石家庄市八年级(上)期末数学试卷含答案

八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共32.0分）
1.的相反数是
A. B. C. D.
2.若使分式有意义，则x的取值范围是
A. B. C. D.
3.下列实数中，无理数是
A. B. C. D.
4.下列图形中，对称轴的条数最多的图形是
A. B. C. D.
5.下列各式运算正确的是
A. ．
B.
C. ．
D. ．
6.如图，已知的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则
与全等的三角形是
A. 甲和乙
B. 乙和丙
C. 只有乙
D. 只有丙
7.a，b是两个连续整数，若，则的值是
A. 7
B. 9
C. 21
D. 25
8.如图，在等腰三角形纸片ABC中，，，折
叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则的度数是
A.
B.
C.
D.
9.下列说法错误的是
A. 是精确到的近似数
B. 万是精确到百位的近似数
C. 近似数与表示的意义相同
D. 近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是
10.如图，在中，，分别以A，C为圆
心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作
直线MN，与AC，BC分别交于点D，点E，连结AE
当，时，则的周长是
A. 19
B. 14
C. 4
D. 13
11.已知直角三角形两边的长为6和8，则此三角形的周长为
A. 24
B.
C. 24或
D. 以上都不对
12.已知实数a在数轴上的位置如图，则化简的结果为
A. 4
B. 1
C.
D.
13.如果解关于x的分式方程时出现了增根，那么a的值是
A. B. C. 6 D. 3
14.甲乙丙丁四个同学玩接力游戏，合作定成道分式计算题，要求每人只能在前一人的
基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如下所示，接力中出现错误的是
甲
乙
丙
丁
A. 只有乙
B. 甲和丁
C. 丙和丁
D. 乙和丁
15.等边中，，于点D、E是AC的中点，
点F在线段AD上运动，则的最小值是
A. 6
B.
C.
D. 3
16.如图，在长方形ABCD中，厘米，厘
米，点P在线段BC上以4厘米秒的速度向C点运
动，同时，点Q在线段CD上向D点运动，当点Q
的运动速度为厘米秒时，能够在某时刻使
与全等．
A. 4
B. 6
C. 4或
D. 4或6
二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）
17.______填，或
18.如图，在中，，CD是AB边上
的高，，，则______．
19.下列图形是一连串直角三角形演化而成，其中
，则第3个三角形的面积______：按照上述变化规律，第是正整数个三角形的面积______．
三、解答题（本大题共7小题，共58.0分）
20.计算：
解方程：
21.先化简再求值：若，求的值．
22.小明在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这
一命题时，先画出图形再写出“已知“求证”如图，
证明时他对所作的轴助线描述如下：“过点A作BC的中
垂线AD，垂足为D”．
请你判断小明轴助线的叙述是否正确：如果不正确，
请改正．
根据正确的辅助线的做法，写出证明过程．
23.阅读下列材料，然后回答问题：
阅读：在进行二次根式的化简与运算时，可以将进一步化简：
方法一
方法二
【探究】选择恰当的方法计算下列各式：
；
．
【猜想】______．
24.近几年石家庄雾霾天气严重，给人们的生活带来很大影响．某学校计划在室内安装
空气净化装置，需购进A，B两种设备，每台B种设备价格比每台A种设备价格多1万元，花50万元购买的A种设备和花70万元购买B种设备的数量相同．求A种、B种设备每台各多少万元？
根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共10台，总费用不高于30元，求A 种设备至少要购买多少台？
25.如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、
点A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点同时停止运动．
当运动时间为3秒时，请在网格纸图1中画出线段PQ，并求其长度．
在动点P，Q运动的过程中，若是以PQ为腰的等腰三角形，求相应的时刻t的值．
26.【解决问题】
如图1，在中，，于点点P是BC边上任意一点，过点P做，，垂足分别为点E，点F．
若，，则的面积是______，______；
猜想线段PE，PF，CG的数量关系，并说明理由；
【变式探究】
如图2，在中，若，点P是内任意一点，且，，，垂足分别为点E，点F，点D，求的值．【拓展延伸】
如图3，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P 为板痕EF上的任意一点，过点P作，，垂足分别为点G，点若，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：，
的相反数是．
故选：A．
由于互为相反数的两个数和为0，由此即可求解．
此题主要考查了求无理数的相反数，无理数的相反数和有理数的相反数的意义相同，无理数的相反数是各地中考的重要考点．
2.【答案】B
【解析】解：由题意得，，
解得，，
故选：B．
根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．3.【答案】C
【解析】解：A、是分数，分数是有理数，故本选项错误；
B、是有理数，故本选项错误；
C、是无理数，故本选项正确；
D、是有理数，故本选项错误．
故选：C．
根据无理数的概念对各选项进行逐一分析即可．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
4.【答案】A
【解析】解：A、圆有无数条对称轴，故此选项正确；
B、此图形有1条对称轴，故此选项错误；
C、矩形有2条对称轴，故此选项错误；
D、有1条对称轴，故此选项错误；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴．
5.【答案】D
【解析】解：A、原式，所以A选项错误；
B、原式，所以B选项错误；
C、原式，所以C选项错误；
D、原式，所以D选项正确．
故选：D．
根据二次根式的性质对A、C进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6.【答案】B
【解析】解：甲、边a、c夹角不是，甲错误；
乙、两角为、，夹边是a，符合ASA，乙正确；
丙、两角是、，角对的边是a，符合AAS，丙正确．
故选：B．
根据全等三角形的判定ASA，SAS，AAS，SSS，看图形中含有的条件是否与定理相符合即可．
本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行判断是解此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：，
，，
，
故选：A．
先求出的范围，即可得出a、b的值，代入求出即可．
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是估算出的范围，难度不是很大．
8.【答案】B
【解析】解：如图，由题意得： ≌ ，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
根据折叠的性质得到 ≌ ，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
该题主要考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点．
9.【答案】C
