三角函数问题的常见错解分析
结合本人教学实践,浅析学生在学习
结合本人教学实践，浅析学生在学习三角函数的图形与性质中的常见典型错误与矫正策略由于三角函数一章的性质多样，图象变换复杂，再加上运用公式进行恒等变形所带来的定义域的改变，常常会引起解题的失误，下面就一些常见问题进行分析。
例1、求函数)32tan(π-=x y 的对称中心。
错解：该函数图象与x 轴的交点为对称中心，由ππk x =-32得对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,62ππk 。
正解：图象以及渐近线与x 轴的交点为对称中心，由232ππk x =-得对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,64ππk 。
例2、求函数xx y 2tan 1tan 2-=的周期。
错解：因为x x x y 2tan tan 1tan 22=-=，所以所求函数的周期为2π。
正解：所求函数应化为⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠=22tan ππk x x y ，画出图象（注意挖去⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk ），则可得所求函数的周期为π。
例3、求函数x y tan =的周期。
错解：因为x y tan =的周期为π，所以x y tan =的周期为2π。
正解：由图象可知，x y tan =的周期仍为π。
例4、求函数()21sin +=x x f 的周期。
错解：因为x sin 周期为2π，所以()21sin +=x x f 的周期为π。
正解：由图象可知，()21sin +=x x f 的周期仍为2π。
例5、求函数()x x x f tan cot -=的周期。
错解：因为函数x cot 和函数x tan 的周期均为π，所以()x f 的周期为π。
正解：因为()⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=-=22cot 2cos sin sin cos πk x x x x x x x f ，所以()x f 的周期为2π 例6、判断函数()xx x x x f cos sin 1cos sin 1-+++=的奇偶性。
错解：该函数可化简为2cot x y =，所以所求函数为奇函数。
高中必修1-5错误解题分析系列-《3.2三角函数基本关系式与诱导公式》
3.2三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学1．同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：αααcos sin tan =；倒数关系：1cot tan =⋅αα 同角三角函数的基本关系式可用图表示（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方； （2）对角为倒数关系；（3）每个三角函数为相邻两函数的积.诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3．诱导公式解决常见题型（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识导析1．三角变换的常见技巧“1”的代换；ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cos sin 22=+αα）；2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；3．已知角α的某个三角函数值，求角α的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围. 三、典型例题导讲 [例1]已知=∈=+θπθθθcot 051cos sin ），则，（，__________错解：两边同时平方，由，与51cos sin 2512cos sin =+-=⋅θθθθ得57cos sin 2549cos sin 4)cos (sin cos sin 4cos cos sin 2sin )cos (sin 2222±=-∴=-+=-+⋅+=-θθθθθθθθθθθθθθ ∴.cot 53cos 54sin θθθ，进而可求，-==解得：43cot -=θ 或.cot 54cos 53sin θθθ，进而可求，=-=解得：34cot -=θ 错因：没有注意到条件),0(πθ∈时，由于0cos sin <⋅θθ 所以θθcos sin -的值为正而导致错误.