1－2＋2＝4，x∈（2，8），当且仅当x －2＝1－2，即x＝3时取等号，∴m＝3，n＝4.则函数g（x）＝log13｜x＋4｜在（－4，＋∞）上单调递减，在（－∞，－4）上单调递增，观察选项可知，选项A符合.故选A. 4.[2024河北石家庄市第十五中学模拟]已知函数f（x）＝lg（x2－ax＋12）在[－1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（B）A.[6，＋∞）B.[6，7）C.（－∞，－2]D.（－13，－2]解析由题意得，函数y＝x2－ax＋12在[－1，3]上单调递减，且在[－1，3]上x2－ax＋12＞0≥3，－3+12>0，解得6≤a＜7，故a的取值范围是[6，7）.故选B.5.[2024陕西咸阳模拟]已知a＝2－0.01，b＝log510，c＝log612，则a，b，c的大小关系为（A）A.b＞c＞aB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b解析a＝2－0.01∈（2－1，20）＝（12，1），b＝1＋log52＞1，c＝1＋log62＞1，且log52＞log62，故b＞c＞a.故选A.6.[2023河南部分学校联考]设a＝log23，b＝log4x，c＝log865，若a，b，c中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是（A）A.（9，6523）B.（3，6513）C.[9，6523]D.[3，6513]解析∵a＝log23＝log827＜log865＝c，∴a＜b＜c，∴log23＜log4x＜log865，∴log23＜log212＜log26513，∴3<12＜6513，得9＜x＜6523，即x的取值范围是（9，6523），故选A.7.[2023山东模拟]已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）单调递减，（2x－5））＞f（log38）的解集为（C）则不等式f（lo g13A.{x｜52＜x＜4116}B.{x｜x＞132}C.{x｜52＜x＜4116或x＞132}D.{x｜x＜52或4116＜x＜132}解析因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0]上单调递减，所以可将f （lo 13（2x －5））＞f （log 38）化为｜lo 13（2x －5）｜＞｜log 38｜，即log 3（2x －5）＞log 38或log 3（2x －5）＜－log 38＝log 318，即2x －5＞8或0＜2x －5＜18，解得x ＞132或52＜x ＜4116.故选C.8.[多选/2024甘肃省部分学校质量检测]若（a ，b ）（a ＞0，a ≠1）为函数y ＝log 2x 图象上的一点，则下列选项正确的是（ABC）A.（b ，a ）为函数y ＝2x 图象上的点B.（1，b ）为函数y ＝log 12x 图象上的点C.（－b ，a ）为函数y ＝（12）x 图象上的点D.（a ，2b ）为函数y ＝log 4x 图象上的点解析∵（a ，b ）（a ＞0，a ≠1）为函数y ＝log 2x 图象上的一点，∴log 2a ＝b ，∴2b ＝a ，则（b ，a ）为函数y ＝2x 图象上的点，故A 正确；∵log 2a ＝b ，∴log 121＝－1－1log 2a ＝b ，则（1，b ）为函数y ＝log 12x 图象上的点，故B 正确；∵2b ＝a ，∴（12）－b ＝2b ＝a ，则（－b ，a ）为函数y ＝（12）x 图象上的点，故C 正确；∵log 2a ＝b ，∴log 4a ＝12log 2a ＝12b ，故D 错误.故选ABC.9.[2023天津市汇文中学模拟]计算：（827）－23＋10lg3＋lo log 54·log 25＝3.解析（827）－23＋10lg 3＋lo log 54·log 25＝[（23）3]－23＋3＋log 3−2312－2lg2lg5·lg5lg2＝（23）－2＋3＋12－2log 33－2＝94＋3－14－2＝3.10.[2024江苏省联考]已知函数f （x ）＝2－log 2，≥1，4，<1，则f （f （12））＝1.解析由函数f （x ）＝2－log 2，≥1，4，<1，得f （f （12））＝f （2）＝1.11.[2024北京市中关村中学模拟]声音的等级f （x ）（单位：dB ）与声音强度x （单位：W /m 2）满足f （x ）＝10×lg1×10－12.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍.解析由f （x ）＝10×lg1×10－12，即y ＝10×lg1×10－12可知，声音强度x ＝1010×10－12＝10－12+10，设喷气式飞机起飞时声音强度与一般说话时声音强度分别为x 1，x 2，故强度之比12＝10－12+1401010－12+6010＝108.12.[2024贵州贵阳名校联考]已知函数f （x ）＝log 2｜x －a ｜＋1，且f （6＋x ）＝f （2－x ），则f （2）＝2.解析由f （6＋x ）＝f （2－x ）可知，函数f （x ）的图象关于直线x ＝4对称，而函数f （x ）＝log 2｜x －a ｜＋1的图象关于直线x ＝a 对称，所以a ＝4，所以f （x ）＝log 2｜x －4｜＋1，所以f （2）＝log 2｜2－4｜＋1＝2.13.