圆柱、圆锥、圆台
圆锥圆柱与圆台的概念及计算
圆锥圆柱与圆台的概念及计算圆锥、圆柱和圆台是几何学中三种常见的立体图形。
它们在数学、物理、工程等领域中有很多应用。
本文将探讨圆锥、圆柱和圆台的概念，并介绍一些与其计算有关的知识。
一、圆锥的概念及计算1. 圆锥的定义圆锥是一种由一个圆形底面和一个顶点连线形成的立体图形。
所有顶点到底面上任意点的连线都是直线，称为母线。
圆锥的侧面由所有与底面上的点和顶点相连的线段组成。
2. 圆锥的表面积计算公式圆锥的表面积由底面积和侧面积两部分组成。
底面积即底面圆的面积，用公式πr²表示，其中r为底面圆的半径。
侧面积由母线和侧面组成，其计算公式为πrl，其中r为底面圆的半径，l为母线的长度。
圆锥的表面积公式为S = πr² + πrl。
其中，S表示表面积，π为圆周率，r为底面圆的半径，l为母线的长度。
3. 圆锥的体积计算公式圆锥的体积可以用公式⅓πr²h来计算，其中r为底面圆的半径，h为圆锥的高。
该公式通过将圆锥分割为无限个薄柱体来推导得出。
二、圆柱的概念及计算1. 圆柱的定义圆柱是由两个平行且相等的圆形底面以及连接两个底面上相对点的直线段所形成的立体图形。
这条连接两个底面相对点的直线称为轴线，两个底面的圆称为底面圆。
2. 圆柱的表面积计算公式圆柱的表面积由两个底面的面积和侧面的面积组成。
底面的面积即为底面圆的面积，用公式πr²表示，其中r为底面圆的半径。
侧面的面积由轴线和底面组成，其计算公式为2πrh，其中r为底面圆的半径，h为圆柱的高。
圆柱的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh。
其中，S表示表面积，π为圆周率，r为底面圆的半径，h为圆柱的高。
3. 圆柱的体积计算公式圆柱的体积可以用公式πr²h来计算，其中r为底面圆的半径，h为圆柱的高。
该公式通过将圆柱分割为无限个薄圆盘来推导得出。
三、圆台的概念及计算1. 圆台的定义圆台是由两个平行且相等的圆形底面以及连接两个底面上相对点的曲线段所形成的立体图形。
圆台圆锥圆柱棱台棱柱棱锥各种公式
圆台圆锥圆柱棱台棱柱棱锥各种公式1. 先来认识几位“几何朋友”嘿，大家好！今天我们来聊聊一些几何图形，这些形状可真是我们生活中的好朋友啊！先说说圆柱。
圆柱就像是你喝的饮料罐，底部是个圆，侧面是个长长的直筒。
要想知道它的体积，咱们用公式：V = πr²h。
这个“π”看起来神秘，但其实就是个常数，约等于3.14，差不多就能用。
r是底面的半径，h是高度。
把这三者结合起来，嘿，你就能知道能装多少饮料啦！接下来是圆锥，想象一下，冰淇淋筒就是它的代表！底下是个圆，尖尖的顶端可真是个亮点。
它的体积公式是V = (1/3)πr²h。
听起来是不是有点复杂？其实不然，你只要记得，圆锥的体积总是要比圆柱小个一半，因为它的尖尖部分可没什么用处嘛！2. 圆台的秘密说完这两位，咱们再看看圆台。
圆台就是上下各有一个圆的“中间人”。
你可以想象一下，两个圆饼叠在一起，形成一个平坦的表面。
它的体积公式是V = (1/3)πh(r₁² +r₁r₂+ r₂²)，r₁和r₂分别是上下圆的半径。
这个公式有点复杂，但只要咱们认真点，还是能搞定的！圆台就像生活中的调和，给人一种圆润的感觉，不管是用来做蛋糕还是建筑，都显得那么完美。
2.1 圆柱与圆锥的关系你有没有想过，圆锥和圆柱的关系？就好比父母和孩子。
圆锥的体积是圆柱的一半，这就像是孩子总是要在父母的保护下成长。
圆柱高高在上，圆锥则在它的怀抱中成长。
这个数学关系可真有趣，不是吗？2.2 几何体在生活中的应用几何体的这些公式，咱们在生活中随处可见。
比如，建筑师设计房子的时候，会用到很多这些形状，确保房子稳稳当当。
而咱们的日常生活中，不论是吃东西还是玩乐，都少不了这些几何的身影。
比如那张圆形的餐桌，它的面积就能告诉我们，能放下多少美味的菜肴！3. 棱柱与棱锥的魅力好了，聊完圆的家族，咱们接下来聊聊棱柱和棱锥。
这两位的外形可都挺“棱角分明”的！棱柱就像是个直挺挺的盒子，底面是多边形，侧面是长方形。
圆柱、圆锥、圆台和球
似三角形的性质得
3 r 3 l 4r
解得l=9.