【解析】解：A、是精确到的近似数，所以A选项的说法正确；
B、万是精确到百位的近似数，所以B选项的说法正确；
C、近似数精确到十分位，精确到百分位，所以C选项的说法错误；
D、近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是，所以D选项的说法正确．
故选：C．
根据近似数的精确度对各选项进行判断．
本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，
而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
10.【答案】B
【解析】解：由作法得MN垂直平分AC，
，
的周长．
故选：B．
利用基本作图得到MN垂直平分AC，则，然后利用等线段代换得到的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质．
11.【答案】C
【解析】解：设的第三边长为x，
当8为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，，此时这个三角形的周长；
当8为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，，此时这个三角形的周长
，
故选：C．
先设的第三边长为x，由于8是直角边还是斜边不能确定，故应分8是斜边或x为斜边两种情况讨论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：由数轴可得：，
所以，
则．
故选：D．
直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质和二次根式的性质与化简，正确去掉绝对值符号，化简二次根式是解题关键．
13.【答案】A
【解析】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
代入整式方程得：，
解得：，
故选：A．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出a的值即可．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】C
【解析】解：原式
，
因此出现错误的是丙和丁．
故选：C．
分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键．
15.【答案】B
【解析】解：如图，作点E关于直线AD的对称点，连接交AD于．
，
当C、、F共线时，最小值，
是等边三角形，，，
，，
，，
，
故选：B．
如图，作点E关于直线AD的对称点，连接交AD于由，所以当C、、F共线时，最小，由是等边三角形，，，推出，解直角三角形即可得到结论．
本题考查轴对称、等边三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决最值问题．
16.【答案】C
【解析】解：设点Q的速度为，经过t秒，与全等，此时．分两种情形讨论：
当，时， ≌ ，
即，
解得：，
，
；
当，时， ≌ ，
即，
解得，
，
，
综上所述，满足条件的点Q的速度为或，
故选：C．
设点Q的速度为，分两种情形构建方程即可解决问题．
本题考查矩形的性质、全等三角形的性质、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
17.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先把3转化为，再比较被开放数的大小就可以了．
本题考查实数大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
18.【答案】5
【解析】解：在中，，，
，，
是AB边上的高，
，
，
，
故答案为：5．
根据直角三角形的性质求出BC，求出，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：，
；
；
，
，
第是正整数个三角形的面积，
故答案为：，．
根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
此题主要考查的是等腰直角三角形的性质以及勾股定理的运用和利用规律的探查解决
问题．
20.【答案】解：原式
；
，
解得，
经检验，原方程的解为．
【解析】利用二次根式的乘法法则运算；
先去分母得到，然后解整式方程后进行检验确定原方程的解．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了解分式方程．
21.【答案】解：原式
当时，
原式．
【解析】先把分式化简后，再把a的值代入求出分式的值．
本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
22.【答案】解：不正确．应该是：过点A作，
，
，
，，
≌ ，
．
【解析】不正确．过一点可以作已知直线的垂线，不能作线段的中垂线．利用ASA证明 ≌ 即可．
本题考查等腰三角形的判定，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23.【答案】
【解析】解：原式；
原式
；
猜想：原式
．
故答案为．
利用分母有理化计算；
先分别分母有理化，然后合并即可；
猜想部分与计算一样．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24.【答案】解：设A种设备每台x万元，则B种设备每台万元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
．
答：A种设备每台万元，B种设备每台万元．
设购进A种设备m台，则购进B种设备台，
依题意，得：，
解得：．
答：A种设备至少要购买5台．
【解析】设A种设备每台x万元，则B种设备每台万元，根据数量总价单价结合花50万元购买的A种设备和花70万元购买B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进A种设备m台，则购进B种设备台，根据总价单价数量结合总费用不高于30元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25.【答案】解：点Q的运动速度为每
秒1个单位，和运动时间t为3秒，
由图中可知PQ的位置如图1，
则由已知条件可得，，，
，
，
作于点M，
由题意知、，
则、，
，
，
则，
即，
，，
当时，，
解得或舍去；
当时，，
解得：；
综上，当或时，能成为以PQ为腰的等腰三角形．
【解析】因为已知P，Q的速度，根据时间即可求出各自运动路程，从而画出PQ；
当时，，；当时，
，；分别列出方程求出t后根据取舍即可得．
本题主要考查了勾股定理，作图平移变换及等腰三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理及等腰三角形的判定．
26.【答案】15 8
【解析】【解决问题】
解：，，，
的面积；
，，，
且，
，
，
；
故答案为：15，8；
；理由如下：
，，，
且，
，
，
；
【变式探究】
解：连接PA、PB、PC，作于M，如图2所示：
，
是等边三角形，
，
，
，
的面积，
，，，
的面积的面积的面积的面积
，
；
【拓展延伸】
解：过点E作，垂足为Q，如图3所示：
四边形ABCD是矩形，
，，
，，
，
由折叠可得：，，
，
，
，，
，
四边形EQCD是矩形，
，
，
，
，
，
，
由【解决问题】可得：，
，
即的值为4；
【解决问题】只需运用面积法：，即可解决问题；
解法同；
【变式探究】连接PA、PB、PC，作于M，由等边三角形的性质得出
，由勾股定理得出，得出的面积
，由的面积的面积的面积的面积
，即可得出答案；
【拓展延伸】过点E作，垂足为Q，易证，过点E作，垂足为Q，由【解决问题】可得，易证，，只需求出BF 即可．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．。