第九章 两曲面立体相交
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两曲面立体相交
3.2两曲面立体相交
3.3.1 概述
相贯线：两立体表面的交线称为相贯线。
相贯线性质：
1.共有性：相贯线上的点一定是形体表面的共有点。
2.封闭性:由于形体具有一定的空间范围，所以相贯线一般都是封闭的。
(1)平面立体与平面立体相交: 其相贯线为封闭
的空间折线或平面折线。
(2)曲面立体与曲面立体相交: 相贯线一般情况
(3)下是封闭的空间曲线。
特殊情况下是平面曲线
或直线.
3.3.2 相贯线作图方法及举例
例
外，还有以下两种情况：
（1）圆柱孔与实心圆柱相交
（2）两圆柱孔相交
3.3.2 相贯线的特殊情况
两回转体相交，在一般情况下其相贯线为空间曲线，但在特殊情况下相贯线也可能是平面曲线或直线。
下面介绍几种情况
1. 同轴的两回转体相交，相贯线为垂直于轴线的圆。
当轴线平行于某一投影面时，其相贯线在该投
2.同切于球面的两回转体相交，其相贯线为椭圆（1）当两圆柱轴线相交、直径相等、同切于一球面时，其相贯线为两大小相等的椭圆。
在这种情况下椭圆的正面投影积聚为两直线，水平投影和侧面投影均积聚为圆。
（2） 当圆柱与圆锥的轴线相交，且同切于一球面时，其相贯线为两个大小相等的椭圆。
在这种情况下椭圆的正面投影积聚为两直线，水平投影仍为椭圆，侧面投影积聚为圆。
3. 轴线相互平行的两圆柱相交；其相贯线为两条平行于轴线的直线。
画法几何-两立体相交PPT课件
【例题】求两立体表面交线
-
27
三、两曲面立体相交
㈠ 两曲面立体相贯线的性质 ㈡ 相贯线的三种形式 ㈢ 两曲面立体相贯线的求法 ㈣ 相贯线的可见性 ㈤ 特殊相贯线
-
29
㈠ 两曲面立体相贯线的性质
1、相贯线是两曲面立体表面的公有线，相贯线上的 点是两曲面立体表面的公有点；
2、一般情况下，相贯线为封闭的空间曲线。
甲 乙
-
8
㈢ 相贯线的可见性
相贯线的可见性取决于相贯线所处立体表面的 可见性。若相贯线处于同时可见的两立体表面上， 则相贯线可见，画成实线；其它情况下均为不可 见，画成虚线。
-
9
例 求房屋表面的交线。
-
10
【例题】求作三棱柱与三棱锥的相贯线，并判别可见性。
b′ a′
c′ c b
a
2′ 5′ 3′
-
39
【例题】求两立体相贯线
-
40
求曲面立体的相贯线
分析： ⒈ 相贯线分析：空间
分析、投影分析。相贯
线的水平投影和侧面投
影已知，求出相贯线的
RV PV QV
2'
1' 4' 3'
5'
1" 4"
3"
5" 2"
正面投影。
RW PW
2.找特殊点 3.找一般位置点
QW 4.光滑连接
5.整理
2
1
54 3
-
41
-
53
（1）.积聚投影法(求点法):轮廓线上的点或贯穿点可利用 从属性直接求出；相交两曲面体，如果有一个表面投影具 有积聚性时，就可利用该曲面体投影的积聚性作出两曲面 的一系列共有点，然后依次连成相贯线。
第九章 两曲面立体相交
求相贯线的步骤：
空间分析
根据立体或给出的投影，作形体分析和线面分析，了解相交两回转面 的形状、大小及其轴线的相对位置，判定相贯线的形状特点。
投影分析
根据两回转面轴线对各投影面的相对位置，分析相贯线各投影的特点， 确定适当的作图方法。
求特殊点
特殊点是一些能确定相贯线形状和范围的点，如转向轮廓线上的点、 对称相贯线在对称面上的点和极限位置点。
2. 圆柱面与圆锥面相交
注意： 当相交的圆柱面与圆锥面，公切于同一球面时，相贯线为两个形状大小相同而 且彼此相交的椭圆，椭圆所在的平面垂直于两回转面轴线所决定的平面。
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§4-4 两回转面的交线
二、利用辅助平面法作图
1. 作图原理
作两回转体的相贯线时，可以用与
两回转体都相交（或相切）的辅助平面 切割这两个立体，则两组截交线（或切
求一般点
为了能光滑地作出相贯线投影，还需在特殊点之间再作一些一般点。
判别可见性并光滑连线
可见性的判别原则：只有在两个回转面都可见的范围内相交的那一段 相贯线才是可见的。 即位于立体可见表面上的相贯线其投影可见。
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§4-4 两回转面的交线
一、利用回转面上取点法作图
1. 两圆柱面相交
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§4-4 两回转面的交线
一、利用回转面上取点法作图
1. 两圆柱面相交
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§4-4 两回转面的交线
一、利用回转面上取点法作图
2. 圆柱面与圆锥面相交
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第九章 平面与曲面相交 (3)
平面与圆柱相交
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
例 例8 8：求 ：求W W投影 投影
例9：求W投影
虚实分界点
例10：圆柱与四棱柱相交，求W投影
例11 已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
g'≡h' m'≡n'
a'≡c' o1'
Rv
b'≡d'
Qv
1'
h n 1 c e a g o1 d b m
例22 分析圆球打孔后的投影
㈣ 组合体的截交线
求组合体的截交线分两步 求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。 一般情况下,两个基本几何体表面若相交,则截平 面截得的二截交线也相交,交点即为两基本形体表面 交线与截平面的交点 特殊情况下,若两个基本几何体表面相切, 二截 交线也相切,切点即为两基本切线与截平面的交点
5．整理轮廓线。
a
4
2
