第6讲 对数与对数函数
第二章 第六节 对数与对数函数
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
(1)D
(2)A
解
析
：
(1)a
＝
log315
＝
log3
3×5
＝ 1 ＋ log35>1 ， b ＝ log420 ＝
log44×5
＝1＋log45>1，c＝log21.9<1，因为
log35＝llgg
5 3
lg 5 >lg 4
＝log45，所以 a>b>c.
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
D
解析：画出函数 f(x)＝|lg x|，∵f(2)＝|lg 2|＝|－lg 2|＝lg
1 2
，且14
1 <3
1 <2
，
∴f14
1 >f3
1 >f2
，即 a>b>c.
5．(多选)函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，a≠1)的图象如图所示， 则下列结论成立的是( )
第二章 函 数 第六节 对数与对数函数
必备知识 增分策略 关键能力 精准突破
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必备知识 增分策略
必备知识 1．对数的概念 如果 ab＝N(a>0，且 a≠1)，那么 b 叫作以 a 为底，(正)数 N 的对数，记作 b ＝logaN.这里，a 叫作对数的_底__数_，N 叫作对数的真数．
答案：0，
2 2
解析：若方程 4x＝logax 在0，12 上有解，则函数 y＝4x 与
新高考一轮复习人教A版第二章第六讲对数与对数函数课件(58张)
【名师点睛】对数运算的一些结论 (1)logam bn＝mn logab. (2)logab·logba＝1. (3)logab·logbc·logcd＝logad.
3.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
图象
0<a<1
定义域 值域
(0，＋∞) R
(续表)
y＝logax
a>1
0<a<1
过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
题组一 走出误区 1.(多选题)下列结论错误的是( )
A.2lg 3≠3lg 2 B.若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN C.y＝log2x2 不是对数函数，而 y＝log2(－x)是对数函数 D.函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域 相同 答案：ABC
解析：原式＝1－2log63＋log63lo2g＋64log663×log66×3 ＝1－2log63＋lologg63642＋1－log632＝212－lolgo6g263 ＝log6l6o－g6l2og63＝lloogg6622＝1.
答案：1
3.已知 2x＝12，log231＝y，则 x＋y 的值为________. 答案：2 4.设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝________.
[例 4](1)(2020 年新高考Ⅱ)已知函数 f(x)＝lg(x2－4x－
5)在(a，＋∞)单调递增，则 a 的取值范围是( )
A.(－∞，－1]
B.(－∞，2]
C.[2，＋∞)
D.[5，＋∞)
解析：由 x2－4x－5＞0，得 x＜－1 或 x＞5，即函数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5， 则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减， 在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg t在(0，＋∞)上 单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)， 由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，∴a≥5.
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
高三数学一轮 第二章 第六节 对数、对数函数课件 理
与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步 骤为：
(1)确定定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成 的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)， u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为 增函数，若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数， 即“同增异减”．
【解析】 (1)由题设，3－ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立，a>0 且 a≠1， ∵a>0，∴g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函 数，
从而 g(2)＝3－2a>0，∴a<32， ∴a 的取值范围为(0,1)∪1，32.
(2)假设存在这样的实数 a，由题设知 f(1) ＝1，
即 loga(3－a)＝1，∴a＝32， 此时 f(x)＝log323－32x， 当 x＝2 时，f(x)没有意义，故这样的实 数不存在．
【答案】 A
4．已知 loga(3a－1)有意义，那么实数 a 的取值范围是________．
a＞0
【解析】 由a≠1 3a－1＞0
，可得 a＞31且
a≠1.
【答案】 a＞13且 a≠1
5．函数 y＝ log1(3x－2)的定义域是________．
2
【解析】 要使 y＝ log1(3x－2)有意义
(3)令 u(x)＝xx＋ －bb，则函数 u(x)＝1＋x2－bb 在(－∞，－b)和(b，＋∞)上分别为减函 数，所以当 0<a<1 时，f(x)在(－∞，－ b)和(b，＋∞)上分别为增函数；当 a>1 时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上分 别为减函数．
(4)解关于 x 的方程 y＝logaxx＋ －bb，得 x＝ b(ay＋1)
2021高三统考北师大版数学一轮第2章第6讲对数与对数函数含解析
2021高三统考北师大版数学一轮课时作业：第2章第6讲对数与对数函数含解析课时作业1．（2019·四川泸州一诊)2lg 2－lg 错误!的值为（）A．1 B．2C．3 D．4答案B解析2lg 2－lg 错误!＝lg错误!＝lg 100＝2，故选B．2．函数f（x）＝错误!的定义域是()A．(－3，0)B．（－3，0]C．(－∞，－3）∪（0，＋∞)D．(－∞，－3）∪（－3，0）答案A解析因为f（x）＝错误!，所以要使函数f（x)有意义,需使错误!即－3<x〈0.3．若函数y＝f(x）是函数y＝a x（a>0，且a≠1）的反函数，且f(2)＝1，则f（x)＝（)A．log2x B．错误!C．log错误!x D．2x－2答案A解析由题意知f（x）＝log a x(x>0）．∵f（2）＝1，∴log a2＝1。
∴a＝2。
∴f（x)＝log2x.4．已知函数f（x）＝log错误!x，x∈错误!，则f（x)的值域是（）A．错误!B．错误!C．[0，2］D．错误!答案A解析函数f(x)＝log错误!x，x∈错误!是减函数，所以函数的最小值为f错误!＝log错误!错误!＝错误!,函数的最大值为f错误!＝log错误!错误!＝2。
所以函数f(x）的值域为错误!.故选A．5．若x log23＝1,则3x＋3－x＝(）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案B解析因为x log23＝1，所以log23x＝1,所以3x＝2,3－x＝错误!，所以3x＋3－x＝2＋错误!＝错误!。
故选B．6．(2019·河北保定模拟）已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＝b〈c B．a＝b〉cC．a〈b<c D．a〉b>c答案B解析a＝log23＋log2错误!＝log23错误!，b＝log29－log2错误!＝log23错误!，因此,a＝b，而log23错误!>log22＝1，log32〈log33＝1，所以a＝b>c，故选B．7．(2020·北京东城区综合练习）已知函数f（x）＝错误!则f（2＋log23)的值为（)A ．24B ．16C ．12D ．8答案 A解析 因为3〈2＋log 23〈4,所以f （2＋log 23)＝f (3＋log 23）＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.故选A ．8．函数y ＝log 13 ｜x ＋3｜的单调递增区间为（ ）A ．(－∞，3）B ．（－∞，－3)C ．(－3，＋∞)D ．（－∞，－3)∪（－3，＋∞)答案 B解析 因为函数y ＝log 错误!x 为减函数,y ＝｜x ＋3｜在（－∞,－3)上是减函数，所以函数y ＝log 错误!|x ＋3|的单调递增区间为(－∞，－3）．9．(2019·合肥模拟）若log a 错误!〈1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是（ )A ．错误!B ．错误!C ．错误!∪(1，＋∞）D ．错误!∪(1,＋∞） 答案 D解析 因为log a 23〈1,所以log a 错误!<log a a .若a >1，则上式显然成立；若0〈a <1,则应满足23>a 〉0.所以a 的取值范围是错误!∪（1,＋∞）．故选D ．10．（2019·安阳模拟)函数f （x )＝log a （6－ax ）(a 〉0且a ≠1)在［0,2]上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．(0,1) B．(1，3）C．（1，3］D．[3，＋∞）答案B解析设u＝6－ax,由题意得该函数是减函数,且u>0在［0,2］上恒成立，∴错误!∴1<a<3。
高考数学复习考点知识讲解课件11 对数与对数函数
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[解析] 由 y＝ln(1－x)可得 ey＝1－x，即 x＝1－ey，因为函数 f(x)与 y＝ln(1－x)的图 象关于直线 y＝x 对称，所以 f(x)＝1－ex.