[2023乌鲁木齐质监（一）]已知函数f （x ）＝ln 2－3+，a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝log 58，则（A）A.f （a ）＜f （c ）＜f （b ）B.f （a ）＜f （b ）＜f （c ）C.f （c ）＜f （a ）＜f （b ）D.f （c ）＜f （b ）＜f （a ）解析f （x ）＝ln2－3+＝ln （－1＋53+），由2－3+＞0，得f （x ）的定义域为{x ｜－3＜x ＜2}，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（－3，2）上单调递减.由＝log 34log 58＝lg4lg3lg8lg5＝2lg2lg53lg2lg3＝lg25lg27＜1，c ＞1得b ＜c .又9＞8，即32＞23，所以3＞232，log 23＞32，同理8＜532，log 58＜32，所以c ＜a ，于是b ＜c ＜a ，再结合f （x ）的单调性可得f （a ）＜f （c ）＜f （b ），故选A.14.[2024陕西模拟]已知函数f （x ）＝（12），≥1，（+<1，则下列结论正确的是（B ）A.f （f （0））＝12B.f （f （1C.f （f （log 23D.f （x ）的值域为（0，1]解析对于选项A ，f （0）＝f （1）＝12，f （f （0））＝f （12）＝f （3）＝（12）32＝（18）12＝A 错误；对于选项B ，f （1）＝12，f （f （1））＝f （12）B 正确；对于选项C ，因为log 23＞1，所以f （log 23）＝（12）log 23＝2log 213＝13，f （f （log 23））＝f （13）＝f（43）＝（12）43C错误；对于选项D，当x≥1时，f（x）＝（12）x∈（0，12]，当0≤x＜1时，1≤x＋1＜2，f（x）＝f（x＋1）＝（12）x＋1∈（14，12]，又当x＜0时，f（x）＝f（x＋1），所以当x＜0时，f（x）∈（14，12]，综上，函数f（x）的值域为（0，12]，故D 错误.故选B.15.[2024南昌市模拟]已知函数y＝e x和y＝ln x的图象与直线y＝2－x交点的横坐标分别为a，b，则（D）A.a＞bB.a＋b＜2C.ab＞1D.a2＋b2＞2解析易知y＝e x与y＝ln x互为反函数，对应的图象关于直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝2－x垂直，所以两函数的图象与直线y＝2－x的交点A，B关于直线y＝x对称.设直线y＝x与y＝2－x的交点为C，则C（1，1），∴a＋b＝2且a≠b.＞＋2＝1，即a2＋b2＞2.故选D.16.[2024河南省六市部分学校联考]已知正数a，b，c∈（1，＋∞），且满足2－1－1＝2＋log2a，3－2－1＝3＋log3b，4－3－1＝4＋log4c，则下列不等式成立的是（B）A.c＜b＜aB.a＜b＜cC.a＜c＜bD.c＜a＜b解析由2－1－1＝2＋log2a，可得1－1＝log2a，由3－2－1＝3＋log3b，可得1－1＝log3b，由4－3－1＝4＋log4c，可得1－1＝log4c，易知y＝1－1（x＞1）和y＝log m x（m＝2，3，4）的图象相交，在同一平面直角坐标系中画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x与y＝1－1（x＞1）的图象如图.根据图象可知a＜b＜c.故选B.17.[2024合肥开学考试]定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，＋∞），且x 1≠x 2都有（1）－（2）1－2＞1，则不等式f （2log 2x ）－f （x ）＞log 2x 2－x 的解集为（B）A.（1，2）B.（2，4）C.（4，8）D.（8，16）解析根据题意：设x 1＞x 2，则（1）－（2）1－2＞1⇒f （x 1）－f （x 2）＞x 1－x 2⇒f （x 1）－x 1＞f （x 2）－x 2，可得函数h （x ）＝f （x ）－x 在（0，＋∞）上单调递增.则f （2log 2x ）－f （x ）＞log 2x 2－x ⇒f （log 2x 2）－log 2x 2＞f （x ）－x ⇒log 2x 2＞x ⇒log 2x 2＞log 22x ⇒x 2＞2x ，在同一坐标系中画出y ＝x 2与y ＝2x 的图象，如图.又x ＞0，得2＜x ＜4，则不等式的解集为（2，4），故选B.18.[多选/2023重庆二调]若a ，b ，c 都是正数，且2a ＝3b ＝6c ，则（BCD ）A.1＋1＝2B.1＋1＝1C.a ＋b ＞4cD.ab ＞4c 2解析令2a ＝3b ＝6c ＝m ，则a ＝log 2m ，b ＝log 3m ，c ＝log 6m ，∴1＝log m 2，1＝log m 3，1＝log m 6，∴1＋1＝log m 2＋log m 3＝log m 6＝1，A 选项错误，B 选项正确；a ＋b ＝（a ＋b ）（1＋1）c ＝c （2＋＋）＞c （2＋＝4c ，（∵a ≠b ，∴等号无法取到）C 选项正确；1＝1＋1＝＋B＞4B，∴ab ＞4c 2，D 选项正确.故选BCD.19.[多选/2024云南省昆明市第一中学双基检测]设偶函数f （x ）＝log a ｜x －b ｜在（－∞，0）上单调递增，则下列结论中正确的是（BC）A.f （a ＋2）＞f （b ＋2）B.f （a ＋2）＜f （b ＋2）C.f （a ＋1）＞f （b －2）D.f （a ＋1）＜f （b －2）解析因为函数f （x ）为偶函数，所以b ＝0.又偶函数f （x ）＝log a ｜x ｜在（－∞，0）上单调递增，则0＜a ＜1，所以1＜a ＋1＜2，2＜a ＋2＜3，且由函数f （x ）为偶函数知f （x ）在（0，＋∞）上单调递减.