例15 分析并想象出圆锥穿孔后的投影
例15 分析并想象出圆锥穿孔后的投影
例16 分析六角螺母头部的曲线
1 2
例16 分析六角螺母头部的曲线
㈢ 圆球表面的截交线
圆
㈢ 圆球表面的截交线
求圆球截交线上点的方法——纬圆法
㈢ 圆球表面的截交线
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但 根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线 的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 例1：求半球体截切后的H投影和W投影。
例18
求圆球截交线
c'd'
第9章 两立体相交
3、补出视图中所缺的线。
由已知的三视图投影，可 分析出空间物体的形状。
基本 体为轴心 线正交的
圆柱体
被 公 切
两直径相
的
等的圆柱
球
体公切于
一个球。
空间分析：：
椭圆曲线
被公切的球
椭圆曲线在Ｖ面投影积聚为一直线
例８－９：求圆柱穿孔后（方孔和圆孔
在轴4心、求线圆上柱穿相孔交后）的水的平水投平影及投侧影面及投影侧。面投 影。
二、利用辅助面法求作相贯线
圆柱和圆锥两轴心线 正交，两表面相交的共 有线（相贯线）。
空间曲线
辅助平面 直素线
空间分析：
三面共点 水平圆
辅 助 平 面 法
例8-7：求圆柱与圆锥的相贯线
扩展分析： 空间曲线
三、两曲面立体相贯线特殊情况 两曲面立体的相贯线，在一般情况
下是封闭的空间曲线；但在某些特殊情 况下，相贯线可能是平面曲（圆或者椭 圆）或直线。如果此时两曲面立体对投 影面恰又处于特殊位置，则它们的相贯 线在该投影面上的投影就具有一定的特 点和规律。了解和掌握这些特点和规律 有助于判断和绘制相贯线的投影，并可 以简化作图过程。
题目：补画第三视图
空间分析：四个简单形体的分割
题目：补画第三视图。 绘制底板
题目：补画第三视图。 绘制托架
题目：补画第三视图。 绘制圆筒
题目：补画第三视图 绘制支撑板
题目：补画第三视图 完成补画第三视图
小结
该题是用形体分析法读图和画图的典型题 目, 即将组合体假想分成若干基本形体,然后 一个一个形体分析,想象出简单形体的形状和 彼此之间的位置及组合关系.看图和画图的步 骤是:
１.平面立体与平面立体相交
２.平面立体与曲面立体相交
由已知的三视图投影，可 分析出空间物体的形状。
基本 体为轴心 线正交的
圆柱体
被 公 切
两直径相
的
等的圆柱
球
体公切于
一个球。
空间分析：：
椭圆曲线
被公切的球
椭圆曲线在Ｖ面投影积聚为一直线
例８－９：求圆柱穿孔后（方孔和圆孔
在轴4心、求线圆上柱穿相孔交后）的水的平水投平影及投侧影面及投影侧。面投 影。
二、利用辅助面法求作相贯线
圆柱和圆锥两轴心线 正交，两表面相交的共 有线（相贯线）。
空间曲线
辅助平面 直素线
空间分析：
三面共点 水平圆
辅 助 平 面 法
例8-7：求圆柱与圆锥的相贯线
扩展分析： 空间曲线
三、两曲面立体相贯线特殊情况 两曲面立体的相贯线，在一般情况
下是封闭的空间曲线；但在某些特殊情 况下，相贯线可能是平面曲（圆或者椭 圆）或直线。如果此时两曲面立体对投 影面恰又处于特殊位置，则它们的相贯 线在该投影面上的投影就具有一定的特 点和规律。了解和掌握这些特点和规律 有助于判断和绘制相贯线的投影，并可 以简化作图过程。
题目：补画第三视图
空间分析：四个简单形体的分割
题目：补画第三视图。 绘制底板
题目：补画第三视图。 绘制托架
题目：补画第三视图。 绘制圆筒
题目：补画第三视图 绘制支撑板
题目：补画第三视图 完成补画第三视图
小结
该题是用形体分析法读图和画图的典型题 目, 即将组合体假想分成若干基本形体,然后 一个一个形体分析,想象出简单形体的形状和 彼此之间的位置及组合关系.看图和画图的步 骤是:
１.平面立体与平面立体相交
２.平面立体与曲面立体相交
相贯线1两平面立体平面与曲面立体相交精品PPT课件
立体与立体相交
1
提纲
一、 概 述 二、 平面体与平面体相贯 三、 平面体与回转体相贯 四、 回转体与回转体相贯
2
一、概述
相贯 ： 两立体相交称为相贯 相贯体 : 参与相贯的立体叫做相贯体 相贯线：相交两立体表面的交线叫做相贯线
相贯体
相贯线
3
1、相贯线的性质
1)表面性—相贯线位于两相交立体的表面。 2)共有性—相贯线是两相交立体表面的共有线和分界 线，线上所有点都是两相交立体表面的共有点。是求 相贯线投影的作图依据。 3)封闭性—由于立体的表面是封闭的，因此相贯线一 般是封闭的空间折线或空间曲线。
18
例3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
3’ a’ 1’ s’
2
6’ 5’
c’
4’
解题步骤： 1、分析两立体的空间关系， 根据积聚性，确定相贯线的 已知投影。
b’
a
2、求相贯线上的贯穿点。
3
3、先判断可见性，依次连接
1 s
(6) (5) (4)
贯穿点。
b
2
c
19
例3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
4
圆柱面
相贯线实例
相贯线
球面
5
2、相贯线的形状
相贯线的形状取决于两立体的形状、大小及两立 体的相对位置。
(1) 立体形状不同，相贯线形状不一样：
平面立体相贯: 空间折线
平面立体与曲面立体 相贯：多段平面曲线
曲面立体相贯： 空间曲线
6
(2) 立体大小不同，相贯线形状不一样：
直径不同的 两圆柱
直径相同的 两圆柱
与棱面积聚线重合，同时三个
截平面之间还有三条交线。
1
提纲
一、 概 述 二、 平面体与平面体相贯 三、 平面体与回转体相贯 四、 回转体与回转体相贯
2
一、概述
相贯 ： 两立体相交称为相贯 相贯体 : 参与相贯的立体叫做相贯体 相贯线：相交两立体表面的交线叫做相贯线
相贯体
相贯线
3
1、相贯线的性质
