简谐运动的对称性问题

简谐运动的对称性问题简谐运动的四个二 两种特性对称性和周期性 两类图像 运动示意图和简谐运动图像两组物理量 位移力加速度势能 速度动能， 两个定律牛顿第二定律和能量守恒定律1. 用运动示意图和简谐运动图像分析运动学量的对称性和周期性例题1. 如图1所示，一质点在平衡位置O 点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O 出发向最大位移A 处运动过程中经0.15s 第一次通过M 点，再经0.1s 第2次通过M 点。

则此后还要经多长时间第3次通过M 点，该质点振动的频率为多大？图1解析：由于质点从M →A 和从A →M 的时间是对称的，结合题设条件可知M →A 所需时间为0.05s ，所以质点从平衡位置O →A 的时间为，又因为，所以质点的振动周期为T ＝0.8s ，频率。

根据时间的对称性可知M →O 与O →M 所需时间相等为0.15s ，所以质点第3次通过M 点所需时间为例题2. 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法是…（ ）A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于2T 的整数倍C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等D ．若Δt ＝2T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹簧的长度一定相等 解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置．对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错．对于B 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处运动速度大小相等，方向相反，但经过的时间不是2T ，可见选项B 错． 由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选项C 正确．对于选项D ，振子由B 经过O 运动到C 时，经过的时间为2T ，但在B 、C 两处弹簧长度不等，选项D 错．正确答案选C ．解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可见，A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 点与B 、F 等点对应的时刻差不为T 或T 的整数倍，因此选项A 不正确．用同样的方法很容易判断出选项B 、D 也不正确．故只有选项C 正确．说明：比较两时刻的振动情况或根据两时刻的振动情况确定两时刻间的时间间隔跟周期的关系时，借助振动图象可以较方便而准确地作出判断．练习1、一质点在平衡位置O 附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s 质点第一次通过M 点，再经0.1 s 第二次通过M 点，则质点振动周期的可能值为多大？ 通过上述例题的学习，我们了解了简谐运动的周期性和对称性，下面让我们通过演示再来巩固一下。

解：将物理过程模型化，画出具体化的图景如图－2－8所示.设质点从平衡位置O 向右运动到M 点，那么质点从O 到M 运动时间为0.13 s ，再由M 经最右端A 返回M 经历时间为0.1 s ，如图－2－9所示.另一种可能就是M 点在O 点左方，如图－2－10所示，质点由O 点经最右方A 点后向左经过O 点到达M 点历时0.13 s ，再由M 点向左经最左端A ′点返回M 点历时0.1 s.B OD C 图1 A 图2 BEF I t C DGH Os根据以上分析，质点振动周期存在两种可能性.如图－2－9所示，可以看出O →M →A 历时0.18 s ，根据简谐运动的对称性，可得到T ＝4×0.18 s ＝0.72 s另一种可能如图－2－10所示，由O →A →M 历时t＝0.13 s ，由M →A ′历时t ＝0.05 s.设M →O 历时t ，则4(t ＋t)＝t ＋2t＋t.解得t ＝0.01 s ，则T ＝4(t ＋t )＝0.24 s.所以周期的可能值为0.72 s 或0.24 s.故答案为：0.72 s 或0.24 s练习2、 如图5所示是一水平弹簧振子在5s 内的振动图象。