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核心考点突破
02
(新教材) 高三总复习•数学
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考点一 对数的运算——自主练透
对点训练
1．(2022·浙江卷)已知 2a＝5，log83＝b，则 4a－3b＝( C )
对点训练 1．函数 y＝lo1g3x的图象大致是( D )
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[解析] 当 x＝3 时，y＝1，即函数图象过点(3,1)，排除 A；因为 y＝log3x 为增函数， 所以 y＝lo1g3x在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，排除 B，C.故选 D.
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(新教材) 高三总复习•数学
只需 f1(x)＝(x－1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)＝logax 图象的下方即可．
当 0<a<1 时，显然不成立；
当 a>1 时，如图，要使 x∈(1,2)时 f1(x)＝(x－1)2 的图象在 f2(x)＝logax 的图象下方，
只需 f1(2)≤f2(2)，
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(新教材) 高三总复习•数学
(2)对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
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高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数课件 文
(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义 域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论 错误． (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优 先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定 要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的 限制条件．
A．3
B．13
C． 3
D．
3 3
解析：选 D.因为 xlog34＝1，即 log34x＝1.所以 4x＝3.即 2x＝ 3，
所以
2－x＝
1＝ 3
3 3.
12/11/2021
(必修 1 P71 例 7(1)改编)函数 y＝log2x2 的大致图象是( )
解析：选 D.法一：f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)． 所以 y＝log2x2 的图象关于 y 轴对称，故选 D. 法二：y＝log2x2＝2log2|x|＝22lloogg22x（，－x＞ x）0， ，x＜0. 作出图象可知选 D.
【答案】
(1)D
1 (2)4
12/11/2021
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象 上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合 要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题，利用数形结合法求解．
12/11/2021
【对点通关】 1．(必修 1 P73 练习 T1 改编)若函数 y＝a|x|(a>0，且 a≠1)的值 域为{y|y≥1}，则函数 y＝loga|x|的图象大致是( )
12/11/2021
【对点通关】
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若 a>b>0，0<c<1，则( )
第06讲 对数与对数函数(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练
第06讲对数与对数函数 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：对数的运算；高频考点二：换底公式高频考点三：对数函数的概念；高频考点四：对数函数的定义域高频考点五：对数函数的值域①求对数函数在区间上的值域；②求对数型复合函数的值域③根据对数函数的值域求参数值或范围高频考点六：对数函数的图象①判断对数（型）函数的图象②根据对数（型）函数的图象判断参数③对数（型）函数图象过定点问题高频考点七：对数函数的单调性①对数函数（型）函数的单调性②由对数函数（型）函数的单调性求参数③由对数函数（型）函数的单调性解不等式④对数（指数）综合比较大小高频考点八：对数函数的最值①求对数（型）函数的最值②根据对数（型）函数的最值求参数③对数（型）函数的最值与不等式综合应用第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲对数与对数函数（精练）1、对数的概念（1）对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lg N ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数ln N .（3）对数式与指数式的互化：log x a a N x N =⇔=. 2、对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数log (0,1)a N a a >≠且具有以下性质：①负数和零没有对数，即0N >；②1的对数等于0，即log 10a =；③底数的对数等于1，即log 1a a =；④对数恒等式log (0)a N a N N =>.（2）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：①log ()log log a a a M N =M +N ⋅；②log log log a a a M =M N N-； ③log log ()n a a M =n M n ∈R .（3）对数的换底公式对数的换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a=>≠>≠>且且. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e 为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①log log 01,0()且m n a a n b b a a b m =>≠>； ②(1log 01;01log )且且a b b a a b b a=>≠>≠；③log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=(其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，0d >).3、对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如log x a y =(0a >，且1a ≠)的函数叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞．（2）对数函数的图象与性质定义域：(0,)+∞一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知x y >，则不等式ln ln x y >成立 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）32log 8log 99⨯=( )3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）21log 3436+=.( )4．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）若lg 2,lg3,a b ==则12log 5=12a a b -+ ( ) 二、单选题1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R 的是（ ）A ．ln y x =B ．x y e =C ．3y x =D ．1y x = 2．（2022·海南·模拟预测）已知20.70.7log 3,log 0.3,0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>3．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．1133x -<< B ．0x < C ．113x -<< D ．103x << 4．（2022·陕西西安·高一期末）函数()ln x f x x=的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）函数()1ln 34y x x =-+的定义域是（ ） A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()3,00,4⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭ D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭高频考点一：对数的运算1．（2022·甘肃平凉·二模（文））27log 7log 8⋅=______．2．（2022·北京师大附中高一期末）13331()log 5log 1527+-=______________． 3．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）计算7log 237log 27lg 25lg 47log 1++++=______.4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：(1)()23log 279⨯；(2)101log 1000；(3)7775log 30log 12log 2--．高频考点二：换底公式1．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））已知lg 2,lg3a b ==，则4log 75=（ ）A ．22a b a -+B ．22b a a -+C ．222b a a -+D ．222a b a-+ 2．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知lg 2a =，lg3b =，用a ，b 表示36log 5，则36log 5=（ ）A ．221a b a +-B ．12a a b -+C ．22a a b -+D ．122a a b-+ 3．（2022·山东济南·二模）已知ln 2a =，ln3b =，那么3log 2用含a 、b 的代数式表示为（ ） A ．-a b B ．a b C ．b a D ．a b +4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：53611log log 6log 325⋅⋅=________.高频考点三：对数函数的概念1．（2021·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()f x 满足①定义域为()0,∞+；②值域为R ；③()()22f x f x =.写出一个满足上述条件的函数：()f x =___________. 2．（2021·江苏·高一专题练习）对数函数f （x ）的图象过点(3，－2），则f＝________.3．（2021·江苏南通·高三期中）写出满足条件“函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，且()()()f xy f x f y =+”的一个函数()f x =___________.4．（2021·全国·高一专题练习）若函数f (x )=(a 2+a -5)log ax 是对数函数，则a =________.高频考点四：对数函数的定义域1．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）函数f （x ）的定义域为（ ）A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（-∞，2）D ．（0， 12）2．（2022·四川·模拟预测（文））函数y =___________.3．（2022·四川宜宾·高一期末）函数y =________.4．（2022·上海市控江中学高一期末）函数()2lg 1y x kx =++定义域为R ，则实数k 的取值范围为______.5．（2022·上海浦东新·高一期末）函数1ln 2x y x-=-的定义域为_____________．高频考点五：对数函数的值域①求对数函数在区间上的值域1．（2022·全国·高三专题练习）函数()222log log f x x x =+在1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域为_______________________． 2．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数()2122log log f x x x =+．(1)求()f x 在区间[]1,8上的值域；3．（2022·全国·高一课时练习）求函数2log ,[8,)y x x =∈+∞的值域.②求对数型复合函数的值域1．（2022·贵州·毕节市第一中学高一阶段练习）函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为（ ）A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[4，＋∞)D ．[3，＋∞)2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）函数()212log 8y x =+的值域是________．3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()()()log 2log 4a a f x x x =++-（a >0且a ≠1）的图象过点()1,2.(1)求a 的值及()f x 的定义域；(2)求()f x 在[]0,3上的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；③根据对数函数的值域求参数值或范围1．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．9D ．272．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数()log 1a f x x =+在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a 的值是___________.3．（2022·全国·高一阶段练习）函数()()2lg 234f x mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为______．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若函数()2log 5242a y a x ax =--+⎡⎤⎣⎦有最小值，则a 的取值范围为______．5．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数212()log (23)f x x ax =-+ .(1)当1a =-时，求函数()f x 的值域；(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数a 取值范围.高频考点六：对数函数的图象①判断对数（型）函数的图象1．（2022·广东汕尾·高一期末）当1a >时，在同一平面直角坐标系中，1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()log a y x =-的图象是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）函数3x y -=与()3log y x =-的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．3．（2022·浙江·高三专题练习）已知lg lg 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()x f x a =与()1log bg x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．②根据对数（型）函数的图象判断参数1．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知2(0,1)()log ,[1,2)aax x f x x x ⎧∈=⎨∈⎩，，若()2a f x =有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(1,2] D ．(1,2)3．（2022·湖南师大附中高一期末）已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<D ．1101a b --<<<4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知310()log 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()0f x a -=有四个根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围是______.③对数（型）函数图象过定点问题1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一开学考试）函数()log (1)3,(0,1)a f x x a a =-++>≠且的图象一定过定点__________.2．