1)表面性—相贯线位于两相交立体的表面。 2)共有性—相贯线是两相交立体表面的共有线和分界 线，线上所有点都是两相交立体表面的共有点。是求 相贯线投影的作图依据。 3)封闭性—由于立体的表面是封闭的，因此相贯线一 般是封闭的空间折线或空间曲线。
18
例3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
3’ a’ 1’ s’
2
6’ 5’
c’
4’
解题步骤： 1、分析两立体的空间关系， 根据积聚性，确定相贯线的 已知投影。
b’
a
2、求相贯线上的贯穿点。
3
3、先判断可见性，依次连接
1 s
(6) (5) (4)
贯穿点。
b
2
c
19
例3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
4
圆柱面
相贯线实例
相贯线
球面
5
2、相贯线的形状
相贯线的形状取决于两立体的形状、大小及两立 体的相对位置。
(1) 立体形状不同，相贯线形状不一样：
平面立体相贯: 空间折线
平面立体与曲面立体 相贯：多段平面曲线
曲面立体相贯： 空间曲线
6
(2) 立体大小不同，相贯线形状不一样：
直径不同的 两圆柱
直径相同的 两圆柱
与棱面积聚线重合，同时三个
截平面之间还有三条交线。
两立体表面相交
(a)Leabharlann (b)(c)(d)
图3.31 圆柱与圆锥正交的相贯线
（3）顺序连接各点并判别可见性
依次光滑连接各点的正面投影，由于相贯线前后对称，可见与不可见投影重合， 画一段粗实线，即得到相贯线的正面投影。如图3.25d所示。 2. 两正交圆柱相贯线的三种形式 如表3-4所示，圆柱相贯线有两外表面相贯、外表面与内表面相贯（垂直圆柱轴 线穿孔）、两内表面相贯三种形式。相贯线的形状和求作方法是完全相同的。
(a)
(b)
(c)
(d)
图3.26 正交两圆柱相贯线的弯曲趋向
4.相贯线的近似画法 两不等直径的圆柱体（或圆孔）轴线垂直相交，当两圆柱正交且直径相差较大 （直径之比>=1.5），并且对交线形状的准确度要求不高时，允许用大圆柱的半 径作圆弧来代替相贯线，或用直线代替非圆曲线。如图3.27所示。
(a) 用圆弧代替相贯线
(b) 用直线代替相贯线
图3.27 相贯线的近似画法（一）
在不致引起误解时，如图3.28a所示两圆柱偏交的相贯线，可用直线代替，如图3.28b所示。
(a)
(b)
图3.28 相贯线的近似画法（二）
3.29
也可采用模糊画法表示相贯线。如图3.29a所示的圆柱与圆锥相交的相贯线，可按如图 3.29b所示的形式画出。
图
相 贯 线 的 近 似 画 法 （ 三 ）
(a)
(b)
1.2利用辅助平面法求相贯线 当两相交回转体的投影都没有积聚性时，相贯线需要用辅助平面法求解。 1.辅助平面法的作图原理 辅助平面法主要是根据三点共面的原理。如图3.30所示，当圆柱与圆锥相交时， 为求得公有点，可假想用一个平面P（辅助平面）截切圆柱和圆锥。平面P与圆
图3.31 圆柱与圆锥正交的相贯线
（3）顺序连接各点并判别可见性
依次光滑连接各点的正面投影，由于相贯线前后对称，可见与不可见投影重合， 画一段粗实线，即得到相贯线的正面投影。如图3.25d所示。 2. 两正交圆柱相贯线的三种形式 如表3-4所示，圆柱相贯线有两外表面相贯、外表面与内表面相贯（垂直圆柱轴 线穿孔）、两内表面相贯三种形式。相贯线的形状和求作方法是完全相同的。
(a)
(b)
(c)
(d)
图3.26 正交两圆柱相贯线的弯曲趋向
4.相贯线的近似画法 两不等直径的圆柱体（或圆孔）轴线垂直相交，当两圆柱正交且直径相差较大 （直径之比>=1.5），并且对交线形状的准确度要求不高时，允许用大圆柱的半 径作圆弧来代替相贯线，或用直线代替非圆曲线。如图3.27所示。
(a) 用圆弧代替相贯线
(b) 用直线代替相贯线
图3.27 相贯线的近似画法（一）
在不致引起误解时，如图3.28a所示两圆柱偏交的相贯线，可用直线代替，如图3.28b所示。
(a)
(b)
图3.28 相贯线的近似画法（二）
3.29
也可采用模糊画法表示相贯线。如图3.29a所示的圆柱与圆锥相交的相贯线，可按如图 3.29b所示的形式画出。
图
相 贯 线 的 近 似 画 法 （ 三 ）
(a)
(b)
1.2利用辅助平面法求相贯线 当两相交回转体的投影都没有积聚性时，相贯线需要用辅助平面法求解。 1.辅助平面法的作图原理 辅助平面法主要是根据三点共面的原理。如图3.30所示，当圆柱与圆锥相交时， 为求得公有点，可假想用一个平面P（辅助平面）截切圆柱和圆锥。平面P与圆
机械制图9-1 平面与立体的表面交线
2）确定截交线H面投影与轮廓线的交点5、6。由于两点Ⅴ、Ⅵ在球面平行于Ｈ 面的转向圆上，由5＇、（6＇）即可求出H面投影5、6，如图b所示。
3）根据长轴34和短轴12画出椭圆，并检查5、6是否在椭圆上，如图c所示。
水平面截切圆球，截交线 在俯视图上为部分圆弧，在 左视图上积聚为直线。
两个侧平面截切圆球，截交 线在左视图上为部分圆弧，在 俯视图上积聚为直线。
4(3) 1(2)
8” 5” 6”
7”
4” 1” 3” 2”
Ⅷ
Ⅶ
内外圆柱面上最 前、最后的素线 没有被截切，仍 完整
Ⅴ
Ⅵ
Ⅳ Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
作图： 标记截交线的顶点；
求侧平面的水平投影；
求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影；
求圆弧及水平面的侧面投影；
完成作图。
例：求正垂面截切圆柱的 截交线
（2）画基本体的三视图。
(3)画两面角的E、F平 面投影。
（4）画“V”形槽的两侧 垂面G、H投影（交线AB、 AC的投影），并加深三视 图。
二、平面与曲面立体相交—曲面切割体视图
截平面截切立体所产生的表面交线称为截交线
平面截回转体所得到的截交线形状取决于： 回转体表面形状 截平面与回转体的相对位置。
（2）画基本体的三视图。
(3)画侧垂面E的投影。
（4）画中间槽的F、G、H 平面投影，并加深三视图。
