排序不等式 的应用

排序不等式
排序不等式（sequence inequality ），又称排序原理
设12n a a a ≤≤
≤，12n b b b ≤≤≤为两组实数，12n c c c 、、、是12n b b b 、、、的任一排列，则121111221122n n n n n n n
a b a b a b a c a c a c a b a b a b -++
+≤++
+≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12n a a a ===或12n b b b ==
=时，反
序和等于顺序和。

排序不等式也是基本且重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用，许多重要的不等式都可以借助排序不等式得到证明。

一、排序不等式的基本应用
排序不等式的结构规律简明，易于记忆，借助它可以简捷地证明一些重要的不等式，尤其是对于具有大小顺序关系且个数相同的两列数，在考虑他们的对应项乘积之和的大小关系时，排序不等式是一个极其有用的工具。

应用排序不等式，必须取两组个数相同、便于大小排序的数，此时有两种情形：一是知道各数的大小顺序，二是不知道各数的大小顺序，但由于不等式是对称不等式，可以在不失一般性的情况下，假定各数的大小顺序。

例1 设12n a a a 、、、是n 个互不相同的正整数，求证：
321222
11
1
123
23
n
a a a a n n +++
+
≤++++ 分析：由于12n a a a 、、、是n 个互不相同的正整数，因此它们可以进行排序；同
时，观察需要证明的不等式，可以联想到12n a a a 、、、对应的另一列数是1、21
2
、
213、…、2
1n ，由此可以联想到应用排序不等式。

值得注意的是不能直接假设12n a a a ≤≤≤，会影响两列数的乘积之和是顺序和、乱序和还是反序和，所以
需要定义12n a a a 、、、的大小关系。

证明：设12n b b b 、、、是12n a a a 、、、的一个排列，且满足1b ＜2b ＜…＜n b . 因为12n b b b 、、、是互不相同的正整数，所以11b ≥，22b ≥，…，n b n ≥. 又因为1＞
212＞213＞…＞21
n
，
故由排序不等式：乱序和≥反序和，得：
123222111
123n
a a a a n ⋅+⋅+⋅++⋅ 123222
111
123n b b b b n ≥⋅+⋅+⋅++⋅ 222111111112312323n n n
≥⋅+⋅+⋅++⋅=++++ ∴原不等式成立.
例2 设123a a a 、、都是正数，求证：
2331
12123312
a a a a a a a a a a a a ++≥++ 分析：观察需要证明的不等式，我们需要构造两组数，并且这两组的乘积可以出现123a a a 、、，满足不等式的右端；观察不等式的左端，我们可以不妨设
123a a a ≤≤，构造121323a a a a a a ≤≤和
321
111
a a a ≤≤，应用排序不等式证明不等式。

证明：不妨设123a a a ≤≤，则121323a a a a a a ≤≤，321
111a a a ≤≤ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：
23312331
1212123312231
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++≥++=++ ∴原不等式成立.
例3 设12n a a a 、、、是1,2n ，，的一个排列，求证：
1
12
23
12123
n n
a a a n n a a a --+++
≤+++ 分析：通过观察，把121n a a a -、、、与23n a a a 、、、分别看作两组有大小顺序的数组，联想应用排序不等式进行证明。

证明：设121n b b b -、、、是121n a a a -、、、的一个排列，且121n b b b -<<
<；
121n c c c -、、、是23n a a a 、、、的一个排列，且121n c c c -<<
<，则
12
1111
n c c c -
>>>
，且11b ≥，22b ≥，…，11n b n -≥-，12c ≤，23c ≤，…，1n c n -≤. 由排序不等式：乱序和≥反序和，得：
1112
12
23
12
112
1
23
n n n n a b a a b b n a a a c c c n
----+++
≥+++
≥+++
∴原不等式成立.
总结：应用排序不等式证明不等式，必须构造出两列个数相等的数组，并且要利用数组的大小关系进行解题。

因此，比较数组的大小关系是解题的基础。

灵活构造两列数组，也是解题的关键所在。

并且需要注意，在未给出数组大小关系的时候，要不失一般性的对数组进行大小顺序的排列。

二、经过是当变形后，在运用排序不等式解决问题
有些需要证明的不等式并不是直接给出排序不等式的乘积之和的形式，这时就需要我们对不等式从结构上观察进行适当的变形，为使用排序不等式创造条件。

例1 设a b c 、、为正数，求证：
222222
0c b a b b c a b b c c a
---++≥+++ 分析：本题通过观察发现，我们可以将不等式转化为
222222
c a b a b c a b b c c a a b b c c a
++≥++++++++的形式，进而应用排序不等式进行解题。

证明：原不等式等价于222222
c a b a b c a b b c c a a b b c c a
++≥++++++++ 不妨设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，a b a c b c +≤+≤+，111
a b a c b c
≥≥+++ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：
222
222
c a b a b c a b b c c a
a b b c c
a
++≥++++++++ 即
222222
0c b a b b c a b b c c a
---++≥+++
例2 设120n a a a <≤≤
≤，120n b b b ≤≤≤≤，12n c c c 、、、是12n b b b 、、、的
任一排列，求证：112121121212n n n n b c b b b b c c b n n n a a a a a a a a a -⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅
分析：通过观察发现，将结论中的指数形式转化为对数形式后，便可应用排序不
等式，结合对数函数的单调性进而解决问题。