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图象上，则f （3）＝________.3．（2022·四川南充·高一期末）函数log (1)2(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过一定点是___________．高频考点七：对数函数的单调性①对数函数（型）函数的单调性1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．21y x =-+ B ．2log y x = C ．3y x = D．y =2．（2022·全国·高一课时练习）函数12()log f x x =的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,1C ．()0,∞+D ．[)1,+∞ 3．（2022·北京·高三专题练习）函数()()212log 6f x x x =-++的单调递增区间是（ ）A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．（2022·河北张家口·高一期末）函数()()22log 65f x x x =-+-的单调递减区间是（ ）A ．(],3-∞B ．(]1,3C ．[)3,+∞D ．[)3,55．（2022·河南新乡·高一期末）函数()217log 2223y x x =--的单调递增区间为（ ）A ．()11,+∞B ．(),11-∞C ．()23,+∞D ．(),1-∞-6．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）()()23log 28f x x x =--的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞②由对数函数（型）函数的单调性求参数1．（2022·陕西西安·高一期末）已知()log log 1a a b b <-，则a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．01a <<C ．a b >D ．0a b <<2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2，3]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[4,)+∞B ．[6,)+∞C ．10,43⎛⎤⎥⎝⎦D ．10,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数()()314,1log ,1aa x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·湖南岳阳·高一期末）已知函数()2ln 3y x ax a =-+在[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()4,-+∞B ．(]0,4C ．[)4,+∞D ．(]4,4-5．（2022·福建泉州·高一期末）若函数()ln(2)=-f x ax 在(1,)+∞单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞B ．(2,)+∞C ．(0,2]D ．[2,)+∞6．（2022·重庆·高一期末）已知关于x 的函数2log (2)y ax =-在[]0,1上是单调递减的函数，则a 的取值范围为（ ）A ．()0-，∞ B ．()0,+∞ C ．(]0,2D ．()02,7．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()()217log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭③由对数函数（型）函数的单调性解不等式1．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））不等式()()2ln 1ln 35x x +>+的解集为（ ）A ．()4,+∞B ．()1,4-C ．()5,14,3⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()(),14,-∞-⋃+∞2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（ ） A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）3．（2022·北京房山·高一期末）设函数21,2()2log (1),2xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，若()1f x >，则x 的取值范围是（ ）A ．(0,3)B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞C ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞D ．(1,2)-4．（2022·四川绵阳·一模（理））设函数()211,,21log ,,2x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩则满足()()21f x f x -<的x 的取值范围是（ ）A ．13,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭5．（2022·江西赣州·一模（文））设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 取值范围是A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞）D ．[0,+∞）④对数（指数）综合比较大小1．（2022·广东中山·高一期末）设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c b a <<D ．b c a <<2．（2022·江西·南昌十五中高二阶段练习（理））设292log 3,log 5,15==a b c ，则（ ） A ．2a b <B ．2log 180+>a cC ．24+>a b cD ．21316+<a a 3．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）设2ln1.01a =，ln1.02b =，0.02c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<4．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））已知 1.12a =，0.64b =，ln 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知0.2log 0.02a =，3log 30b =，ln 6c =，则（ ） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<高频考点八：对数函数的最值①求对数（型）函数的最值1．（2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）已知函数()21f x ax =-在区间[]0,2上的最大值为7，则()log a g x x =在区间[]1,4上的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．42．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中（理））已知函数()420.5()log 46f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 有最小值，且最小值为-2B ．()f x 有最小值，且最小值为-1C ．()f x 有最大值，且最大值为-2D ．()f x 有最大值，且最大值为-13．（2022·上海金山·高一期末）函数()12log 2y x =+，[]2,6x ∈的最大值为______. 4．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三阶段练习）函数()()224log log 44xf x x =⋅的最小值为___________. 5．（2021·全国·高一课时练习）函数()23()log 9f x x =-的最大值是_______．②根据对数（型）函数的最值求参数1．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数()21log ,a f x x x a ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值与最小值的差为2，则=a （ ） A ．4B ．3C ．2D2．（2022·贵州·六盘水市第一中学模拟预测）若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．12a <<B ．02,1a a <<≠C ．01a <<D ．2a ≥3．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数()22,4,log ,4,x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4]-∞ B ．[2,)-+∞ C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-4．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()log (1)a f x x ax =-+(01)a a >≠且没有最小值，则a 的取值范围是____________.5．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. (1)求a 的值；(2)当函数()f x 在定义域内是增函数时，令()1122g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并证明，并求出()g x 的值域.6．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）. (1)求函数()f x 的定义域；(2)是否存在实数a ，使函数()f x 在区间31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.7．（2022·天津河北·高一期末）已知函数()()log 1a f x x =-（0a >，且1a ≠） (1)求()2f 的值及函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 在[]2,9上的最大值与最小值之差为3，求实数a 的值．③对数（型）函数的最值与不等式综合应用1．（2022·湖北·武汉中学高一阶段练习）已知函数()1lg 43x x f x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若对任意的[]1,1x ∈-使得()1f x ≤成立，则实数m 的取值范围为 A ．19,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭-C ．1911,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．1911,34⎡⎫--⎪⎢⎣⎭2．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数()4412log 2log 2y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)当[1,16]x ∈时，求该函数的值域；(2)若()4441log 2log log 2x x m x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，对于[4,16]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.3．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.4．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期末）设函数3()log (933)x xf x k =-⋅-，其中k 为常数.（1）当2k =时，求()f x 的定义域；（2）若对任意[1,)x ∈+∞，关于x 的不等式(x)x f ≥恒成立，求实数k 的取值范围.1．（2021·湖南·高考真题）函数3()log (1)f x x =+的定义域为（ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．[1,)-+∞D ．(0,)+∞2．（2021·天津·高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（ ）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 103．（2021·天津·高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<4．（2021·全国·高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<5．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ 1.259≈） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6一、单选题1．（2021·江苏·高一专题练习）已知136a =，b log =21.2c =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．b c a >> B ．a c b >> C ．a b c >>D ．b a c >>2．（2021·江苏·高一专题练习）1182112416--⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A B C ．D ．3．（2021·江苏·高一专题练习）已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A ．52a -B ．2a -C ．23(1)a a -+D ．231a a --4．（2021·浙江·高一期中）已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()0,1D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2021·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知()212()log f x x ax a =-+的值域为R ，且()f x 在(3,1)--上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20a ≤≤ B ．102a -≤≤或4a ≥C ．20a -≤≤或4a ≥D ．04a ≤≤6．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室高一期中）函数()()1lg 4211x x f x +=-+的最小值是（ ）．A ．10B ．1C ．11D ．lg117．（2021·重庆市第七中学校高一阶段练习）函数21()log 1xf x x的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2021·江苏·高一专题练习）设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[]a b D ⊆，，使()f x 在[]a b ，上的值域为22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2x f x t =+（其中0t ≥）为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（ ） A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()01，C ．102⎛⎤⎥⎝⎦，D ．14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 二、填空题9．（2021·河南·漯河实验高中高一阶段练习）()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，则a 的范围是_________． 10．（2021·江苏·高一专题练习）已知()()2log 3(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是__________． 11．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数()221log 2f x ax x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒正，则实数a 的取值范围是__________．12．（2021·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“K 函数”.设()()22log 21,23,2x mx x f x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“K 函数”，则实数m 的取值范围是___________. 三、解答题13．（2021·江苏·高一专题练习）计算求值 (1)()362189-⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b-的值．14．（2021·河北省博野中学高三阶段练习）已知函数()()212log f x x mx m =--． (1)若1m =，求函数()f x 的定义域．(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围．(3)若函数()f x 在区间(1-∞，上是增函数，求实数m 的取值范围．15．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数22()log (21),()log (21)()x xf xg x f x =+=--(1)求()g x 的定义域并判断()g x 的奇偶性； (2)求函数()g x 的值域；(3)若关于x 的方程(),[0,1]f x x m x =+∈有实根，求实数m 的取值范围16．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数22()log (1)21=+-f x x ． (1)判断函数()f x 的奇偶性，并证明；(2)对任意的()0x ∈-∞，，不等式12(21)log (2)++>-x x f m 恒成立，求实数m 的取值范围．。
