数字信号处理_第六章
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数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
数字信号处理_刘顺兰 第6章 完整版习题解答
其系统的频率响应为
H (e j )
n
h(n)e j n e j n
n 0 j n
2
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
H (e )
j
n
h(n)e
2 n 0
e
j j
e j , c c , H d (e ) 0 , c , c
j
则
hd (n)
1 H d (e j )e jn d 2 1 c j jn e e d 2 c sin[ c (n )] (n )
n 0
2
j n
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
或
H (e j ) e j n 1 e j e j 2 e j (e j 1 e j ) e j (1 2 cos )
1 0 n 6 ； 0 其它n
1 0 n 3 ； 0 其它n
（1） 分别判断是否为线性相位 FIR 滤波器？如是，请问是哪一类线性相位滤波器？ （2） 如果是线性相位滤波器，写出它们的相位函数，群延迟。 解：(a) h( n) ( n) ( n 3) 则
H ( z ) 1 z 3 H (e ) 1 e
4
（2）
(1)
n 0
5
n
h( n) 0
j / 4
。
（3）在 z 0.7e （4）
处 H ( z ) 等于零。 。
5
H (e
数字信号处理ppt第六章
§6-1 引言
一、DF按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通，
其特点为：
（1）频率变量以数字频率 ω 表示，ω = ΩT ，
Ω 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 ωs = 2πfs ⋅T = 2π 为周期； （3）频率特性只限于 ω ≤ ω s / 2 = π 范围，这
3、由 A2 (Ω) = H a ( jΩ) 2 确定 H a (s)的方法
（1）求 H a (s)H a (−s) = A2 (Ω) Ω2 =−S 2
（2）分解 Ha (S)Ha (−S),得到各零极点，将左半面的 极点 归于 Ha (S)，对称的零点任一半归 Ha (S)。若要求 最小相位延时，左半面的零点归 Ha (S)（全部零极点 位于单位圆内）。
将2、技Q∴计术算2H指0所a标l(g需j，ΩH的代)a阶2入( j=数Ω上1及式)/[3=1，d+B−可截(1得Ω0Ω止lC频g)[21率N+]Ω(CΩΩC )2N ]
{−10lg[1+ ( 2π×103 )2N ] ≥ −1 −10lg[1+ (3π×Ω1C03 )2N ] ≤ −15 ΩC
解上述两式得：
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。
四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
五、IIR数字filter的设计方法
1、借助模拟filter的设计方法 （1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 Ha (s)； （3）将 H a (s) → H (z) （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通
一、DF按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通，
其特点为：
（1）频率变量以数字频率 ω 表示，ω = ΩT ，
Ω 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 ωs = 2πfs ⋅T = 2π 为周期； （3）频率特性只限于 ω ≤ ω s / 2 = π 范围，这
3、由 A2 (Ω) = H a ( jΩ) 2 确定 H a (s)的方法
（1）求 H a (s)H a (−s) = A2 (Ω) Ω2 =−S 2
（2）分解 Ha (S)Ha (−S),得到各零极点，将左半面的 极点 归于 Ha (S)，对称的零点任一半归 Ha (S)。若要求 最小相位延时，左半面的零点归 Ha (S)（全部零极点 位于单位圆内）。
将2、技Q∴计术算2H指0所a标l(g需j，ΩH的代)a阶2入( j=数Ω上1及式)/[3=1，d+B−可截(1得Ω0Ω止lC频g)[21率N+]Ω(CΩΩC )2N ]
{−10lg[1+ ( 2π×103 )2N ] ≥ −1 −10lg[1+ (3π×Ω1C03 )2N ] ≤ −15 ΩC
解上述两式得：
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。
四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
五、IIR数字filter的设计方法
1、借助模拟filter的设计方法 （1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 Ha (s)； （3）将 H a (s) → H (z) （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通
数字信号处理第六章
1）幅度函数特点：
H a ( j)
2
1 1 c
2
2N
0
c
H a ( j) 1 H a ( j) 1/ 2 1 3dB 3dB不变性
2
c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
c 过渡带及阻带内快速单调减小
3、逼近情况
1）
s平面虚轴
2）
z平面单位圆
s平面
左半平面
z平面 单位圆内 单位圆外 单位圆上
右半平面
虚轴
例7.4
已知模拟滤波器的传输函数为
1 H a ( s) 2 2s 3s 1
采用双线性变换法将其转换为数字滤波 器的系统函数，设T=2s 解 将s代入Ha(s)可得
H ( z ) H a ( s ) s 2 1 z 1 ,T 2
i 1,2,..., m
例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双 线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器 转换成数字滤波器。 解 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传 输函数Ha(s)为 1
H a ( s)
s
,
RC
利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函 数H1(z)为
低通
0 高通
0 带通 0
带阻
0
全通 0
通带
阻带 过渡带 平滑过渡
三、DF频响的三个参量 1、幅度平方响应
2、相位响应
3、群延迟
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常 数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。 四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用因果稳定LSI的系统函数去逼近这一性 能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