对于选项A 和B ，因为a ＋2＞2＝b ＋2，所以f （a ＋2）＜f （b ＋2），故A 错误，B 正确；对于选项C 和D ，因为1＜a ＋1＜2，b －2＝－2，所以f （a ＋1）＞f （2）＝f （－2）＝f （b －2），故C 正确，D 错误.故选BC.20.[多选/2024黑龙江哈尔滨模拟]已知函数f （x ）＝lo g 13（ax 2－3ax ＋2），则下列说法正确的是（AC）A.若f （x ）的值域为R ，则a ∈[89，＋∞）B.若f （x ）的定义域为R ，则a ∈（0，89）C.若f （x ）的最大值为0，则a ＝49D.若f （x ）的最小值为1，则a ＝2027解析选项A ：f （x ）的值域为R ，说明函数y ＝ax 2－3ax ＋2能取到所有大于0的数，当a＝0时，ax 2－3ax ＋2＝2，不满足；当a ≠0时，>0，Δ=92－8≥0，解得a ≥89，选项A 正确.选项B ：当f （x ）的定义域为R 时，函数y ＝ax 2－3ax ＋2＞0恒成立，当a ＝0时，ax 2－3ax ＋2＝2恒成立；当a ≠0时，>0，Δ=92－8<0，解得0＜a ＜89，综上，a ∈[0，89），选项B 错误.选项C ：若f （x ）的最大值为0，即y ＝ax 2－3ax ＋2的最小值为1=1，解得a ＝49，选项C 正确.选项D ：若f （x ）的最小值为1，即y ＝ax 2－3ax ＋2的最大值为13，则有13，无解，选项D 错误.故选AC.21.[多选/2024聊城模拟]对于两个均不等于1的正数m 和n ，定义：m*n ＝min {log m n ，log n m }，则下列结论正确的是（BC ）A.若a ＞1，且3*a ＝2*4，则a ＝9B.若a ≥b ≥c ＞1，且q q＝c*a ，则b ＝cC.若0＜a ＜b ＜c ＜1，则a*b －a*c ＝a*（）D.若0＜a ＜b ＜c ＜1，x ＞y ＞z ＞0，则（a x *b y ）·（b y *c z ）＝2（a x *c z ）解析选项A ：当1＜a ＜3时，log 3a ＝log 42，即log 3a ＝12，即a ＝312＝3；当a ＞3时，log a 3＝log 42，即log a 3＝12，即a ＝9.综上，当a ＞1时，a ＝3或a ＝9，则A 错误.选项B ：由q q＝c*a 及a ≥b ≥c ＞1，得log a b ＝log b c ·log a c ，即lg lg＝lg lg ·lglg，即lg 2b ＝lg 2c ，即lg b ＝lg c 或lg b ＝－lg c ，即b ＝c 或bc ＝1.由b ≥c ＞1，得bc ＞1，从而可得b ＝c ，则B 正确.选项C ：若0＜a ＜b ＜c ＜1，则a*b －a*c ＝log a b －log a c ＝log a，而由1＞＞b ＞a ＞0，得a*（）＝log a，所以a*b －a*c ＝a*（）成立，则C 正确.选项D ：由指数函数f （t ）＝a t （0＜a ＜1）是减函数，且x ＞y ，可得a x ＜a y .由幂函数h （x ）＝x y （y ＞0）在（0，＋∞）上单调递增，且a ＜b ，可得a y ＜b y ，于是0＜a x ＜b y ＜1，所以a x *b y ＝log b y ＝log a b ，同理b y *c z ＝log b c ，a x *c z ＝log a c ，所以（*）·（*）*＝log bloglog ＝log b logloglog＝1，则D 错误.故选BC.。
人教a版高考数学(理)一轮课件：2.5对数与对数函数
(1)、(2)为化简题目,可由原式联想指数与对数的运算法则、 公式的结构形式来寻找解题思路.(3)可先求出 2m+n 的值,再用公式来求 a2m+n 的值.
(1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分 数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运 算中要注意化同底及指数与对数之间的互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数 计算、化简、证明常用的技巧.
1.(1)化简 lg +lg 70-lg 3- ������������2 3-������������9 + 1; (2)已知 f(3x)=4xlog23+233,求 f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值. 【解】(1)原式=lg
2 3 2 ,0 3
B.
C.(1,0) 【答案】C 【解析】代入验证.
D.(0,1)
3.如果 f(10x)=x,则 f(3)等于( A.log310 B.lg 3 【答案】B 【解析】令 10x=t,则 x=lg t, 于是 f(t)=lg t.故 f(3)=lg 3.
) C.103 D.310
4.设 lg 2=a,lg 3=b,则 log512 等于( A.
������������ 8 【解】(1)原式= 50 ������������40
2×5
=
������������4
5
5=1. ������������4
(2)2
3+������������ ������ 0.5 4
高考数学一轮总复习第二章函数 5对数函数课件
2.5 对数函数
1.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数
函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
2.知道对数函数 = log 与指数函数 = 互为反函数( > 0，且 ≠ 1).
【教材梳理】
1.对数函数
= log
≠ 1)的图象一定相交，且交点必在直线 = 上.