正解： ），，（，πθθθ051cos sin ∈=+ 两边同时平方，有联立，与51cos sin 02512cos sin =+<-=⋅θθθθ 求出，，53cos 54sin -==θθ∴43cot -=θ [例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、B 为锐角且a ＞1,0＜b ＜1，求tanA 的值 错解：由⎩⎨⎧== ② ①B b A B a A cos cos sin sin 得tan A=batan B 错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示正解：由⎩⎨⎧== ② ①B b A B a A cos cos sin sin ①2+②2得a 2sin 2B+b 2cos 2B=1∴cos 2B=2221b a a -- ∴sin 2B=2221b a b -- ∴tan 2B=1122--a b∵B 为锐角 ∴tan B=1122--a b②①得tan A=b a tan B =1122--a b b a [例3]（05年高考重庆卷）若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(xx a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值..15,.444111sin ),sin(441sin 2cos 212cos2sin cos 4cos 2)(:2222±==++=++=+=+=a a ax a x ax xx a x x x f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ点评：本试题将三角函数“απαπ-+,2”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础. [例4] （05年高考北京卷）已知tan2α=2，求（1）tan()4πα+的值； （2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．解：（1）∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+； （2）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. [例5]化简：)()414cos()414sin(z n n n ∈-++--απαπ错解：原式)]4(cos[)]4(sin[αππαππ-+++-=n n)4cos()4sin(απαπ--+=)4cos()]4(2sin[απαππ----=0)4cos()4cos(=---=απαπ错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误. 正解：原式)]4(cos[)]4(sin[αππαππ-+++-=n n（1）当)(12z k k n ∈+=，时原式)]4(2sin[απππ+-+=k +)]4(2cos[απππ-++k )4sin(απ+=)4cos(απ--)4cos(απ-=)4cos(απ--=0（2）当)(2z k k n ∈=，时 原式)]4(2sin[αππ+-=k +)]4(2cos[αππ-+k)]4sin(απ+-=+)4cos(απ-=0[例6]（05年高考江苏卷）若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97-B ．31-C ．31D ．97错解：⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =)]23(cos[αππ--=)23cos(απ-=1—2)6(sin 2απ-=97错因：诱导公式应用符号错. 正解：⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =)]23(cos[αππ--=—)23cos(απ-=—1+2)6(sin 2απ-=—97.故选A. [例7]．（05年高考福建卷）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （1）求sin x －cos x 的值；（2）求xx xx x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值. 解法一：（1）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x 又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π 故 .57cos sin -=-x x（2）xx x x x x xx x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x解法二：（1）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o s x x x x x π 或 故.57cos sin -=-x x（2）x x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 322++- x x x xsin cos 1sin 2sin 22++-=125108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -=+-⨯⨯-=--=x x x x 点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.[例8] (1)化简： sin 2αsec 2α－1＋1csc cos 22-αα+cos 2αcsc 2α (2)设sin(α+π2)=－14,且sin2α＞0求sinα,t an α解：原式=sin 2αtan 2α＋cos 2αcot 2α+cos 2αcsc 2α=cos 2α+sin 2α+cos 2αcsc 2α①②=1+cot 2α=csc 2α(2)解：由sin(α+π2 )=-14 ∴cosα=- 14∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+πkπ＜α<kπ+π2(k∈z) ∴α为第一象限或第二象限的角∵cosα=- 14＜0 ∴α为第三角限角sinα=-1－cos 2α＝154 tan α= sin αcos α= 15点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的探讨.