所以，圆台的母线长为9cm.
例2. 我国首都北京靠近北纬40度。
求北纬40度纬线的长度约为多少千米 （地球半径约为6370千米）?
解：如图，设A是北纬40°圈上一点，AK 是它的半径，所以 OK⊥AK，
设c是北纬40°的纬线长， 因为∠OAK= ∠AOB = 40°，
3．表示方法：用表示它的轴的字母表示， 如圆柱OO’ .
4．有关性质： （1）用平行于底面的平面去截，截面都 是圆。 （2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 全等的矩形、全等的等腰三角形、全等的 等腰梯形；
5.侧面展开图：
（1）圆柱的侧面展开图是矩形。 （2）圆锥的侧面展开图是扇形. （3）圆台的侧面展开图是扇环.
所以 c=2π·AK=2π·OA·cos∠OAK =2π·OA·cos40° ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈3.066×104(km)，
即北纬40°的纬线长约为3.066×104km.
练习： 1、圆柱的轴截面是正方形，它的面
h
积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。
(h=3， c=2πr=3π)
即O到截面圆心O1的距离；
（4）大圆与小圆：球面被经过球心的平面截 得的圆叫做球的大圆， 被不经过球心的平面截得的圆叫做球 的
小圆；
5．球面距离：在球面
上，两点之间的最短距
离就是经过这两点的大
A
圆在这两点间的一段劣
弧的长度。这个弧长叫 B
做两点的球面距离。
O
三．旋转体的概念
由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的 曲面所围成的几何体叫做旋转体，这条直线 叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、 圆锥、圆台和球.
高中数学必修二 19-20 第8章 8 3 2 第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积学习目标核心素养1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1.借助圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对圆柱、圆锥、圆台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.1．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式 V 圆柱＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)， V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高)，V 圆台＝13πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′、r 分别是上、下底面半径，h 是高)．1．判断正误(1)圆柱的表面积就是侧面积．( )(2)在一个圆锥中，母线长度不一定相同．( ) (3)圆台是用平行于底面的平面截圆锥得到的．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3或192π cm 3D ．192π cm 3C [圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π2×8＝288π cm 3，当圆柱的高为12 cm时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫82π2×12＝192π cm 3.]3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于( ) A ．72 B ．42π C ．67πD ．72πC [表面积S ＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π.]圆柱、圆锥、圆台的表面积【例面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和． ①求圆台的母线长． ②求圆台的表面积．(1)A [设圆柱底面半径为r ，则高为2πr ， 表面积∶侧面积＝[(2πr )2＋2πr 2]∶(2πr )2＝1＋2π2π.](2)[解] ①设圆台的母线长为l ，则由题意得 π(2＋6)l ＝π×22＋π×62， ∴8πl ＝40π，∴l ＝5， ∴该圆台的母线长为5. ②由①可得圆台的表面积为 S ＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62 ＝40π＋4π＋36π ＝80π.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加．1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍C .2倍D ．2倍D [由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D.]圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】 圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( )A ．1∶1B ．1∶6C ．1∶7D ．1∶8C [如图，设圆锥底半径OB ＝R ，高PO ＝h ， ∵O ′为PO 中点，∴PO ′＝h2， ∵O ′A OB ＝PO ′PO ＝12，∴O ′A ＝R 2， ∴V 圆锥PO ′＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22·h2＝124πR 2h .V 圆台O ′O ＝π3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋R 2＋R 2·R ·h 2＝724πR 2h . ∴V 圆锥PO ′V 圆台O ′O＝17，故选C.]求几何体体积的常用方法2．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()A.233π B．2 3 C.736π D.733πD[S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝ 3.∴V＝13π(1＋4＋2)×3＝733π.故选D.]