半导体物理第三章

p0 = ∫
价带底能量
Ev
/ Ev
gv (E) [1 − f ( E )] dE V ( 2m ) h
* 3/ 2 p 3
= 4π
∫
Ev
/ Ev
e
E − EF kT 0

( Ev − E ) dE
1/ 2
令x = ( Ev − E ) /(k0T ) ( Ev − E )1/ 2 = (k0T )1/ 2 x1/ 2 d ( Ev − E ) = −(k0T )dx x' = ( Ev − Ev' ) /(k0T )
导带中大多数电子是在导带底附近，而价带中大多数空穴 则在价带顶附近。 1. 导带中电子浓度 在能量E～(E+dE)之间有： 量子态：dZ=gc(E)dE 电子占据能量为E的量子态的概率： 则电子数为：
29
f B (E) = e
E − EF − kT 0

dN = dZ ⋅ f B ( E ) ( 2m ) = 4πV h
利用前述方法可得：
k12 + k 2 2 k3 2 h E ( k ) = Ec + + 2 mt ml
2
电子态 密度有 15 效质量
2. 价带顶状态密度 在实际Si、Ge中，价带中起作用的能带是极值相重合的 两个能带，与这两个能带相对应的有轻空穴有效质量(mp)l和 重空穴有效质量(mp)h，因此价带顶附近状态密度应为这两个 能带的状态密度之和，称为价带顶空穴的状态密度有效质量 价带顶空穴的状态密度有效质量 (空穴态密度有效质量 空穴态密度有效质量)。价带顶状态密度式子与球形等能面情 空穴态密度有效质量 况下的价带状态密度式(5)有相同的形式，

电子占据能量 为导带底Ec的 为导带底 的 量子态的概率
导带中所有量子态都集中在导带底Ec，而其状态密度为 ， 导带中所有量子态都集中在导带底 ，而其状态密度为Nc， 则导带中的电子浓度是Nc中有电子占据的量子态数 则导带中的电子浓度是 中有电子占据的量子态数
32
2. 价带中空穴浓度 同理，热平衡状态下，非简并半导体价带中空穴浓度为：
5
3.1 状态密度
一、概念
6
二、计算状态密度的步骤
首先算出单位k空间中的量子态数，即k空间中的状态密度 空间中的状态密度； 空间中的状态密度 然后算出k空间中与能量E~(E+dE)间所对应的k空间体积 空间体积， 空间体积 并和k空间中的状态密度相乘，从而求得在该能量间隔的 量子态数dZ； 量子态数 最后，根据式(1)求得状态密度 状态密度g(E). 状态密度
dZ = 2V × 4πk dk
2
由式(2)可得：
11
* (2mn )1/ 2 ( E − Ec )1/ 2 k= h
* mn dE kdk = 2 h
代入上式可得：
12
上式表明，导带底附近 单位能量间隔内的量子 态数目，随着电子的能 量增加按抛物线关系增 按抛物线关系增 大。即电子能量越高， 状态密度越大。如右图 所示状态密度与能量的 关系。
(nx = 0,±1,±2 L) (n y = 0,±1,±2 L) (nz = 0,±1,±2 L)
任一k值 任一 值，沿一个坐标轴 方向均为1/L的整数倍 的整数倍， 方向均为 的整数倍， 在k空间均匀分布 空间均匀分布
其中，L是半导体晶体的线度，V=L3是晶体体积。
8
每个允许的能量状态在k空间中与由整数组(nx，ny，nz)决定 的一个代表点 (kx，ky，kz)相对 应； 每一代表点都和 体积为1/V=L3的 一个立方体相联 系。
7
三、k空间中量子态的分布 空间中量子态的分布
k空间 空间就是以波矢k的三个互相正交的分量kx、ky、kz为坐标 空间 轴的直角坐标系所描写的空间。 k空间中电子的波矢k只能取分立值，而不能取任意值，其允 许值为：
nx k x = L ny k y = L nz k z = L
1 由式 f ( E ) = E − EF 1 + exp kT 0 Fra bibliotek 可知：
E < EF时，f(E)=1；E > EF时，f(E)=0； 即：热力学温度为0K时，能量小于EF的量子态被电子占据 的概率为100%，故这些量子态上都是有电子的；反之，则 被电子占据的概率为0，故这些量子态上都没有电子，是 空的； 热力学温度为0K时，费米能级可看成量子态是否被电子占 是否被电子占 据的一个界限。如下图所示。 据的一个界限

( E − Ec ) dE
1/ 2
积分后可得热平衡状态下非 简并半导体的导带电子浓度
30
导带顶能量
n0 = ∫
/ Ec
Ec
( 2m ) 4π h
* 3/ 2 n 3
e
E − EF − kT 0