[例9] 求函数y x x =-+162sin 的定义域. 解：由题意有 2244k x k x πππ≤≤+-≤≤⎧⎨⎩(*)当k =-1时，-≤≤-2ππx ；当k =0时，0≤≤x π； 当k =1时，23ππ≤≤x∴函数的定义域是[][]--40，，ππ点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数. [例10] （05年高考天津卷） 已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求. 解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027α-α=π-α= 即57cos sin =α-α ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α=故51sin cos -=α+α ②由①式和②式得 54cos ,53sin -=α=α.因此，43tan -=α，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan 313tan )4tan(-=+-=+-=α-+α=π+α 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得α-=α=2sin 212cos 257解得53sin ,259sin 2±=α=α即 由57cos sin ,1027)4sin(=α-α=π-α可得 由于057sin cos ,0cos 57sin <-α=α>α+=α且， 故α在第二象限，于是53sin =α.从而5457sin cos -=-α=α（以下同解法一）.点评：ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cos sin 22=+αα），在求值过程中要注意符号的讨论. 四、典型习题导练1． 当0＜x ＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为( ) A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,6лл B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,3лл C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫3л D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫32л 2．（05年高考全国卷Ⅰ）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是A ．①③ B.②④ C.①④ D.②③3．（05年全国卷Ⅲ）设02x π≤≤,sin cos x x =-,则A. 0x π≤≤B. 744x ππ≤≤C. 544x ππ≤≤D. 322x ππ≤≤4．函数y x =+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥sin()πππ222在，上是（）A. 增函数B. 减函数C. 偶函数D. 奇函数5．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 6．已知，且，则的值为sin cos cos sin θθπθπθθ⋅=<<-18427．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x ． (1) 求f (4π)的值； (2) 设α∈(0，π)，f (2α)sin α的值． 8．（05年高考湖南卷）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小. 9．（06年高考安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=- （1）求tan α的值；（2）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。
三角函数易错点总结
三角函数易错点总结三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考中的必考知识点。
然而，由于三角函数涉及的概念、公式较多，且运算较为复杂，同学们在学习和解题过程中常常会出现各种错误。
下面就为大家总结一下三角函数中的易错点。
一、概念理解不清1、象限角与终边相同角的概念混淆象限角是指角的终边落在哪个象限，而终边相同角是指具有相同终边的角。
例如，角α与角β的终边相同，则β ＝α ＋k×360°（k∈Z）。
很多同学在判断角所在象限时，容易忽略终边相同角的情况，导致出错。
2、弧度制与角度制的换算错误弧度制与角度制的换算公式为：180°＝π 弧度。
在进行换算时，要注意系数的转换。
有些同学容易将换算公式记错，或者在计算过程中出现粗心大意的情况。
