因式分解——公式法和十字相乘法
十字相乘法
（4） 7 ( x y ) 5 ( x y ) 2 ( x y )
3 2
（5） ( a 8 a ) 22 ( a 8 a ) 120
2 2 2
-2-
五、达标检测 1．分解因式： (1) x 5 x 6
2
(2) x 5 x 6
2
(3) x 5 x 6
2
(4) x 5 x 6
2பைடு நூலகம்
(5) x x 6
2
(6) x x 6
2
-1-
每一次的坚定都为你埋下成功的种子
(7) x 2 x 3
2
(8) x x 1 2
2
2
x
（2）因式分解的公式： x ( p q ) x p q ( x p )( x q ) -----方法特征：拆常数项，凑一次项 特别： ax bx c a 1 a 2 x ( a 1 c 2 a 2 c1 ) x c1 c 2 ( a 1 x c1 )( a 2 x c 2 ) -----方法特征：拆两头，凑中间
2
2
二、准备练习 （1） x 2 x 3 _ _ _ _ _ _ _ ; （3） x 4 x 2 _ _ _ _ _ _ _ ; 三、因式分解 （1） x 5 x 6 _ _ _ _ _ _ _ ;
2
（2） x 4 x 1 _ _ _ _ _ _ _ ; （4） x 5 x 3 _ _ _ _ _ _ _ ; （2） x 3 x 4 _ _ _ _ _ _ _ ;
每一次的坚定都为你埋下成功的种子
因式分解之四大基本解法
因式分解之四大基本解法知识锦囊经典例题【必会考点1】提取公因式1．因式分解：2281012x y xy --【解答】解：原式222(456)x y xy =--2(43)(2)xy xy =+-．2．因式分解：324824m m m -+-．【解答】解：32248244(26)m m m m m m -+-=--+．3．因式分解：325()10()x y y x -+-．【解答】解：325()10()x y y x -+-325()10()x y x y =-+-25()[()2]x y x y =--+25()(2)x y x y =--+．4．因式分解：3()3()a x y b y x ---．【解答】解：3()3()a x y b y x ---3()3()a x y b x y =-+-3()()x y a b =-+．【必会考点2】公式法1．因式分解：（1）22169x y - （2）22222()4x y x y +-． 【解答】解：（1）原式22(4)(3)(43)(43)x y x y x y =-=+-；（2）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．2．分解因式：22(23)m m -+．【解答】解：原式(23)(23)m m m m =++--(33)(3)m m =+--3(1)(3)m m =-++．3．因式分解：2()6()9x y y x -+-+【解答】解：2()6()9x y y x -+-+2()6()9x y x y =---+2(3)x y =--．【必会考点3】提取公因式与公式法综合1．因式分解：（1）2x xy -； （2）329189x x x -+； 【解答】解：（1）22(1)(1)(1)x xy x y x y y -=-=+-；（2）322291899(21)9(1)x x x x x x x x -+=-+=-；2．因式分解：（1）244am am a -+； （2）22()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）22242(44)(2)am am a a m m a m -+=-+=-；（2）2222()()()()()()()a x y b y x x y a b x y a b a b -+-=--=-+-．【必会考点3】分组分解法1．因式分解：2m my mx yx -+- 【解答】解：（3）2m my mx yx -+-2()()m my mx yx =-+-()()m m y x m y =-+-()()m y m x =-+.2．因式分解：2221b bc c -+-【解答】解：2221b bc c -+-2()1b c =--(1)(1)b c b c =-+--．【必会考点4】十字相乘法1．因式分解：（1）256x x +- （2）2234a ab b -- 【解答】解：（1）256(1)(6)x x x x +-=-+（2）2234a ab b --(4)()a b a b =-+．2．分解因式：2231x x -+【解答】解：2231(1)(21)x x x x -+=--.巩固练习1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．2．分解因式：（1）()()x x a y a x -+- （2）321025x y x y xy -+3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +-4．分解因式：222(4)16m m +-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．6．因式分解：22436x xy x y -+-7．因式分解：22144a ab b -+-8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-9．分解因式：22221x y x y -+-．10．分解因式①226x x -- ②332x x -+11．分解因式：2228x xy y --．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x --（3）2231x x -+ （4）2656x x +-．