_菲涅耳公式精讲

tp E2 p E1 p 2n1 cos i1 n2 cos i1 n1 cos i2
（3）p分量的振幅透射率：
（4）s分量的振幅透射率：
E2 s 2n1 cos i1 2 cos i1 sin i2 ts E1s n1 cos i1 n2 cos i2 sin(i1 i2 )
电磁场边界条件：电磁场边值关系由麦克斯韦积分方程给出，反 映了电磁场在两种介质分界面处的突变的规律。
d L E dl dt SB dS n ( E2 E1 ) 0 d L H dl I f SD dS n ( H 2 H 1 ) J s dt n ( D2 D1 ) s S D dS Q f n ( B2 B1 ) 0 SB dS 0 在绝缘介质界面，无自由电荷和传导电流
反射、折射时的偏振现象
入射角i1 0 反射光偏振态 自然光 部分偏振光（自然光＋ S 光） 折射光偏振态 自然光 部 分 偏 振 光 自然光
iB
线偏振光（ S 光） 部分偏振光（自然光＋ S 光） 自然光
(ic ) 2
三、维纳(O.Wiener 1890年)实验证明—— 电场是主要的
光与物质的相互作用，本质上是光与电子的相互作用。运 动的电子既有电荷亦有磁矩，光是电磁波。在光与电子的相互 作用中，是电场起主要作用，还是磁场起主要作用，还是电场 和磁场起等同的作用？-----维纳实验回答了这个问题。
.
P P
rs 0
S
rs 0
rp 0
S
.
P
S
rp 0
P
有相位突变
有相位突变
总结洛埃镜实验和维纳实验，以及理论分 析，可得半波损失产生的条件：
• 当光从光疏介质向光密介质入射时，反 射光相位发生变化。但只有入射角接近0°或 90°，即垂直入射或掠射时，反射光相位发 生π的突变。 • 在任何情况下透射光都没有半波损。
tg (i1 i2 ) rp tg (i1 i2 )
2 sin i2 cos i1 tp sin( i1 i2 ) cos(i1 i2 )
2 sin i2 cos i1 ts sin( i1 i2 )
sin( i1 i2 ) rs sin( i1 i2 )
注： J s 为表 面传导电流 密度； s 为表 面自由电荷 密度。
1 E1n 2 E2 n E E 1t 2t 1 H1n 2 H 2 n H1t H 2t
电位移矢量法线分量连续 电场强度矢量切线分量连续 磁感应强度矢量法线分量连续 磁场强度切线分量连续
（1）p分量的振幅反射率：
rp
p E1 E1 p
n2 cos i1 n1 cos i2 tan(i1 i2 ) n2 cos i1 n1 cos i2 tan(i1 i2 )
（2）s分量的振幅反射率：
s n1 cos i1 n2 cos i2 sin(i2 i1 ) E1 rs E1s n1 cos i1 n2 cos i2 sin(i2 i1 )
二、布儒斯特定律
（1）布儒斯特定律 当 i2 i1 / 2 时，
以布儒斯特角入射
n1 n2
i0
i0
90 r
0
tg (i2 i1 ) P光的反射系数： rp 0 tg (i2 i1 )
由折射定律：
tg(i2 i1 )
i 0 + r = 90
0
n2 sin i 0 sin i 0 tg i 0 = = = 0 n1 sin r sin ( 90 i 0 ) 布儒斯特定律
1.4 菲涅耳公式
（Augustin-Jean Fresnel 1788-1827）
光射在两种介质的界面上时，将发生反射和折 射。能流的分配与入射角有关，还存在相位的跃变 和偏振态的变化。 从电磁场的边界条件出发，可以得到 反射和折 射定律，以及入射与反射、折射的振幅关系——解 决光在界面上的强度分配问题。 菲涅耳在麦克斯韦之前得到了反射、折射公式.
把电矢量分成两个分量:
p分量—— 平行于入射面 （光线方向与界面法线所确定的平面， 如图中 xy面为界面，z轴为法线。） s分量—— 垂直于入射面。 图中的y轴方向。
E1 p
E1p
E1s
i1 i1
O
E1s
i2
E2 s
E2 p
x
规定s 分量的正方向为沿 y 轴正方 向，p 分量的正方向为与s 分量和传播 方向构成右手螺旋关系：



其中:
k1 x 0 k1 sin i1 z 0 k1 cos i1 k1 ' x 0 k1 ' cos i1x ' y 0 k1 ' cos i1 y ' z 0 k1 ' cos i1z ' k2 x 0 k2 cos i2 x y 0 k2 cos i2 y z 0 k2 cos i2 z
2 sin i2 cos i1 ts sin( i1 i2 )
tp 0
0 i / 2
tg (i1 i2 ) rp tg (i2 i1 )
ts 0
sin( i2 i1 ) rs sin( i2 i1 )
rs 、 rp 可正可负。振幅的正负号改变，
就意味着相位改变π。（半波损失）
五、斯托克斯倒逆关系
n1 n2
A
Ar
At
Arr At t
Ar
n1 n2
At r Art
At
比较两种情况有:
2
A Arr Att { Atr Art 0
(斯托克斯倒逆关系式)
即
{ r tt 1
r r
六、全反射
• 当光波从光密介质射向光疏介质(n1n2)时， 将发生全反射。 对于s分量的透射波有:
sin( i2 i1 ) rs A1s sin( i2 i1 )
A1' s
A2 s 2 sin i2 cos i1 ts A1s sin( i1 i2 )
• 同理可得出在分界面处，p分量的振幅关系。
• 折射、反射定律只解决了平面光波在两个介质分界 面上的传播方向问题。 • 菲涅尔公式描述折、反射波（复）振幅与入射波 （复）振幅之间的关系，是物理光学中的又一组基 本公式：
讨论： A
i1 iB
i1 i2 / 2
rp 0 rp 0
当 n1 n2 , i1 i2 时
当 n1 n2 , i1 i2 时
rs 0 rs 0
当光从光疏介质向光密介质入射时， 反射光发生相位突变。 B
i1 iB
i1 i2 / 2
rp 0
n2 tg i 0 = n1
外腔式激光管加装布儒斯特窗，以产生线偏振激光。
· ·
i0
i0
······
布儒斯特窗
i0
· ·
i0
M2 激光输出
M1
假如封闭管子两端的玻璃窗口是垂直于管轴线的玻 璃片，那么自然光每经过一个窗口表面就有大约4% 的反射损失(96%透入)。光在M1 M2之间每个单程要 4次穿过窗口表面。这样，光来回反射时，反射损耗 太大就不能形成激光。
s1 s 2*
虚光源
M B´
.