组合体的表面积与体积【例3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．[解]如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC－ADcos 60°＝2a，AB＝CD sin 60°＝3a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝12DD′＝a.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh＝π·(2a)2·3a＝43πa3，V锥＝13S′h＝13·π·a2·3a＝33πa3，∴V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3.如果将例题的梯形绕着BC边所在直线旋转一周，如何求旋转体的表面积和体积？表面积和体积又分别为多少？[解]如图所示旋转体为一个圆锥和与它同底的一个圆柱组成，由条件可得：AD＝BO＝OC＝a，DO＝AB＝3a，DC＝2a，所以该旋转体的表面积为：S＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π·(3a)2＋2π3a·a＋π·3a·2a＝3πa2＋23πa2＋23πa2＝(3＋43)πa2，该旋转体的体积为V＝V圆锥＋V圆柱＝12·a＋π(3a)2a3π(3a)＝4πa3.求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的．组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(差)．1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2B．1∶ 3C ．1∶ 5 D.3∶2C [设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.]2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3A [设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.]3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为 ． 7π [由已知圆台上、下底面积分别为 S 上＝π，S 下＝4π.则V 圆台＝13·(π＋π·4π＋4π)·3＝7π.]4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ． 6π [由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.]5．已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积． [解] 由题意V 锥体＝13Sh ＝13πr 2·h ＝20π3.。
圆柱圆锥圆台PPT课件
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．圆柱、圆锥、圆台的概念和性质。
2．圆柱、圆锥、圆台的直观图的画法。
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积。
(二)能力训练点
1．理解圆柱、圆锥、圆台的概念，掌握它们的性质，能利用它们之间的内在联 系进行转化，不断提高学生分析问题的能力。
2．通过它们直观图画法的教学，使学生掌握正等测法的作图，进一步提高学生 作图及识图能力。
3．掌握它们侧面积的计算公式，能综合应用这些公式计算有关图形的面积， 提高学生综合应用知识的能力。
完整版课件
1
(三)德育渗透点
1．圆柱、圆锥、圆台的形成是通过平面图形的旋转而得到，即通过运动的 形式来给出定义．教学过程要结合实际注意培养学生掌握运用运动变化的观 点来分析问题．
2．圆柱、圆锥及圆台的共同属性是，都由平面多边形旋转而得到，因此平 面图形之间的关系决定了它们之间的关系．教学过程要注意培养学生抓住它 们的内在联系来把握它们的变化，帮助学生树立联系变化的辩证唯物主义观 点．
生：有，应该加上全等两个字．
(教师肯定学生的答案后，板书出两条性质．)
师：性质2．给出了圆柱、圆锥、圆台的本质特征．今后有关三个几何 体的计算问题只要在它们轴截面上作文章，甚至今后分析有关问题可直 接在其轴截面上进行而不必画出它们的实际图形．另外有了性质1．我们 可以认为圆台是一个圆锥截掉一个小圆锥后余下的部分，所以有关圆台 的问题就可以转化为圆锥的问题来解决．
性质2给出了圆柱圆锥圆台的本质特征今后有关三个几何体的计算问题只要在它们轴截面上作文章甚至今后分析有关问题可直接在其轴截面上进行而不必画出它们的实际图形另外有了性质1我们可以认为圆台是一个圆锥截掉一个小圆锥后余下的部分所以有关圆台的问题就可以转化为圆锥的问题来解决例1把一个圆锥截成圆台已知圆台的上下底面半径是14母线长是10cm求圆锥的母线长分析
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。
1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l cπ==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l cπ==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。
1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①0S =上时即为锥体的体积公式；②S 上＝S 下时即为柱体的体积公式。
（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：BCC 1四、考点与典型例题考点一 几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A 、D，则铁丝的最短长度为多少厘米？DCBA 解：展开后使其成一线段AC cm =考点二 求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m ，底面的边长是1.5m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。
圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
3
球的表面积与体积
问题六
设球的半径为R，你能类比圆的面积公式
推导方法，推导出球的体积公式吗？
提示
分割、求近似和，再由近似和转化为准确和，
得出球的体积公式.