13．因式分解：（1）23a b b -； （2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-； （4）2()()()x y x y x y -++-14．把下列各式分解因式：（1）225x -； （2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+； （4）3222a a b ab -+-．15．因式分解：（1）236x xy x -+； （2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．巩固练习解析1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．【解答】解：（1）2()3()m a b n b a --- 2()3()m a b n a b =-+- ()(23)a b m n =-+；（2）2282()x x y --222[4()]x x y =-- 2(3)()x y x y =-+．2．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式321025x y x y xy -+ 【解答】（1）解：()()x x a y a x -+- (x =x a -)(y -x a -) (=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+ (xy =21025)x x -+ (xy =25)x -．3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +- 【解答】解：原式322(57)a bc a b c ab =+-； 4．分解因式：222(4)16m m +-． 【解答】解：222(4)16m m +-22(44)(44)m m m m =+++- 22(2)(2)m m =+-．5．分解因式 （1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--． 【解答】解：（1）222(1)4a a +-22(12)(12)a a a a =+++- 2(1)a =+2(1)a -； （2）229()25()a b a b +--[3()5()][3()5()]a b a b a b a b +=+--+- .4(4)(4)a b b a =--．6．因式分解：22436x xy x y -+- 【解答】解：原式2(2)3(2)x x y x y =-+- (2)(23)x y x =-+．7．22144a ab b -+-【解答】解：22144a ab b -+-221(44)a ab b =--+ 21(2)a b =--(12)(12)a b a b =+--+．8．分解因式 （1）2249x y - （2）2221x y y -+-【解答】解：（1）原式(23)(23)x y x y =-+； （2）原式22(21)x y y =--+22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+--+．9．分解因式：22221x y x y -+-．【解答】解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+． 10．分解因式 ①226x x -- ②332x x -+【解答】解：①226(23)(2)x x x x --=+-； ②332x x -+ 342x x x =-++ (2)(2)(2)x x x x =+-++2(2)(21)x x x =+-+ 2(2)(1)x x =+-．11．分解因式：2228x xy y --． 【解答】解：2228x xy y -- (4)(2)x y x y =-+．12．十字相乘法因式分解： （1）256x x ++ （2）256x x -- （3）2231x x -+ （4）2656x x +-．【解答】解：（1）原式(2)(3)x x =++； （2）原式(6)(1)x x =-+； （3）原式(21)(1)x x =--； （4）原式(23)(32)x x =+-． 13．因式分解： （1）23a b b -； （2）1n m mn -+-； （3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-【解答】解：（1）原式22()()()b a b b a b a b =-=-+；（2）原式(1)()(1)(1)(1)(1)n m mn n m n m n =-+-=-+-=+-；（3）原式2222(21)(1)(1)(1)x x y x y x y x y =-+-=--=---+；（4）原式()()2()x y x y x y x x y =--++=-．14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．【解答】解：（1）原式(5)(5)x x =+-；（2）原式2(4)a =-；（3）原式2()(9)x y x =+-()(3)(3)x y x x =++-；（4）原式22(2)a a ab b =--+2()a a b =--．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．【解答】解：（1）236(361)x xy x x x y -+=-+；（2）322416284(47)m m m m m m -+-=--+；（3）23218()12()6()(322)a b b a a b a b ---=-+-．。