3、三角函数的定义理解不准确三角函数的定义是在单位圆中给出的，例如正弦函数sinα ＝ y/r，余弦函数cosα ＝ x/r，正切函数tanα ＝ y/x。
在运用定义解题时，要注意坐标的正负以及 r 的取值为 1。
有些同学在计算时容易忽略这些细节，导致结果错误。
二、公式运用错误1、同角三角函数基本关系式的运用错误同角三角函数的基本关系式有：s in²α ＋cos²α ＝ 1，tanα ＝sinα/cosα。
在运用这些关系式进行化简、求值时，要注意三角函数值的正负以及分母不为零的情况。
很多同学在解题时，没有考虑到这些条件，从而得出错误的结果。
2、诱导公式的运用错误诱导公式有很多组，记忆时容易混淆。
例如，sin(π α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。
在运用诱导公式时，要注意符号的变化以及角的变化规律。
有些同学在使用诱导公式时，没有正确判断符号，或者记错了角的变化关系，导致计算错误。
3、两角和与差的三角函数公式的运用错误两角和与差的三角函数公式有：sin(α ± β) ＝sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) ＝cosαcosβ ∓ sinαsinβ，tan(α ± β) ＝（tanα ± tanβ)／（1 ∓tanαtanβ)。
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，但是在学习和解题过程中，学生们经常会犯一些错误。
本文将从三角函数解题错误的成因进行分析，并提出相应的解决方法，希望能够帮助学生们更好地理解和掌握三角函数知识。
一、错误成因分析1. 知识理解不够深刻很多学生在学习三角函数时，只是停留在记忆公式和计算值的层面上，对三角函数的本质和特性理解不够深刻。
导致在解题时容易混淆使用不同公式，甚至无法正确运用三角函数的性质进行分析和计算。
2. 概念理解不清晰三角函数中的概念十分重要，如正弦、余弦、正切等概念的理解对于解题至关重要。
但是很多学生对于这些概念的理解不够清晰，容易混淆或者搞混各个概念的具体含义和作用，导致在解题时产生错误。
3. 缺乏实际问题解题能力三角函数在解决实际问题时经常会用到，但是很多学生缺乏实际问题解决的能力，对于实际问题中的三角函数的运用和转化不够熟练，容易在解题时产生错误。
二、解决方法1. 深入理解三角函数的本质和特性在学习三角函数时，不仅仅是记忆三角函数的公式和数值，更重要的是要深入理解三角函数的本质和特性。
要理解正弦、余弦、正切等函数代表的是什么，它们有什么特性和作用，这样才能在解题过程中深入思考，正确运用。
2. 多做概念梳理和归纳要加强对于三角函数概念的理解和应用，在学习过程中要多做概念梳理和归纳，把不同的概念联系起来，归纳出它们的共性和区别，这样才能在解题过程中避免混淆或搞混。
3. 多做实际问题的练习三、例题分析1. 例题一已知∠A是锐角，sinA=cosA，求∠A的度数。
解析：根据已知条件sinA=cosA，可知tanA=1，所以∠A=45°。
错误分析：很多学生在这种题目中容易混淆sinA和cosA的关系，导致无法正确运用三角函数的性质求解。
解决方法：要深入理解sinA、cosA的含义和性质，掌握它们的关系和转化方法，这样在解题时才能正确应用三角函数的性质。
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法高中数学中，三角函数是一个非常重要的内容，也是学生容易出错的地方。
下面我将分析高中数学中三角函数解题错误的成因，并给出相应的解决方法。
错误成因一：对三角函数定义不清楚一些学生在解题时对三角函数的定义不清楚，容易混淆正弦、余弦和正切等概念。
解决方法：在学习三角函数时，应该对每个三角函数的定义进行理解和记忆。
可以通过画图、观察等方式深入理解三角函数的概念。
要多做练习题，巩固对三角函数定义的掌握。
错误成因二：不会运用三角函数的基本性质和公式一些学生知道三角函数的定义，但在解题过程中不会灵活运用三角函数的基本性质和公式，导致解题错误。
解决方法：学习三角函数时，要重点掌握三角函数的基本性质和公式，比如正弦函数的周期、奇偶性等。
在解题过程中，要注意根据题目的条件灵活运用这些性质和公式，化简表达式，从而简化解题过程。
错误成因三：计算错误在解题过程中，一些学生容易发生计算错误，如计算式子时漏项、算错符号等，导致最后结果错误。
解决方法：在解题过程中，要仔细计算，避免粗心导致的计算错误。
可以多次检查计算过程，特别是运算符号的使用是否正确，并在最后将结果代入原方程检验。
错误成因四：题目分析错误一些学生在解题时对题目的条件和要求分析不清楚，导致采用错误的方法或者算错结果。
解决方法：在解题前要对题目的条件和要求进行仔细分析，理清思路，确定解题的方法。
可以在解题过程中进行反向思考，验证得出的结果是否符合题目的条件和要求。
高中数学中三角函数解题错误的成因主要包括对三角函数定义不清楚、不会运用三角函数的基本性质和公式、计算错误以及题目分析错误等。
为了避免这些错误，学生应该加强对三角函数的学习，理解和记忆三角函数的定义，掌握三角函数的基本性质和公式，并在解题过程中仔细计算、深入分析题目要求。
只有不断练习和掌握解题的技巧，才能在高中数学中取得好的成绩。
三角函数错解剖析
四边 形们 晒
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一 ５。
