离散数学讲义-计数方法
离散数学-第二章 计数法初步(一)
12
有重复的组合
【例】从包含苹果、橙子、和梨的框子里选4
个水果。如果不关心选择水果的顺序，且只关 心水果的类型，那么当框中每类水果至少有4 个时有多少种选法？
2020/12/29
计算机应用技术研究所
13
有重复的组合
【解答】共有15种方式：4个苹果；4个橙子；4个梨； 3个苹果，1个橙子；3个苹果，1个梨；3个梨，1个苹果； 3个橙子，1个梨；3个梨，1个苹果；3 个梨，1个橙子； 2个苹果，2个橙子；2个苹果，2个梨；2个橙子，2个梨 2个苹果，1个橙子，1个梨；2个橙子，1个苹果，1个梨 2个梨，1个苹果，1个橙子。
C(3 11,11) C(13,11) C(13, 2) 1312 78 1 2
2020/12/29
计算机应用技术研究所
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计数法初步
➢ 基本原理 ➢ 排列与组合 ➢ 容斥原理 ➢ 鸽笼原理
2020/12/29
计算机应用技术研究所
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容斥原理
【定理2.4】设A和B是任意有
限集合，有：
n1×n2 × ×nt
2020/12/29
计算机应用技术研究所
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加法原理
假定X1, X2, …, Xt均为集合，第i个集合Xi有ni个 元素。如{X1, X2, …, Xt}为两两不相交的集合， 则可以从X1, X2, …, Xt中选出的元素总数为：
n1 + n2 + … + nt
即集合X1∪X2∪…∪Xt含有n1+n2+ … +nt个元素。
【定理2.7】(鸽笼原理) 若有n+1只鸽子 住进n个鸽笼，则有一个鸽笼至少住进2只 鸽子。
2020/12/29
[工学]离散数学-第02章-计数问题
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B = (A∩B)∪(B-A)。
|B-A|= |B|－|A∩B|
推论2.4.2 设U为全集，A和B是任意有限集合，则
ABU (A B )AB
2020/10/10
24
福建农林大学离散数学课程组
三个集合的情形
定理2.4.3 设 A, B 和 C 是任意三个有限集合, 有
ABC A B C AB AC BC ABC
n1n2 nt
2020/10/10
5
福建农林大学离散数学课程组
2.2.2 加法原理
假定 X1, X2, …, Xt 均为集合，第 I 个集合 Xi 有 ni 个元素。如 {X1, X2, …, Xt} 为两两不相交的集合， 则可以从 X1, X2, …, Xt 中选出的元素总数为：
n1 + n2 + … + nt。
2020/10/10
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福建农林大学离散数学课程组
定理2.4.1
设A和B是任意有限集合，有 |A∪B| = |A|＋|B|－|A∩B|。
A-B
U A
分析 由图2.4.1容易看出， A∪B = (A-B)∪(A∩B)∪(B-A)，
B
图2.4.1 B-A
A = (A-B)∪(A∩B)，
|A∪B| = |A-B|+|A∩B|+|B-A| |A| = |A-B|+|A∩B|
U A
B C
2020/10/10
图2.4.2
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福建农林大学离散数学课程组
例2.4.2 解（续）
（1）利用容斥原理得 ABC
UABCABACBC ABC = 106
（2） A B C
BA BB CA B C 9426221460
(精品计数原理基本知识点
(精品计数原理基本知识点计数原理是离散数学中的一个重要分支，用于研究计数和排列组合问题。
它在实际应用中有着广泛的应用，例如密码学、组合优化、统计学等领域。
以下是关于计数原理的基本知识点：1.乘法原理：乘法原理用于计算多个独立事件同时发生的总数。
根据乘法原理，若事件A发生的可能性为m种，事件B发生的可能性为n种，则事件A和B 同时发生的可能性为m×n种。
2.加法原理：加法原理用于计算两个或多个事件分别发生的总数。