因式分解题型提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法
1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。
①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
②公因式的构成：系数：各项系数的 ；字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。
（2）公式法：①常用公式平方差： 完全平方：立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）（3）十字相乘法①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
（4）分组分解法①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。
例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
十字相乘法因式分解
(x+p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq
x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)
2+ x
3x + 2 =(x+1)(x+2)
1×2
1+2
1 1
1 2
x
1
1 +2 =3
x 2 x+2x=3x
即：x2 ＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
x x p q
x2 px＋qx=(p＋q)x pq
7(x+y)3+5(x+y)2-2(x+y) =(x+y)(x+y+1)(7x+7y-2)
思 考
不解方程组
x y
2 15
求3x2+12xy+9y2的值
x 3y 5
总结
十字相乘法分解因式的步骤：
1 竖分二次项与常数项。 2 交叉相乘并相加。 3 检验确定，横写因式。
练一练
分解因式：
十字相乘法： 对于二次三项式的分解因式，借 用一个十字叉帮助我们分解因式，这 种方法叫做十字相乘法。
例1 分解因式 x －6x＋8 2 X 解：x －6x＋8 =(x－2)(x－4)
2
-2
x
-4
练习一：分解因式
-4x-2x=-6x
(1) x2-2x-15 =(x-5)(x+3)
(2) －y2 －4y＋12 = - (y+6)(y-2)
（1）x2y2-xy-2 (2) a2-3a+2 (3) x2+3xy-28y2 (4) 3x2+8x-3
因式分解公式法、十字相乘法-教师版
2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。
再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。
公式法分解因式含十字相乘法
4.3公式法要点：1、 有公因式，先提公因式。
2、 两项式且异号的情况下，找找有否平方差。
有则运用平方差公式。
3、 三项式的情况下，注意找“头尾平方，中间两倍”再运用完全平方公式。
例题：1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A.224x y +B.281a -+C.225m n --2D.221p p -+ 2.一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（）A.46-bB.64b -C.46+bD.94b -3．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A.412m m ++B.222y xy x -+-C.49142++-a a D.13292+-n n4.不论y x ,为任何实数，82422+--+y x y x 的值总是（ ）A ．正数 B.负数 C.非负数 D.非正数（1） y y x -2 （2）()224z y x --（1）1442-+-a a （2） 3229124y xy y x -+-总结：有公因式的情况下，先提公因式。
有负号在前的情况下，先处理负号的问题。
公式法分解因式实际上是一种式子变形的方法，灵活运用可以解决很多问题。
一、选择题3.下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A.22b a +-B.22249m y x -C.22y x --D.242516n m - 6.若非零实数 b a ,满足ab b a 4422=+，则ba的值为（ ） A.－2 B.2 C.21 D.21-7.若224a x x +-是完全平方式，那么a 等于( ).A.4B.2C.±4D.±29．下列各式是完全平方式的是（ ）A. 122-+x xB.x x 392-+C.22y xy x ++D. 412+-x x 10．若a 、b 、c 是△ABC 的三边，满足0222=+-b ab a 且022=-c b ，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形 11．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）A. 22a ab b ++B.294y y -C.a a 4142-+D.221q q +- 12．下列各式能用公式法进行因式分解的是( )A.42+xB.422++x xC.42y x -D.24x -- 13．