数字信号处理 第六章
第六章数字滤波器结构6、1:级联得实现num = input('分子系数向量 = ');den = input('分母系数向量 = ');[z,p,k] = tf2zp(num,den);sos = zp2sos(z,p,k)Q6、1使用程序P6、1,生成如下有限冲激响应传输函数得一个级联实现:H1(z)=2+10z^(-1)+23z^(-2)+34z^(-3)+31z^(-4)+16 z^(-5)+4z^(-6)画出级联实现得框图。
H1(z)就是一个线性相位传输函数吗?答:运行结果:sos = zp2sos(z,p,k)Numerator coefficient vector = [2,10,23,34,31,16,4]Denominator coefficient vector = [1]sos =2、0000 6、0000 4、0000 1、0000 0 01、0000 1、00002、0000 1、0000 0 01、0000 1、0000 0、5000 1、0000 0 0级联框图:H1(z)不就是一个线性相位传输函数,因为系数不对称。
Q6、2使用程序P6、1,生成如下有限冲激响应传输函数得一个级联实现:H2(z)=6+31z^(-1)+74z^(-2)+102z^(-3)+74z^(-4)+31 z^(-5)+6z^(-6)画出级联实现得框图。
H2(z)就是一个线性相位传输函数吗?只用4个乘法器生成H2(z)得一级联实现。
显示新得级联结构得框图。
Numerator coefficient vector = [6,31,74,102,74,31,6]Denominator coefficient vector = [1]sos =6、0000 15、0000 6、0000 1、0000 0 01、00002、00003、0000 1、0000 0 01、0000 0、6667 0、3333 1、0000 0 0级联框图:H2(z)就是一个线性相位传输函数。
数字信号处理-答案第六章
其中 s k c e
1 2 k 1 j[ ] 2 2N
K 0由s 0 0时H a ( s ) 1来确定。
此题利用幅度平方函数求出其左半平面极点而求得系统函数，
注意 c 3 (不是归一化滤波器）。
解:
幅度平方函数为：
| H ( j) | 2 1 1 ( / c ) 4
设系统抽样频率为 f s 500Hz ，要求从这一低通模拟滤波器 设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。
分析：
阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统阶跃响应的等间隔抽样，
g (n) g a (t ) t nT ga (nT ) ,
由模拟系统函数 Ha ( s ) 变换成数字系统函数的关系式为：
n 0
T 1 1 aT jbT 1 aT jbT 1 2 1 e e z 1 e e z
1 e aT z 1 c o bT s T 1 2e aT z 1 c o bT s e 2aT z 2
(2) 先引用拉氏变换的结论 Lt n 可得：
在上式中代入 j s 可得： 1 H a ( s) H a ( s) s 1 ( )2 N j c 而 H a ( s ) H a ( s ) 在左半平面的极点即为 H a ( s ) 的极点， 因而
H a (s) K0
N
，
k
(s s
k 1
) ， k 1,2,.... N
利用以下 z 变换关系：
Z x(n) X ( z )
Z e naT x(n) X (e aT z )
Z ( s i n a T )u ( n )
《数字信号处理》第六章 Z变换
第一节 Z变换的定义
例1：求 x(n)=(1/2)nu(n) 的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
(1)nu(n)zn
z
n
n
n 2
n0 2
例2：求 x(n)=-(1/2)nu(-n-1)的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
A( z )
1 za
1 a
1 1 1
z
a
按等比级数有
A(z)
1 a
(1
1 a
z
1 a2
z2
)
at
{
1 a
,
1 a2
,
1 a3
,, ,
1 a n 1
,)
第四节 Z反变换
当 a 1时，
A( z )
z
1 a
11 z 1 az 1
按等比级数有
A(z) 1 (1 az1 a2 z2 ) z
解：
Z [u(n)] 1 , z 1
1 z
Z [u(n 3)] z3
1
z3 ,
z 1
1 z 1 z
Z [x(n)] 1 z3 z2 z 1, z 1 1 z 1 z
例4 已知序列x(n)的z变换为X(Z)，求
7X(z)+3zX(z)+8z2X(z) +z3X(z) +6z5X(z)所对应的信号
k
zk
k 0
1 1 z
这是一个等比级数，当|z|<1时，该级数收敛。
数字信号处理课后答案第6章
A2 s1
比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程：
A1A1s2A2
1 A2 s1
a
解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以
Ha
(s)
s
1/ 2 (a
jb)
s
1/ 2 (a
jb)
套用教材（6.3.4）式， 得到
H (z)
2
Ak
k 1 1 es k T z 1
1/ 2 1 e(a jb)T z 1
2． 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率 fp=3 kHz，通带最大衰减αp=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减αs=50 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)和实 际的Ha(s)。
解: （1） 确定滤波器技术指标。 αp=0.2 dB, Ωp=2πfp=6π×103 rad/s αs=50 dB, Ωs=2πfs=24π×103 rad/s
fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB，
阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求：
p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB
(2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到
sp
s p
2π 12103 2π 6103
2
将ksp和λsp值代入N的计算公式, 得
N lg17.794 4.15 lg 2
所以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电路得到 简化）。
数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)第6章.