数学(文)一轮教学案：第二章第6讲 对数与对数函数 Word版含解析
第6讲 对数与对数函数 考纲展示 命题探究1 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b ≠1)①a log a N ＝N ；②log a a N＝N ；③log b N ＝log a N log ab ；④log am b n＝n m log a b ；⑤log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝log a d .(2)对数的运算法则(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log anM ＝1n log a M .3 对数函数的图象及性质a >10<a <1图 象续表a >10<a <1性 质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意点 对数的运算性质及公式成立的条件对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)等错误.1．思维辨析(1)若log 2(log 3x )＝log 3(log 2y )＝0，则x ＋y ＝5.( ) (2)2log 510＋log 5(3)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝2.( ) (4)当x >1时，log a x >0.( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(6)若log a m <log a n ，则m <n .( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4 的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]答案 C解析 要使函数有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，所以函数的定义域为(－1,1)．3．(1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝________. (2)已知a 23 ＝49(a >0)，则log 23 a ＝________.答案 (1)1 (2)3解析 (1)∵2a＝5b＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5，∴1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝1.(2)因为a 23 ＝49(a >0)，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49 32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，故log 23 a ＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3.[考法综述] 考查对数运算，换底公式及对数函数的图象和性质，对数函数与幂指数函数相结合．综合考查利用单调性比较大小、解不等式等是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现．典例 (1)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －34＋log 354＋log 345＝________. (3)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[解析] (1)在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278.(3)当log 2a 与log 2(2b )有一个为负数时，log 2a ·log 2(2b )<0显然不是最大值．当log 2a 与log 2(2b )都大于零时，log 2a ·log 2(2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2a ＋log 2(2b )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2(2ab )22＝4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝4，b ＝2时“＝”成立．[答案] (1)B (2)278 (3)4【解题法】 对数运算及对数函数问题解题策略(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f ()ab ＝p ，∴p ＝r <q .故选B.2.函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 答案 D解析 由x 2－4>0得x >2或x <－2，因此函数定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－4，当x ∈(－∞，－2)时，t 随x 的增大而减小，y ＝log 12 t 随t 的增大而减小，所以y ＝log 12 (x 2－4)随x 的增大而增大，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故选D.3．设a ＝log 37，b ＝2，c ，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b答案 B解析 由3<7<9得log 33<log 37<log 39，∴1<a <2，由2>21＝2得b 0＝1得c <1，因此c <a <b ，故选B.4．已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)D ．(10，＋∞)答案 C解析 当x >0时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，∵关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，∴0<1＋lg a1－lg a <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a<1，1＋lg a1－lg a >0，解得－1<lg a <0，∴a <1.故选C.5．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.6．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案433解析 ∵a ＝log 43＝log 23，∴2a ＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23 ＝3＋13＝433.函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是________．[错解][错因分析] 易出现两种错误：一是不考虑定义域，二是应用复合函数的单调性法则时出错．[正解] 由x 2－2x >0，得函数y ＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．令u ＝x 2－2x ，则u 在(－∞，0)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，所以函数y ＝log 12(x 2－2x )在(－∞，0)上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．故函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是(2，＋∞)．故填(2，＋∞)．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·衡水中学模拟]已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x － 12等于( )A.13B.36C.33D.24答案 D解析 由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8，所以x － 12 ＝8－ 12 ＝18＝122＝24.故选D.2．[2016·武邑中学仿真]lg 51000－8 23 ＝( ) A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4答案 B解析 lg 51000－8 23 ＝lg 5103－8 23 ＝lg 1035 －(23) 23 ＝35－4＝－175.3．[2016·冀州中学猜题]已知x ＝log 23，y ＝log 4π，z ，则( ) A ．x <y <z B ．z <y <x C ．y <z <x D ．y <x <z答案 A解析 y ＝log 4π＝log 2πlog 24＝log 2π>log 23，即y >x ，z >1，所以x <y <z .故选A.4．[2016·枣强中学期中]已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f (x 0)≤2成立的概率是( )A.14B.13C.27D.12答案 C解析 1≤f (x 0)≤2⇒1≤log 2x 0≤2⇒2≤x 0≤4，∴所求概率为4－28－1＝27.5. [2016·衡水二中仿真]已知函数g (x )是偶函数，f (x )＝g (x －2)，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，若1<a <3，则( )A ．f (4a )<f (3)<f (log 3a )B ．f (3)<f (log 3a )<f (4a )C ．f (log 3a )<f (3)<f (4a )D ．f (log 3a )<f (4a )<f (3) 答案 B解析 ∵(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时，f ′(x )>0；x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．∵g (x )是偶函数，∴g (x －2)关于x ＝2对称，即f (x )关于x ＝2对称，∵1<a <3，∴f (3)<f (log 3a )<f (4a )．故选B.6．[2016·枣强中学期末]已知函数f (x )＝|log 12 x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12 x ，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12 m ＝－log 12n .∴mn ＝1.∴0<m <1，n >1.∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.7．[2016·衡水二中模拟]已知函数f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4]答案 D解析 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log t 在定义域上为减函数，要使f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎨⎧－－a 2≤2，g (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，a >－4，即－4<a ≤4，选D. 8．[2016·武邑中学预测]函数y ＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )答案 D解析 y ＝lg 1|x |是偶函数，关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，而y ＝lg1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的．故选D.9．[2016·冀州中学仿真]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案 D解析 从对数的底数入手进行讨论，结合各个选项的图象从抛物线对称轴的取值范围进行判断，D 选项0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1,0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a <12，0<－b 2a <12或－12<－b2a <0，故选D.10. [2016·武邑中学猜题]若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件：①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②M ，N 关于原点对称．则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 C解析 由题意，当x >0时，将f (x )＝log 3x 的图象关于原点对称后可知，g (x )＝－log 3(－x )(x <0)的图象与x ≤0时f (x )＝－x 2－4x 的图象存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的个数为2，故选C.11．[2016·衡水二中期末]已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝alg (x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为________． 答案 (2,3)解析 因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2有最小值2，所以lg (x 2－2x ＋3)≥lg 2，所以要使函数f (x )有最大值，则函数f (x )必须单调递减，所以0<a <1.由log a (x 2－5x ＋7)>0得0<x 2－5x ＋7<1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x 2－5x ＋7，x 2－5x ＋7<1，解得2<x <3，即原不等式的解集为(2,3)． 12．[2016·冀州中学预测]已知函数f (x )＝log 12 (x 2－2ax ＋3)．(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意可知，x 2－2ax ＋3＝0的两根为x 1＝1， x 2＝3，∴x 1＋x 2＝2a ，∴a ＝2.(2)因为函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1， 所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2， 由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2， 所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，有y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，故1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[1,2)．能力组13.[2016·枣强中学模拟]设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－ 12 ，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 答案 C解析 ∵12<log 32＝ln 2ln 3<ln 2，而c ＝5－ 12 ＝15<12，∴c <a <b . 14. [2016·衡水二中期中]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.15．[2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83，若0<a <1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a >0，所以a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，83. 16．[2016·武邑中学月考]已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围． 解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图知，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1， 即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a .当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0<a <1时得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．。
对数及对数函数要点及解题技巧讲解
考 情
础
(2)若函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的
验 · 明 考
基 础
＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2
情
log64
＝2（12－lolgo6g263）＝log6l6o－g6l2og63＝lloogg6622＝1.