已知3-=+b a ，2=ab ，则()2b a -的值是（ ）A.1B.4C.16D.9 二、填空题14.分解因式：(1)22y x +-= ；(2)2225.049y x -= ．15.若162+-mx x 是完全平方式，那么m =________. 16.已知03442=-+++b a a ，则b a += . 17.分解因式：2411x x +-= . 18.在括号内填上适当的因式：（1）()2211025=++x x ； （2）()2221=+-b b（3）()()22___4+=++x x x ； （4）()()22294=++n m19.已知31=+a a ，则221aa +的值是 20.若2222690m mn n n ++-+=，则2mn的值为三、解答题21.利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）(1)22199201- （2）01.099.199.12⨯+22.把下列各式分解因式：（1）22254y x - （4）22)()(16b a b a +--（5）y x xy 33273+- (6) 2222416a x a y -(8)4481y x - (9)22)3()32(4q p q p --+23．分解因式：（3）1)(6)(92+---x y y x （4） 2363x x +-（5）322a a a -+- （6） 222224)(y x y x -+（7）42242b b a a +- （8）22236)9(x x -+（9）4322329n mn n m ++ （10）n n n ax ax ax 1218211+--+-24．已知0136422=++-+y x y x ，求x 和y 的值分别是多少？能力提升1.分解因式：13++-m m x x = .2．若n 为任意整数，22)11(n n -+的值总可以被k 整除，则k 等于（ ）A ．11B ．22C ．11或22D ．11的倍数 3．如果,2008=+b a 1=-b a ，那么=-22b a . 4.试解一元二次方程（1）0122=++x x （2）0242=+-x x初中数学十字相乘法因式分解要点：一、2()x p q x pq +++型的因式分解特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。
14.3.2十字相乘法分解因式
3x 5 x 2
2
2x 7 x 3
2
这个二次三项式的各项都是“正”的，特别是二 次项系数和常数项都是正的，因此，都可以分解 为两个同号的因数。
3x
5
2
5 x 6 x
x
合 并
11x
2
2x
2x 7 x 3
2
解：原式
2x 1 x 3 1 x
x 2 x 15
2 2
y 3 y 18
2 2
x 13x 12
a 13a 42
2
y 17 y 30
1. 若x2+mx-12能分解成两个整系数的一次
因式乘积，则符合条件的整数m个数是多少？ 2、分解因式 (1) x2+(a-1)x-a； (2) (x+y) 2+8(x+y)-48；
3x
例2、用十字相乘法分解因式：
2
解：原式
1 a 4a 3 a 1 a 3 a 1 a a 1 a 3
这两个式子有什么相同的 地方，又有什么不同？为 什么分解结果不一样呢？
3 3a a 2 2 a 4a 3 a 1 a 3 解：原式 a 1 a a 1 a 3
3
5 y 17 y 6
2
5 y 2 y 3
2m 11m 15
2
m 3 2m 5 2 3a 1 a 3
6a 20a 6
2
（1）分解因式： 2(6x2 ＋x) 2－9(6x2 ＋x) ＋5
（2）分解因式：
( x y)(2x 2 y 3) 2
4a
a
八年级数学上册因式分解的方法汇总
（4） 1999 x2 (1999 2 1)x 1999
（5） (x y 2xy)( x y 2) (xy 1)2
（6） (2x 3y)3 (3x 2 y)3 125(x y)3
（1）解：
设：x 2 5x a
五、常用到的式子：
ab b a 1 (a 1)(b 1) a4 4 (a2 2a 2)(a2 2a 2)
a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c) 2
a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ac)
= a2 2ab b2 1
(a b 1)(a b 1)
(4)原式= 1999x2 1999x2 x 1999
1999x(x 1999) (x 1999)
(1999x 1)(x 1999)
（5）原式= (x y)2 2(x y) 2xy(x y) 4xy (xy)2 2xy 1
解法四：添加两项 x2 x2
对应练习
例题：（分解因式）（第12届“五羊杯”竞赛 题）
(x4 x2 4)(x4 x2 3) 10
x4 x2 a
解：设
(a 4)(a 3) 10
a2 a 2
(a 2)(a 1)
ห้องสมุดไป่ตู้
同步练习：分解因式
（1） (x2 5x 2)( x2 5x 3) 12 （2） (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2
则原式=
(a 2)(a 3) 12 a2 5a 6
(a 6)(a 1)
（2）解： 原式= (x2 7x 6)( x2 5x 6) x2
(x2 6x 6 x)( x2 6x 6 x) x2
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
分解因式(十字相乘法)
(3)x2+6xy-16y2 (4)x2y2-7xy-18