证明：120n a a a <≤≤≤，12ln ln ln n a a a ∴≤≤≤
又120n b b b ≤≤≤
≤，
由排序不等式：顺序和≥乱序和≥反序和，得：
11221
12
211
21l n l n l n l n l n l n l n l n l n n n n n n n
n
b a b a b a
c a c a c a b a b a
b a
-+++≥++
+≥+++
()
(
)
()
1
121
2
1
121
2
1
2
l n l n l n
n
n
n
n b c b b b b c c b n n n a a a a a a a
a a -∴⋅⋅⋅≥⋅⋅
⋅
≥⋅
⋅⋅
()()l n 0f x x x +>为单调递增函数，所以
1
1212
1
1212
1
2
n
n
n
n b c b b b b c c b n
n n a a a a a a a a a -⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅
≥⋅⋅⋅
例3 设a b c 、、为正实数，求证：333
a b c a b c bc ac ba
++
≥++ 分析：通过前面几道题的训练，我们很容易构造两个数组，应用排序不等式；但通过计算我们发现，应用一次排序不等式后，形式进行了转化，需再次运用排序不等式并结合不等式的性质解决问题。

证明：不妨设0a b c <≤≤，则ab ac bc ≤≤，333a b c ≤≤，111ab ac bc
≥≥ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：
333333222
a b c a b c a b c b c a c b a a c a b b c c a b ++≥++=++ 又222a b c ≤≤，
111
a b c
≥≥ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：
333222222
a b c a b c a b c a b c bc ac ba c a b a b c
++≥++≥++=++ ∴原不等式成立.
三、两次或多次运用排序不等式，通过累加法解决问题
根据排序不等式：顺序和≥乱序和≥反序和，我们可以发现乱序和的形式不止一种，所以我们经常利用这一点构造多个不等式进行累加，从而得到所需要的不等式，这是运用排序不等式的常用策略。

例1 在ABC ∆中，求证：
3
aA bB cC a b c π
++≥++ 分析：根据三角形边和角之间的关系，并注意到aA bB cC ++的形式，我们很容易联想到应用排序不等式；若注意到A B C π=++，则问题迎刃而解。

证明：不妨设a b c ≤≤，则A B C ≤≤
由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：
a A
b B
c C a A b B ++=++ a A b B
c C a C b A ++≥++
a A
b B
c C a B b C ++≥++
以上三式相加，得：
()()()()3a A b B c C a b c A B C a b c
π++≥++++=++
即3
aA bB cC a b c π
++≥++
例2 设a b c 、、都是正数，求证：
()2221
2
a b c a b c b c c a a b ++≥+++++ 分析：通过观察发现，我们可以构造两个数组0a b c <≤≤和
0a b c b c a c a b
<≤≤+++，但它们的乘积没有出现不等式右端a b c 、、的形式，我
们便可通过累加法来约去每一项分母。

证明：不妨设0a b c <≤≤，0a b c b c a c a b
<≤≤+++ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：
22
2a b c a
b
c
b c a b c c a a b b c a c a b
++≥⋅+⋅+⋅++++++
22
2a b c a
b
c c a b b c c a
a b b
c
a c
a
b
++≥⋅+⋅+⋅++++++ 两式相加，得：
()()()2222a b c a b c b c a c a b a b c
b c c a a b b c a c a b ⎛⎫++≥+⋅++⋅++⋅=++ ⎪++++++⎝⎭ ∴原不等式成立.
例3 （切比雪夫不等式）设12n a a a 、、、，12n b b b 、、、为任意两组实数，如果
12n
a a a ≤≤
≤且
12n
b b b ≤≤
≤，
求
证
：
1122
1
21
2
n n
n n n
a b a b a b a a a
n
n n n
-
+
+++
+++
+
⎛⎫⎛
⎫
≥≥
⎪
⎪
⎝
⎭⎝
⎭
，当且仅当12n a a a ===或12n b b b ==
=时，等号成立。

证明：先证
112212
12n n
n n a b a b a b a a a b b b n
n n ++
++++++
+⎛⎫⎛⎫
≥ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
此不等式等价于()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++
()()1212112
2
1223
1
1324
2 n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b ++++++=+++=+++=+++1211
n n n a b a b a b -=++
+ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：
112211221122122311122
1324
2112212
11
n n n
n
n n n
n n n
n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b
a b -+++=++++++≥++++++≥+++++
+≥++
+ 以上n 个式子相加，得： ()()()11221
2
1
2
n n n
n n a b a b a b a a a b b b
+++≥
+
+
++
+
+
即
112212
12n n
n n a b a b a b a a a b b b n
n n ++
+++
+++
+⎛⎫⎛⎫
≥ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
同理，由排序不等式：顺序和≥乱序和≥反序和，得：
11221211223
11
2
111324
21
2
11121
1
1211
n n n n n n n n n n
n n n
n n n n
n
n
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b
-----+++≥++++++≥++++++≥+++
+++
≥
++
+ 以上n 个式子相加，得： ()()()12121211n n n
n n
a a a
b b b n
a b a b a b -++
+++
+≥++
+ 即12
121211
n n n n n a a a b b b a b a b a b n n n -+++++
+++
+⎛⎫⎛⎫≥
⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭。