简谐运动的对称性问题

简谐运动的对称性问题

简谐运动的四个二 两种特性对称性和周期性 两类图像 运动示意图和简谐运动图像两组物理量 位移力加速度势能 速度动能， 两个定律牛顿第二定律和能量守恒定律

1. 用运动示意图和简谐运动图像分析运动学量的对称性和周期性

例题1. 如图1所示，一质点在平衡位置O 点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O 出发向最大位移A 处运动过程中经0.15s 第一次通过M 点，再经0.1s 第2次通过M 点。则此后还要经多长时间第3次通过M 点，该质点振动的频率为多大？

图1

解析：由于质点从M →A 和从A →M 的时间是对称的，结合题设条件可知M →A 所需时间为0.05s ，所以质点从平衡位置O →A 的时间为

，又因为

，所以质点的振动周期为T ＝

0.8s ，频率。 根据时间的对称性可知M →O 与O →M 所需时间相等为0.15s ，所以质点第3次通过M 点所需时间为

例题2. 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法是…（ ）

A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍

B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于2T 的整数倍

C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等

D ．若Δt ＝2

T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹簧的长度一定相等 解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置．

对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错．

对于B 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处运动速度大小相等，方向相反，但经过的时间不是2

T ，可见选项B 错． 由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选

项C 正确．

对于选项D ，振子由B 经过O 运动到C 时，经过的时间为2

T ，但在B 、C 两处弹簧长度不等，选项D 错．正确答案选C ．

解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可见，A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 点与B 、F 等点对应的时刻差不为T 或T 的整数倍，因此选项A 不正确．用同样的方法很容易判断出选项B 、D 也不正确．故只有选项C 正确．

说明：比较两时刻的振动情况或根据两时刻的振动情况确定两时刻间的时间间隔跟周期的关系时，借助振动图象可以较方便而准确地作出判断．

练习1、一质点在平衡位置O 附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s 质点第一次通过M 点，再经0.1 s 第二次通过M 点，则质点振动周期的可能值为多大？ 通过上述例题的学习，我们了解了简谐运动的周期性和对称性，下面让我们通过演示再来巩固一下。

解：将物理过程模型化，画出具体化的图景如图－2－8所示.设质点从平衡位置O 向右运动到M 点，那么质点从O 到M 运动时间为0.13 s ，再由M 经最右端A 返回M 经历时间为0.1 s ，如图－2－9所示

.

另一种可能就是M 点在O 点左方，如图－2－10所示，质点由O 点经最右方A 点后向左经过O 点到达M 点历时0.13 s ，再由M 点向左经最左端A ′点返回M 点历时

0.1 s.

B O

D C 图1 A 图2 B

E

F I t C D

G

H O

s

根据以上分析，质点振动周期存在两种可能性.

如图－2－9所示，可以看出O →M →A 历时0.18 s ，根据简谐运动的对称性，可得到

T ＝4×0.18 s ＝0.72 s

另一种可能如图－2－10所示，由O →A →M 历时

t

＝0.13 s ，由M →A ′历时

t ＝0.05 s.设M →O 历时t ，则4(t ＋

t

)＝

t ＋

2t

＋t.解得t ＝0.01 s ，则

T ＝4(t ＋t )＝0.24 s.

所以周期的可能值为0.72 s 或0.24 s.

故答案为：0.72 s 或0.24 s

练习2、 如图5所示是一水平弹簧振子在5s 内的振动图象。从图象中分析，在给定的时间内，以0.5s 为起点的哪段时间内，弹力所做的功为零。

图5

解析：由速度的对称性可知，图5中与0.5s 具有相同速率的时刻为1.5s 、2.5s 、3.5s 、4.5s 。结合动能定理可知，从0.5s 到以上时刻所对应的时间内弹力所做的功均为零。

2. 牛顿第二定律 分析有关位移、回复力、加速度的对称性问题

例题3、 物体A 与滑块B 一起在光滑水平面上做简谐振动，如图所示，A 、B 之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数k ，A 、B 的质量分别m 和M ，则A 、B

（看成一个振子）的回复力由 提供，回复力跟位移的比

为 ，物体A 的回复力由 提供，其回复力跟位移的比

为 ，若A 、B 之间的静摩擦因数为μ，则A 、B 间无相对滑动的最大振幅为 ．

解析：因水平面光滑，平衡位置在弹簧原长处．

（A ＋B ）作为整体，水平方向只受弹簧弹力，故Kx F -=，由牛顿第二定律得：a m M F )(+=，x m

M k a +-=． 对于A 物体，水平方向只受B 对A 的静摩擦力F f ，故F f 即为A 的回复力．由于A 、B 间无相对滑动，所以任何时候A 与B 的位移x 和加速度a 都相同，故有kx F -=和 B A