（5）3x2 + 10x + 8 ( 6 ) （a+b）2 + 4(a+b) - 5
注意 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
实际在使用此公式时， 关键是需要把常数项拆成两个数的___积_____， 使得这两个数相加等于___一__次__项__系___数_____．
下面我们就来试试
例1：用十字相乘法分解因式：对，怎么办呢？
十字相乘法
因式分解
复习
因式分解： 1.提取公因式法 2.运用公式法： 两项——平方差公式
三项——完全平方公式
3.分组分解法：2+2型 3+1型
随堂练习
39x2 x 2y y2 ；
3 解：9 x2 x 2 y y2
= 9 x2 y2 x 2 y
=x yx y 2x y =x yx y 2
例4;试将 x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为负 时 ， 先提出负号再因式分解 。
练习 用十字相乘法分解因式：
-y2+7y-12
解：原式=-（y-3）（y-4）
例5;试因式分解（a+b）2+4（a+b）–5。
（a+b）2+4（a+b）–5 =(a+b+5)(a+b-1)
x
46
3x + 4x ≠ 7x 2x + 6x ≠ -8x
学以致用 例 2 分解因式：x2 7x 6
第05讲因式分解公式法与十字相乘法(原卷版)
第05讲 因式分解—公式法与十字相乘法1. 平方差公式分解因式的内容：两个数的平方差等于这两个数的 乘以这两个数的 。
即：=-22b a 2. 式子特点分析与因式分解结果：①式子特点分析：式子是一个 ，符号 且都可以写成 的形式。
②因式分解结果：等于写成平方形式时的 的和乘以 的差。
考点题型：①判断式子能否用平方差公式分解。
②利用平方差公式分解因式。
【即学即练1】1．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（ ）A ．x 2﹣25B ．x 3﹣4C ．x 2﹣2x +1D ．x 2+1【即学即练2】2．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．﹣m 2+n 2B ．﹣m 2﹣n 2C ．4m 2﹣1D ．（m +n ）2﹣9【即学即练3】3．把下列各式因式分解：（1）x 2﹣25y 2． （2）﹣4m 2+25n 2． （3）（a +b ）2﹣4a 2．（4）a 4﹣1． （5）9（m +n ）2﹣（m ﹣n ）2． （6）mx 2﹣4my 2．知识点02 完全平方公式分解因式1. 完全平方公式分解因式的内容： =+±222b ab a 。
2. 式子特点分析与因式分解结果： ①式子特点分析：式子是一个 ，其中两项符号 且都能写成 的形式，第三项是平方两项 乘积的 。
②因式分解结果：等于 的平方或 的平方。
若第三项与平方两项符号 ，则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号 ，则等于底数差的平方。
若平方两项是符号，则在括号前添加负号。
题型考点：①判断式子能否用平方差公式分解。
②利用平方差公式分解因式。
③求值【即学即练1】4．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．a 2+ab +b 2B ．9y 2﹣4yC ．4a 2+1﹣4aD ．q 2+2q ﹣1【即学即练2】5．下列各式中：①x 2﹣2xy +y 2；②a 2+ab +b 2；③﹣4ab ﹣a 2+4b 2；④4x 2+9y 2﹣12xy ；⑤3x 2﹣6xy +3y 2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练3】6．把下列各式分解因式．（1）n 2﹣6mn +9m 2 （2）a 2﹣14ab +49b 2（3）a 2﹣4ab +4b 2 （4）m 2﹣10m +25．【即学即练4】7．分解因式：①x 2+6x +9＝ ；②1﹣4x +4y 2＝ ；③﹣a 2+2a ﹣1＝ ．【即学即练5】8．已知x 2﹣y 2＝69，x +y ＝3，则x ﹣y ＝ ．【即学即练6】9．若x 2+mx +16＝（x +n ）2，其中m 、n 为常数，则n 的值是（ ）A ．n ＝8B ．n ＝±8C ．n ＝4D ．n ＝±4【即学即练7】10．若x 2+5x +m ＝（x +n ）2，则m ，n 的值分别为（ ）A ．m ＝，n ＝B ．m ＝，n ＝5C ．m ＝25，n ＝5D ．m ＝5，n ＝知识点03 十字相乘法分解因式1. 十字相乘法分解因式：对于一个二次三项式c bx ax ++2，若存在21a a a ⋅=，21c c c ⋅=，且b c a c a =+1221，那么二次三项式c bx ax ++2可以分解为：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++ 举例说明：3522++x x 12⨯ 13⨯23== 523=+。
因式分解(提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法)
整式乘法中，有 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
x2 px q
=
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
判别下列各式是不是 完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1.20042+2004能被2005整除吗?