( ×)
2.若函数 = log 2 + 1 的定义域是[0,1]，则函数 的值域为(
A.[0,1]
√
B. 0,1
C.(−∞, 1]
)
D.[1, +∞)
解：由题意，知 在[0,1]上单调递增.又 0 = 0， 1 = 1，所以 ∈ [0,1].故选A.
1
4
< < 4.
1
故的取值范围是( ,4).故选C.
4
命题角度3 综合应用
例4 已知函数 = 2log 4 − 2
log 4 +
（1）当 ∈ [1,16]时，求 的值域；
（2）求不等式 > 2的解集.
1
2
.
解：（1）令 = log 4 ，当 ∈ [1,16]时， ∈ [0,2].
3
0,
4
∪ 1, +∞ ．
【点拨】 在解决与对数函数相关的不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的
单调性.在利用单调性时，一定要明确底数的取值对函数增减性的影响，同时注意真
数必须为正.
变式3（1） 若log 2 + 1 < log 2 < 0，则的取值范围是(
A. 0,1
1
高考数学新人教A版(理科)一轮复习课件：第二篇函数、导数及其应用第5节对数函数
则需 22＜a＜1(如图所示)．
当
a＞1
时，不符合题意，舍去．所以实数
a
的取值范围是
22，1.故
选 B.
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考点三 对数函数的性质及应用 考查角度 1：比较大小．
设 a＝log3π，b＝log2 3，c＝log3 2，则( )
(A)a＞b＞c
(B)a＞c＞b
(C)b＞a＞c
(D)b＞c＞a
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(2)B 由题意得，当 0＜a＜1 时，要使得 4x
＜logax0＜x≤12，即当 0＜x≤12时，函数 y＝4x 的图 象在函数 y＝logax 图象的下方．
又当 x＝12时，412＝2，即函数 y＝4x 的图象过
点12，2，把点12，2代入函数 y＝logax，得 a＝ 22， 若函数 y＝4x 的图象在函数 y＝logax 图象的下方，
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【反思归纳】 (1)logaf(x)＞logag(x) ⇔
或
.
(2)有关形如 y＝logaf(x)的单调性：先求定义域，根据复合函数 y＝
logau，u＝f(x)的单调性(判断)求解．
(3)对于形如 y＝logaf(x)(a＞0 且 a≠1)的复合函数的值域的求解步骤
为：①分解成 y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求 f(x)的定义域；③求 u
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考查角度 4：与对数函数有关的参数取值(范围)问题． 高考扫描：2013 高考新课标全国卷Ⅰ
函数 (A)(－∞，2) (C)(2,3)∪(3，＋∞)
的定义域是( ) (B)(2，＋∞) (D)(2,4)∪(4，＋∞)
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C 解析：要使函数有意义就满足
,
第5节对数与对数函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
(7)(2022·甘肃平凉月考)已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x) 在[3，4]上是减函数，则a的取值范围是_(_13__,_1_)__．
令g(x)＝ax2－x， 1 ≥4， 当a>1时，由题意得 2a
无解，
g（4）＝16a－4>0，
当0<a<1时，由题意得
21a≤3，
解得1<a<1，
M (2)loga N
＝
_____lo_g_a_M__－__lo_g_a_N_________．
(3)logaMn＝_____n_l_o_g_aM_____(n∈R)．
4．换底公式 logab＝llooggccba (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 5．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变 量，函数的定义域是(0，＋∞)
6．对数函数的图象及性质
a的范围 图象
0<a<1
y
o1
x
a>1
y
o1
x
性质
定义域 值域 定点
单调性
___(_0_，__＋__∞_)____
R 过定点__(_1_，_0_)______，即x＝1____时，y0＝
____
减函数
增函数
在(0，＋∞)上是
在(0，＋∞)上是
常用结论：
1．换底公式的三个重要结论
A ．12
B． 1
C．7
1 a
+ 1 ，则5c=(
b D．
1
)
12
7
c=
1 a
+
1 b
2024届高考一轮复习数学课件(新教材新高考新人教A版) 对数与对数函数
所以a＋2b>3， 所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞).
思维升华
对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的 特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利 用数形结合法求解.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则logaM＝logaN.( × )
(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.( × )
(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( × )
(4)函数y＝log2x与y＝log 1
C.(0,1)
B.(1,3) D.(1，＋∞)
令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数. 又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减， 可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1， 故有a6>－12，a≥0， 解得 1<a≤3.
(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝logax2－ax＋12 (a>0，且a≠1)有最小值， 则实数a的取值范围是_(_1_，___2_)_.
命题点3 对数函数的性质及应用 例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)
√A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B.是奇函数，且在(－3,3)上单调递减 C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D.是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}， f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|， 令g(x)＝|x2－9|， 则f(x)＝ln g(x)， 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知， 当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减， 当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增， 由复合函数单调性同增异减得单调区间. 由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数.
高考数学一轮复习第二章函数5对数与对数函数课件新人教A版理
1
时,4x<logax,只需在区间 0, 上 f(x)的图象在 g(x)的图象下方即可.
2
当 a>1 时不满足条件;当 0<a<1 时,画出两个函数在区间 0,
上的图象,可知只需 f
1
2
<g
所以 a 的取值范围为
1
1
,即 2<loga ,则
2
2
√2
,1
2
.
√2
a> ,
2
1
2
-20考点1
考点2
考点3
2
1
1
B. 20,
C.f(log
,2
D.(0,2]
a)≤2f(1),即
2f(log
2
2 2a)≤f(1).
