巧用线性规划知识解决高中数学难题

巧用线性规划知识解决高中数学难题

福建省光泽第一中学胡长才

摘要：近年来，全国高考卷每年都考到了线性规划问题。线性规划成了高考数学的热点问题，这说明了线性规划知识重要性。而学好线性规划知识，不仅可以解决现实生活中的最优化问题，还可以解决一系列高中数学难题。

关键词：线性规划解决数学难题

在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。线性规划是高中数学的重要内容。利用线性规划知识，不仅可以解决与线性约束条件有关的问题，还可以解决生活中的最优化等一系列问题。因此，线性规划知识具有广泛的实用性。

一、利用线性规划知识解决直线与线段相交问题

与直线或线段有关的问题，通常与线性约束条件有关，因此常常可以利用线性规划知识求解。

例1、已知点A（1，1）和点B（－2，5），若直线l:y=ax−1与线段AB相交，求a的取值范围。

分析：如果直接联立直线与线段的方程求解，需要考虑线段的自变量范围，这种解法有一定的难度。

[一般解法]利用数形结合思想求解。首先，在平面直角坐标系中作出点A、点B和直线l的图象，显然，直线l:y=ax−1经过定点C （0，-1），易得直线AC的斜率k1=2,直线BC的斜率k2=−3,直线l:y=ax−1要与线段AB相交，其斜率a必须大于k1=2，或小于k2=

−3，故a 的取值范围是(−∞,−3]∪[2,+∞)。

这种解法体现了数形结合思想，要求学生会作图，对直线的斜率有关性质非常熟练，有一定难度。

[快速解法]利用线性规划知识求解。直线l :ax −y −1=0要与线段AB 相交，等价于线段两端点A （1，1）和点B （－2，5）分别在l :y =ax −1的异侧，

等价于(a ?1−1−1)与[a ?(−2)−5−1]异号，

等价于(a ?1−1−1)?[a ?(−2)−5−1]=−2(a −2)(a +3)≤0, 故a 的取值范围是(−∞,−3]∪[2,+∞)。

这种解法比较简便，采用了等价转化思想方法，线性规划知识在解题中的运用体现得淋漓尽致。

二、利用线性规划知识解决不等式难题

有些问题，如果单独考察个体范围，较易出错。而注意各部分之间的整体联系，进行整体换元，等价转化，再利用线性规划知识求解，就容易得解。

例2、已知21≤-≤b a ①，且42≤+≤b a ②，求b a 24-的范围。

[错解]由21(①+②)得：323≤≤a ③， 由21(①+②⨯（－1）)得：230≤≤b ④

③⨯4＋④⨯（－2）得：12243≤-≤b a 。

这个答案是错误的，产生错误的原因是单独求a 与b 的范围时采用了非同解变形，扩大了a 与b 的取值范围，从而造成错误。

[正解]令a −b =x ,a +b =y ,4a −2b =z , 则a =x +y 2,b =

y−x 2,z=3x+y，原题转化为当{1≤x≤2

2≤y≤4

时，求z=3x+y的取值范围。这是线性规划问题。易知，平移直线l:3x+y=0,当它经过点（1，

2）和（2，4）时，z分别取到最小值z=5和最大值z=10。故5≤z≤10,即b

a2

4 的范围是[5，10]。

本题解法采用了整体换元方法，将原命题转化为线性规划问题，体现了变换与转化的思想。有时，转变思路，换一个角度看问题，常常可以取得意想不到的效果。

三、利用线性规划知识解决实际生活问题

数学来源于生活。线性规划知识与现实生活是密切相关的。生活中的与两个变量有关的问题，常常可以通过建立线性规划模型求解。

例3、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，求你父亲在离开家之前能得到报纸的概率。

分析：本题的关键是找出“送报人到达的时间”和“你父亲去上班时间”两个变量之间的关系，再利用线性规划知识求解。

[解] 记“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，

如图所示，右上角的小正方形区域内任一点的横坐标x

表示送报人到达的时间，纵坐标y表示你父亲去上班时间。

你父亲要拿到报纸，即送报的时间x要小于你父亲在离开家

的时间y，即y≥x。因此{6.5≤x≤7.5

7≤y≤8

y≥x

,该不等式组对应的区域

四、利用线性规划知识解决字母系数问题

当题设中含有字母系数时，题目的难度就加大了，学生往往对此感到困难，需转化为熟知的问题求解。

例4、若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b

为横坐标、纵坐标的点(,)P a b 所构成的平面区域的面积等于______。

分析：本题的关键是理解题意，找出两个变量a ,b 所满足的条件，由此得出点(,)P a b 所构成的平面区域。

[解]如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，令z =ax +by，依题意得，

要使1≤+by ax 恒成立，当且仅当z =ax +by的最大

值

小于或等于1，而z =ax +

区域 的顶点,,A O B 处取到，因此，只须点A （0，1）、O （0，0）

及B （1，0）的坐标都满足不等式1≤+by ax ，即得{0≤a ≤10≤b ≤1

， x y

所以点(,)P a b 所构成的平面区域是边长为1的正方形，其面积等于1。

本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，通过等价转化，将所求问题转化为两个变量a ,b 满足的线性约束条件对应的可行域面积，从而得解。

五、利用线性规划知识解决非线性目标函数的求值问题

近年来，在高考中常常出现目标函数是非线性函数的求值问题。这类题型要充分考虑目标函数的几何意义，再结合数形结合思想才能解决，对学生的能力要求比较高，主要考察的是等价转化思想和数形结合思想。

例5、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，

（1）求y z x =的取值范围； （2）求22z x y =+的最小值。（3）求z =|x +y |的最小值。

分析：本题难点是目标函数为非线性函数，需要结合目标函数的几何意义求解。

[解] （1）y z x

=可以看作是可行域内的点P （x ，y ）

与原点O （0，0）连线的斜率，当直线OP 过点（52，92

） 时，y z x

=取得最小值95；当直线OP 过点（1，6）时， y z x =取得最大值6。故

y z x =的取值范围[95，6] （2）22z x y =+可以看作是可行域内的点P （x ，y ）与原点O （0，0）的距离的平方。根据图象可知，可行域内的点（1，3）与原点距