P
B
反射镜
屏
当屏移到 A´B´位置时，在屏上的P 点应该出现暗条纹，光在镜子表面反射
时有相位突变π。
四、半波损
• 半波损-----通常把位相跃变而引起的这个附加程差 ±λ/2叫半波损。 反射光的相位关系： 2 sin i2 cos i1 tp sin( i1 i2 ) cos(i1 i2 )
光疏到光密，正入射的反射光的电场矢量有半波 损失，而磁场矢量没有。在a0点观察到的是暗纹，确 定和乳胶相互作用过程中起作用的是光波的电矢量。
证明乳胶感光是电场所致， 而磁场没有起作用。
原子物理学从理论上可以估算出，光波中作用于电子电荷 上电场力远远大于作用于电子磁矩的磁场力。
劳埃镜实验 点光源
A´ A
由电磁场边界条件，在界面（即z=0）处有： E1s E1s ' E 2 s 因对于所有时间t，和所有x、y上式成立，所以： 1 1 ' 2
cosi1y ' 0 , cosi2 y 0
由此可知道，（1）入射、反射和折射光线在同一个面内。 因而， k1 ' 和 k 2 可表达为： k1 ' x 0 k1 sin i1 ' z 0 k1 cos i1 ' k2 x 0 k2 sin i2 z 0 k2 cos i2 从而， k1 sin i1 k1 sin i1 ' k2 sin i2 得到，（2） i1 i1 ' ，即反射角等于入射角； 以及， n1 sin i1 n2 sin i2
这就是著名的反射定律和折射定律（Snell定律），它包 括两个内容：
（1）入射、反射和折射光线在同一个面内。
（2）反射角等于入射角；以及， n1 sin i1 n2 sin i2 再由磁矢量在界面（即z=0）处的条件： H 1s H 1s ' H 2 s 并利用在非铁磁质中的关系： r 1, n r r r • 菲涅耳给出在分界面处，入射波、反射波、折射波的s 分量的振幅关系为：
z
ˆ ˆ s ˆk p
对于s分量，设:
E 1s y0 A1s exp i (k1 r 1t ) , , E 1s y0 A1s exp i (k1 r '1 t ) E 2 s y0 A2 s exp i (k 2 r 2 t )
所以，
sin 2 (i2 i1 ) sin i1 cos i2 4 sin 2 i2 cos2 i1 R s Ts 2 1 sin (i2 i1 ) sin i2 cos i1 sin 2 (i1 i2 )
可见，s分量能量守恒；同理可得，p分量能量 守恒。所以，菲涅耳公式满足能量守恒
则在界面上能流反射 率和透射率分别为：
R s rs
2
sin 2 (i2 i1 ) sin (i2 i1 )
2 2
2
n2 cos i2 2 sin i1 cos i2 4 sin i2 cos i1 Ts ts n1 cos i1 sin i2 cos i1 sin 2 (i1 i2 )
rp 0
当 n1 n2 , i1 i2 时
rs 0 rs 0
当 n1 n2 , i1 i2 时
接近正入射(i1 < iB )
S n 1 > n2
接近掠入射(i1 > iB )
.
P
S
.
P
rs 0 rs 0
rp 0
S
.
P
P
rp 0
.
S
无相位突变
无相位突变
S n1 < n2
更令人信服的、进一步的维纳实验：
对于s光， E1s // E'1s ，H1 p H '1 p
对于p光， E1 p E'1 p ，H1s // H '1s 证明乳胶感光是电场所致，而磁场没有起作用。
记录到明暗条纹 记录到均匀黑度
原子物理学从理论上可以估算出，光波中作用于电子电荷 上电场力远远大于作用于电子磁矩的磁场力。
关于菲涅耳公式的讨论
一、菲涅耳公式中的能量守恒
既然
E02
表示光ຫໍສະໝຸດ Baidu能量流动，为什么
E1s
2
E1s ' E 2 s ?
2
2
平面电磁波的能流密度：
1 S 2
2 E0
一般 r 1
n r
1 S 2
0 2 ( n E0 ) 0
2 ( n E 平面电磁波的能流密度与 0 ) 成正比。
• 研究该问题的基本思路：我们可以把入射波 电场的振幅矢量分解成两个分量，一个分量 垂直于入射面，称为“s”分量；另一个分量 位在入射面内，称为“p”分量。
• 根据叠加原理：可以只研究入射波电场仅含s 分量和仅含p分量这两种特殊情况；当两种 分量同时存在时，则只要先分别计算由单个 分量所造成的折、反射波电场，然后再作矢 量相加即可得到结果。