则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯(Gabor)变换:
GT
x
(t
,
Ω)
(x( )e jΩ
)g
(
t)d
（6.2.4）
第六章 小波分析的基本原理及其应用
不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换，由于使用了一个可 移动的时间窗函数，使其具有了一定的时间分辨率。但是，它 们还存在一些自身的问题，其中最主要的就是时间分辨率与频 率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理, 我们不可能 知道在任何一个时刻存在何种频率分量，最多我们可以了解在 某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间，我们可以准确地 确定某一个时间点，但是频率则是另外的一个概念，它指的是 在一个时间段内，某一个量的变化次数，这从频率的定义中就 可以看得到。
(a) (b) (c)
图 6.2.1 不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里叶变换结果
第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2.2 连续小波变换
1. 连续小波变换的定义
设x(t)是平方可积函数，记作 x(t) L2 (R) ，ψ(t)是基小波
或“母小波函数”，则
WTx (a, )
1 a
x(t)
*
第六章 小波分析的基本原理及其应用
6.2 连续小波变换
6.2.1 从短时傅里叶变换到小波变换
由第五章时频分析部分的介绍可知，短时傅里叶变换通过
引入一个滑动的窗函数w(t)，然后对窗函数内的信号与窗函数
的乘积进行傅里叶变换，再让窗函数沿时间轴移动， 就可得 到信号频谱随时间变化的规律。
这样， 信号x(t)对于给定的窗口函数w(t)的短时傅里叶变换:
a＝ 0.001 1
ga(t)
ga(t)
数字信号处理第六章 习题答案
( )
H ( e jω ) = Ha ( jΩ)
又由 Ω =
ω
T
，则有
5 2 π ΩT + 3, − 2 ΩT + 5 , = π 3 0 2π π − ≤Ω≤ − 3T 3T π 2π ≤ Ω≤ 3T 3T 其他Ω
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
ω=ΩT
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
各极点满足下式ຫໍສະໝຸດ 1 1+ ( s Ωc )
4
sk = Ωce
π 2k −1 j + π 2 4
k = 12，4 ，3 ，
则 k = 1,2时，所得的 sk 即为 Ha ( s) 的极点
s1 = Ωce s2 = Ωce
3 j π 4
3 2 3 2 =− +j 2 2 3 2 3 2 =− −j 2 2
2
=
1−1.1683z−1 + 0.4241z−2
0.064(1+ 2z−1 + z−2 )
5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。 设 Ωc = 3rad s 解：由幅度平方函数： H ( jΩ) =
2
1 1+ ( Ω Ωc )
4
令 Ω2 = −s2，则有
Ha ( s) Ha ( −s) =
∴H ( z ) = Ha ( s) s=1−z−1
1+ z−1
=
1 1− z 1− z 1+ z−1 + 1+ z−1 +1
−1 2 −1
(1+ z ) =
3 + z−2
−1 2
《数字信号处理教程》(第三版)第六章
Ha(s)的表示式为 H a ( s )
(s s )
k 0 k
N 1
N c
设N=3，极点有6个，它们分别为
s0 c e s1 c s2 c e s3 c e s4 c s5 c e
2 j 3
2 j 3 1 j 3
1 j 3
3、数字滤波器的技术要求
我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假 设数字滤波器的传输函数H(e jω)用下式表示：
H(e
j
) H(e
j
)e
j ( )
幅频特性|H(ej)|： 信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。 相频特性()： 各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。
, k 0,1, , N 1
1 H a ( p) b0 b1 p bN 1 p N 1 p N
(3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。
H a ( s ) H a ( p) p
s
c
例： 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带 截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指 标设计巴特沃斯低通滤波器。 解： (1) 确定阶数N：
2
1 p 1 c
2N
p 20lg H a (e
j p
) p 10lg H a (e
2N
பைடு நூலகம்
j p
2
)
p 1 c
10
p 10
将=s代入幅度平方函数中:
H a ( j s )