【 分析 】 １观 察 图形 我 们很 （）
容易得 出 △Ｄ Ｆ一 △ Ｃ Ｆ， 后 Ｅ Ｇ 然 根 据 比例 关 系 即 可求 出 Ｆ 的 Ｃ 长 ；２ 要 求 裁 出矩 形 的面 积 最 （） 大， 我们 可根据 点所对 的顶点 位 置 分 三 种 情 况 考 虑 。 分 为 点所对顶点在 Ａ Ｅ上 、 Ｆ上 和 Ｆ Ｅ Ｃ 上 ， 积 的 求 法 是 不 一 样 的 ， 小 面 大 也不 同 ， 要我 们求 出后 进行 比 需 较 。（ 解略 ）
２＋ ２ ＋ 】 ＋ ３ｎ ＋ １ 。
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（ ） 图 ３ 当 点 运 动 到 １如 ， Ｄ Ｃ的中点 时 ， 求△Ａ Ｆ与四边 形 Ｂ ＡＥ Ｄ Ｆ的 面 积 之 比 ； （ ） 图 ４ 当 点 Ｅ 运 动 到 ２如 ，
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思路方法
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由于 三角 函数 部分 概念 多 、 公式多 、 变化 大 ， 知识 覆 盖面 广 ， 思想方 法 灵活 ， 因而 同学们 在解 题时 ， 常会 出现 似是 而非 的错 常 误 。举例剖析如下 ， 供读 者参考 。 对 “ 限 角 ” 念 理 解 不 象 概 清 例 １ 已 知 ａ是 第 一 象 限
一
例 谈 相 似 形 也 创 新
一 田
一
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Ｅ ＝ ｎ： （ 是 整 数 ） ， 想 Ｄ ｌｎ 时 猜 ＡＡ Ｆ与 四边形 Ａ Ｅ Ｂ Ｄ Ｆ的面积 之 比（ 只写结果 ， 不要求写 出计算 过
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，也是学生们比较容易出现错误的地方。
在解题过程中，学生们常常会犯一些常见的错误，这些错误的成因有很多种，主要包括知识掌握不牢固、思维逻辑混乱、解题方法不够灵活等。
下面我们就来分析一下高中数学中三角函数解题错误的成因以及解决方法。
一、成因分析1. 知识掌握不牢固许多学生在学习三角函数时，对于基本的三角函数公式和性质掌握不够牢固。
这样在解题时就容易出现计算错误或者漏掉一些重要的步骤，导致整个解题过程出现问题。
在利用三角函数的和差化积公式时，学生没有完全掌握该公式的应用条件，容易导致使用错误。
2. 思维逻辑混乱有些学生在解题时，缺乏清晰的思维逻辑，导致解题过程混乱，从而出现错误。
对于解三角函数方程时，没有根据题目的要求将三角函数变形，或者在整个解题过程中没有对各个步骤进行逻辑性的连接，导致最终得到的解不符合题目要求。
3. 解题方法不够灵活在解三角函数问题时，有些题目可能需要选择不同的解题方法来进行求解，但是有些学生对于解题方法的选择不够灵活，只会使用一种方法解题，从而导致对一些题目无法正确求解。
二、解决方法针对知识掌握不牢固这一问题，学生们可以通过多做练习，多总结题目的解题方法，掌握常见的三角函数公式和性质。
可以通过与老师进行沟通交流，及时解决自己在学习过程中遇到的疑惑，加深对知识点的理解。
学生们在解题的过程中应该注重培养自己的思维逻辑能力，要善于归纳总结问题的解题思路，将解题过程分解成若干步骤，逐步推导，排除干扰项，确保解题过程的清晰和逻辑性，从而减少错误发生的几率。
解决解题方法不够灵活的问题，学生们可以在课外多做一些拓展性的题目，不断尝试不同的解题方法，锻炼自己的解题能力。
在学习的过程中，也要善于归纳总结不同类型题目的解题方法，形成解题思维的体系化。
除了以上的措施外，学生们在学习三角函数的过程中也应该注重培养自己的数学思维和动手能力，多进行实际操作，多做练习，以便更好地掌握三角函数的知识。
解答锐角三角函数问题容易犯的错误
数学篇数苑纵横在求解锐角三角函数问题时，有的同学由于对锐角三角函数的概念理解不清，或运用锐角三角函数定义时忽略了直角三角形这个前提条件，或在解题时考虑问题不全面，忽视了要进行分类讨论，从而走入了解题的误区.为了避免同学们也犯相同的错误，现对解三角函数问题中的常见错误进行归纳并分析.一、对锐角三角函数概念理解不清锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为因变量的函数.它的概念是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度的比.因此锐角三角函数只是一个比值(数值)，它的值与角的大小有关，与三角形边的长度无关.很多同学由于对该概念的本质没有理解透彻，误把“无关”当“有关”.例1在Rt△ABC 中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A 的三角函数值（）.A.都扩大3倍B.都扩大4倍C.不能确定D.没有变化错解：A.错因分析：三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值，三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似，所以直角边与斜边，直角边与直角边的比值不变.产生错解的原因就在于没有真正理解三角函数的概念.正解：D.点拨：锐角三角函数反映的是直角三角形相应两边的比值的特性，当一个锐角大小不变时，其函数值是固定的.