例2：画出如图所示平面切割体的三视图
主要作图步骤：
（1）分析形体：长方体切去了左 前角和左上角，产生铅垂面E和正 垂面F（交线AB为倾斜线）。
（2）画基本体的三视 图。
(3)画画铅垂面E的投影。
例4：补画出视图中所缺的图线
3）根据长轴34和短轴12画出椭圆，并检查5、6是否在椭圆上，如图c所示。
水平面截切圆球，截交线 在俯视图上为部分圆弧，在 左视图上积聚为直线。
两个侧平面截切圆球，截交 线在左视图上为部分圆弧，在 俯视图上积聚为直线。
4(3) 1(2)
8” 5” 6”
7”
4” 1” 3” 2”
Ⅷ
Ⅶ
内外圆柱面上最 前、最后的素线 没有被截切，仍 完整
Ⅴ
Ⅵ
Ⅳ Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
作图： 标记截交线的顶点；
求侧平面的水平投影；
求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影；
求圆弧及水平面的侧面投影；
完成作图。
例：求正垂面截切圆柱的 截交线
（2）画基本体的三视图。
(3)画两面角的E、F平 面投影。
（4）画“V”形槽的两侧 垂面G、H投影（交线AB、 AC的投影），并加深三视 图。
二、平面与曲面立体相交—曲面切割体视图
截平面截切立体所产生的表面交线称为截交线
平面截回转体所得到的截交线形状取决于： 回转体表面形状 截平面与回转体的相对位置。
（2）画基本体的三视图。
(3)画侧垂面E的投影。
（4）画中间槽的F、G、H 平面投影，并加深三视图。
例2：画出如图所示平面切割体的三视图
主要作图步骤：
（1）分析形体：长方体切去了左 前角和左上角，产生铅垂面E和正 垂面F（交线AB为倾斜线）。
（2）画基本体的三视 图。
(3)画画铅垂面E的投影。
例4：补画出视图中所缺的图线
9两立体相交讲义相贯线
[例题3] 平面立体与圆锥相贯，完成相贯线的投影
解题步骤 1．分析 相贯线为圆弧 和双曲线的组合；相贯 线的侧面投影已知，可 利用表面取点法求共有 点； 2．求出相贯线上的特 殊点Ⅰ、Ⅱ 、 Ⅳ； 3．求出一般点Ⅲ ； 4．光滑且顺次地连接 各点，作出相贯线，并 且判别可见性； 5．整理轮廓线。
观看动画
§9.2 两平面立体相交
一、相贯线的特点：
两平面立体的相贯线，一般情况是一条或者几 条封闭的空间折线，特殊情况是平面多边形。
二、两种情况：
一立体全部穿过另一立体，此时相贯线为分开的
两条空间折线—全贯。
两立体没有全部相交，只是一部分棱线穿过另一
立体，其相贯线为一条空间折线—互贯。
三、相贯线的求法：
[例题4] 求圆柱截交线。
1'
4'
5'
3' 6' 2'
1 (2) 6 3
4 5
解题步骤
1．分析 截交线为矩
4" 1"
形、椭圆及圆和直线 的组合；截交线的正
5"
面、水平投影为已知
3" ，侧面投影为矩形、
6" 椭圆和直线的组合；
2" 2．求出截交线上的
特殊点Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ 、Ⅳ、Ⅴ；
3．求一般点Ⅵ；
棱线法、棱面法、辅助平面法、辅助球面法等。
五、作图步骤：
➢ 分析两立体表面性质、两立体相对位置、相交情 况。 ➢ 求相贯线上的特殊点。 ➢ 求相贯线上的一般点。
方法：假想用辅助平面同时截切两立体，分别求 出两立体表面的截交线，截交线的交点为相贯线上 的点。
六、辅助平面选择原则： 使得辅助平面与两立体表面交线的投影都
第九章 相交立体的视图
曲面立体圆柱H面投影积聚，利
用在平面立体棱锥表面上取点
3' 1' 4'
的方法求解
2'
6'
7' 5'13ຫໍສະໝຸດ 46 5 72
第三节 曲面体与曲面体相交
★ 相贯线性质： 共有性——相贯线是两立体表面的共有线。 表面性——相贯线位于两立体的表面上。 封闭性——相贯线一般是封闭的空间曲线。 作图方法：找两回转体表面上的一系列共有点的投影。
★
求共有点的方法有：积聚性法和辅助平面法。 辅助平面法：根据三面共点原理，利用辅助平面求出两 回转体表面上的共有点。
两曲面立体相贯
• 两曲面立体的相贯线，是两曲面的公共点的连线，在一般情
况下，是封闭的空间曲线；特殊情况下，是平面曲线。
• 求解方法为辅助平面法和辅助球面法：重点掌握辅助平面法
– 第一步，加辅助截平面；
4
例3：求作垂直于正面的长方体和正三棱锥的相贯线
s'
s
（1）全贯，两组相贯线。 （2）四棱柱的V面投影积聚。
PV
1'(7')
2'
3'(8')
7(8)
1(3)
2
QV
4'(9') a' a 9 7 5' 6'(10') b' 10 8 c' c
9(10) 4(6) 5 a(c) b
Pw
4" 2"
Qw
1"
1'
3 5
6
辅助平面P
1
2 4
四、相贯线的特殊情况
两回转体有一个公共轴线时，它们的相贯线都是平面曲线— —圆。
用在平面立体棱锥表面上取点
3' 1' 4'
的方法求解
2'
6'
7' 5'13ຫໍສະໝຸດ 46 5 72
第三节 曲面体与曲面体相交
★ 相贯线性质： 共有性——相贯线是两立体表面的共有线。 表面性——相贯线位于两立体的表面上。 封闭性——相贯线一般是封闭的空间曲线。 作图方法：找两回转体表面上的一系列共有点的投影。
★
求共有点的方法有：积聚性法和辅助平面法。 辅助平面法：根据三面共点原理，利用辅助平面求出两 回转体表面上的共有点。
两曲面立体相贯
• 两曲面立体的相贯线，是两曲面的公共点的连线，在一般情
况下，是封闭的空间曲线；特殊情况下，是平面曲线。
• 求解方法为辅助平面法和辅助球面法：重点掌握辅助平面法
– 第一步，加辅助截平面；
4
例3：求作垂直于正面的长方体和正三棱锥的相贯线
s'
s
（1）全贯，两组相贯线。 （2）四棱柱的V面投影积聚。
PV
1'(7')
2'
3'(8')
7(8)
1(3)
2
QV
4'(9') a' a 9 7 5' 6'(10') b' 10 8 c' c
9(10) 4(6) 5 a(c) b
Pw
4" 2"
Qw
1"
1'
3 5