知 识 梳 理
1.球的表面积公式S＝ 4πR2(R为球的半径).2.球Biblioteka 体积公式V＝4 3πR
3
.
例3
(1)一个球的表面积是16π，则它的体积是
3
解析 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧＝7π(r＋3r)＝84π，解得r＝3.
反思
感悟
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面
展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
跟踪训练1
若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为
A.9π
直角三角形中列出方程并求解.
跟踪训练2
若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，
3
则这个圆锥的体积为________.
3π
解析
画出示意图，如图所示，设圆锥的母线长为 a，
1
3
则由 ·a· a＝ 3，得 a＝2.
2
2
故圆锥的底面圆直径为 2，圆锥的高为 3，
1
3
2
圆锥的体积 V＝3π×1 × 3＝ 3 π.
A.64π
解析
64π
B. 3
C.32π
32π
D. 3
√
设球的半径为 R，则由题意可知 4πR2＝16π，故 R＝2.
4 3 32π
所以球的体积 V＝ πR ＝
.
3
3
例3
(2)长、宽、高分别为 2， 3， 5的长方体的外接球的表面积为
《圆柱、圆锥、圆台》课件1 (北师大版必修2)
圆柱、圆锥、圆台
名称 圆柱 圆锥 圆台
图形
h
l
h
l
h
r
l
r
r
以直角三角形一直 角边所在直线为轴， 其余各边旋转而成 的曲面所围成的几 何体
R
以直角梯形垂直于 底边的腰所在直线 为轴，其余各边旋 转而成的曲面所围 成的几何体 轴截面是全等等腰 梯形
定义Biblioteka 以矩形一边所在 直线为轴，其余 各边旋转而成的 曲面所围成的几 何体。
(l 32 (5 1) 2 5)
h
l
圆柱、圆锥、圆台的平行于底的截面是什么图形？ 它的面积的大小与底面面积有什么关系？
求证：平行于圆锥底面的截面 与底面的面积比，等于顶点到 截面的距离与圆锥高的平方比 证明：由相似三角形的性质得
s
r
o1
r so1 R so r 2 so12 2 2 R so S 截 r 2 so12 2 2 S 底 R so
为c/、c，半径分别是r/、r,求圆台的侧面积 解：S圆台侧 1 c(l x) 1 c / x
r
/
x c/ c
2 2 1 [cl (c c / ) x]. 2
l
⑴
r
c/ x , c xl
c /l x . / cc
S圆台侧
代入⑴，得
1 c /l 1 / [cl (c c / ) ] (c c / )l （r r )l 2 c c/ 2
性质
轴截面是全等的 矩形
轴截面是全等等腰 三角形
练习： m2 , 1、圆柱的轴截面是正方形，它的面积为9 求圆柱的高与底面的周长。
h
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。
1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l c π==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l c π==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。
1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式 ①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①0S=上时即为锥体的体积公式；②S上＝S下时即为柱体的体积公式。
（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：四、考点与典型例题考点一几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A、D，则铁丝的最短长度为多少厘米？D CBA解：展开后使其成一线段ACcm考点二求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。
1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1
五.旋转体的概念 由一个平面图形绕着一条直线旋转产生 旋转体, 的曲面所围成的几何体叫做旋转体 的曲面所围成的几何体叫做旋转体,这条 直线叫做旋转体的轴 直线叫做旋转体的轴.比如常见的旋转体 圆柱,圆锥,圆台和球. 有圆柱,圆锥,圆台和球.
六.组合体 由柱, 由柱,锥,台,球等基本几何体组合而 成的几何体称为组合体.组合体可以通过 成的几何体称为组合体. 把它们分解为一些基本几何体来研究
h
h
l
l
(l = 3 + (5 1) = 5)
2 2
例2. 我国首都北京靠近北纬40度. 我国首都北京靠近北纬40度 求北纬40度纬线的长度约为多少千米 求北纬40度纬线的长度约为多少千米 (地球半径约为6370千米)? 地球半径约为6370千米 千米)
解:如图,设A是北纬40°圈上一点, 是北纬40°圈上一点, 如图, AK是它的半径,所以 OK⊥AK, AK是它的半径, OK⊥AK, 是它的半径 设c是北纬40°的纬线长, 是北纬40°的纬线长, 因为∠AOK= OAK=40° 因为∠AOK=∠OAK=40°, 所以 c=2πAK=2πOAcos∠OAK =2πAK=2πOAcos∠ =2π OAcos40° =2πOAcos40° ≈2×3.1416×6370× ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈3.066×104(km), ≈3.066×104(km), 即北纬40°的纬线长约为3.066× 即北纬40°的纬线长约为3.066×104km.