数字信号处理(西电版) 第六章 有限长单位脉冲响应 复习
n
因此Σ中第n项和第(N-1-n)项相等，可将其合并
H
(
)
(
N 3) n0
/
2
2h(n)
sin
N
2
1
n
令 n N 1 m ，上式改写为
2
H
( )
(
N 1) / 2 m1
2h
N 2
1
m
sin(m)
cos
N 2
1
n
cos
N 1 2
n
将Σ内相等项合并，即 n=0 项与n=N-1项，n=1 项与n=N-2 项等
第6章 有限长单位脉冲响应
h(n)偶对称的幅度函数式
H
(
)
N 1 n0
h(n)
cos
N 2
h(n)的系统函数为
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
n0
n0
将m=N-1-n代入上式，进行整理
N 1
N 1
H (z) h(m)z(N 1m) z(N 1) h(m)zm z(N 1) H (z1)
m0
m0
h(n)是实数序列，且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-1-n)
• 满足第二个公式的条件为： FIR滤波器单位脉冲响应 h(n)是实数序列，且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-1-n)
第6章 有限长单位脉冲响应 6.1.1 线性相位特性
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滤波技术
① 滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足 该特性的传输函数。 ② 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到 对输入信号进行滤波的目的。
6.1
数字滤波器的基本概念
数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号， 通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分 的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器 件或程序。 优点：数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、 重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实 现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。
设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法： 1. 间接法: 首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它 转换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适 合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、 高通、带通、带阻等。 2.直接法： 直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计， 由于要联立方程，设计时需要计算机作辅助设计。
s0 c e
5 j 8
s1 c e
7 j 8
s2 c e
9 j 8
s3 c e
11 j 8
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取s 平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平 面的N个极点构成Ha(－s)。
H a ( s)
6.2
模拟滤波器的设计
常用模拟滤波器: 1、巴特沃斯(Butterworth)滤波器 2、切比雪夫(Chebyshev)滤波器 3、椭圆(Ellipse)滤波器
一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法
ha (t ) : 模拟滤波器的单位脉冲 响应
H a ( j) : 频率响应 H a ( j) ha (t )e
1、四个技术指标
模拟滤波器的设计指标：
p: 通带截止频率 s: 阻带截止频率 p: 通带最大衰减
p 10 lg H a ( j p ) 20lg(1 p )
s:阻带最小衰减
2
s 10 lg H a ( j s ) 20 lg s
2
2、由幅度平方函数确定系统函数
6.1
数字滤波器的基本概念
数字滤波器的设计原理
数字滤波器一般是一个线性时不变系统。数字 滤波器的设计是已知它的频率特性 H (e j ) ，求它的 系统函数H(z)或单位脉冲响应h(n). 完全实现一个理想的频率特性在理论上可以做 到，但实际实现则比较困难，另一方面，实际的滤 波器也允许有一定的误差。所以给出的频率特性通 常是频率特性指标。在误差范围内，往往有多个H(z) 或h(n)满足指标。因此， 设计出的H(z)或h(n)不是 唯一的。
一、数字滤波器的分类
1、经典滤波器与现代滤波器
经典滤波器
x ( n) s ( n) u ( n )
加性噪声
若 x(n) 中的有用成分 s(n) 和希望去除的成分 u (n)
各自占有不同的频带, 通过一个线性系统可将 u (n)
有效去除.