典 例 探 究
(3)原式＝(llgg 23＋llgg 29)·(llgg 34＋llgg 38)
课 后 作
· 提 知
1 4
－lg
25)÷100－
1 2
＝
考 体 验
实 ·
________．
· 明
固 基 础
(2)(2013·大连模拟)设2a＝5b＝m，且
1 a
＋
1 b
＝2，则m＝
考 情
________．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自
【解析】 (1)原式＝(lg 1100)÷110＝－20.
新课标 ·文科数学（安徽专用）
第六节 对数与对数函数
高
自
考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
自
考
主
体
落
实
1．对数的概念
验 ·
·
明
新高考数学一轮复习教师用书：第2章 6 第6讲 对数与对数函数
第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数,N叫做真数性质底数的限制：a>0,且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0 底数的对数是1：log a a＝1 对数恒等式：alog a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝nlog a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a(a>0,且a≠1；c>0,且c≠1；b>0) 推广：log am b n＝nmlog a b；log a b＝1log b a2.对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域：(0,＋∞)值域：R过定点(1,0)当x>1时,y>0当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0当0<x<1时,y>0在(0,＋∞)上是增函数在(0,＋∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y ＝log a x,y ＝log b x,y ＝log c x,y ＝log d x(a ＞1,b ＞1,0＜c ＜1,0＜d ＜1)的图象,如图所示．作出直线y ＝1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象,单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)log a (MN)＝log a M ＋log a N.( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y)．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)在(0,＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1,函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________． 解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f(x)是函数y ＝2x的反函数,则f(2)＝________． 解析：由题意知f(x)＝log 2x, 所以f(2)＝log 22＝1. 答案：13．(必修1P71表格改编)函数y ＝log a (4－x)＋1(a ＞0,且a≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时,y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3,1)． 答案：(3,1)4．(必修1P82A 组T6改编)已知a ＝2－13,b ＝log 213,c ＝log 1213,则a,b,c 的大小关系为________．解析：因为0<a<1,b<0,c ＝log 1213＝log 23>1.所以c>a>b.答案：c>a>b [易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a>0,a ≠1,函数y ＝a x与y ＝log a (－x)的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x)的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称,符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x(a>0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a>1时,有log a 4－log a 2＝1,解得a ＝2；②当0<a<1时,有log a 2－log a 4＝1,解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________． 解析：由log 23(2x －1)≥0,得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log 212＝______,2log 23＋log 43＝________．(2)若a ＝log 43,则2a＋2－a＝________． 【解析】 (1)log 212＝log 22－12＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2(3·312)＝3 3.(2)因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23,所以2a＋2－a＝2log 23＋2－log 2 3 ＝3＋2log 233＝3＋33＝433. 【答案】 (1)－12 3 3 (2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算：2log 510＋log 514＝________,2log 43＝________．解析：2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2,因为log 43＝12log 23＝log 23,所以2log 43＝2log 23＝ 3.答案：232．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________． 解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2)＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y ＝2log 4(1－x)的图象大致是( )(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上,且m>0,n>0,则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28【解析】 (1)函数y ＝2log 4(1－x)的定义域为(－∞,1),排除A,B ；又函数y ＝2log 4(1－x)在定义域内单调递减,排除D.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过A(－3,－1), 由点A 在直线x m ＋y n ＝－1上可得,－3m ＋－1n ＝－1,即3m ＋1n＝1,故3m ＋n ＝(3m ＋n)×⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ,因为m>0,n>0,所以n m ＋mn≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn,即m ＝n 时取等号), 故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16,故选B.【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c)(a,c 为常数,其中a>0,a ≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A ．a>1,c>1B ．a>1,0<c<1C ．0<a<1,c>1D ．0<a<1,0<c<1解析：选D.由对数函数的性质得0<a<1,因为函数y ＝log a (x ＋c)的图象在c>0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的,所以根据题中图象可知0<c<1.2．已知函数f(x)＝log a (x ＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1),则log b a ＝________． 解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝log a (－1＋b)＝0且f(0)＝log a (0＋b)＝1,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以logb a ＝1. 答案：1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域； (2)比较对数值的大小； (3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题． 角度一 求对数型函数的定义域函数f(x)＝log 13（4x －5）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，54 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 【解析】 要使函数有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，log 13（4x －5）≥0，所以0<4x －5≤1,54<x ≤32.故函数f(x)的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32.【答案】 C角度二 比较对数值的大小(1)已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a ＝－f(log 215),b ＝f(log 24.1),c ＝f(20.8),则a,b,c 的大小关系为( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b(2)设a ＝log 3π,b ＝log 23,c ＝log 32,则( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．b>a>cD ．b>c>a【解析】 (1)由f(x)是奇函数可得,a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f(log 25),因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8,且函数f(x)是增函数,所以c<b<a.(2)因为a ＝log 3π>log 33＝1,b ＝log 23<log 22＝1,所以a>b,又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1,c>0,所以b>c,故a>b>c.【答案】 (1)C (2)A 角度三 解对数不等式设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0.若f(a)>f(－a),则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C ．(－1,0)∪(1,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(0,1)【解析】 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解得a>1或－1<a<0.故选C. 【答案】 C角度四 与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y ＝lg|x|( ) A ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递增 B ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递减 C ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递增D ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递减(2)若f(x)＝lg(x 2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞,1]上递减,则a 的取值范围为________．【解析】 (1)因为lg|－x|＝lg|x|,所以函数y ＝lg|x|为偶函数,又函数y ＝lg|x|在区间(0,＋∞)上单调递增,由其图象关于y 轴对称可得,y ＝lg|x|在区间(－∞,0)上单调递减,故选B.(2)令函数g(x)＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a)2＋1＋a －a 2,对称轴为x ＝a,要使函数在(－∞,1]上递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a ≥1，解得1≤a<2,即a∈[1,2)． 【答案】 (1)B (2)[1,2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论．②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较． ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x>log a b 的不等式,借助y ＝log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论．②形如log a x>b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a>0,a ≠1,函数f(x)＝log a |ax 2－x|在[3,4]上是增函数,则a 的取值范围是( )A.16≤a<14或a>1 B ．a>1 C.18≤a<14 D.15≤a ≤14或a>1 解析：选A.令t ＝|ax 2－x|,y ＝log a t,当a>1时,外函数为递增函数,所以内函数t ＝|ax 2－x|,x ∈[3,4],要为递增函数,所以1a <3或4≤12a ,解得a>13或a≤18,所以a>1,当0<a<1时,外函数为递减函数,所以内函数t＝|ax 2－x|,x ∈[3,4],要为递减函数,12a ≤3<4<1a ,解得16≤a<14,综上所述,16≤a<14或a>1,故选A.2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f(x)＝lg(2x －4),则方程f(x)＝1的解是________,不等式f(x)<0的解集是________．解析：因为f(x)＝1,所以lg(2x －4)＝1,所以2x －4＝10,所以x ＝7；因为f(x)<0,所以0<2x －4<1,所以2<x<2.5,所以不等式f(x)<0的解集是(2,2.5)．答案：7 (2,2.5)思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f(x)＝log a (2x －a)(a>0且a≠1)在区间[12,23]上恒有f(x)>0,则实数a 的取值范围是( )A ．(13,1)B ．[13,1)C ．(23,1)D ．[23,1)【解析】 当0<a<1时,函数f(x)在区间[12,23]上是减函数,所以log a (43－a)>0,即0<43－a<1,解得13<a<43,故13<a<1；当a>1时,函数f(x)在区间[12,23]上是增函数,所以log a (1－a)>0,即1－a>1,解得a<0,此时无解．综上所述,实数a 的取值范围是(13,1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想,在研究指数、对数函数的性质时,常对底数a 的值进行分类讨论,实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝b ＋ax2＋2x(a,b 是常数且a>0,a ≠1)在区间[－32,0]上有y max ＝3,y min ＝52,试求a,b 的值．解：令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1, 因为x∈[－32,0],所以t∈[－1,0]．(1)若a>1,函数f(x)＝a t在[－1,0]上为增函数, 所以a t∈[1a,1],则b ＋ax2＋2x ∈[b ＋1a ,b ＋1],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a<1,函数f(x)＝a t在[－1,0]上为减函数, 所以a t∈[1,1a],则b ＋ax2＋2x ∈[b ＋1,b ＋1a ],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上,a,b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[基础题组练]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A. 2．