上底面 侧面
母线 母线 轴
下底面
3.圆台的表示方法:用表示它的轴的字 圆台的表示方法: 母表示,如圆台OO' 母表示,如圆台OO'.
4.圆台具有以下性质: 圆台具有以下性质: 圆台的底面是两个半径不等的圆, 底面是两个半径不等的圆 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆,两圆 所在的平面互相平行又都和轴垂直; 所在的平面互相平行又都和轴垂直; 平行于底面的截面是圆 截面是圆; (2)平行于底面的截面是圆; 通过轴的各个截面是轴截面 轴截面, (3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面 是全等的等腰梯形 是全等的等腰梯形; 等腰梯形; 任意两条母线 它们延长后会相交 母线( 延长后会相交) (4)任意两条母线(它们延长后会相交)确 定的平面,截圆台所得的截面是等腰梯形; 定的平面,截圆台所得的截面是等腰梯形; 母线都相等,各母线延长后都相交于一 (5)母线都相等,各母线延长后都相交于一 点.
圆柱圆锥圆台面积公式
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开2r ' 2r
l
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r2 r2 rl rl)
总结提升
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
r O
r 'O′
r′＝r
l 上底扩大
O
rO
l r′＝0
上底缩小
l rO
S柱 2r(r l) S台 (r2 r2 rl rl)
S锥 r(r l)
圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形圆台的表面积参照圆柱和圆锥的侧面展开图试想象圆台的侧面展开图是什么
圆柱的表面积
r O
l 2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r2 2rl 2r(r l)
圆锥的表面积
S
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S圆锥表面积 r2 rl r(r l)
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面
积．
()
(2)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的
周长有关．
()
答案：(1)× (2)√
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的
表面积与侧面积的比值是
()
1＋2π A. 2π
1＋4π B. 4π
题型三 球的表面积和体积
[学透用活]
[典例 3] (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都
为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
D．5πa2
(2)若球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是
球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为
解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.则 R＝OC＝2，AC＝4，AO＝ 42－22＝2 3. 如图所示，易知△AEB∽△AOC，∴AAOE＝OEBC，即2 33＝2r，∴ r＝1. ∴S 底＝2πr2＝2π，S 侧＝2πr·h＝2 3π. ∴S＝S 底＋S 侧＝2π＋2 3π＝(2＋2 3)π.
[对点练清] 1．[圆柱的侧面积]一个圆柱的底面面积是 S，其侧面积展开图
是正方形，那么该圆柱的侧面积为_________． 解析：设圆柱的底面半径为 R，
则 S＝πR2，R＝ Sπ， 底面周长 c＝2πR. 故圆柱的侧面积为 S 圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2·Sπ＝4πS. 答案：4πS