2.先分解因式，再求值
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
20023 2 20022 2000 20023 20022 2003
六．利用分解因式计算： （1）-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.14 解：原式 =-3.14 ×(4.2+3.5-17.7)=-3.14×(-10)=-31.4
思维延伸
2. 对于任意的自然数n， (n+7)2－ (n－5)2能被 24整除吗? 为什么?
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
因式分解_十字相乘法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法；
方法一：提公因式法
这是因式分解的首选方法。在 分解因式时一定要首先认真观 察所给的多项式，尽可能地找 出它们的公因数（式）。
方法二：公式法
一、平方差公式： a2 b2 (a b)(a b) 二、完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2
（7）（a+b）2-4(a+b)+3 （8） x4-3x3 -28x2
(9) 2x2-7x+3 (10) 5x2+6xy-8y2
(6)x4+13x2+36
答案 (1). (x-1)(x+4) (2). (x+1)(x-4) (3). (x+8y)(x-2y) (4). (x-3y)(x-8y) (5). –(xy+9)(-xy+2) (6). (x²+4)(x²+9) (7). (a+b+1)(a+b+3) (8). (x+4)(x³-7x²) (9). (2x-1)(x-3) (10). (5x-4y)(x+2y)
(3) x2+5x-6； (4)x2-5x-6
(5) (x－y)2 ＋(x－y) －6
答案 (1). (x-3)(x-4) (2). (x-6)(x+2) (3). (x+2)(x+6) (4). (x-1)(x+12) (5). (x+1)(x+12) (6). (x-4)(x+3)
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 (2)x2-3x-4 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18
因式分解的所有方法并举例说明
因式分解的所有方法并举例说明同学们！今天咱来唠唠因式分解的那些方法哈，这可是数学里很重要的一部分呢。
下面咱就一个个来看哈。
一、提公因式法。
这方法就像是给式子找个“公共的小伙伴”，把这个公共的部分提出来，式子就能变得简单点啦。
比如说，对于式子6x + 9，你看啊，6和9都能被3整除，那3就是它们的公因式。
咱就可以把3提出来，变成3(2x + 3)。
再比如说4x^2y + 6xy^2，这里面2xy是公因式，提出来后就变成2xy(2x + 3y)啦。
二、公式法。
这个方法就是利用一些已经知道的公式来进行因式分解，就像是有现成的工具，咱直接拿来用就行。
1. 平方差公式。
平方差公式就是a^2 b^2=(a + b)(a b)。
比如说x^2 9，这里x^2就是a^2，9就是b^2（因为9 = 3^2），那按照公式分解就是(x + 3)(x 3)。
再比如16y^2 25z^2，就可以分解成(4y + 5z)(4y 5z)。
2. 完全平方公式。
完全平方公式有两个哦，a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2，a^2 2ab + b^2=(a b)^2。
比如说x^2 + 6x + 9，这里x^2是a^2，9是b^2（b = 3），6x正好是2ab（a=x，b = 3，2ab = 2× x×3 = 6x），所以可以分解成(x + 3)^2。
再比如4x^2 12x + 9，可以分解成(2x3)^2。
三、分组分解法。
这个方法就是把式子分成几组，然后分别对每组进行处理，再看看能不能继续分解。
比如说ax + ay + bx + by，咱可以把它分成两组，(ax + ay)和(bx + by)。
