高中数学中对称性问题

对称性与周期性

函数对称性、周期性的判断

1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如

()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2

a b

x +=

轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称；

2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如

()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =；

3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称⇔()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称⇔ ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或；

4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称⇔()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称⇔()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；

5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；

6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称⇔函数()y f x =是周期函数，且

2()T a b =-是函数的一个周期；

7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称⇔函数()y f x =是周期函数，且

2()T a b =-是函数的一个周期。

⎧⎧⎪⎪⎨⎪

⎪⎪

⎪⎩

⎨⎧⎪

⎪⎪⎨⎪

⎪⎪⎩⎩

于的中心（）直于的曲于的于直的（）

直于直的曲于直的点关点对称对称问题点对称问题线关点对称线关点对称对称问题点关线对称轴对称问题线对称问题线关线对称线关线对称

一、 点对称

(1) 点关于点的对称点问题

若点A 11(,)x y , B 22(,)x y , 则线段AB 中点M 的坐标是(

1212

,22

x x y y ++)；据此可以解求点与点的

中心对称，即求点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标(,)x y ，利用中点坐标公式可得

00, 22

x x y y

a b ++=

=，解算的'M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。

例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点'

M 的坐标是(4,1)--.

① 点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标00(2, 2)

a x

b y --;

② 点M 00(,)x y 关于原点的对称点'

M 的坐标0000(2, 2)=(, ) a x b y x y ----.

(2) 直线关于点对称

① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线

设所求直线上一点为(,)M x y ，则它关于原点的对称点为'

(,)M x y --，因为'M 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；

② 直线1l ：0Ax By C ++=关于某一点(,)P a b 的对称直线2l 它的求法分两种情况：

1)、当(,)P a b 在1l 上时，它的对称直线为过P 点的任一条直线。

2)、当P 点不在1l 上时，对称直线的求法为： 解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)M x y ，则它关于

P 的对称点为'(2,2)M a x b y --，因为'M 点在1l 上，把'M 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程即为

(2)(2)0A a x B b y C -+-+=，简化为：220Ax By C aA bB +---=.

解法（二）：在1l 上取一点11(,)M x y ，求出M 关于P 点的对称点'11(2,2)M a x b y --的坐标。再

由12l l A

K K B

==-

，可求出直线2l 的方程。 解法（三）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点(,)P a b 的对称直线为'0Ax By C ++=且

2

2

2

2

'Aa Bb C Aa Bb C A B

A B

++++=

++求设'C 从而可求的及对称直线方程。

(3) 曲线关于点对称

曲线1:(,)0C f x y =关于(,)P a b 的对称曲线的求法：设(,)M x y 是所求曲线的任一点，则M 点关于(,)P a b 的对称点为(2,2)a x b y --在曲线(,)0f x y =上。故对称曲线方程为(2,2)0f a x b y --=。

二、 直线的对称

(1) 点关于直线的对称

1) 点(,)P a b 关于x 轴的对称点为'(,)P a b - 2) 点(,)P a b 关于y 轴的对称点为'(,)P a b - 3) 关于直线x m =的对称点是'(2,)P m a b - 4) 关于直线y n =的对称点是'(,2)P a n b - 5) 点(,)P a b 关于直线y x =的对称点为'(,)P b a 6) 点(,)P a b 关于直线y x =-的对称点为'(,)P b a --

7) 点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标

解法（一）：由'PP ⊥L 知，

'PP B K A =⇒直线'PP 的方程→()B y b x a A -=-，由0

()Ax By C B

y b x a A

++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。

解法（二）：设对称点为'(,)P x y ，由中点坐标公式求得中点坐标为(

,)22

a x

b y ++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++⋅

+⋅+=①；再由'PP B K A =得b y B

a x A

-=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。 解法（三）：设对称点为'(,)P x y ，由点到直线的距离公式有

2

2

2

2

Aa Bb C Ax By C A B

A B

++++=

++①，再