2.[圆锥的表面积]如图，在底面半径为 2，母线长为 4 的 圆锥中内接一个高为 3的圆柱，求圆柱的表面积．
圆柱、圆锥、圆台的几何特征课件
底面
圆锥的底部是一个圆面， 称为底面。
圆锥的定义与基本元素
01
02
03
04
侧面
连接底面和顶点的曲面，称为 侧面。
母线
连接底面和顶点的线段，称为 母线。
轴
通过底面的圆心与顶点连接的 直线，称为轴。
顶点
圆锥顶部的点，称为顶点。
圆锥的侧面展开图
侧面展开图是一个扇形，扇形的半径 等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于 圆锥底面的周长。
认为圆柱、圆锥、圆台的定义只是简 单地描述了它们的形状，而忽略了它 们是由平面曲线（圆）绕固定直线 （轴）旋转而成的立体几何图形。
误区二
对于圆柱、圆锥、圆台的定义中涉及 的术语理解不准确，如“母线”、“ 轴”、“底面”等。
关于公式应用的误区
误区一
在应用圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式时3
圆台的几何特征
圆台的定义与基本元素
定义
圆台是由一个大的圆平面（下底）和一个小的 圆平面（上底）以及连接两圆的侧面所围成的
几何体。
01
下底
较大的圆形平面。
03
高
上底和下底之间的垂直距离。
05
02
上底
较小的圆形平面。
04
侧面
连接上底和下底的曲面。
06
母线
连接上底和下底边缘的线段。
圆台的侧面展开图
圆柱的体积公式
V = πr^2h，其中r为底面半径，h为高。 体积等于底面积乘以高。
典型例题解析
例题1
已知圆柱的底面半径为3，高为4，求圆柱的表面积和体积。
解析
根据公式S = 2πr^2 + 2πrh和V = πr^2h，代入r = 3，h = 4，即可求出表面积和体积。
圆柱、圆锥、圆台
垂直于侧棱并与每条 侧棱都相交的截面 经过旋转轴的截面 过高的中点平行于 底面的截面
轴截面
中截面
棱柱、棱锥、棱台 圆柱、圆锥、圆台
七、小结
一、常见旋转体—圆柱、圆锥、圆台由来及相关概念
用表示轴的字母来表示 二、圆柱、圆锥、圆台的表示法：
三、圆柱、圆锥、圆台的性质： 性质1：平行于底面的截面都是圆 性质2：圆柱的轴截面是全等的矩形 圆锥的轴截面是全等的等腰三角形 圆锥的轴截面是全等的等腰梯形
说明：在解题过程中，如果问题都集中在某个截 面上，为了直观起见，不妨将该截面移出来单独研究， 这种将立体问题转化为平面问题的方法在今后应用极为 广泛，必须牢牢掌握并能熟练运用。
回顾小结
•
•
（1）圆柱、圆锥、圆台和球的概念
（2）运动变化、类比联想的观点
•
（3）分解复杂的组合体
课外作业
1.请同学们课后找一找生活中具有圆柱、圆锥、 圆台和球几何结构特征的实物.
O S
O’
O
O
O
记作：
记作：
记作：
圆柱O’O
圆锥SO
圆台O’O
四、圆柱、圆锥、圆台的性质
性质1： 平行于底面的截面都是圆,
过旋转轴的截面 称为旋转体的轴截面 定 义：
性质2：圆柱的轴截面是 全等的 矩形 圆锥的轴截面是 全等的 等腰三角形 圆台的轴截面是 全等的 等腰梯形 S
O’
O’
O
O
O
建构数学
∵⊙Ｏ’ ∥ ⊙O ∴O’A’ ∥OA
＝ ∴⊿ O’SA’O’ A’ ︰OA SA’ ︰SA （∴ ∽⊿ SAO ）
即： x ：4x ＝ (y－10)︰ y 4 (y－10) ＝ y y ＝
圆柱、圆锥,圆台的表面积与体积
r O
O
圆柱的侧面展开图是一个矩形，
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l ).
新知探究
6π
1.已知一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2π.该圆柱的表面积为________．
解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底
7
为574π，则圆台较小的底面半径为________．
解析：设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3
＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.