分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS)
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它具有通 带内最大平坦的振幅特性,且随Ω的增大，幅频 特性随Ω单调下降。 1、原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
H a ( j)
2
1 1 c
2N
式中N为正整数，代表滤波器 的阶次, c 称为3dB截止频率。
一、数字滤波器的分类
设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波 叠加而成。
滤波前：
滤波后：
左边为时域波形， 右边为它的频谱。
二、 数字滤波器的技术指标
数字滤波器的频率特性：
H (e ) | H (e ) | e
j | H ( e )| 其中：
j
j
j ( )
幅频特性
幅频特性表示信号通 过该滤波器后各频率 成分振幅衰减情况 相频特性反映各频率 成分通过滤波器后在 时间上的延时情况
jt
dt
H a ( s) : 系统函数 H a ( s) ha (t )e st dt
设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数|Ha(jΩ)| 给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数 Ha(s)。
1、四个技术指标
工程实际中通常用损耗函数（衰减函数） A(Ω)来描述滤波器的幅频响应特性
Ga ( p)
1
( p p )
k k 0
N 1
式中pk e
1 2 k 1 jπ 2 2N
，k 0,1,,N 1； pk 称为归一化极点
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
将pk 带入Ga ( p)得：
Ga ( p) 1 p N bN 1 p N 1 bN 2 p N 2 b1 p b0
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha(jΩ)|2 来表示，即
* | Ha ( j) |2 Ha ( j)Ha ( j)
由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而Ha(jΩ)满足
* Ha ( j) Ha ( j)
| Ha ( j) |2 Ha ( j)Ha ( j) Ha (s)Ha (s) |s j
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
巴特沃斯低通滤波器幅度特性与N之间的关系
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
由图可知：
（ 1 ）幅度特性是 的单减函数，随 的增大而减小。 当 c (通带内)时， H a ( j) 具有最大平坦的
幅度特性， N越大，越平坦。
当 c时， H a ( j) 随的增大而迅速衰减， N越大，衰减越快，过渡 带越陡。
| H (e j ) | 2 , s | |
在过渡带内，幅度响应平滑地从通带下降到阻带。
二、 数字滤波器的技术指标
上述表示不是很方便，在具体的技术指标中，往 p 和阻带应达到 往使用通带允许的最大衰减（波纹） 的最小衰减 s 表示，这里的两个指标都是正数。
定义为：
max | H (e j ) | p 20lg , 0 p j min | H (e ) |
(s s )
k k 0
N 1
N c
归一化后的系统函数：
s Ga c 1 s sk k 0 c c
N 1
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
令p=s/Ωc，（p称为归一化复变量），则巴
特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为：
第六章 无线脉冲响应数字滤波器的设计
6.1
数字滤波器的基本概念
滤波的目的
① 为了抑制输入信号的某些频率成分，从而改变信号 频谱中各频率分量的相对比例。 ② 广义滤波包括对信号的检测与参量的估计。 信号的检测：确定在干扰背景中信号是否存在。 信号参量的估计：为识别信号而确定信号的某一个或某 几个参量的估值。
| H (e j 0 ) | s 20lg 20lg 2 js | H (e ) |
表示在s处的功率比 0(直流信号 )的功率衰减了 s (dB)。
当| H (e jc ) | 0.707 时， p 3dB，称c为3dB通带截止频率
二、 数字滤波器的技术指标
即A() 3dB，在 c (截止频率)处衰减3dB；
优点：幅度特性平坦，相位特性近似为线性相位； 缺点：阶次N一般较大。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
| H a ( j) |
2
1 1 c
2N
以s替换jΩ，将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：
种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、 自适应滤波器
一、数字滤波器的分类
2、理想滤波器的频率响应
一、数字滤波器的分类
几点说明：
（1）由于频率特性的周期性，只需考虑数 字频率在(0～2π)范围的幅度响应。 （ 2 ）根据耐奎斯特定理，输入信号不得超 过采样频率的一半，而且实序列的频谱具有共轭 对称性质，所以，频率特性只能限于（ 0～π ） 内。 （3）图示的滤波器特性没有过渡带，不可能 实现。只能在误差范围内近似实现。
H a ( s) H a ( s)
1 s 1 j c
2N
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
上式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk 用下式表示：
sk (1)
1 2N
( jc ) ce
1 2 k 1 jπ ( ) 2 2N
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上(该圆称 为巴特沃斯圆)，间隔是π/Nrad。
(w)
相频特性
选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特 性不作要求。若对输出波形有要求时，则需考 虑线性相位问题。
二、 数字滤波器的技术指标
通 带
过 渡 带
阻 带
低通滤波器的幅频特性指标示意图
二、 数字滤波器的技术指标
p为通带截止频率， s为阻带截止频率
在通带内，幅度响应以误差 1 逼近1，即 1 1 | H (e j ) | 1, | | p 在阻带内，幅度响应以误差 2 逼近0，即
A( ) 20lg Ha (j ) 10lg Ha 幅频响应|Ha(jΩ)|的非线 性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通 带和阻带频响特性的变化情况。
如： H a ( jc） 1 c 称为3dB截止频率 2 , A() 3dB
1、四个技术指标
当 s (阻带截止频率 )时的衰减称为 （阻带 s 最小衰减）。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
（2）当 0时， Ha ( j) 1
即在 0(直流分量)处无衰减；
（3）当 c时， H a ( j) 1 , H a ( j) 2