A.[1,2]
原不等式变为
2 , > 0,
R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,
又因为 f(x)是定义在 log
(2)设函数 f(x)= log 1 (-), < 0.若
1 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范
数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对
数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数
运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、
幂的运算.
-17考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)100
1
lg9 -lg2
2
=
.
(2)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2=
解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思
高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：2.5 对数与对数函数92
第5讲对数与对数函数【2014年高考会这样考】1．考查对数函数的定义域、值域、图象与性质的应用．2．多以比较大小、求对数函数在给定区间上的最值或值域等形式，来考查对数函数的单调性．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质．4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系.对应学生21考点梳理1．对数的概念(1)对数的定义如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)log a N常用对数底数为10lg N自然对数底数为e ln_N2.(1)对数的性质①a log a N＝N；②log a a N＝N(a>0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M >0，N>0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象续表性 质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1,0)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 【助学·微博】 一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范解决与对数有关的问题时，(1)优先考虑定义域；(2)注意底数的取值范围． 三个关键点画对数函数y ＝log a x 的图象应抓住三个关键点： (a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.四种方法对数值的大小比较方法：(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．考点自测1．(人教A 版教材习题改编)(log 29)×(log 34)＝( )． A.14 B.12 C ．2 D ．4解析 (log 29)×(log 3 4)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案 D2．(2012·全国)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )．A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x解析 因为ln π>ln e ＝1，log 52<log 55＝1，所以x >y ，故排除A 、B ；又因为log 52<log 5 5＝12，e －12＝1e >12，所以z >y ，故排除C ，选D.答案 D3．(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 的图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b ) 解析 当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上． 答案 D4．(2012·新课标全国)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)解析 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案 B5．若log a 34<1，则实数a 的取值范围是________．解析 由log a 34<1，得⎩⎨⎧0<a <1，log a 34<log a a或a >1，解得0<a <34或a >1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)对应学生22考向一 对数式的化简与求值【例1】►计算下列各题： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273log 5[412log 210－(33)23－log 772]； (3)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－2lg 2＋1. [审题视点] 运用对数运算法则及换底公式进行计算． 解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2)原式＝log 33343×log 5[2log 210－(332)23－log 772] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33×log 5(10－3－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1·log 55＝－14. (3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2－2lg 2＋1 ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2＋1－lg 2＝1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化为同底和指数与对数的互化．在常用对数的计算中往往有一些数的变形，如5＝102，2＝105，50＝5×10等．【训练1】 (1)化简lg 37＋lg 70－lg 3－(lg 3)2－lg 9＋1； (2)已知f (3x )＝4x log 23＋233，求f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)的值． 解 (1)原式＝lg 37×703－(lg 3)2－2lg 3＋1 ＝lg 10－(lg 3－1)2＝1－|lg 3－1|＝lg 3. (2)令3x ＝t ，∴x ＝log 3t ，∴f (t )＝4log 23·log 3t ＋233＝4log 2t ＋233， ∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝4(log 22＋log 24＋log 28＋…＋log 228)＋8×233 ＝4·log 2(2·22·23·…·28)＋8×233＝4·log 2236＋1 864＝4×36＋1 864＝2 008.考向二 对数函数的图象及其应用【例2】►若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．{a |0<a <1} B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪116≤a <1 C ．{a |a >1}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪0<a ≤116[审题视点] 构造函数，画出函数图象，利用对数函数的图象与性质分析解决问题．解析 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，∴116≤a <1. 答案 B指数函数与对数函数的图象的特征：(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降；(2)底数的大小决定了图象的高低，即在y 轴右边，指数函数y ＝a x 的图象“底大图高”；在x 轴上方，对数函数y ＝log a x 的图象“底大图低”．其次，要熟练掌握函数图象的作法，特别是变换作图法．【训练2】 若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，求实数a 的取值范围． 解 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可． 当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]．考向三对数函数的性质及其应用【例3】►(2013·南京模拟)已知f(x)＝log a 1－mxx－1(a>0，a≠1)是奇函数．(1)求m的值；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当f(x)的定义域为(1，a－2)时，f(x)的值域为(1，＋∞)，求a的值．[审题视点] 对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．解(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝log a 1＋mx－x－1＋log a1－mxx－1＝log a1－m2x21－x2＝0对定义域内的任意x恒成立，∴1－m2x21－x2＝1，∴(m2－1)x2＝0，m＝±1.当m＝1时，1－mxx－1＝－1，函数无意义，∴m＝－1.(2)由(1)知，f(x)＝log a x＋1x－1，∴定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，求导得f′(x)＝－2x2－1log a e.①当a>1时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上都是减函数；②当0<a<1时，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上都是增函数．(3)∵1<x<a－2，∴a>3，f(x)在(1，a－2)内为减函数，∴命题等价于f(a－2)＝1，即log a a－1a－3＝1⇒a2－4a＋1＝0，解得a＝2＋3(a＝2－3舍去)．研究与对数函数有关的复合函数的单调性时，一种方法是利用导数(如本例解法)，这时应注意正确地进行求导运算，另一种方法是根据复合函数单调性的判断规则“同增异减”进行判断，对于含有参数的函数，必须进行分类讨论．【训练3】已知函数f(x)＝lg(a x－b x)(a>1>b>0)．(1)判断函数f (x )在其定义域内的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)内恒为正，试比较a －b 与1的大小关系． 解 (1)由a x －b x >0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1.∵a >1>b >0，∴ab >1，∴x >0， ∴f (x )定义域为(0，＋∞)． 设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则由a >1>b >0，得ax 2>ax 1，bx 1>bx 2， 所以ax 2－bx 2>ax 1－bx 1>0，∴f (x 2)＝lg(ax 2－bx 2)>lg(ax 1－bx 1)＝f (x 1)， ∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数．(2)由(1)，得x ∈(1，＋∞) 时，f (x )>f (1)恒成立．要使f (x )>0，则只需f (1)≥0，即a －b ≥1.对应学生24热点突破6——与指数、对数函数有关的求值问题【命题研究】 分析近几年各省市的高考试题，可以看出对本节内容的考查主要有：利用对数函数的性质比较实数的大小；结合函数图象的变换考查相关函数的性质；考查与对数函数相关的方程和不等式．以选择题为主，个别省市有填空题，以中等难度试题为主． 