根据加法原理，若事件A发生的可能性为m种，事件B发生的可能性为n种，则事件A或B发生的可能性为m+n种。
3.排列：排列是指从一组对象中选择一部分进行排列的方式。
如果有n个对象要排列，只选取其中的k个进行排列，那么排列的可能性总数可以表示为P(n,k)。
排列的计算公式为：P(n,k)=n!/(n-k)!4.组合：组合是指从一组对象中选择一部分对象，不考虑其顺序的方式。
如果有n个对象要选择，只选取其中的k个进行组合，那么组合的可能性总数可以表示为C(n,k)。
组合的计算公式为：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)5.递推关系：递推关系是计数原理中常用的一种思维方法。
通过建立递推关系，可以从已知的计数问题推导出更复杂的计数问题的解。
例如，在排列和组合中可以使用递推关系快速计算出较大规模的情况。
6.容斥原理：容斥原理用于计算多个集合的交集和并集的大小。
根据容斥原理，若存在n个集合A_1、A_2、..、A_n，那么它们的并集的大小为：A_1∪A_2∪...∪A_n，=Σ，A_i，-Σ，A_i∩A_j，+Σ，A_i∩A_j∩A_k，-...+(-1)^(n-1)，A_1∩A_2∩...∩A_n7.应用举例：计数原理的应用举例有很多，例如密码学中的密码破解问题，通过计算排列或组合的可能性来确定破解密码的策略。
另外，在组合优化问题中，例如旅行商问题(TSP)、集合覆盖问题等，也可以使用计数原理来计算问题的解。
[工学]离散数学-第02章-计数问题
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（2）一手牌中的5张都是同一花色，共有多 少种可能的组合？
解： 分两步进行： 一选花色，有 C(4,1) 种， 二在选定的花色中选5张牌，有 C(13,5) 种。
据乘法原理，有 C(4,1)×C(13,5) 种。
（3）一手牌中有3张牌点数相同，另外两张 牌点数相同，共有多少种可能的组合？
n1n2 nt
2.2.2 加法原理
假定 X1, X2, …, Xt 均为集合，第 I 个集合 Xi 有 ni 个元素。如 {X1, X2, …, Xt} 为两两不相交的集合， 则可以从 X1, X2, …, Xt 中选出的元素总数为：
n1 + n2 + … + nt。
即集合 X1∪X2∪…∪Xt 含有 n1 + n2 + … + nt 个元素。
2.4 容斥原理与鸽笼原理
容斥原理是研究若干有限集合交与并的计数问题。 鸽笼原理则是研究某些特定对象的存在性问题。
2.4.1 容斥原理
定义2.4.1 所谓容斥，是指我们计算某类物体的 数目时，要排斥那些不应包含在这个计数中的数 目，但同时要包容那些被错误地排斥了的数目， 以此补偿。这种原理称为容斥原理，又称为包含 排斥原理。
9!× P(10,5) =（9!×10!)/5!。
2.3.2 组合问题
定义2.3.2 从含有n个不同元素的集合S中无序选取 的r个元素叫做S的一个r -组合，不同的组合总数记 为 C(n,r)。
当 n≥r = 0 时，规定 C(n,r) = 1。 显然，当 r>n 时，C(n,r) = 0。
定理2.3.4
Байду номын сангаас
P(n,r) n!
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学(计数)
2013-8-19
(1)
§3.3 Permutations and Combinations
3.3.1 Permutations （1）r-permutation
Theorem： The number of r-permutations of a set with n distinct elements is P(n,r) = n(n-1)(n-2)….(n-r+1).
2013-8-19
§3.2 The Pigeonhole principle
(3)
3.2.3 Some elegant applications of the pigeonhole principle
Theorem： Every sequence of n2+1 distinct real numbers contains a subsequence of length n+1 that is either strictly increasing or strictly decreasing.