第一组提出公因式a变成a(x + y)，第二组提出公因式b变成b(x + y)，这样原式就变成a(x + y)+b(x + y)，这时候又有公因式(x + y)了，再提出来就得到(a + b)(x + y)啦。
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a2 2ab b2 9
1 a3b 1 a2b2 1 ab3
88
32
简便计算： 2022 202196 982
4
例 若二项式 4m2 9 加上一个单项式后是一含ｍ的完全平方式，则这样的单项式有（ ）
Ａ．４个 Ｂ．３个 Ｃ．２个
Ｄ．１个
例 若： a 2 b2 2b 1 0 ，则 a 2b
m2n2 16 8mn
a b2 6a bc 9c2
x 2 9 y 2 36 x2 y 2
2ax2 12axy 18ay2
(x y)2 8(x y) 16 (2x y)2 10(2x y) 25
(a 2 1)2 4a 2 (a b)2 4a 2b2
（） （）
（7） 9x2 y 2
（ ）；
（8） 9x2 y2
（）
【强化训练】 因式分解
a4 b4
4a4 64
(2n 1)2 (2n 1)2
16(x y)2 25(x y)2
(x y 2z)2 (x 2y 3z)2
(x y)2 - (x y)2
(1) x2 4 x2 22 x 2x 2
(2) x2 16 ___2 ___2 ________ (3) 9 y 2 ___2 ___2 ________ (4) 1 a2 ___2 ___2 ________
___
9、如果把多项式 x2-8x＋m 分解因式得(x-10)(x＋n)，那么 m＝________，n＝_______
10、用简便方法计算，并写出运算过程：
(7 3 )2-2.42＝_____________ 5
9.92＋9.9×0.2＋0.01＝_____________
11、若 x 1 ， y 1 ，则代数式 (2x 3y)2 (2x 3y)2 的值是________
4
4
11(a b) 1 (b a)3 11
2
分解因式
1 a m1 a m1 16
1 a2m ambm 1 b2m
2
2
把下列各式分解因式
（1） x5 x3 x3 x2 1 x3 x 1x 1
（2） 2ab3 2ab 2ab________
4(2 p 3q)2 (3 p q)2
7
xn4 xn1
（四）利用因式分解进行简便运算
5352 6 6 4652
7.292 2.712
73×145 2 -105 2 ×73
（五）开放题
有个多项式，它的中间项是 12xy，它的前后两项被墨水污染了看不清，请你把前后两项补充完整，使它成为完全
6
8
（二）选择题
1、把 16 a2 分解因式，结果是（
）
A． (a 8)(a 8)
B . (a 4)(a 4)
C . (a 2)(a 2)
D .(a 4)2
2、将 4x 2 9 y 2 分解因式得（ ）
（A） (2x 3y)(2x 3y);
（B） (2x y)(2x y);
A、10
B、10 或-14
（三）分解因式
C、14 或-14
D、-10
(4a 2 1)2 16a 2
16(m n)2 9(m n)2
(x y)2 6(x y) 9 (a 2b)2 10(a 2b) 25
1 a2 1 ab 1 b2 934
2 ax2 4ax 6a 3
1 (x y)3 8( y x) 8
1 a bx2 8a by2
2
用简便方法计算
21.72 28.32
5352 6 6 4652
2022- 542+ 256352
1.25142 125 8.62
已知 xy 5 ， a b 3， a b 4 ，求 xya 2 xyb2
（1） x2 6x 9 ；
（2） x 2 xy y 2 ；
（3） 25x4 10x2 1 ；
分解因式：
x 2 4xy 4 y 2
（4）16a2 1 4x3 y 4x2 y 2 xy3
25x4 10x2 1
1 1 m m2 2 16
4a2b2 1 4ab
一、新课导入与例题分析
复习提问： 1、什么叫因式分解？我们已学过什么因式分解的方法？ 2、因式分解与整式乘法有什么区别和联系？ 3、我们学过哪些乘法公式？ （一）运用平方差公式进行因式分解
因式分解的平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b)
如果把乘法公式从右向左用，就可以用来把某些符合条件的多项式分解因式．我们把这种多项式的分解方法叫做运 用公式法。 把下列各式分解因式