一、与对数函数有关的求值问题【真题探究1】► (2011·陕西)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.[教你审题] 先求f (1)，再求f (f (1))的值．[解法] 因为f (1)＝lg 1＝0，所以f (0)＝0＋a 3－03＝1，∴a ＝1. [答案] 1[反思] 若是求f (f (a ))，则要对a 进行讨论，分a >0和a ≤0两种情况，求得f (a )后，再根据f (a )在哪段内求最终值 二、与对数函数有关的解不等式问题【真题探究2】► (2011·辽宁)设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) [教你审题] 分段函数分段求解，然后求各段的并集． [解法] 当x ≤1时，21－x ≤2，x ≥0，所以0≤x ≤1； 当x >1时，1－log 2x ≤2，x ≥12，所以x >1. 综上，x ≥0. [答案] D[反思] 解这类问题，除经过讨论代入函数解析式外，还用到函数单调性直接求解．【试一试】 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析 由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论．f (a )>f (－a )⇒⎩⎨⎧a>0，log 2a >log 12a或⎩⎨⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )⇒⎩⎨⎧a >0，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1<a⇒a >1或－1<a <0. 答案 C对应学生233A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3则( )．A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＝5log 3103，1<log 23.4<2,0<log 43.6<1,1<log 3103<2，又log 23.4>log 2103>log 3103，∴log 23.4>log 3103>log 43.6，∴5log 23.4>5log 3103>5log 43.6，故选C. 答案 C2．(2013·徐州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )． A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析 因为y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a 24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，故选C. 答案 C3．(2013·九江质检)若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )．解析 由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0<a <1，0<b <1.则g (x )＝a x ＋b 的图象由y ＝a x 的图象沿y 轴向上平移b 个单位而得到，故选B. 答案 B4．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为( )．A ．(0,1)∪(1,3)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23)解析 “对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f (x )有意义”．事实上由于g (x )＝x 2－ax ＋3在x ≤a2时递减，从而⎩⎨⎧a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为(1,23)．故选D. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________.解析 由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，所以a 3＝23，a ＝2. 答案 26．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则(log 128)⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝________.解析 框图的实质是分段函数，log 128＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，由框图可以看出输出9－3＝－3.答案 －3. 三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x . (1)判断函数的奇偶性；(2)若y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 的定义域为R . 又f (－x )＝log 12(a 2－3a ＋3)－x ＝－log 12(a 2－3a ＋3)x ＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数．(2)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则y ＝(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为增函数，由指数函数的单调性，知a 2－3a ＋3>1，解得a <1或a >2. 所以a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)． 8．(13分)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数f (x )＝lg(a x ＋4a －x －m )(a >0且a ≠1)的定义域为R ，则m 的取值范围为( )．A ．(0,4]B ．(－∞，4)C ．(－∞，4]D ．(1,4]解析 由于函数f (x )的定义域是R ，所以a x ＋4a x －m >0恒成立，即m <a x ＋4a x 恒成立，由基本不等式知只需m ≤4. 答案 C2．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )． A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 作出函数f (x )＝|lg x |的图象，由f (a )＝f (b )，0<a <b 知0<a <1<b ，－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，由函数y ＝x ＋2x 的单调性可知，当0<x <1时，函数单调递减，∴a ＋2b ＝a ＋2a >3.故选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分) 3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c＝________.解析 由图象可求得a ＝2，b ＝2，又易知函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，进而可求得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133. 答案 1334．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．在实数轴R (箭头向右)上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x .这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝________. 解析 当1≤n ≤2时，[log 3n ]＝0，当3≤n <32时，[log 3n ]＝1，…，当3k ≤n <3k＋1时，[log 3n ]＝k . 故[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857. 答案 857三、解答题(共25分)5．(12分)若函数f (x )满足对于(0，＋∞)上的任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且x >1时f (x )>0，试证： (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )； (2)f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(3)f (x )在(0，＋∞)上递增． 证明 (1)由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋f (y )＝f (x )，即f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y .(2)令x ＝y ＝1，则f (1)＝2f (1)．因此f (1)＝0. ∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (1)＝0，即f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .(3)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0.因此f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(0，＋∞)上递增．6．(13分)已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1，(a >0，且a ≠1)．(1)求函数的定义域，并证明：f (x )＝log a x ＋1x －1在定义域上是奇函数； (2)对于x ∈[2,4]，f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m(x －1)2(7－x )恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )，∴f (x )＝log a x ＋1x －1在定义域上是奇函数．(2)由x ∈[2,4]时，f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m(x －1)2(7－x )恒成立，①当a >1时，∴x ＋1x －1>m(x －1)2(7－x )>0对x ∈[2,4]恒成立． ∴0<m <(x ＋1)(x －1)(7－x )在x ∈[2,4]恒成立． 设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，x ∈[2,4] 则g (x )＝－x 3＋7x 2＋x －7，g ′(x )＝－3x 2＋14x ＋1＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －732＋523，∴当x ∈[2,4]时，g ′(x )>0.∴y ＝g (x )在区间[2,4]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝15. ∴0<m <15.②当0<a <1时， 由x ∈[2,4]时， f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m(x －1)2(7－x )恒成立，∴x＋1x－1<m(x－1)2(7－x)对x∈[2,4]恒成立．∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]，由①可知y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45.∴m的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).。
新高考数学人教版一轮复习课件：第2章第5讲 对数与对数函数
算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
考法2 对数函数的图象及应用
示例2 函数=log与=-+在同一平面直角坐标系中的图象可能是
思维导引
考法2 对数函数的图象及应用
解析 当>1时,函数=log的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函
数=-+的图象与轴的交点的纵坐标应满足>1,选项B,D中的图象都
可.