二、忽视运用锐角三角函数定义的前提解决任何问题都必须具备一定的条件背景，解答锐角三角函数问题的前提就是必须在直角三角形中.只要题目条件中没有直角条件的，要么证出直角，要么添加辅助线构造直角，然后再根据锐角三角函数的定义进行求解.有的同学没有构造直角三角形求解锐角三角函数问题的意识和习惯，直接运用三角函数的定义解题就会出错.例2在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边为a ，b ，c ，且a :b :c =3:4:5.试证明sin A +sin B =75．错解：设a =3k ，b =4k ，c =5k ，则sin A =a c =3k 5k =35，sin B =b c =4k 5k =45.所以sin A +sin B =35+45=75．错因分析：本题中没有说明∠C =90∘，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先说明△ABC 为直角三角形，且∠C =90∘后才能用定义解题．正解：设a =3k ，b =4k ，c =5k (k >0)，因为a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2，所以△ABC 是以c 为斜边的直角三角形.所以sin A =a c =3k 5k =35，sin B =b c =4k 5k =45.所以sin A +sin B =35+45=75．例3在等腰三角形ABC 中，AB =AC =5，BC =6.求sin B 、cos B 、tan B .错解:∵a =6，b =5，c =5，∴sin B =b c =55=1，cos B =a c =65，tan B =b a =56.错因分析：错解忽视了用边比表示锐角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中，显然△ABC 不是直角三角形，故上述解法错误.正确解法应把∠B 放到直角三角形中求解函数值.正解：如图1，过A 作AD ⊥BC 于D ，则解答锐角三角函数问题容易犯的错误江西高安夏宇23数学篇数苑纵横BD =3，∵AB =5，∴AD =AB 2-BD 2=4,∴sin B =AD AB =45，cos B =BD AB =35，tan B =AD BD =43.点拨：锐角三角函数是在直角三角形中定义的.锐角三角函数与锐角在的直角三角形有关，而与锐角作为内角所在的三角形无关，因此必须先构造直角三角形，再求值.三、考虑问题不全面导致漏解锐角三角函数的定义揭示了直角三角形中的锐角与三边之间的关系，因此，我们会遇到一些边、角、点、形等条件不明确，存在多解情况的问题.这个时候就需要采取分类讨论的方法，以保证解题的完整性与准确性.如果同学们思考不细致，思维不严谨，就会出现漏解的情况.例4在ΔABC 中，AB =122，AC =13，cos ∠B，则BC 边长为（）.A.7 B.17 C.8或17D.7或17错解：作AD ⊥BC 于点D ，如图2，∵cos ∠B 2，∴∠B =45°，∵AB =122，∴AD =BD =12，又∵AC =13，∴CD =5，∴BC =BD +CD =12+5=17，故选B.图2错因分析：错解认为高AD 一定在三角形的内部.其实△ABC 不一定是锐角三角形，应分两种情况:(1)高AD 在△ABC 内部；(2)高AD 在△ABC 外部.错解忽视了第二种情况.正解：∵cos ∠B ，∴∠B =45°，当ΔABC 为钝角三角形时，如图3，∵AB =122，∠B =45°，∴AD =BD =12，∵AC =13，∴由勾股定理得CD =5，∴BC =BD -CD =12-5=7；当ΔABC 为锐角三角形时，如图2，BC =BD +CD =12+5=17，故选D ．例5Rt△ABC 的两条边分别是6和8，求其最小角的正弦值.错解：因为6和8是直角三角形的两边，所以斜边是10，所以最小角的正弦值是610，也就是35.错因分析：已知条件中并没有告诉6和8是两条直角边，所以本题应分两种情况：（1）6和8是两条直角边，（2）6是直角边，8是斜边.错解忽视了第二种情况.正解：当6和8是直角边时，斜边是10，所以最小角的正弦值35；当6是直角边，8是斜边时，另一直角边是82-62=2727，所以最小角的正弦值为=.综上可知，最小角的正弦值为35或.点拨：对于没有明确三角形高的位置的问题，要注意对高的位置进行分类讨论；在直角三角形中没有说明已知的边是直角边或斜边的情况下，要分这两边是直角边及所给的长边是斜边两种情况来讨论.解答锐角三角函数问题易出现的错误除了以上几种情况外，可能还会出现其他的情况.希望同学们正确理解三角函数的概念，把握运用三角形函数定义的前提条件以及可能存在的多种情况，避免出现解题错误.图1图324。
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法高中数学中的三角函数是学习数学时的一个重要内容，对于学生来说可能会遇到一些解题错误的情况。
本文将对高中数学中三角函数解题错误的成因进行分析，并提出解决方法，希望能帮助学生提高解题能力。
一、成因分析1. 概念理解不清三角函数的概念对于学生来说可能有一定的难度。
学生可能会忽略或者混淆三角函数的定义和性质，导致在解题中出现错误。
学生可能会混淆正弦函数与余弦函数的定义及性质，导致在计算中出现错误。
2. 公式运用不当在解题过程中，学生可能会对三角函数的相关公式理解不够深刻，容易在运用上出现偏差。
在使用三角函数的相关公式进行化简或者计算时，可能会出现数学符号运用错误，导致计算结果不准确。