6
辅助平面P
1
2 4
四、相贯线的特殊情况
两回转体有一个公共轴线时，它们的相贯线都是平面曲线— —圆。
曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线
(5’)
4’Βιβλιοθήκη 1”Pw6”
2” Qw
5”
3”
4”
Ⅰ 56
1 4
32
Ⅳ
求圆柱与半球的相贯线
45
46
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
b”
27
例3 完成所示形体的投影图
d’
e’
f’
b’
5’ 2’
1’
a’
s’
4’
3’
6’
c’
f
c
d
6
s
3
2
5
b
14 e
a
28
例题4：已知三棱锥SABC与三棱柱DEF的三面投
影,求作s它’们的f’相贯Pv线。 s”
3’
3”
2’
Qv
14’’d()’ 5’
4” 6’e’ 6”
1”
a’ b’
c’ a”(c ”)
（闭实各H的直、质表交交空线W是面线线间）投求 与投的折构影平 回影投线成已面 转分影的知体 体析作封图
求截交 的交求线V投影 线问题
32
归纳
相交形式
外表面与外表面相交 外表面与内表面相交 内表面与内表面相交
交线相同 求交线的实质相同 求交线的方法相同
33
求：四棱柱与半球体的相贯线。
34
曲面体与曲面体相交
9 相贯线
1
2 4 7 8 3 5
6
2、利用辅助平面法求相贯线
● ● ● ●
P
假想用水平面P截切立体，P面与圆柱体 的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为 圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。
辅助平面与两相贯体都相交
辅助平面平行于投影面
辅助平面与两相贯体表面交线为直线或圆
[例题3]
求圆柱与圆锥的相贯线
解题步骤7"Fra bibliotek5”9”
3”11” 4 光滑且顺次地连接各
点，作出相贯线，并且 判别可见性； 5 整理轮廓线。
6 （7 ） 4（5） 2（3）
8（9）
10（11）
1
12
解题步骤
[例题2]
2' 4' 7'
求两圆柱的相贯线
1' 3' 5' 8' 6’ 1” 2” 3” 4” 7”8” 6”
1 分析 相贯线的水平 投影和侧面投影已知， 可利用表面取点法求共 有点； 2 求出相贯线上的特殊 点； 3 求出若干个一般点； 4 光滑且顺次地连接各 点，作出相贯线，并且 判别可见性； 5 整理轮廓线。
求贯穿点
a'
1'
2'
b'
c'(d')
d
b
2
a
1
c
§9-2 平面立体与平面立体相贯
一、 概述 二、 例题1 例题2 例题3
一、概述
1．相贯线的性质 相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体 表面的共有点;不同的立体以及不同的相贯位置,相贯线的形状也不同; 2．相贯线的形状 两平面立体的相贯线由折线组成。折线的每一段都是甲 形体的一个侧面与乙形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形 体的侧棱与另一形体的侧面的交点。 3．求相贯线的方法 求两平面立体相贯线的方法通常有两种：一种是求各 侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于甲形体同一侧面又位于乙形体 同一侧面上的两点，依次连接起来。另一种是求一形体各侧面与另一形 体各侧面的交线。 4．判别相贯线可见性的原则 只有位于两形体都可见的侧面上的交线， 是可见的。只要有一个侧面不可见，面上的交线就不可见。
《工程图学》 第九章 两立体相交
两相贯体相对尺寸大小发生变化，相贯线形状发生变化
两相贯体相对位置发生变化，相贯线形状发生变化
两相贯体相对位置发生变化，相贯线形状发生变化
本
章
结
束
3.作图方法 利用投影的积聚性直接找点。
用辅助面法。
4. 求相贯线的步骤
★ 空间及投影分析 相贯线的空间走向、相贯线的投影范围、作图方法 ★ 画出相贯线的投影 1） 求特殊点 极限位置点、转向点、特征点和结合点 2） 求中间点 3） 光滑连线，判断可见性 ★分析、补全轮廓线的投影
连线原则：
解题步骤
1 分析 两圆柱孔直径相同 时，它们的相贯线是平面曲 线-椭圆。 2 相贯线的水平投影和侧面 投影是积聚性的圆、半圆。 3 利用表面取点法求外表相 贯线，内部相贯线投影为两 相交直线（虚线）
例12：求圆球穿两个孔的相贯线
五、影响相贯线形状的因素
两相贯体相对尺寸大小发生变化，相贯线形状发 生变化
在两立体表面上都处于相邻素
线（纬线圆）间的点才能相连。
各投影的连线顺序应一致。 判断可见性的原则： 只有当相贯线所属两立体表面对于某一 投影面的投影同时为可见时，其投影才为可
见，否则为不可见。
一、积聚性法
例１：求两圆柱的相贯线
解题步骤
a" b" 1" d" 1) 求出相贯线 空间及投影 上的特殊点 A 、 (2") B、 C 分析： 、 D ； c" 小圆柱轴线 2) 求出若干个一 垂直于H面，水 般点Ⅰ、Ⅱ 等；
2 5 3
1 4
y
用辅助平面求共有点示意图
y
用水平面作为辅助平面求共有点
例4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
第九章相贯线
二、利用积聚性投影求相贯线 三、辅助面法求相贯线 四、复合相贯线 五、相贯线的特殊情况及相贯线投影的趋势
上 一 节
下 一 节
退 出
例18 求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线
辅助球面法求最右点
例18 求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线
辅助球面法
辅助球面法的原理
设置一辅助球面 （球心位于两回转体 轴线的交点），求辅 助球面与两回转体表 面的交线圆，两圆的 交点为两体表面和辅 助球面三面的共点， 即相贯线上的点。