当0<<1时,显然不成立.
当>1时,如图2-5-3所示,要使在区间(1,2)上,
f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方,
只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤log2,所以log2≥1,
解得1<≤2.
答案 C
图2-5-3
考法2 对数函数的图象及应用
方法技巧 对数型函数图象的考查类型及解题思路
数学应用 对数函数的实际应用
提能力· 数学探索
数学探索 指数、对数比较大小的策略
考情解读
考点内容
1.对数与对
数运算
2.对数函数
课标
要求
考题取样
情境
载体
对应
考法
理解 2020全国Ⅰ,T8 课程学习 考法1
2019浙江,T6
课程学习 考法2,4
的图象与性 掌握 2020全国Ⅱ,T9 课程学习 考法3
质
23
所以c>>.
解法二
1
log 1 =log23,在同一平面直角
23
坐标系中作出函数=log2,=ln 的图象,
如图2-5-4,由图可知c>>.
答案 D
图2-5-4
考法3 对数函数的性质及应用
2023版高考数学一轮总复习：对数与对数函数课件理
D.ab<0<a+b
(3)[2018全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=
-7
.
考向1
解析
1
4
=
对数式的运算
(1)解法一
因为alog34=2,所以log34a=2,则有4a=32=9,所以4-a=
1
,故选B.
9
解法二
2
因为alog34=2,所以a=
log3 4
=
下规律:在第一象限内从左到右对数函数的底数逐渐 增大 .
注意 当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进
行讨论.
考点2
对数函数的图象与性质
3.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,
它们的图象关于直线 y=x 对称(如图所示).反函数的定义域、值域分别是
在(0,+∞)上是 减函数 .
考点2
对数函数的图象与性质
2.对数函数图象的特点
(1)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且
1
过点(a,1),( ,-1),函数图象只在第一、四象限.
(2)如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐
标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以
考向3
角度1
比较大小
5.典例 [2020全国卷Ⅲ][理]已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=
log138,则 ( A )
2022版高考数学人教A版一轮复习课件：第二章第五节对数与对数函数
4．反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线_y_＝__x_对 称．
1．若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的反函数，且 f(2)＝1，则 f(x)
＝( )
A．log2x
B．21x
C．log0.5x
D．2x－2
【解析】选 A.由题意知 f(x)＝logax(a＞0，且 a≠1). 因为 f(2)＝1，所以 loga2＝1.所以 a＝2.所以 f(x)＝log2x.
2．(教材改编)计算：lg
42 7
2
－lg83 ＋lg 7
5
＝______．
【解析】原式＝lg 4＋21 lg 2－lg 7－32 lg 8＋lg 7＋21 lg 5 ＝2lg 2＋12 (lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12 . 答案：12
3．(教材改编)函数 y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且 a≠1)的图象恒过点________．
(2)换底公式：
logab＝
logcb logca
(a，c均大于0且不等于1，b＞0).
(3)对数的运算性质：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(M·N)＝_l_o_g_aM_＋__l_o_g_a_N_；
②
loga
M N
＝_l_o_g_aM_－__l_o_g_a_N_；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
【微思考】
(1)试利用换底公式分析logab与logba(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)的关
系．
提示：logab＝llooggbbab＝
1.
log b a
(2)试利用换底公式化简logambn(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0).
2024届高考数学一轮复习+第二章《函数》第五节+对数与对数函数+课件
方法感悟与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数单调性的“同增异减”原则判断函数的单调性.
考点三 对数函数的性质及应用
角度1 比较大小
例2
（1） （2021天津，5，5分）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 由对数函数的性质得 , .由指数函数的单调性可知 ，且 .综上可得 ,故选D.
（2） （2020全国Ⅲ，12,5分）已知 ， .设 ， ， ，则( )
[解析] 对于任意实数 ， ，当 时，都有 ，说明该函数在 上单调递增，因为对数函数满足运算性质 ，所以填写任意一个在 上单调递增的对数函数即可，如 （答案不唯一）.