2013-8-19
§3.2 The Pigeonhole principle
a1,a2,…an2+1 是n2+1个不同的实数 对于数列中的每一个项ai 都关联一个有序对(ik, dk) 即任意ak ∈{a1,a2,…an2+1 } 定义 函数f: ak → (ik, dk) 其中: ik从ak开始的最长递增子序列的长度 dk从ak开始的最长递减子序列的长度 (结论否定)假如没有长度为n+1的递增(减)序列 那么ik和dk都是小于等于n的正整数
2013-8-19
§3.1 The basics of counting
离散数学第12章基本组合计数公式
（ 1 ） 根 据 乘 法 法 则 ， 可 能 的 选 法 种 数 为 6×5×4= 120；
（2）[法一] 根据题意，确定职位可分为3个步骤： 确定主席有2种选择；主席选定后，秘书有5个人选； 主席和秘书都选定后，出纳有4个人选。根据乘法 法则，可能的选法种数为2×5×4 = 40；
[法二]若Alice被选为主席，共有5×4 = 20种方法 确定其他职位；若Ben为主席，同样有20种方法确 定其他职位。由于两种选法得到的集合不相交，所 以根据加法法则，共有20＋20 = 40种选法；
开胃食品
种类
价格 (元)
玉米片 2.15
(Co)
色拉(Sa) 1.90
主食
饮料
种类 价格 种类 价格
汉堡(H) 3.25 茶水(T) 0.70
三明治 3.65 牛奶(M) 0.85 (S)
鱼排(F) 3.15 可乐(C) 0.75
啤酒(B) 0.75
表1
如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种 不同的选择，第二步有n2种不同的选择，… ， 第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
分析 用8位进行编码可分为8个步骤：选择第一位， 选择第二位，… ，选择第八位。每一个位有两种 选择，故根据乘法原理，8位编码共有 2×2×2×2×2×2×2×2 = 28 = 256种取值。
解 每个点有256( = 28) 种不同的取值。
假定X1, X2, …, Xt均为集合，第i个集合Xi有 ni个元素。如{X1, X2, …, Xt}为两两不相交的集 合，则可以从X1, X2, …, Xt中选出的元素总数为：
毒某解 共 50个非有×磁常5根0盘快×据5上速0M×e，地l5i当转0s+磁发s5a0盘邮病×5占件毒0×满，的5后将扩0+，被散50系转原×统发5理0将的+，会邮5经0死件过+锁临1四甚时次至存转崩储发溃在，。 问= 经63过77四5次51转个发接，收共者有。多少个接收者？
离散数学中的计数原理与鸽巢原理
离散数学是一门研究离散对象及其性质、结构和关系的数学科学。
计数原理是离散数学中的一个重要概念，它与鸽巢原理密切相关。
在离散数学中，计数原理是用来求解计算问题中可能的结果数量的一种方法，而鸽巢原理则是用来解决分配问题的原理。
计数原理和鸽巢原理可以被广泛应用于计算机科学、组合数学、概率论等领域。
计数原理是指用一种系统化和准确的方法来数数的原则。
基本的计数原理有乘法原理和加法原理。
当计算问题中的几个步骤是可以分开完成的，并且每个步骤都有若干种选项时，可以使用乘法原理来计算总的结果数量。
例如，某餐厅有3种主食、4种汤品和6种甜点可供选择，如果要求在每餐中选择一种主食、一种汤品和一种甜点，则总的选择数为346=72种。
加法原理是当计算问题中的结果是不同的事件而不是相同的事件时，可以使用加法原理来计算总的结果数量。
例如，某餐厅有两个不同的午餐套餐，每个套餐中有4种选择，如果要从两个套餐中选择一个，总的选择数为4+4=8种。
鸽巢原理是一个简单而重要的原理，用来解决分配问题。
鸽巢原理可以被描述为：如果n+1个对象被放到n个盒子中，那么至少有一个盒子中包含了两个或更多的对象。
这个原理实际上是基于抽屉原理，即如果有超过n个物体要放入n个盒子当中，那么至少有一个盒子会放多个物体。
鸽巢原理常常被用来解决计算机科学中涉及到分配资源或寻找重复的问题。
计数原理和鸽巢原理在计算机科学中得到广泛应用。
例如，在密码学中，计数原理被用来计算密码空间的大小，以评估密码的强度和安全性。
在组合数学中，计数原理被用来解决排列组合问题，例如计算从一组不同的对象中选择r个对象的总数。
鸽巢原理则被用来解决分布问题，例如分配计算资源到不同的任务中。
总的来说，离散数学中的计数原理和鸽巢原理是解决计算问题的重要工具。