3. 解题思路不清晰解题思路不清晰是导致解题错误的另一个重要因素。
学生可能在解题过程中跳跃性思维、计算错误、逻辑混乱等，导致最终的解题结果出现错误。
二、解决方法1. 加强基础知识的学习学生在学习三角函数之前，应该先夯实数学基础知识。
对于三角函数的定义、性质、相关公式等内容，需要有一个全面深入的理解。
只有夯实了基础知识，才能在解题中避免出现一些低级错误。
2. 多做练习在学习三角函数的过程中，学生需要多做一些相关的练习题。
通过不断的练习，可以更好地巩固所学内容，提高解题能力。
在解题过程中遇到错误，也要及时总结反思，找出解题错误的原因，避免下次再犯同样的错误。
3. 注意解题过程细节在解题过程中，需要注意细节处理。
对于三角函数的运用和计算，需要谨慎对待，不可粗心大意。
在解题过程中，可以逐步化简、代入计算、反复检查，尽量避免出现解题错误。
4. 多与他人讨论在学习三角函数时，可以多与同学或者老师进行讨论，互相交流解题经验。
通过他人的解题思路和方法，可以帮助自己更好地理解和掌握三角函数的相关知识。
在讨论过程中，也可以及时发现自己解题中的错误，及时进行纠正。
在解题过程中，要善于梳理解题思路。
首先要明确解题目标和要求，然后逐步展开解题步骤，将解题过程梳理清楚。
常见三角函数题错误剖析
十
所 由 设 得 （＋） ＿ ， ３ ＜ ２ｃｏｓ 以 题 可 予＜ ａ卢＜ 仃一 丌 １ ２
令 ＝Ｃｇ ， 以 Ｙ＝ ｘ 一 ｘ一 ， Ｏ０ 所 ￣ ２ ６ １
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黄 邦活
三角函数是高 中数学 的重 要 内容 之一 ， 由于 三 但
角函数 变化 灵 活 ， 巧性 较强 ， 具 体求 解 时稍 不 留 技 在
心， 就会造成失误 。为此 ， 本文就 常见 三角函数题 错误 进行剖析 ， 供学习参考 。
剖析 ： 上述 解法 虽注 意到 了 ｓ ｘ的有界 性 ， 却 ｉ ｎ 但
没有注意到当 ｓ ＝ 一１时 ， 导致 ｓ ｙ＝— ＞１矛 ｉ 会 ｉ ｎ ４ 盾， 从而产 生 了误 解 。事实上 ， 深挖 题设 ｓ ｘ＋ｓ ｙ＝ ｉ ｎ ｉ ｎ 的隐含 条 件 ， 一１ ｉｙ 由 ≤ｓ ≤１且 一１ ｉ ≤ １得 ｎ ≤ｓ 似 ≤ｓ ｘ ｌ所 以应是 当 ｓ ＝一 时 ， ＝ ４ ｉ ￣ ， ｎ＜ ｉ 眦 ｕ
挖掘隐含条件 铲除解题陷阱——三角函数题常见错误剖析
因 Ｃ ０ Ｓ ２ ５ Ｃ Ｅ ［ ０ ， １ ］ ， 故 ｇ （ 戈 ） 的 值 域 为 【 １ ， 吾 】 ．
错因 ： 解 题 中没有 注意 到分 式 函数 的特有 属性 ，
要使 ｇ （ ） 有意义 ， 必须使分母不为 ０ ． 故ｇ （ ） 定义
域 为 ≠ ２ 耵 － ＋ Ｚ ） ．
故选 Ａ ．
故ｃ ＝
对 角 Ａ运 用余 弦定理 ：
错因： 由ｓ ｉ ｎ 。 ： ２ ｓ ｉ ｎ 一３ ｓ ｉ ｎ
可得 ｏ ≤ ≤ｌ
，
即 ｏ ≤ ｓ ｉ ｎ ≤ 亏 ・
， ）
所以 ｓ ｉ ｎ 仅≠１ ， 且ｓ ｉ ｎ ａ 一１ ．
・ ．
．
ｃ的面积 为 ． Ｓ＝
，
因ｃ 。 ｓ ２ ∈［ ０ ， １ ］ ， ｃ ｏ ｓ ％≠ １
错解 ： （ １ ） 由题设条 件 ， 知 ） 的周 期 Ｔ＝１ Ｔ ，
即 ：订， 解 得 ： ２ ．
故 ｇ （ ） 的 值 域 为 ［ ， ÷ ） ｕ （ ， 吾 】 ．
２ 扩大 了角的取值范 围
（ １ ） 求 的解析 式 ； （ ２ ） 求 函数 的值 域・
鱼 曼 ： ± 曼 ： 二
一 一
（ 呈 ： ＝ ！ ） （ 曼 曼 ： ± ）
２ （ ２ ｃ ｏ ｓ 一１ ）
３
：
ｃ 。 ｓ ２ ＋ （ ｃ 。 ｓ ２ ≠ 丢 ） ，
题 中， 常需 对角 的范 围及 三 角 函数 值 的符 号 情 况进 行讨 论 ， 若 审题不 严 不 细 ， 很 容 易 出错 ， 要 三 思 而后 行， 形成 审 慎思维 的习惯． 下面就 学 生在解 三角 函数 题最 常 出现 的错 误及 产生 的原 因剖 析如下 ：
三角函数错题分析
三角函数错题分析2．（典型例题）函数f(x)=sinx+2|sinx|,x ∈（0，2π）的图像与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是 . [考场错解] 填[0，3]∵f(x)=⎩⎨⎧∈-∈]2,(,sin ],0[,sin 3πππx x x x∴f(x)的值域为(0，3)，∵f(x)与y=k 有交点， ∴k ∈[0，3]．[专家把脉] 上面解答求出k 的范围只能保证y= f(x)的图像与y=k 有交点，但不能保证y=f(x)的图像与y=k 有两个交点，如k=1，两图像有三个交点．因此，正确的解答要作出了y=f(x)的图像，运用数形结合的思想求解．[对症下药] 填(1，3)∵f(x)⎩⎨⎧∈--∈]2,(,sin ],0(,sin 3πππx x x x 作出其图像如图从图5-1中可看出：当1<k<3时，直线y=k 与 yf(x)有两个交点． 3．(典型例题)要得到函数y=2cosx 的图像，只需将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的 ( )A.横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8π个单位长度[考场错解] B 或D ∵将函数y=2sin(2x+4π)的所有点的横坐标缩短到原来的21倍，得函数y=2sin(x+4π)的图像，再向右平行移动子个单位长度后得函数y=2sin(x+2π)=2cosx 的图像．