关键能力·突破
考点一 对数式的化简与求值
1. （2021天津，7，5分）若 ，则 ( )
A. B. C. D.
C
[解析] 由题意得 且 ,故必有 ,又 ,所以 ,且 ,所以 .故 的取值范围是 .
方法感悟常见的对数不等式的类型及解题方法（1）解形如 的不等式，常借助函数 的单调性求解，如果 的取值不确定，需分 与 两种情况讨论.（2）解形如 的不等式，应先将 化为以 为底数的对数式的形式，再借助函数 的单调性求解.（3）解形如 的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数式，利用对数函数的单调性“脱去”对数符号，同时应保证真数大于零.
（2） 若方程 在 上有解，则实数 的取值范围为_ ______.
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第5讲 对数与对数函数A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3则( )．A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＝5log 3103，1<log 23.4<2,0<log 43.6<1,1<log 3103<2，又log 23.4>log 2103>log 3103，∴log 23.4>log 3103>log 43.6，∴5log 23.4>5log 3103>5log 43.6，故选C. 答案 C2．(2013·徐州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )． A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析 因为y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，故选C.答案 C3．(2013·九江质检)若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )．解析 由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0<a <1，0<b <1.则g (x )＝a x ＋b 的图象由y ＝a x 的图象沿y 轴向上平移b 个单位而得到，故选B. 答案 B4．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为 ( )．A ．(0,1)∪(1,3)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23)解析 “对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f (x )有意义”．事实上由于g (x )＝x 2－ax ＋3在x ≤a2时递减，从而⎩⎪⎨⎪⎧a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为(1,23)．故选D. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________.解析 由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，所以a 3＝23，a ＝2.答案 26．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则(log 128)⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝________.解析 框图的实质是分段函数，log 128＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，由框图可以看出输出9－3＝－3. 答案 －3. 三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x . (1)判断函数的奇偶性；(2)若y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 的定义域为R . 又f (－x )＝log 12(a 2－3a ＋3)－x ＝－log 12(a 2－3a ＋3)x ＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数．(2)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则y ＝(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为增函数，由指数函数的单调性，知a 2－3a ＋3>1，解得a <1或a >2.所以a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)． 8．(13分)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x1－x＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数f (x )＝lg(a x ＋4a －x －m )(a >0且a ≠1)的定义域为R ，则m 的取值范围为( )．A ．(0,4]B ．(－∞，4)C ．(－∞，4]D ．(1,4]解析 由于函数f (x )的定义域是R ，所以a x ＋4a x －m >0恒成立，即m <a x ＋4a x 恒成立，由基本不等式知只需m ≤4. 答案 C2．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )． A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 作出函数f (x )＝|lg x |的图象，由f (a )＝f (b )，0<a <b 知0<a <1<b ，－lg a＝lg b ，∴ab ＝1，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，由函数y ＝x ＋2x 的单调性可知，当0<x <1时，函数单调递减，∴a ＋2b ＝a ＋2a >3.故选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分) 3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c＝________.解析 由图象可求得a ＝2，b ＝2，又易知函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，进而可求得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133. 答案 1334．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．在实数轴R (箭头向右)上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x .这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝________. 解析 当1≤n ≤2时，[log 3n ]＝0，当3≤n <32时，[log 3n ]＝1，…，当3k ≤n <3k＋1时，[log 3n ]＝k .故[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857. 答案 857 三、解答题(共25分)5．(12分)若函数f (x )满足对于(0，＋∞)上的任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且x >1时f (x )>0，试证： (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )； (2)f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(3)f (x )在(0，＋∞)上递增．证明 (1)由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋f (y )＝f (x )，即f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y .(2)令x ＝y ＝1，则f (1)＝2f (1)．因此f (1)＝0. ∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (1)＝0，即f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .(3)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0.因此f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(0，＋∞)上递增．6．(13分)已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1，(a >0，且a ≠1)．(1)求函数的定义域，并证明：f (x )＝log a x ＋1x －1在定义域上是奇函数；(2)对于x ∈[2,4]，f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m(x －1)2(7－x )恒成立，求m 的取值范围．解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )，∴f (x )＝log a x ＋1x －1在定义域上是奇函数．(2)由x ∈[2,4]时，f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m(x －1)2(7－x )恒成立， ①当a >1时，∴x ＋1x －1>m (x －1)2(7－x )>0对x ∈[2,4]恒成立． ∴0<m <(x ＋1)(x －1)(7－x )在x ∈[2,4]恒成立． 设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，x ∈[2,4] 则g (x )＝－x 3＋7x 2＋x －7，g ′(x )＝－3x 2＋14x ＋1＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －732＋523，∴当x ∈[2,4]时，g ′(x )>0.∴y ＝g (x )在区间[2,4]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝15. ∴0<m <15.②当0<a <1时， 由x ∈[2,4]时， f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m(x －1)2(7－x )恒成立，∴x ＋1x －1<m(x －1)2(7－x )对x ∈[2,4]恒成立． ∴m >(x ＋1)(x －1)(7－x )在x ∈[2,4]恒成立． 设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，x ∈[2,4]， 由①可知y ＝g (x )在区间[2,4]上是增函数， g (x )max ＝g (4)＝45，∴m >45.∴m 的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).精心整理资料，感谢使用！。