它们可以帮助我们计算可能结果的数量，并解决分配问题。
计数原理和鸽巢原理在计算机科学、概率论、组合数学等领域具有广泛的应用价值。
通过深入学习和理解这些原理，我们可以提高问题求解能力和数学思维能力，为我们今后的学习和研究提供更多的方法和思路。
离散数学基础 第三章 计数
a b
d
c
§1
圆周排列
与
从n中取r个作圆周排列的排列数 的关系是：
【例】5对夫妻出席一宴会，围一圆桌坐下， 试问有多少种不同的方案？若要求每对夫妻相 邻又有多少种不同的方案？
§2 有重复的排列
【例】用英文字母可以构成多少个n位字符串？
【定理】 具有n个物体的集合允许重复 的r排列数为 。
【例】 r个不同的球放入n个盒子，每个盒
（4）将给D、F和另一个人指定职位分为3步： 给D指定职位，有3个职位可选； 给F指定职位，有2个职位可选； 确定最后一个职位的人选，有4个人选。 根据乘法原理，共有3×2×4 = 24种选法。
§2 排列与组合
一、排列
【例】假定有10名长跑运动员，按成绩给前3名运动
员分别颁发金银铜牌。如果比赛可能出现所有可能
二、生成集合{1,2,…,n}的r-组合
一个r-组合可以表示成一个序列，这个序列按 照递增的顺序包含这个子集中的元素，使用在这 个序列的字典顺序可以列出这些r-组合 。 在a1a2…ar后面的下一个组合可以按下列的方 法得到。首先找到序列中使得ai<>n-r+i的最后元 素ai，然后用ai+1代替ai，且对于j=i+1,i+2,…,r, 用ai+j-i+1代替aj。
【定义】乘法法则：假定一个过程可以分解成两个 相互独立的任务。如果完成第一任务有n1种方式， 完成第二个任务有n2种方式，那么完成这个过程有 n1*n2种方式，（可推广到多个任务的情形）
§1 基本的计数原则
【例】假定要从计算机学院10信管本①②班中推选 一名学生参加院座谈会，若10信管本①班有30名学 生， 10信管本②班有38名学生，那么有多少种不同 的选择？ 【例】设一标识符由两个字符组成，第一个字符由 a,b,c,d ,e 组成，第二个字符由1,2,3组成，则可以 组成多少不同的标识符？
离散数学--计数问题 PPT课件
2018/6/1
定理2.4.1
A-B 设A和B是任意有限集合，有 |A∪B| = |A|＋|B|－|A∩B|。
U A B
分析
由图2.4.1容易看出，
A∪B = (A - B)∪(A∩B)∪(B - A)，
图2.4.1
B-A
|A∪B| = |A-B|+|A∩B|+|B-A| A = ( A - B)∪(A∩B)， |A| = |A-B|+|A∩B| B = 2.4.2 (A∩B)∪(B - A)。 |B| = |A∩B|+|B-A| 推论 设U为全集， A和B是任意有限集合，则
（2）根据题意，满足该条件的排列分为两步：第一步 确定D, E和F三个字母的全排列，有3！种排列，第二步 将已排序的D, E和F看成一个整体，与A, B和C共4个元 素构造出A, B, C, D, E, F的全排列，有4！种排列。 又根据乘法原理，满足条件的排列总数有3！×4！=144。
2018/6/1
2018/6/1
2.4
容斥原理与鸽笼原理
容斥原理是研究若干有限集合交与并的计数问题
鸽笼原理则是研究某些特定对象的存在性问题。
2018/6/1
2.4.1
容斥原理
定义2.4.1 所谓容斥，是指我们计算某类物体的 数目时，要排斥那些不应包含在这个计数中的数目， 但同时要包容那些被错误地排斥了的数目，以此补 偿。这种原理称为容斥原理(The Principle of Inclusion-exclusion)，又称为包含排斥原理。
2.3.2
组合问题
定义2.3.2 从含有n个不同元素的集合S中无序选 取的r个元素叫做S的一个r -组合，不同的组合总 数记为C(n, r)。 当n≥r = 0时，规定C(n, r) = 1。 显然，当r>n时，C(n, r) = 0。
离散数学——ch9基本计数原理
9.1.2 集合的排列和组合
• 例9.9 由20个不同颜色的珠子可以做成多少 种有15个珠子的项链？
• 解：显然这是一个求圆排列的问题，但是， 不仅旋转不会改变项链的类型而且翻转也 不会改变项链的类型，所以总共有 1 20! 2 19! K (20， 15) 个项链。
2 2 15 5! 3 5!
9.1.2 集合的排列和组合
• 定理9.3 对于正整数n和n r， r≤n，P(n，r) = ! n(n -1)…(n–r +1) = (n 。 r )!