函数f(x)＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3,0) B ．(－3,0]C ．(－∞,－3)∪(0,＋∞)D ．(－∞,－3)∪(－3,0)解析：选A.因为f(x)＝ln （x ＋3）1－2x,所以要使函数f(x)有意义,需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x<0. 3．(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p,log 35＝q,则lg 5(用p 、q 表示)等于( ) A.3p ＋q5 B.1＋3pqp ＋qC.3pq1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p,所以lg 3＝3plg 2,又因为log 35＝q,所以lg 5＝qlg 3,所以lg 5＝3pqlg2＝3pq(1－lg 5),所以lg 5＝3pq1＋3pq,故选C.4．若函数f(x)＝ax －1的图象经过点(4,2),则函数g(x)＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f(4)＝2,即a 3＝2,a ＝32. 所以g(x)＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g(0)＝0,且g(x)在定义域上是减函数,故排除A,B,C.5．(2020·瑞安四校联考)已知函数f(x)＝log 12|x －1|,则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(0)<f(3)B ．f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(3)C ．f(3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(0)D ．f(3)<f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：选C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝log 1232,因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0,所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f(0)＝log 121＝0；f(3)＝log 122＝－1,所以C 正确．6．设函数f(x)＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1,则不等式f(log 2x)＋f(log 12x )≥2的解集为( )A ．(0,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2,＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2,＋∞) 解析：选B.因为f(x)的定义域为R,f(－x)＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f(x),所以f(x)为R 上的偶函数．易知其在区间[0,＋∞)上单调递减,令t ＝log 2x,所以log 12x ＝－t,则不等式f(log 2x)＋f(log 12x )≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2,即2f(t)≥2,所以f(t)≥1,又因为f(1)＝log 122＋83＋1＝1,f(x)在[0,＋∞)上单调递减,在R 上为偶函数,所以－1≤t≤1,即log 2x∈[－1,1],所以x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,故选B. 7．(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a,b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b),则1a ＋1b 的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b)＝k, 所以a ＝2k,b ＝5k,a ＋b ＝10k,所以ab ＝10k, 所以a ＋b ＝ab,则1a ＋1b ＝1.答案：18．设函数f(x)＝|log a x|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1],若n －m 的最小值为13,则实数a的值为________．解析：作出y ＝|log a x|(0＜a ＜1)的大致图象如图,令|log a x|＝1. 得x ＝a 或x ＝1a ,又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0, 故1－a ＜1a－1,所以n －m 的最小值为1－a ＝13,a ＝23.答案：239．(2020·台州模拟)已知函数f(x)＝log a (8－ax)(a>0,a ≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围为________．解析：当a>1时,f(x)＝log a (8－ax)在[1,2]上是减函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min ＝log a (8－2a)>1, 解得1<a<83,当0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min ＝log a (8－a)>1, 且8－2a<0,所以a>4,且a<1,故不存在．综上可知,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 10．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x|，0＜x≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：由f(a)＝f(b)＝f(c),可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c,则ab ＝1,bc ＝9,故a ＝1b ,c ＝9b ,则a ＋b＋c ＝b ＋10b ,又b∈(1,3),位于函数f(b)＝b ＋10b 的减区间上,所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎪⎫193，1111．函数f(x)＝log 12(a x－3)(a>0且a≠1)．(1)若a ＝2,求函数f(x)在(2,＋∞)上的值域；(2)若函数f(x)在(－∞,－2)上单调递增,求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x－3＝2x－3,则它在(2,＋∞)上是增函数,所以t>22－3＝1, 由复合函数的单调性原则可知,f(x)＝log 12(2x－3)在(2,＋∞)上单调递减,所以f(x)<f(2)＝log 12 1＝0,即函数f(x)在(2,＋∞)上的值域为(－∞,0)．(2)因为函数f(x)在(－∞,－2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则,所以t ＝a x－3在(－∞,－2)上单调递减且恒为正数,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，t min>a －2－3≥0，解得0<a≤33. [综合题组练]1．设x,y,z 为正数,且2x＝3y＝5z,则( ) A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z解析：选D.设2x＝3y＝5z ＝k>1, 所以x ＝log 2k,y ＝log 3k,z ＝log 5k.因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0,所以2x>3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k 125243log k 3·log k 5<0,所以3y<5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0,所以5z>2x.所以5z>2x>3y,故选D.2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数：f 1(x)＝2log 2(x ＋1),f 2(x)＝log 2(x ＋2),f 3(x)＝log 2x 2,f 4(x)＝log 2(2x),其中“同形”函数是( )A ．f 2(x)与f 4(x)B ．f 1(x)与f 3(x)C ．f 1(x)与f 4(x)D ．f 3(x)与f 4(x)解析：选A.f 3(x)＝log 2x 2是偶函数,而其余函数无论怎样变换都不是偶函数,故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x)的图象重合,故排除选项B,D ；f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x,将f 2(x)＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象,再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x 的图象,根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f(x)＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数,其中e 为自然对数的底数,则m ＝________,若a 2＋ab ＋4b 2≤m,则ab 的取值范围是________．解析：由题意,f(－x)＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx,所以2mx ＝ln(e 2x ＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x,所以m ＝1,因为a 2＋ab ＋4b 2≤m,所以4|ab|＋ab≤1,所以－13≤ab ≤15,故答案为1,⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15.答案：1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，154．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)单调递减,若实数a 满足f(log 3a)＋f(log 13a )≥2f(1),则a 的取值范围是________．解析：由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数,则f(－x)＝f(x),即有f(x)＝f(|x|), 由实数a 满足f(log 3a)＋f(log 13a )≥2f(1),则有f(log 3a)＋f(－log 3a )≥2f(1), 即2f(log 3a )≥2f(1)即f(log 3a )≥f(1), 即有f(|log 3a|)≥f(1),由于f(x)在区间[0,＋∞)上单调递减, 则|log 3a|≤1,即有－1≤log 3a ≤1, 解得13≤a ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3。
函数及其性质：第6讲对数函数
对数函数对数的运算 【知识简介】对数的运算在高考中单独出现的频率不高，通过对数运算，可以降低运算级别，把积、商、幂转化成和、差、倍运算，常与等差数列、等比数列结合考查，难度不大． 【典例】 1(1)(2013·四川文，11)lg 5＋lg 20的值是________． (2)(2014·安徽文，11)⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________. 【解析】 (1)lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫234－34＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＋log 31＝278. 【答案】 (1)1 (2)278(2013·陕西文，3)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a cB 由对数换底公式可知A 错误．log a b ·log c a ＝log a b ·1log a c ＝log a b log a c ＝log c b ，故B 正确．因为log a (bc )＝log a b＋log a c ，所以C ，D 均错误，故选B.,对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 对数函数 【知识简介】对数函数的图象与性质是每年高考的必考内容之一，主要考查比较对数值的大小，解简单的对数不等式，有时考查判断对数型函数的单调性、奇偶性及最值问题．多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．【典例】2(1)(2013·湖南，5)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为() A．3B．2C．1D．0(2)(2014·山东文，6)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【解析】(1)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝说(x－2)2＋1的图象，如图所示．【答案】(1)B(2)D(2015·山东威海一模，13)已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝log a(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．【答案】 (1，＋∞),对数值大小比较的主要方法 (1)化同底数后利用函数的单调性； (2)化同真数后利用图象比较；(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．与对数函数有关的复合函数问题的求解策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，首先要确定函数的定义域，所有问题必须在定义域内讨论；其次分析底数与1的大小关系，底数大于1与底数小于1的两个函数的性质截然不同；最后考虑复合函数的构成，分析它是由哪些基本初等函数复合而成的． 综合应用 【知识简介】综合考查指数、对数运算，及指数函数、对数函数的单调性、图象等，高考中常以选择题、填空题形式出现，难度中等．【典例】 3(1)(2014·辽宁，3)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a(2)(2015·四川，8)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2013·课标Ⅰ，11)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]【解析】 (1)由于0<2－13<20，所以0<a <1；由于log 213<log 21＝0，所以b <0；由于log 1213>log 1212＝1，所以c >1.综上，c >a >b .(2)由3a >3b >31，得a ＞b >1，∴log 3a ＞log 3b ＞0. 由换底公式得，1log a 3＞1log b 3＞0，即log a 3＜log b 3. 而由log a 3<log b 3不能推出a >b >1，例如，当a <1，b >1时，满足log a 3<log b 3，但此时3b ＞3＞3a . 故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．【答案】 (1)C (2)B (3)D 【名师点睛】题(3)恒成立问题首先想到分离参数，所以当x ≤0时，把x 2－2x ≥ax 化为x [(x －2)－a ]≥0，得到(x －2)－a ≤0，就达到了参变分离的效果；当x >0时，采用画图，通过数形结合就可以看出a 的范围． (2012·课标全国文，11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) B 方法一：由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，把点⎝⎛⎭⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22，若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.