画出三棱锥与三棱柱互贯的投影图
例 4
§9-2 平面立体与曲面立体相贯
平面立体与曲面立体相交，其相贯线一般是封闭的空间 折线，其中有若干个边是平面曲线或直线。每一部分平面曲 线，可看作是曲面立体表面被平面立体上某一表面所截的交 线。两部分曲线的交点，称为结合点，它是平面立体的棱线 对曲面立体表面的贯穿点。因此，求平面立体和曲面立体的 相贯线，也可归结为求截交线和贯穿点的问题。 例 5 画出三面投影图 例 6 画全三面投影图
例 7 例 7-1
返 回 上 一 节
画全三面投影图 画全三面投影图 画全三面投影图 画全三面投影图 画出三棱柱与圆锥相贯的投影图
下 一 节
退 出
例 8
例 9 例 10
§9-3 两曲面立体相贯
一、概述
两曲面立体的相贯线为封闭的空间曲线。 由于相贯线既属于甲立体表面，同时又属于乙立体表面， 是两立体表面的共有线。为此，求相贯线的实质是求两立体 表面上的一系列共有点，然后依次光滑地相连，并判别可见 返 性，描深。 回
三棱锥、三棱柱相贯模型
返 回
按住鼠标左键托拽观察；“ESC” 键返回
三棱柱、三棱锥相贯模型
返 回
机械制图-相贯线
1 柱、柱相贯 2 锥、柱相贯 3 锥、锥相贯 4 柱、球相贯 5 锥、球相贯
回本节 回本讲
四、相贯线的类型 1、柱、柱相贯
（1） 位置分类：按照圆柱体的相对位置不同，柱 柱相贯分为：
1） 垂直正交 2） 垂直交叉 3） 倾斜相交 4） 倾斜交叉
回本节 回本讲
四、相贯线的类型
1、柱、柱相贯
已知两圆柱的三面投影，求作相贯线。
如图所示的手柄，手柄
回转体轴线过球心的相贯线
轴线过球心，其相贯线
是垂直于手柄轴线的圆。
图中的轴线是正平线，
相贯线是正垂圆，其V面
投影为直线，H面投影为
椭圆。
回本节 回本讲
四、相贯线的类型
4、组合相贯线
如图，组合相贯线是 由三个或三个以上的 立体相交，其表面形 成的交线。作图时， 分清相交两立体的相
2、回转体的表面是曲面， 所以相贯线是曲面与曲面 之间的交线，通常情况下， 相贯线是一条封闭的空间 曲线，特殊情况下，相贯 线也可能是平面曲线或直 线。
回本节 回本讲
二、相贯线的性质
相贯线为平面曲线
相贯线为直线
回本节 回本讲
三、相贯线的作图法
在视图中画出相贯线的投影，这是一种近似的作图法， 首先求出相贯线上一系列点的投影，然后将这些点按照 位置顺序依次的平滑的连接起来。可见，准确的求出个 点的位置是作图的关键。所求得点的数量越多，画出的 相贯线就越准确。
（1）求特殊点
四、相贯线的类型
3.圆锥或圆柱与圆球相交-柱球 例题：在半球的左边从上向下穿透一圆孔，求相贯线的投 影
（2）求一般点
四、相贯线的类型
3.圆锥或圆柱与圆球相交-柱球 例题：在半球的左边从上向下穿透一圆孔，求相贯线的投 影
回本节 回本讲
四、相贯线的类型 1、柱、柱相贯
（1） 位置分类：按照圆柱体的相对位置不同，柱 柱相贯分为：
1） 垂直正交 2） 垂直交叉 3） 倾斜相交 4） 倾斜交叉
回本节 回本讲
四、相贯线的类型
1、柱、柱相贯
已知两圆柱的三面投影，求作相贯线。
如图所示的手柄，手柄
回转体轴线过球心的相贯线
轴线过球心，其相贯线
是垂直于手柄轴线的圆。
图中的轴线是正平线，
相贯线是正垂圆，其V面
投影为直线，H面投影为
椭圆。
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四、相贯线的类型
4、组合相贯线
如图，组合相贯线是 由三个或三个以上的 立体相交，其表面形 成的交线。作图时， 分清相交两立体的相
2、回转体的表面是曲面， 所以相贯线是曲面与曲面 之间的交线，通常情况下， 相贯线是一条封闭的空间 曲线，特殊情况下，相贯 线也可能是平面曲线或直 线。
回本节 回本讲
二、相贯线的性质
相贯线为平面曲线
相贯线为直线
回本节 回本讲
三、相贯线的作图法
在视图中画出相贯线的投影，这是一种近似的作图法， 首先求出相贯线上一系列点的投影，然后将这些点按照 位置顺序依次的平滑的连接起来。可见，准确的求出个 点的位置是作图的关键。所求得点的数量越多，画出的 相贯线就越准确。
（1）求特殊点
四、相贯线的类型
3.圆锥或圆柱与圆球相交-柱球 例题：在半球的左边从上向下穿透一圆孔，求相贯线的投 影
（2）求一般点
四、相贯线的类型
3.圆锥或圆柱与圆球相交-柱球 例题：在半球的左边从上向下穿透一圆孔，求相贯线的投 影
6.4.3两曲面立体的相贯线(面上取点法)
形体的表面交线两曲面立体的相贯线（面上取点法）
掌握面上取点法求相贯线的思路；掌握面上取点法求相贯线的作图步骤。
目的和要求
两曲面立体的相贯线（面上取点法）
曲面体相贯线是指两曲面立体相交时的表面交线。
相贯线一般是闭合的空间曲线，相贯线上的点，是两立体表面的共有点。
求相贯线的基本方法有:
1. 面上取点法；
2. 辅助面法。
无论截交线还是相贯线，若涉及到形体表面上取点问题，都离不开“表面共点”的原理。
两曲面立体的相贯线（面上取点法）
分析:相贯线水平投影已知
相贯线侧面投影已知
作图:
最前点 1
最后点 2
最低点最左点 3
最右点 4
最高点
2.适当求一般点
3.连线并判断可见性1 2 3
4
1
2
3
4
1
2
1.求特殊点4 3 ( )
( )
例1.求出图示两圆柱的相贯线。
4.整理轮廓线
两曲面立体的相贯线（面上取点法）
1’
12’2
1”
2”3
3’
3”
4
4’
4”5
5’
5”
例2. 求作图示圆柱与圆锥的相贯线。
课 程 小 结
1. 面上取点法求相贯线的作图步骤；
2. 面上取点法求相贯线的适用条件。
《两曲面立体相贯》课件
《两曲面立体相贯》PPT课件
# 《两曲面立体相贯》PPT课件 ## 一、引言 - 研究对象与背景介绍 - 相关定义和概念说明 ## 二、基本性质 - 曲面的方程及重点性质 - 曲面交的基本特征 ## 三、两曲面相交情况分类 - 直线交和曲线交的定义和区别 - 不同情况下的两曲面相交的样子及数学描述 ## 四、两曲面立体相交 - 立体相交的定义和性质 - 两曲面立体相交的条件和样子 - 具有相同轴线和不同轴线的两曲面立体相交的图形和数学性质 ## 五、实例分析 - 以某个具体的两曲面为，介绍相交情况和立体相交情况
六、总结与展望