• 证明：要构造n元集合的一个r排列，我们可以在n 个元素中任取一个作为第一项，有n种取法；在取 定第一项后，第二项可以从剩下的n-1个元素中任 取一个，有n-1种取法；……；同理，在前r-1项取 定后，第r项有n-r＋1种取法。由乘法原理知P(n， n! r) = n(n -1)…(n–r +1) = 。 (n r )! • 由定理9.3，n元集合的全排列数P(n，n)= n!。我们 规定0!=1。
9.1.2 集合的排列和组合
（2）将{a，b，c，d，e，f}的所有全排列分成如下 两类： A = {××…×∣其中c在e的左边}， B = {××…×∣其中c在e的右边}。 显然有A∩B =，A∪B = { a，b，c，d，e，f }的全体 全排列，∣A∪B∣=6!。定义映射 f:A→B，使 f（…c…e…）=（…e…c…） 即f将A中的任一排列的c与e的位置互换，保持其余 字母位置不变，得到B中的一个排列，显然，f是 1 一一映射，所以∣A∣=∣B∣= 2 ×6!。
第9章 基本计数原理
基本内容
• • • • • • • 排列与组合 容斥原理 鸽巢原理 二项式定理和二项式系数 集合的分划与第二类Stirling数 正整数的分拆 分配问题
《离散数学讲义》课件
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学：第10讲 基数
(3)Q N
2020/12/29
基数
16
R(0,1)
实数集R与其子集S={x|x∈R∧0<x<1} R→S f:x→ (arc tgx)/+1/2
2020/12/29
基数
17
关于实数区间
(1)(0,1) [0,1]
取一个与N等势的子集M, 构造双射 M {0,1} M
对称: AB BA
f :AB双射 f -1:BA双射
传递: AB BC AC
f :AB, g:BC双射 g◦f:AC双射
2020/12/29
基数
23
NR?
N S=[0,1] ?
假设存在N到S的双射f，设si+1=f(i)，i=0,1,……，其 中0<si<1
设si=0.yyy...，其中y∈{0,1,2,...,9} s1=0.a11a12a13...a1n... s2=0.a21a22a23...a2n... ... 构造一个实数r=0.b1b2b3…, bi aii , i=1,……，
2020/12/29
基数
12
定义8.8
定义8.8：当且仅当集合A的元素与集合B 的元素之间存在着一一映射，集合A与集 合B称为是等势的 记作AB
等势: AB 双射 f:AB
2020/12/29
基数
13
证明等势 构造双射
(1)自然数集N与非负偶数集合M是等势的 N→M f:n→2n
2020/12/29
2020/12/29
基数
10
芝诺悖论(Zeno’s paradox)
离散数学完整版课件全套ppt教学教程最全整套电子讲义幻灯片(最新)
1.1 命题及联结词
运算符“析取” 与汉语的“或”几乎一致但有 区别：哪些老师讲离散数学？有人回答如下：
(16)“讲离散数学的老师是杨老师或吴老师”， 分解为
“讲离散数学的老师是杨老师”或 “讲离散数学的老师是吴老师”， 这两个原子命题有可能都是对的， 这种“或”称为“可同时为真的或”， 或简称为“可兼或”。 这种“或”表示可表 示为“析取”
1.1 命题及联结词
定义1.4条件:当p是1 ,q是0时,pq为0,即10 为0,其他情况为1。
逻辑运算符“如果…那么”， 如老妈说：“如果期终考了年级前10 名，那么奖励1000元”。 p:期终考了年级前10名 q:奖励1000元 则上面的语句表示为pq。 先考虑值为0即假的情况： 当p为1即“期终考了年级前10”， 且q为0即“没有奖励1000元” 这时老妈的话是假话空话，
这个例题有点不正点！ “郎才当且仅当女貌”，
可以表示为“郎才女貌”
1.2命题公式
对错明确的陈述语句称为命题，其真值t/f 0/1 C运算：加+、减-、乘x、除/、余数%， 命题逻辑：合、析、否定、条件、双条件(版) C语言中用变量x表示某些数，如x*x+x+10是表达式，
命题逻辑中用变量p,q,r表示任意命题，由命题常元与 此类变量所构成表达式，称为“命题公式”。
无论p/q取何值，这两个公式的值，与前面各例 不同，此表是将运算结果写在联结词的下方！
1.3 等值式
定义1.3.1等值： 对于合法的命题公式A、B， 若无论其中的命题变元取何值，A 、B值总相等， 称为两个公式等值，记为AB (边播边板)
目的:
1．掌握离散数学五大核心内容（集合论、数 理逻辑、代数结构、图论、组合数学）的基本概 念、基本理论、基本方法，训练提高学生的概括 抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力，培养 学生严谨、完整、规范的科学态度和学习思维习 惯。
离散数学第一章集合与计数基础