解决不等式有解或恒成立问题的方法对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为： (1)对不等式变形，使不等号两边对应两函数f (x )，g (x )； (2)在同一坐标系下作出两函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象；(3)比较当x 在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况．利用对数函数的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【针对训练】1．(2015·山东日照质检，3)2lg 2－lg 125的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．41．B 2lg 2－lg 125＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.2．(2016·河北石家庄二模，3)已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c2．A 因为a ＝3>1，0<b ＝log 1312＝log 32<1，c ＝log 213＝－log 23<0，故a >b >c ，故选A.3．(2016·山东烟台一模，5)已知函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(其中a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则f (x )，g (x )在同一坐标系内的大致图象是()3．B ∵f (4)＝a 4－2＝a 2>0，又f (4)g (－4)<0，∴g (－4)＝log a |－4|＝log a 4<0，∴0<a <1，∴f (x )在R 上单调递减，过点(2，1)，g (x )为偶函数，其图象在(0，＋∞)上单调递减，故选B.4．(2016·山西太原五中质检，9)若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内单调递增，则 a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫14，1 B.⎣⎡⎭⎫34，1 C.⎣⎡⎭⎫94，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫1，945．(2015·河南安阳模拟，15)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |（0＜x ≤e ），2－ln x （x ＞e ）.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．5．【解析】 画出函数f (x )的图象，如图．不妨令a ＜b ＜c ，由已知和图象可知，0＜a ＜1＜b ＜e ＜c ＜e 2. ∵－ln a ＝ln b ，∴ab ＝1.∵ln b ＝2－ln c ，∴bc ＝e 2， ∴a ＋b ＋c ＝b ＋e 2＋1b (1<b <e)，∵⎝⎛⎭⎫b ＋e 2＋1b ′＝1－e 2＋1b 2<0，故其在(1，e)上为减函数，∴2e ＋1e <a ＋b ＋c <e 2＋2，∴a ＋b ＋c 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ＋2e ，2＋e 2. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫1e ＋2e ，2＋e 2【点击高考】1．(2016·课标Ⅰ，8，中)若a >b >1，0<c <1，则( ) A ．a c <b c B ．ab c <ba c C ．a log b c <b log a c D ．log a c <log b c2．(2014·福建，4，易)若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的( )2．B 由题图可知y ＝log a x 过点(3，1)， ∴log a 3＝1，∴a ＝3.对A ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上为减函数，错误； 对B ，y ＝x 3，符合；对C ，y ＝－x 3在R 上为减函数，错误；对D ，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．3．(2013·课标Ⅱ，8，中)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c3．D 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32＞log 52＞log 72，所以a ＞b ＞c ，故选D.4．(2014·四川，9，难)已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1，1)．现有下列命题： ①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝⎛⎭⎫2x1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中的所有正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①②当x ∈[0，1)时，|f (x )|＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝ln 1＋x1－x ，2|x |＝2x ，令g (x )＝ln 1＋x1－x－2x ，则g ′(x )＝2x 21－x 2≥0，∴g (x )在[0，1)上为增函数，∴g (x )≥g (0)＝0，即|f (x )|≥2|x |；当x ∈(－1，0)时，|f (x )|＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－ln 1＋x1－x ，2|x |＝－2x ，令h (x )＝2x －ln 1＋x1－x ，则h ′(x )＝－2x 21－x 2＜0，∴h (x )在(－1，0)上为减函数， ∴h (x )＞0，即|f (x )|＞2|x |.∴当x ∈(－1，1)时，|f (x )|≥2|x |，故③正确．5．(2016·浙江，12，中)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.【答案】 4 26．(2015·浙江，12，易)若a ＝log 43，则2a ＋2-a ＝________． 6．【解析】 ∵a ＝log 43＝12log 23，∴2a ＋2－a ＝212log 23＋2－12log 23＝(2log 23)12＋(2log 23)－12＝312＋3－12＝3＋13＝433.【答案】4337．(2014·重庆，12，易)函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为________．1【答案】－4。
高考数学复习讲义： 对数与对数函数
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[易错提醒] 应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求 解错误，要记准记牢图象的变换规律．
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[集训冲关]
1.[考法一]函数 f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为 ( )
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解析：由函数 f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关 于 y 轴对称．设 g(x)＝loga|x|，先画出 x>0 时，g(x)的图象， 然后根据 g(x)的图象关于 y 轴对称画出 x<0 时 g(x)的图象， 最后由函数 g(x)的图象向上整体平移一个单位即得 f(x)的图 象，结合图象知选 A. 答案：A
() ()
(3)存在这样的 M，N 使得 log2(MN)＝log2M·log2N.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
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二、填空题
1．已知 log62＝p，log65＝q，则 lg 5＝________(用 p，q 表示)．
解析：lg 5＝lloogg66150＝log62＋q log65＝p＋q q. 答案：p＋q q
抓牢双基·自学回扣
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对数函数的性质
[基本知识]
函数
y＝logax(a>0，且 a≠1)
a>1
0<a<1
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性 单调性 在(0，＋∞)上是_增__函__数_ 在(0，＋∞)上是_减__函__数_
质 函数值
当 x＝1 时， y＝0
变化规 当 x>1 时， y>0 ； 当 x>1 时， y<0 ；
N 叫做真数，logaN 叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔ x＝logaN loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝ N
高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解
高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）355log ＋212log －1505log －145log ； （2）log 2125×log 318×log 519.练习题1．计算：lg 12－lg 58＋－log 89·log 278； ＋212log －log 5150－log 514； 125×log 318×log 519. 4. 3991log log 4log 32+-． 5. 4lg 2lg 5lg 22+-221(6).log 24lg log lg 2log 32+-- 7.2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++ 例2．已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z ＞1. (1)求证：2x ＋1y ＝2z； (2)试比较3x 、4y 、6z 的大小．练习题．已知log 189＝a ，18b ＝5，用a 、b 表示log 3645. 题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数()22log 1xf x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式22a a x --<的解集为B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．2．设函数22log (22)y ax x =-+定义域为A ． （1）若A R =，求实数a 的取值范围；（2）若22log (22)2ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围． 练习题1．已知函数()()2lg 21f x ax x =++（1）若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域； （2）若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围及()f x 的定义域 2 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 题型三（奇偶性及其单调性）例题1．已知定义域为R 的函数f(x)为奇函数，且满足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(12log 24)的值．2. 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.3.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 4．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （Ⅰ）求函数()y f x =的定义域； （Ⅱ）判断函数()y f x =的奇偶性； （Ⅲ）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)(a ＞0，a≠1) (1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的取值范围2．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(0)0f =，当0x >时，12()log f x x =.（1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式2(1)2f x ->-；3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．（Ⅰ）求(0)f ，(1)f ； （Ⅱ）求函数()f x 的表达式；（Ⅲ）若(1)1f a -<-，求a 的取值范围． 题型4（函数图像问题）例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是2.求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 3．设f(x)＝|lg x|，a ，b 为实数，且0＜a ＜b. (1)求方程f(x)＝1的解； (2)若a ，b 满足f(a)＝f(b)＝2f 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭， 求证：a·b＝1，2a b+＞1. 练习题：1．已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a -=11log )(，记)()(2)(x g x f x F += （1）求函数)(x F 的定义域及其零点；（2）若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围. 2．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23x a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．3.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 题型五：函数方程1方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.2.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 4．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数）. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若2a =，[]1,9x ∈,求函数()f x 的值域；（Ⅲ）若函数()f x y a =的图像恒在直线21y x =-+的上方，求实数a 的取值范围. 5．已知函数221log log (28).242x x y x =⋅⋅≤≤（Ⅰ）令x t 2log =，求y 关于t 的函数关系式及t 的取值范围； （Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x 的值.6.设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.。
第6讲 对数与对数函数 课件(共82张PPT)
解析 由 alog34＝2 可得 log34a＝2，所以 4a＝9，所以 4－a＝19，故选 B．
解析 答案
2．已知 a>0，a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析 若 a>1，则 y＝ax 是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若 0<a<1， 则 y＝ax 是减函数，y＝loga(－x)是增函数，故选 B．
且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 10 ___y_＝__x___对称．
1．对数的性质(a＞0 且 a≠1) (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N. 2．换底公式及其推论 (1)logab＝llooggccba(a，c 均大于 0 且不等于 1，b＞0)； (2)logab·logba＝1，即 logab＝log1ba(a，b 均大于 0 且不等于 1)； (3)logambn＝mn logab； (4)logab·logbc·logcd＝logad.