一、 十字相乘法
十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次项式分解因式的方法叫做十字相乘法
口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中
要将二次三项式 x2 + px + q 因式分解，就需要找到两个数 a、b，使它们的积等于常数项 q，和等于一次项系数
p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
解：原式= ___2 ___2 =
(9) 36n2 1
解：原式= ___2 ___2 =
小结：利用平方差公式分解因式时，首先要把所给的二项式写成平方差的形式；再运用平方差公式分解因式。
1
【挑战自我】
(10) 4x 2 9 y 2
=
(12) 4 m2 0.012 9
=
(14) 0.09a2 0.49c2
= =
(11) 0.81a2 16b2
=
(13) 0.04a 2 y 2 4 b2 x2 25
=
(15) 0.81a2 16b2
= =
总结：能用平方差公式分解因式的多项式应满足的条件： （1）式子可分成两部分； （2）这两部分可写成整式（数）的平方； （3）两部分符号必须相反。
6、 x4 13x2 y 2 36 y 4
8、 2 x2 x 2 3 x2 x 20
三、课后练习
（一）填空题
1、 a3 a _____
__
3、 x3 2x 2 y xy 2 ____ ___
5、 a3 2a 2 (b c) a(b c)2 __
平方式，你有几种方法？（要求至少写出三种不同的方法，写在下面空格处）.
多项式：
+12xy+
=（
）2
（1）
（2）
（3）
8
2．符号规律: 当 q＞0 时，a、b 同号，且 a、b 的符号与 p 的符号相同；
当 q＜0 时，a、b 异号，且绝对值较大的因数与 p 的符号相同.
3．书写格式:竖分横积
例题分析：
x2+4xy+3y2
x2＋3x＋2
a2＋5a＋6
x2－11x＋24
5ห้องสมุดไป่ตู้
x2＋4x－5 -m4+18m2-17
y2－12y－28 m4+14m2-15
用十字交叉线表示: x
+a
x
+b
ax +
bx = (a + b)x
由于把 x2 + px + q 中的 q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才
能确定采用哪种情况来进行因式分解.
小结：对二次三项式 x2 + px + q 进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：
1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.
巩固训练
1、如果多项式 4a2 ka 1 是一个完全平方式，则 k 的值应是（
）
4
A、-2
B、2
C、4
D、±2
2、若对 ax2 bx c 进行因式分解为 2x 5x 5， 则 a b
3、若 a n (b m)2 0 ，将多项式 a2m b2n 分解因式（用 m 、 n 表示）
3
（二）运用完全平方公式进行因式分解
因式分解的完全平方公式： a 2 2ab b2 (a b)2
公式的特征：公式左边是两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的 2 倍，右边是这两个数的和(或者差)的 平方的形式，利用这个公式，可以把具有平方差特征的多项式分解因式。 下列多项式是否为完全平方式？为什么？
(5) 1 25b2
(6) 4x 2 y 2
解：原式= ___2 ___2 = ________
(7) a 2 1 x 2 9
解：原式= ___2 ___2 = ________
解：原式= ___2 ___2 =
(8) m2 36 36 m2 (加法交换律)
x4 2x3 35x2
x2y2-18xy+65
巩固练习： 十字相乘法
1、 x2 (a b)x ab
3、 x4 5x2 24
2、 x 2 y 2 6xy 7 4、 a2 7ab 12b2
5、1 (x y) xy2
7、 2(x y)2 3(x y) 20 ；
5、下列各式中，能直接用平方差公式分解的是（ ）
D. x2 x 1 4