专训2 三线合一解题的六种技巧

专训2 “三线合一”解题的六种技巧

名师点金：等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．

利用“三线合一”求角

1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度

数．

(第1题)

利用“三线合一”求线段

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝10，且△BDC的周长为24，求AE的

长．

(第2题)

利用“三线合一”证线段(角)相等

的中点．BC为D，AC＝AB，90°＝BAC中，∠ABC．已知△3．

(1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由．

(2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍有BE＝AF.请判断△DEF是否仍有(1)中的形状，并说明理

由．

(第3题)

利用“三线合一”证垂直

4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB ⊥AB.

(第4题)

利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)

5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD 交BF的延长线于点D.试说明：BF＝2CD.

)

题5第(

利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)

6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.

(第6题)

答案

1．解：因为AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，所以∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.

2．解：因为△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝24，BC＝10，所以BD＋CD＝14.

∵AD＝BD，

∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝14.

，AB⊥DE，DB＝14.AD＝AC＝AB又∵．

1∴AE＝EB＝AC＝7.

23．解：(1)△DEF为等腰直角三角形．理由：连接AD，易证△BDE≌△ADF，

∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，

又∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

D为BC的中点，

∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.

∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.

∴△DEF为等腰直角三角形．

(2)是，理由略．

14．证明：如图，过点E作EF⊥AC于F.∵AE＝EC，∴AF＝AC. 21又∵AB＝AC，∴AF＝AB.

2∵AD平分∠BAC，

∴∠FAE＝∠BAE.又∵AE＝AE，

∴△AEF≌△AEB(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.

(第4题)

5．解：如图，延长BA，CD交于点E.

(第5题)

∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD，

∴△BDC≌△BDE.

∴BC＝BE.

又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.

∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.

又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，

∴△ABF≌△ACE(ASA)．

∴BF＝CE.

故BF＝2CD.

6．解：如图，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.

)

题6第(

又因为AD⊥BC，所以AD是BE边上的中线，即DE＝BD.

又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.

而∠AEB＝180°－∠AEC＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB，故CD＝CE ＋DE＝AB＋BD.