将军饮马模型(终稿)

将军饮马模型

一、背景知识：

【传说】

早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦•一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它. 从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.

【问题原型】将军饮马造桥选址费马点

【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；

三角形两边三边关系；轴对称；平移；

【解题思路】找对称点，实现折转直

、将军饮马问题常见模型

1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小

例1 :在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点最小.

作法：连接AB，与直线I的交点Q ,

Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处, PA+PB最小，且最小值等于AB.A与B的距离之和最小，即PA+PB

I

原理：两点之间线段最短。

证明：连接AB ,与直线l 的交点Q , P 为直线l 上任意一点，

在"PA 中，由三角形三边关系可知：

AP+PB 仝AB （当且仅当3Q 重合时取=）

例2 :在定直线I 上找一个动点P ,使动点P 到两个定点A 与B 的距离之和最小,

作法：作定点B 关于定直线I 的对称点C,连接AC,与直线I 的交点Q 即为所要寻找的点, 即当动点P 跑到了点Q 处，PA+PB 和最小，且最小值等于 AC. 原理：两点之间，线段最短

证明：连接AC ，与直线I 的交点Q ，P 为直线I 上任意一点,

在"PA 中，由三角形三边关系可知：

AP+PC ^\C （当且仅当PQ 重合时取=）

2.两动一定型

例3:在/ MON 的内部有一点 A ，在0M 上找一点B ,在ON 上找一点 C ,使得△ 作法：作点A

关于0M 的对称点A ',作点A 关于ON 的对称点A ''，连接A ' A '', 与0M 交于点B ，与ON 交于点C ,连接AB , AC ,△ AB 即为所求

.

BA 周

长最短.

关键：找对称点

原理：两点之间，线段最短

例4 :在/ MON勺内部有点A和点B，在0M上找一点C,在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短.

作法：作点A关于OM的对称点A',作点B关于ON的对称点B'，连接A' B '，与OM交于点C,与ON交于点D，连接AC , BD, AB,四边形ABCD即为所求.

原理：两点之间，线段最短

3.两定两动型最值

例5:已知A、B是两个定点，在定直线I上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d （动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB 的值最小.

提示：存在定长的动点冋题一定要考虑平移

作法一：将点A向右平移长度d得到点A',作A'关于直线I的对称点A''连接A'' B, 交直线I于点N，将点N向左平移长度d ,得到点

作法二：作点A关于直线I的对称点A i,将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B , 交直线I于点Q,将点Q向左平移长度d ,得到点Q。

原理：两点之间，线段最短，最小值为A'' B+MN

例6:（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？

例8 :在定直线I 上找一个动点P ,使动点P 到两个定点A 与B 的距离之差最小，即PA-PB

最小.

作法：连接AB ，作AB 的中垂线与I 的交点，即为所求点

此时 | PA-PB |=0

原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

例9 :在定直线I 上找一个动点 C ,使动点C 到两个定点A 与B 的距离之差最大，即|PA-PB

|最大

作法：延长BA 交I 于点C ,点C 即为所求,

即点B 、A 、C 三点共线时，最大值为

原理：三角形任意两边之差小于第三边

例10 :在定直线I 上找一个动点C,使动点C 到两个定点A 与B 的距离之差最大，即I PA-PB |

最大

A

作法：作点B 关于I 的对称点B ,连接AB ，

AB 的长度。

中BCAB = 6 , AD丄BC, E是AC上的一点，M 是AD上的一点,

解：点C关于直线AD的对称点是点B，连接BE,交AD于点M，则ME+MD 最小,

过点B作BH丄AC于点H ,

贝U EH = AH -AE = 3 -2 = 1 , BH = \ BC2 - CH 2

在直角△BHE, BE = BH2 + HE 2 = ''（3 ；3）2 + 1 2= 2 “ 7

I

2 .如图「在锐角SBC中，AB= 祐・zBAC = 45\zBACBC^D. M. N分别星AD和AB上的动点, 则BMkMN的最小值是—,

解：作点吕关于AD的对称总B',

过扁B•作B E丄AB于眾E,交AD于庶F「则拔段B'E的氏就是BM + 的最小倩

枉尊腰RKAEB'中』

根据勾般定理得^.BE-4

耳+如囲「-A0C中,AB=2 . ZSAC=3O D「若在A£, A0上昔取一庶M, N r ffi BM+MN的

值垠小,则逊W小值

典型例题三角形

且AE = 2，求EM+EC 的最小值

S!l BN = MB'+MN =MB+MN

B N的罠就昼MB+MN的命小値

JSSzB'AN = 2zBAC= 60fl r AB' = AB = 2 . zANB'= 90° .B・=30\