11. 2.3. 4.1.1.2 集合的基本运算设A,B 为任意两个集合，A∩B 称为A 与B 的交集，定义为: A∩B = ｛x ∣x ∈A 且x ∈B ｝。
右图为文氏图表示法：性质：①幂等律：对任何集合A ，有A∩A=A 。
②交换律：对任何集合A 、B ，有A∩B=B∩A③结合律：对任何集合A 、B 、C ，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
④同一律：对任何集合A ，有A∩E=A 。
⑤零律：对任何集合A ，有A∩Φ=Φ。
⑥A ⊆B ⇔ A∩B=A(1)交运算A B U1.1.2 集合的基本运算设A,B 为任意两个集合，A ∪B 称为A 与B 的并集，定义为: A ∪B = ｛x ∣x ∈A 或x ∈B ｝。
右图为文氏图表示法：性质：①幂等律：对任何集合A ，有A ∪A=A 。
②交换律：对任何集合A 、B ，有A ∪B=B ∪A③结合律：对任何集合A 、B 、C ，有(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C)。
④同一律：对任何集合A ，有A ∪Φ =A 。
⑤零律：对任何集合A ，有A ∪U= U 。
⑥分配律：对任何集合A 、B 、C ，有A∩(B ∪C) =(A∩B)∪(A∩C)；A ∪(B∩C) =(A ∪B)∩(A ∪C)。
⑦吸收律：对任何集合A 、B ，有A ∪(A∩B)=A A∩(A ∪B) =A 。
⑧A ⊆B ⇔ A ∪B=B 。
(2)并运算A B U1.1.2 集合的基本运算设A,B 为任意两个集合，A-B 称为A 与B 的差集，定义为: A-B=｛x ∣x ∈A 且x ∉ B ｝。
差运算为亦称为相对补运算，其文氏图为：(3)差运算A B U设A 为任一集合，称为A 的补集，定义为: U-A=｛x ∣x ∈U 且x ∉A ｝补运算的文氏图为：(4)补运算A UA1.1.2 集合的基本运算(5)环和运算设A,B为任意两个集合，A ⊕ B称为A与B的环和或对称差，定义为：A ⊕ B = (A-B)∪(B-A)U环和运算的文氏图表示为：A B环和运算性质：①交换律：A⊕B=B⊕A；②结合律：(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)；③同一律：A⊕Φ=A；④零律：A⊕A=Φ A⊕ =U；⑤∩对⊕可分配：A∩(B⊕C)=(A∩B)⊕(A∩C)环和运算环和运算1.1.2 集合的基本运算(6)环积运算设A，B为任意两个集合，A⓪B称为A与B的环积，定义为:A⓪B=A⊕B。
离散数学第12章 基本的组合计数公式
组合数学的研究内容 组合存在性 组合计数 组合枚举 组合优化 本书的内容 基本的组合计数公式 递推方程与生成函数
组合数学
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第十二章 基本的组合计数公式
主要内容 加法法则与乘法法则 排列与组合 二项式定理与组合恒等式 多项式定理
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12.1 加法法则与乘法法则
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例2：Ipv4网址计数
32位地址 网络标识+主机标识 (1) A类：最大网络； B类：中等网络； D：多路广播； E：备用 (2) 限制条件： 1111111在A类中的netid部分无效 hostid部分不允许全0或全1
A B C D E 0 netid (7位) hosted (24位) hostid (16位) hostid (8位)
25
25
25 12 25! 12 13 13 13 2 ( 3) 13! 12! 2 3
2
(2) 考虑对称关系的矩阵. i 行 j 列(i≠j)的元素 rij = rji. 能够独立 选择0或1的位置有(n2n)/2个. 加上主对角线的n个位置，总计 (n2+n)/2个位置，每个位置2种选择，根据乘法法则，构成矩 ( n2 n ) / 2 阵的方法数是 2
7
解答
(3) 非主对角线位置分成 (n2n)/2组，每组包含元素rij和rji. 根 据反对称的性质，rij与rji的取值有以下3种可能： rij=1, rji=0； rij=0, rji=1； rij=rji=0. 所有这些位置元素的选择方法数为 3( n2 n) / 2 . 再考虑到主对角 2 n ( n 线元素的选取，由乘法法则总方法数为 2 3 n ) / 2 (4) 设A={x1,x2,…,xn}，任何A上的函数 f:AA具有下述形式： f={<x1,y1>,<x2,y2>,…,<xn,yn>} 其中每个yi（i=1,2,…,n）有n种可能的选择，根那么y1确定以后，y2只有 n1种可能的取值 ,…, yn只有1种取值. 构成双射函数的方法数 是n(n1)(n2)…1 = n!.