增区间．
∵当 x∈(4，＋∞)时，函数 t＝x2－2x－8 为增函数，
∴函数 f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选 D．
解析 答案
6．计算：log23×log34＋( 3)log34＝________. 答案 4 解析 log23×log34＋( 3)log34 ＝llgg 32×2llgg32＋3 log34＝2＋3log32＝2＋2＝4.
8 5
＜lg152·lg
3＋lg 2
82＝
lg
3＋lg 2lg 5
82＝llgg
22452＜1，∴a＜b.由
b＝log85，得
8b＝5，由
55＜84，得
85b
＜84，∴5b＜4，可得 b＜45.由 c＝log138，得 13c＝8，由 134＜85，得 134＜135c，
高考数学易错点第6讲：指数函数、对数函数、幂函数、二次函数
高考数学易错点第6讲：指数函数、对数函数、幂函数、二次函数易错知识1．对数函数、指数函数中容易忽略底数的取值范围；2．在对数式中，要注意真数是大于零的；3．函数的单调区间与在区间上单调是两个不同的概念；4.对于最高项系数含有参数的函数，要注意对参数的讨论；易错分析一、对数函数中忽视对底数的讨论致错1．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【错解】已知f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.故实数a【错因】没有对底数a 进行分情况讨论，【正解】二、忽视对数式中真数大于零致错2．函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______．【错解】令g (x )＝x 2＋2x －3，则函数g (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是(－1，＋∞)．【错因】没有保证对数式中真数大于零，【正解】3．已知函数f (x )＝log a (ax 2－2x ＋5)(a >0，且a≠1)a 的取值范围为()忽视对高次项系数的讨论致错使用换元法忽视新变量范围致错A.310(，∪[2，＋∞)B.13，(1,2]C.19，13∪[2，＋∞)D ．19，13∪(1,2]【错解】选A当0<a <1时，由复合函数单调性知函数u ＝ax 2－2x ＋5且u >0恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<3110aa ，解得0<a ≤13；当a >1时，由复合函数单调性知函数u ＝ax 2－2x ＋5u >0恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>2111a a ，解得a ≥2.综上，a 的取值范围为]310(，∪[2，＋∞)．【错因】没有保证对数式中真数大于零，【正解】三、忽视高次项系数的讨论致错4．函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为()A ．－14B ．0 C.14D ．0或－14【错解】选A若f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则方程ax 2－x －1=0有且仅有一个根，则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【错因】没有对二次项系数a 分情况讨论，【正解】5．若函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是()－14，＋∞ B.－14，＋∞C.－14，D ．－14，0【错解】选C函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.故选C.【错因】没有对二次项系数a 分情况讨论，【正解】四、指数函数中忽视对底数的讨论致错6．若函数f (x )＝a22-+1x ax (a >0且a ≠1)在区间(1,3)上单调递增，则实数a 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(1,4]D ．(－∞，4]【错解】选D221y x ax =-+∞根据复合函数的单调性可知，f (x )∞f (x )在(1,3)上单调递增，所以14≤a，解得a ≤4.所以a 的取值范围为(－∞，4]．【错因】没有对底数a 进行分情况讨论，【正解】五、幂函数中忽视定义域致错7．已知幂函数f (x )＝x-12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．【错解】∵f (x )＝x -12＝1x(x ＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴aa 2101->+，解得3＜a .答案：(3,＋∞)．【错因】没有考虑函数的定义域，【正解】六、使用换元法时没有注意注意新元的取值范围致错8．(注意新元的取值范围)已知函数y ＝4x －3·2x ＋3，若其值域为[1,7]，则x 可能的取值范围是()A ．[2,4]B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]【错解】选D令t ＝2x ，则y ＝t 2－3t ＋3＋34，其图象的对称轴为直线t ＝32.当x ∈[2,4]时，t ∈[4,16]，此时y ∈[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]时，t ∈(－∞,1]，此时y ∈[1,3)，不满足题意；当x ∈(0,1]∪[2,4]时，t ∈(－∞,2]∪[4,16]，此时y ∈34，1∪[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]∪[1,2]时，t ∈(－∞,1]∪[2,4]，此时y ∈[1,7]，满足题意．故选D.【错因】没有考虑新元t 的取值范围，因为2x >0，所以t >0。
高考数学专题复习 对数及对数函数(原卷版+解析版)
第六讲 对数及对数函数【套路秘籍】一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M . 二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【套路修炼】考向一 对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝. （2）若3a=5b=225，则1a +1b = 。
（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。
【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为． 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝.3． 设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝.4.计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．7.方程33x －56＝3x －1的实数解为．考向二 对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(18)等于( ) A ．3 B ．−3 C ．−log 36 D ．−log 38【举一反三】1．下列函数是对数函数的是( )A ．y =log 3(x +1)B ．y =log a (2x)(a >0,a ≠1)C ．y =lnxD ．y =log a x 2(a >0,a ≠1) 2．下列函数，是对数函数的是 A ．y=lg10xB ．y=log 3x2C ．y=lnxD ．y=log13（x –1）3．在M=log （x –3）（x+1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为A ．（–∞，3]B ．（3，4）∪（4，+∞）C ．（4，+∞）D ．（3，4）考向三 对数的单调性【例3】（1）函数f(x)=lg(6x −x 2)的单调递减区间为 。
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第6讲对数与对数函数一、选择题1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.答案 A2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A.a＝b<cB.a＝b>cC.a<b<cD.a>b>c解析因为a＝log23＋log23＝log233＝32log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝log32<log33＝1.答案 B3.若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B4.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A.5B.3C.－1D.72解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案 A5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0D.(b －1)(b －a )>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.由log a b >1得log a ba >0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0<ba <1， 则b >a >1或0<b <a <1. 故(b －a )(b －1)>0. 答案 D 二、填空题6.设f (x )＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1，1).由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.答案 (－1，0)7.设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________.解析 由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 答案 328.(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.解析 当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1，2].答案 (1，2] 三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值.解 (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3). (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.10.(2016·衡阳月考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5).11.(2017·长沙质检)设f (x )＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r <p B.p ＝r <q C.q ＝r >pD.p ＝r >q解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r <q . 答案 B 12.已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________. 解析 由题意可知lna 1－a ＋lnb 1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1413.(2016·浙江卷)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1， ∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4. 答案 4 214.设x ∈[2，8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值.解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2，8]，∴a ∈(0，1). ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得. 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去.若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a ＝12.。