求二次函数解析式的几种方法

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2015年秋季九年级数学辅导资料

第二讲函数图像性质及应用

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二次函数的图象与基本性质

（一）、知识点回顾

【知识点一：二次函数的基本性质】

【知识点二：抛物线的图像与a 、b 、c 关系】

（1） a 决定抛物线的开口方向：a>0，开口向 ________ ；a<0，开口向 ________ （2） c 决定抛物线与 ________的位置：c>0，图像与y 轴的交点在___________；

c=0，图像与y 轴的交点在___________；c<0，图像与y 轴的交点在___________；

（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：___________； （4）△＝b 2－4ac 决定抛物线与________交点情况：

△＝b 2－4ac ⎪⎩

⎪

⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000

【知识点三：二次函数的平移】

设0,0>>n m ，将二次函数2

ax y =向右平移m 个单位得到___________；向左平移m 个单位得到___________；向上平移n 个单位得到___________；向下平移n 个单位得到___________。简单总结为___________，___________。

（注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作）

【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当0=y 时，即变为一元二次方程

)0(02≠=++a c bx ax ，从图象上来说，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的

交点的横坐标x 的值就是方程)0(02≠=++a c bx ax 的根。 【知识点五：二次函数解析式的求法】

（1） 知抛物线三点，可以选用一般式：c bx ax y ++=2，把三点代入表达式列三元一次

方程组求解；

（2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：k h x a y +-=2

)(；其中抛

物线顶点是),(k h ；

（3） 知抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x 可选用交点式：

)

)((21x x x x a y --=，特别：此时抛物线的对称轴为直线

)(2

1

21x x x +=

（二）、感悟与实践

例1：（1）求二次函数y ＝x 2－4x ＋1的顶点坐标和对称轴.

（2）已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当___________时，y 随x 的增大而增大；当x ＝________时，y 有_________值是___________．

变式练习1-1：二次函数y ＝－x 2＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，求其最大值．

例2

（1）

（2）b2－

（3）

（4）

变式练习2-1

果：

①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是（）

A、①②③④

B、②④⑤

C、②③④

D、①④⑤

变式练习2-2：已知二次函数的图像如图3所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）

C D

例3：（2012•广州）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）

A．y=x2﹣1B．y=x2+1C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）

变式练习3-1：（2012泰安）将抛物线2

3

y x

=向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）

A．2

3(2)3

y x

=++B．2

3(2)3

y x

=-+

2

y ax bx c

=++y bx c

=+

a

y

x

=

C ．23(2)3y x =+-

D ．23(2)3y x =--

例4：二次函数22y x x k =-++的部分图象如图4所示，则关于x 的一元二次方程

220x x k -++=的一个解13x =，另一个解2x =（ ）

A 、1

B 、1-

C 、2-

D 、0

变式练习5-1：（2009广州25）如图6，二次函数（）的图象与轴

交于两点，与轴交于点，的面积为． （1）求该二次函数的关系式；

二次函数的性质的综合应用 例1. 已知抛物线y x x =+-

1212

2

（或223y x x =--） （1） 把它配方成2

()y a x h k =++的形式；

（2） 写出抛物线的开口方向，顶点M 的坐标、对称轴方程；

(3)求函数的最大值和最小值，并求出相应的自变量的值 。

2

y x px q =++0p

ABC △5

4

(4)当-2

（4） 当1

（6）求出与y 轴交点N 的坐标及与x 轴的交点P,Q 的坐标（点P 在点Q 的左边）

（7）作出函数的大致图像

（8当x 取何值时，函数值y 随x 增大而增大，y 随x 值的增大而减小；

（9）图像过点A （2-，1y ）、B （0，2y ）、C （6，3y ）、D （4，4y ）比较1y ，2y ，3y ，4y 的大小

（10）观察图象，当x 取何值时，y y y >=<000，，；

（11）当x 取何值时，y<2;

（12）求△PQM 的面积。

（13）求四边形PQMN 的面积

例2. 已知抛物线2222y x kx k k =-++-，根据下列条件，求k 的值。 (1) 抛物线过原点；

(2) 顶点在x 轴上；

(3) 顶点在y 轴上；

(4)

顶点在y 轴左侧；