从图象中分析，在给定的时间内，以0.5s 为起点的哪段时间内，弹力所做的功为零。

图5解析：由速度的对称性可知，图5中与0.5s 具有相同速率的时刻为1.5s 、2.5s 、3.5s 、4.5s 。

结合动能定理可知，从0.5s 到以上时刻所对应的时间内弹力所做的功均为零。

2. 牛顿第二定律 分析有关位移、回复力、加速度的对称性问题例题3、 物体A 与滑块B 一起在光滑水平面上做简谐振动，如图所示，A 、B 之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数k ，A 、B 的质量分别m 和M ，则A 、B（看成一个振子）的回复力由 提供，回复力跟位移的比为 ，物体A 的回复力由 提供，其回复力跟位移的比为 ，若A 、B 之间的静摩擦因数为μ，则A 、B 间无相对滑动的最大振幅为 ．解析：因水平面光滑，平衡位置在弹簧原长处．（A ＋B ）作为整体，水平方向只受弹簧弹力，故Kx F -=，由牛顿第二定律得：a m M F )(+=，x mM k a +-=． 对于A 物体，水平方向只受B 对A 的静摩擦力F f ，故F f 即为A 的回复力．由于A 、B 间无相对滑动，所以任何时候A 与B 的位移x 和加速度a 都相同，故有kx F -=和 B Ax m M mk ma F f +-==，k m M m K +=．当mg F F f f μ=→max 时，m a x x x →，kg m M x )(max +=μ． 例题4、（2005年海淀区试题）如图所示，轻弹簧下端固定在水平地面上，弹簧位于竖直方向，另一端静止于B 点．在B 点正上方A 处，有一质量为m 的物块，物块从静止开始自由下落．物块落在弹簧上，压缩弹簧，到达C 点时，物块的速度为零．如果弹簧的形变始终未超过弹性限度，不计空气阻力，下列判断正确的是（ ）A ．物块在B 点时动能最大B ．从A 经B 到C ，再由C 经B 到A 的全过程中，物块的加速度的最大值大于gC ．从A 经B 到C ，再由C 经B 到A 的全过程中，物块做简谐运动D ．如果将物块从B 点静止释放，物块仍能到达C 点解析：物块与弹簧接触后，在弹力等于重力之前仍向下做加速运动，故物块在B 点的速度、动能都未能达到最大，可见选项A 错；若将物块从B 处由静止释放，则此时加速度最大为g ，由振动的对称性知，物块下降到最低点时向上的加速度大小也为g ，今从A 处释放，到达B 时已具有一定的初速度，故所能下降的最低点肯定在由B 释放时所能达到的最低点之下，弹簧向上的弹力大于由B 处释放时的情况，此时的加速度大于g ，即选项B 正确，且也知D 错误；另外，由于物块在A 、B 间运动时受恒定的重力作用，不符合简谐运动的动力学特征kx F -=，故其振动不是简谐运动，可见选项C 错误．答案：B ．例题5. 如图4所示，轻弹簧（劲度系数为k ）的下端固定在地面上，其上端和一质量为M 的木板B 相连接，在木板B 上又放有一个质量为m 的物块P 。

当系统上下振动时，欲使P 、B 始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？图4解析：从简谐运动的角度看，木板B 和物块P的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力，即；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度a ，即，由以上两式可解为。

当P 和B 在平衡位置下方时，系统处于超重状态，P 不可能和B 分离，因此P 和B 分离的位置一定在上方最大位移处，且P 和AB CB一起运动的最大加速度。

由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为，所以轻弹簧的最大压缩量应满足关系式，即得。

练习3、如图8，用质量不计的弹簧把质量为3m的木板A与质量为m的木板B连接组成如图所示的装置，B板置于水平地面上，现用一竖直向下的力F向下压木板A，撤消F后，B 板恰好被提离地面，由此可知力F的大小是（）图8A. 7mgB. 4mgC. 3mgD. 2mg解析：没撤去力F时，物体A静止，所受合力为零，把力F撤去，物体A受合力大小为F，方向向上，开始向上振动，所以最大回复力为F，根据力大小的对称性，A振动到最高点时，回复力大小也为F，对物体A在最高点进行受力分析：重力3mg和弹簧的弹力F”，合力为F。

即；再对物体B进行受力分析，B恰好被提离地面可得：，所以力F的大小为4mg。

选项B正确。

练习4、如图所示，在光滑的水平面上，有一绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程中当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此后……………（）A．振子的振幅将增大B．振子的振幅将减小C．振子的振幅将不变D．因不知电场强度的大小，所以不能确定振幅的变化解析：未加电场时，振子的平衡位置在弹簧原长处，振子的振幅大小为释放处与弹簧原长处之间的距离．加电场后，振子平衡位置右移，振幅大小等于释放振子处与新的平衡位置间的距离，可见加电场后振子的振幅将增大，即选项A对．注：若改为“振动未过程中当弹簧伸长到最长时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场”展开讨论．练习5、 劲度系数为k 的轻质弹簧，下端挂一个质量为m 的小球，小球静止时距地面高为h ，用力向下拉小球，使小球与地面接触，而后从静止放开小球（弹簧始终在弹性限度以内），则…………………（ ACD ）A ．球在运动过程中距地面的最大高度为2hB ．球在上升过程中弹性势能不断减小C ．球距地面高度为h 时，速度最大D ．球在运动过程中的最大加速度是kh/m解析：首先证明其运动为简谐运动，由平衡时mg ＝kx 0（x 0为弹簧伸长量）和下拉h 后弹力)(01h x k F +-=，（取竖直向下为正）回复力mg F F +=1kh mg h x k -=++-=)(0，符合简谐运动条件，振幅为h x h x =-+00，由简谐运动的对称性可知，A 正确．球在上升过程中在弹簧恢复原长之前弹性势能减小，但在弹簧原长时若小球还有向上速度，小球将继续压缩弹簧，故B 只是一种可能，由于一开始为平衡位置，故C 正确，由max ma F =，故D 正确．练习6、如图6所示，在质量为M 的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为的A 、B 两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A 、B 间细线，此后A 将做简谐运动。

当A 运动到最高点时，木箱对地面的压力为（）图6 A. Mg B. C. D.解析：剪断细线后的瞬间，弹簧对A 的弹力为，所以A 受到向上的合外力（回复力）为mg 。

当A 运动到上方最大位移处时，由于简谐运动的回复力的对称性，A 将受到竖直向下的合外力（回复力），其大小仍为mg ，也就是说，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力为Mg 。