总结本次课程涵盖的内容和重点，为学生回顾知识点和理解主题提供参考。同时，展望曲面相交领域的未来发 展方向和趋势。
七、参考文献
提及在本次课程中使用到的教材、论文、PPT等相关文献，让学生了解课程的 学术来源和参考资料。
直线交和曲线交的定义和区别
解释直线交和曲线交的具体含义，比较它们之间的 区别和特点。
不同情况下的两曲面相交的样子 及数学描述
描述不同情况下两曲面相交所形成的图像和对应的 数学公式或方程。
四、两曲面立体相交
1
两曲面立体相交的条件和样子
2
讨论两个曲面之间发生立体相交所需满
足的条件，并详细描述该相交形成的样
一、引言
研究曲面相交的重要性和实际应用价值。介绍研究对象和相关的定义和概念，为后续内容奠定基础。
二、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ本性质
1 曲面的方程及重点性质
探索曲面方程式以及与曲面相关的关键特性，深入理解曲面的本质和特点。
2 曲面交的基本特征
分析曲面交的一般情况和规律，揭示曲面之间的交点和交线形成的特征。
三、两曲面相交情况分类
3
# 《两曲面立体相贯》PPT课件 ## 一、引言 - 研究对象与背景介绍 - 相关定义和概念说明 ## 二、基本性质 - 曲面的方程及重点性质 - 曲面交的基本特征 ## 三、两曲面相交情况分类 - 直线交和曲线交的定义和区别 - 不同情况下的两曲面相交的样子及数学描述 ## 四、两曲面立体相交 - 立体相交的定义和性质 - 两曲面立体相交的条件和样子 - 具有相同轴线和不同轴线的两曲面立体相交的图形和数学性质 ## 五、实例分析 - 以某个具体的两曲面为，介绍相交情况和立体相交情况
六、总结与展望
总结本次课程涵盖的内容和重点，为学生回顾知识点和理解主题提供参考。同时，展望曲面相交领域的未来发 展方向和趋势。
七、参考文献
提及在本次课程中使用到的教材、论文、PPT等相关文献，让学生了解课程的 学术来源和参考资料。
直线交和曲线交的定义和区别
解释直线交和曲线交的具体含义，比较它们之间的 区别和特点。
不同情况下的两曲面相交的样子 及数学描述
描述不同情况下两曲面相交所形成的图像和对应的 数学公式或方程。
四、两曲面立体相交
1
两曲面立体相交的条件和样子
2
讨论两个曲面之间发生立体相交所需满
足的条件，并详细描述该相交形成的样
一、引言
研究曲面相交的重要性和实际应用价值。介绍研究对象和相关的定义和概念，为后续内容奠定基础。
二、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ本性质
1 曲面的方程及重点性质
探索曲面方程式以及与曲面相关的关键特性，深入理解曲面的本质和特点。
2 曲面交的基本特征
分析曲面交的一般情况和规律，揭示曲面之间的交点和交线形成的特征。
三、两曲面相交情况分类
3
工程制图B ! 第九章--两立体相交
第九章两立体相交一、平面立体与平面立体相交（掌握）二、平面立体与曲面立体相交（掌握）三、曲面立体与曲面立体相交（掌握）相贯线相贯线：两个相交的立体。
相贯线：两立体相贯表面产生的交线。
相贯线的性质：（1）共有性。
相贯线上的点是两立体表面的共有点，相贯线是两立体表面的共有线。
（2）封闭性。
立体均有一定范围，故相贯线一般是闭合的空间图形。
9-1 平面立体与平面立体相交全贯互贯相贯线的形状：一般是空间闭合折线。
相贯线上每一折线段均是两立体表面相应棱面的交线，每一折点均是一立体棱线与另一立体棱面的交点。
求相贯线的方法：（1）交线法；（2）交点法。
相贯线的形状：若干段平面曲线或平面曲线和直线组成的空间封闭线框。
求相贯线的方法：可看作若干平面截切曲面立体。
9-2平面立体与曲面立体相交例：求作正四棱柱和圆球的相贯线。
想象成半球被正平面和侧平面截切……相贯线的形状：一般为空间封闭曲线。
特殊情况下为平面曲线或直线。
求相贯线的方法：（1）表面定点法；（2）辅助平面法（三面共点法）9-3曲面立体与曲面立体相交例1：两直径不等的圆柱正交，求其相贯线的投影。
a •b ••cd ••2b'•a'••c' (d')•2'1•d"•1" (2 ")•a" (b'')•• c"•1'两正交圆柱直径相差较大时，可采用圆弧代替相贯线投影。
例2：已知一圆柱体上有一圆柱孔，求相贯线。
•c' (d')•c 1•• 2•2'a'•b'••1'a •• b d"•a" (b")•1"(2")• • c"d •两圆柱相贯的三种形式两外表面相交外表面与内表面相交两内表面相交1、两柱面轴线平行或两锥面共锥顶时，相贯线为两条直线。
2、同轴回转体相贯，相贯线为垂直于轴线的圆。
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当相交的两回转面中，有一个是轴线垂直于投影面的圆柱面 时，由于圆柱面在这个投影面上的投影（圆）具有积聚性，因此 相贯线的这个投影就是已知的。这时，可以把相贯线看成另一回 转面上的曲线，利用面上取点法作出相贯线的其余投影。
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§4-4 两回转面的交线
一、利用回转面上取点法作图
当两曲面都是回转面时，相贯线的形状取决于以下因素：
求相贯线的方法：
两曲面立体的相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点 是两曲面立体的共有点。
求作两曲面立体表面的相贯线时，应在可能方便的情况下，作出 相贯线的一系列共有点，并判别其可见性，再光滑连线即可。
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§4-4 两回转面的交线
1. 两圆柱面相交