新知探究
1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱
圆锥
S
• O'
r' • O'
l
l
l
r •O
圆台
2πr
S圆柱 2 r (r l )
3
1
的底面积分别为S1，S2 , ，Sn则小锥体的体积分别为V1 S1R,
3
1
1
V2 S2 R， ，Vn S n R，
3
3
1
1
1
V球 V1 V2 Vn S1R S2 R S n R
3
3
3
1
1
1
（S1 S2 Sn）R S球 R 4 R 2 • R
各面面积之和
柱体、锥体、台体的体积
棱柱
棱锥
棱台
的体
积
棱柱
V Sh
棱台
1
V ( S S S S )h
3
棱锥
1
V Sh
3
新知探究
《圆柱、圆锥、圆台》课件1 (北师大版必修2)
(l 32 (5 1) 2 5)
h
l
圆柱、圆锥、圆台的平行于底的截面是什么图形？ 它的面积的大小与底面面积有什么关系？
求证：平行于圆锥底面的截面 与底面的面积比，等于顶点到 截面的距离与圆锥高的平方比 证明：由相似三角形的性质得
s
r
o1
r so1 R so r 2 so12 2 2 R so S截 r 2 so12 2 2 S底 R so
o R
例： 把一个圆锥截成圆台，已知 圆台上、下底面半径分别是1：4， 母线长是10cm,求圆锥的母线长。
x 4x
解：设圆锥的母线长为y，圆台的 上、下底面半径分别是x、4x，
由相似三角形的性质得，
y 10 x y 4x
10
即 4( y 10) y
3y=40
40 y (cm ) 3 40 即圆锥母线长为 cm . 3
3、圆柱、圆锥、圆台的母线、底面半径与高的关系？ 作业：P209 习题2 1，5
圆柱、圆锥、圆台
名 称 侧 面 展 开 图 圆柱 圆锥 圆台
c l l
c/
l
c
c
侧 面 积
ห้องสมุดไป่ตู้
S侧=cl=2πrl
S侧=
1 cl 2
=πrl
S侧=
1 (c c / )l 2
=π(r+r/)l
设圆台的母线长为l，上、下底面的周长
为c/、c，半径分别是r/、r,求圆台的侧面积 解：S圆台侧 1 c(l x) 1 c / x
r
/
x c/ c
l
2 2 1 [cl (c c / ) x]. 2
⑴
r
圆台体积的三种公式
圆台体积的三种公式
圆台体积是指一个上底面半径为R，下底面半径为r，高为h的圆台所包含的三维空间体积。
下面介绍圆台体积的三种公式：
1. 棱锥体积公式：圆台可以看作由一个底面半径为R的圆锥和一个底面半径为r的圆锥组成，因此圆台的体积可以用棱锥体积公式求解：V = 1/3 * π * h * (R^2 + Rr + r^2)
2. 圆柱体积公式：我们也可以把圆锥的底面看作一个半径为R 的圆柱，并把圆锥的顶面看作一个半径为r的圆柱，然后把两个圆柱的体积相加即可得到圆台的体积：V = π * h/3 * (R^2 + r^2 + Rr)
3. 球台体积公式：如果我们把圆台放在一个球体内，使得圆台的两个底面分别与球体的表面相切，那么圆台的体积可以由球的体积减去两个球冠的体积得到：V = 1/3 * π * h^2 * (3R - h) 或 V = π/3 * h * (R^2 + Rr + r^2)
通过这三种公式，我们可以在不同的情况下计算圆台的体积，为我们解决许多实际问题提供了方便。
- 1 -。
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圆柱、圆锥、圆台
1.一个圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则该圆锥的高与母线长分别为________
2.一个圆锥的高为cm 2，母线与轴的夹角为 30，则母线长为_________，_______=轴截面S
3.轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥，已知某等边圆锥的轴截面面积为3，则该圆锥的底面半径为_________，高为__________，母线长为__________
4.轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为216cm ，则该等边圆柱的底面周长为__________，高为_________
5.已知圆柱的底面面积为π4，母线长为3，则_______=轴截面S ，_______=轴截面C
6.用一张相邻两边长分别为cm cm 84和的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则轴截面的面积为_____
7.已知圆柱的底面半径是cm 20，高是cm 15，则平行于圆柱的轴且与此轴相距cm 12的截面面积为_________
8.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为2392cm ，母线与轴的夹角是 45，则圆台的高为________，母线长为________，底面半径为________
9.用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为16:1，截去的圆锥的母线长是cm 3，则圆台的母线长为__________
10.一个圆台的母线长为cm 12，两底面的面积分别为22254cm cm ππ和，则圆台的高为________，截得此圆台的圆锥的母线长为__________
11.圆柱的轴截面是边长为cm 5的正方形ABCD ，则圆柱侧面A 从到C 的最短距离为______
12.一个圆锥的底面半径为3，高为5，在其中有一个高为x 的内接圆柱，则高______=x 时，________=最大S
13.圆台的上下底面半径分别为126和，平行于底面的截面自上而下分母线为1:2的两部分，则截面面积为___________
14.圆锥轴截面的顶角为 120，过顶点的截面三角形的最大面积为2，则圆锥的母线长为____。