( E − Ec ) dE
1/ 2
令x = ( E − Ec ) /(k0T ) ( E − Ec )1/ 2 = (k0T )1/ 2 x1/ 2 d ( E − Ec ) = (k0T )dx x' = ( Ec' − Ec ) /(k0T )

∫
∞
0
x e dx
1/ 2 − x
(2πm k T ) =2 h
* n 0 3
3/ 2
e
Ec − E F − k 0T
* (2πmn k0T ) 3 / 2 令N c = 2 h3 导带有效状态密度
Ec − E F n0 = N c exp − k0T
9
k空间中电子的允许量子态密度 允许量子态密度
10
四、球形等能面情况下的状态密度
1. 导带底状态密度 为简单起见，先考虑能带极值在k=0、球形等能面的情况。
在k空间中，以|k|、|k+dk|为半径作两个球面，分别为能量 E(k)和(E+dE)的等能面。两个球壳间的体积是4πk2dk。则在能 量E ～ (E+dE)之间的量子态数为：
第三章 半导体中载流子的统计分布
3.1 3.2 3.3 3.4 状态密度 费米能级和载流子的统计分布 本征半导体的载流子浓度 杂质半导体的载流子浓度
3.5 一般情况下的载流子统计分布 3.6 简并半导体
1
本章重点： 本章重点：
状态密度 热平衡态时非简并半导体中载流子的浓度分布 费米能级E 费米能级 F的相对位置
2
热平衡状态
半导体中的导电电子浓度和 空穴浓度都保持一个稳定值
3
热平衡载流子：处于热平衡状态下的导电电子和空穴； 热平衡载流子 当温度改变时，破坏了原来的平衡状态，又重新建立起新 的平衡状态，热平衡载流子浓度也将随之发生变化，达到 另一稳定数值。
4
热平衡状态时载流子浓度决定于： 热平衡状态时载流子浓度决定于：
数。
18
3.2 费米能级和载流子的统计分布
一、费米分布函数
1. 定义
服从泡利不相容原理
描写热平衡状态下， 描写热平衡状态下，电子在 允许的量子态上如何分布的 一个统计分布函数 19
2. 费米能级 F 费米能级E 把半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统 热力学系统，则费 热力学系统 米能级是系统的化学势 化学势，即： 化学势
∂F EF = µ = ∂N T
其中，µ：系统的化学势； F： 系统的自由能； N：电子总数，决定费米能级的条件是： ∑ f ( Ei ) = N
i
半导体能带内所有量子 态中被电子占据的量子 态数等于电子总数
上式的意义 意义是：当系统处于热平衡状态，也不对外界作 意义 功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变 化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
22
费 米 分 布 函 数 与 温 度 关 系 曲 线
23
T>0K时： E < EF时，f(E)>1/2； E = EF时，f(E)=1/2； E > EF时，f(E)<1/2； 即：系统热力学温度大于0K时，能量小于EF的量子态被电 子占据的概率大于50%；能量等于EF的量子态被电子占据 的概率等于50%；能量大于EF的量子态被电子占据的概率 小于50%； 热力学温度大于0K时，费米能级是量子态基本上 基本上被电子占 基本上 据或基本上是空的的一个标志。如上图所示； 随着温度的升高，电子占据能量小于费米能级的量子态的 概率下降，而占据能量大于费米能级的量子态的概率增大.
24
一般可以认为： 在温度不很高时，能量大于费米能级的量子态基本上没有 被电子占据；能量小于费米能级的量子态基本上为电子所 占据； 电子占据费米能级的概率在各种温度下总是1/2； 所以费米能级的位置比较直观地标志了电子占据量子态的 情况，通常就说 费米能级标志了电子填充能级的水平 费米能级标志了电子填充能级的水平 了电子填充能级的水平； 费米能级位置较高，说明有较多的能量较高的量子态上有 电子。
20
处于热平衡状态的系统有统一 统一的化学势，故处于热平衡状 统一 态的电子系统有统一的费米能级； 费米能级与温度、半导体材料的导电类型、杂质的含量以 及能量零点的选取有关； 只要知道了费米能级的数值，在一定温度下，电子在各量 子态上的统计分布就完全确定。
21
3. 费米分布函数的特性 T=0K时：
13
2. 价带顶状态密度 对于价带顶情况，其附近E(k)与k的关系为：
E ( k ) = Ev −
h (k + k + k )
2 2 x
2m
2 y * p
2 z
14
五、旋转椭球等能面情况下的状态密度
1. 导带底状态密度 对于实际的Si、Ge半导体，在其导带底附近，等能面是旋 转椭球面；导带底有s个(Si：6，Ge：4)状态；极值Ec不在k=0 处。则E(k)与k的关系为：