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§4-4 两回转面的交线
一、利用回转面上取点法作图
1. 两圆柱面相交
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§4-4 两回转面的交线
一、利用回转面上取点法作图
2. 圆柱面与圆锥面相交
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§4-4 两回转面的交线
一、利用回转面上取点法作图
1. 两圆柱面相交
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§4-4 两回转面的交线
一、利用回转面上取点法作图
1. 两圆柱面相交
注意： 以上三种情况中，由于两相交立体的形状、大小和相对位置均相同，因此 相贯线的形状也是相同的。
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§4-4 两回转面的交线
一、利用回转面上取点法作图
求一般点
为了能光滑地作出相贯线投影，还需在特殊点之间再作一些一般点。
判别可见性并光滑连线
可见性的判别原则：只有在两个回转面都可见的范围内相交的那一段 相贯线才是可见的。 即位于立体可见表面上的相贯线其投影可见。
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§4-4 两回转面的交线
一、利用回转面上取点法作图
作出两回转面截交线的交点的各投影
为了作图简便，必须按以下原则选择辅助平面 ：
辅助平面应作在两回转面的相交范围内。 辅助平面与两回转面的截交线的投影，应是容易准确画出的直线或圆。
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§4-4 两回转面的交线
二、利用辅助平面法作图
2. 作图举例
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§4-4 两回转面的交线
求相贯线的步骤：
空间分析
根据立体或给出的投影，作形体分析和线面分析，了解相交两回转面 的形状、大小及其轴线的相对位置，判定相贯线的形状特点。
投影分析
根据两回转面轴线对各投影面的相对位置，分析相贯线各投影的特点， 确定适当的作图方法。
求特殊点
特殊点是一些能确定相贯线形状和范围的点，如转向轮廓线上的点、 对称相贯线在对称面上的点和极限位置点。
三、两同轴回转面的交线
两个同轴线的回转体的回转面相交，相贯线一定是和轴线 垂直的圆。当回转面的轴线平行于投影面时，这个圆在该投影 面上的投影为垂直于轴线的直线。
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§4-4 两回转面的交线
四、组合体上基本体表面间综合相交交线投影的绘制有些组合体的表面来自线比较复杂，甚至三个基本体汇交于
一处，形成一个回转面与相邻基本体的几个面连续相交，既有 两回转面的交线，又有平面与回转面的交线。画在图时，必须
做好形体分析和线面分析，在汇交处找出一个存在相交关系最
多的回转面，以它为基础逐一作出各条交线的投影，再作其他 交线的投影。
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§4-4 两回转面的交线
四、组合体上基本体表面间综合相交交线投影的绘制
§4-4 两回转面的交线
两回转面的交线
两立体表面的交线称为相贯线。
相贯线
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§4-4 两回转面的交线
相贯线的概念
两立体表面的交线称为相贯线。
相贯线
由于立体分为平面立体和曲面立体，因而两立体表面的交线可 能有以下几种情况：
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§4-4 两回转面的交线
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§4-4 两回转面的交线
二、利用辅助平面法作图
1. 作图原理
在投影图中，利用辅助平面法求共有点的作图步骤如下：
作辅助平面（当辅助平面为特殊位置平面时，画出其有积聚性的投影） 分别作出辅助平面与两回转面的截交线的投影
作出两回转面截交线的交点的各投影
为了作图简便，必须按以下原则选择辅助平面 ：
辅助平面应作在两回转面的相交范围内。 辅助平面与两回转面的截交线的投影，应是容易准确画出的直线或圆。
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§4-4 两回转面的交线
二、利用辅助平面法作图
1. 作图原理
在投影图中，利用辅助平面法求共有点的作图步骤如下：
作辅助平面（当辅助平面为特殊位置平面时，画出其有积聚性的投影） 分别作出辅助平面与两回转面的截交线的投影
2. 圆柱面与圆锥面相交
注意： 当相交的圆柱面与圆锥面，公切于同一球面时，相贯线为两个形状大小相同而 且彼此相交的椭圆，椭圆所在的平面垂直于两回转面轴线所决定的平面。
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§4-4 两回转面的交线
二、利用辅助平面法作图
1. 作图原理
作两回转体的相贯线时，可以用与
两回转体都相交（或相切）的辅助平面 切割这两个立体，则两组截交线（或切
线）的交点，是辅助平面和两回转体表
面的三面共点，即为相贯线上的点。这 种求作相贯线的方法，称为辅助平面法。
为了作出圆柱面与圆锥面的共有点，假想用一个平面 P ( 称为辅 助平面 ) 截切圆柱和圆锥，平面 P与圆锥面的截交线为纬圆 LA，与圆 柱面的截交线为两条素线 L1和 L2 。LA与 L1、L2 相交于点Ⅰ 和点Ⅱ， 这两点是辅助平面 P、圆锥面和圆柱面三个面的共有点，因此也是相 贯线上的点。