故选B ．将函数y=2sin(2x+4π)变形为y=2sin2(x+4π)．若将其图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得函数y=2sin(x+8π)的图像．再向右平行移动8π个单位长度后得y=2cosx 的图像，选D ．[专家把脉] 选B 有两处错误，一是若将函数y f(x)=2sin(2x+4π)横坐标缩短到原来的21倍，(纵坐标标不变)所得函数y=f(x)= sin(4x+4π)，而不是f(x)=2sin(x+4π)，二是将函数y=f(x)=2sin(x+4π)向右平行移动4π得函数y=f(x)=2sinx 的图像，而不是y= f(x)=2cosx 的图像．因为函数图像变换是针对自变量而言，应该是x 变为x-4π选D 同样是两处错误．一是横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得函数y=2sin(x+4π)而不是y=2sin(x+4π)．由y=2sin(x+8π)的图像向右平移81个单位长度得了y=2sinx 的图像，而不是y=2cosx 的图像．[对症下药] 选C 将函数y=2sin(2x+4π)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=2sin(x+4π)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=2sin(x+4π+4π)=2 cosx 的图像．故选C ．4．(典型例题Ⅰ)设函数f(x)=sin(2x+ϕ)(-π<ϕ<0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=8π.(1)求ϕ；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；(3)画出函数y=f(x)在区间[0，π]上的图像． [考场错解] (1)∵x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2×8π+ϕ)=±1，∴4π+ϕ =k π+2πk Z ．∴ ϕ=k π+4π，∵-π<ϕ<0，∴ ϕ=-43π．(2)由(1)知ϕ =43π，因此y=sin(2×-43π)． ∵最小正周期为T=42π=π.由题意得k π-2π≤2x-43π≤k π+2π，k ∈Z ．解得 k π+8π≤x ≤21k π85+π，k ∈Z ．所以函数y=sin(2x-π43)的单调查递增区间为.,8521,821Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ [专家把脉] 以上解答错在第（2）小题求函数单调区间时，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈-2,2432πππππk k x 处，因若把432π-x 看成一个整体u ，则y=sinu 的周期为2π。
三角函数解题的几个常见误区
三角函数解题的几个常见误区作者：刘炜群来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2012年第11期三角函数是高中数学的基础内容，也是高考的热点、必考点.高考题目难度适中，学生易得分，但也易失分.在学习过程中，学生因基本概念掌握得不透彻，对三角、向量公式的原理不理解以及抽象思维能力的相对薄弱，常常在求三角函数值、平移图象、研究单调性、与解三角形综合应用等方面出错.以下，将常见错误进行剖析.一、忽视三角求值时角的范围的影响例1 已知π2错解：因为π2所以-3π4则cos（α+β）=-1-sin2（α+β）=-45sin（α-β）=±1-cos2（α-β）=±513所以sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）当sin（α-β）=513时，sin2α=513×（-45）+1213×（-35）=-5665.当sin（α-β）=-513时，sin2α=（-513）×（-45）+1213×（-35）=-1665正解：因为π2所以-3π4则cos（α+β）=-1-sin2（α+β）=-45sin（α-β）=1-cos2（α-β）=513所以sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=513×（-45）+1213×（-35）=-5665.解题反思：此题如果用和差公式将两个已知式分别展开，则会出现束手无策的局面.但仔细观察已知式与待求式中的角的特征，就可发现2α=（α+β）+（α-β），于是可利用“已知角表示未知角”的解题方法，然而，由于条件π2二、求角问题中忽视三角函数名称选择的重要性例2 设α，β是锐角，且sinα=255，sinβ=1010，求α-β.错解：因为α，β是锐角且sinα=255，sinβ=1010所以cosα=1-sin2α=55，cosβ=1-sin2β=31010所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=55×31010+255×1010=22又因为α，β是锐角，所以-π2所以α-β=±π4正解：因为α，β是锐角且sinα=255，sinβ=1010所以cosα=1-sin2α=55，cosβ=1-sin2β=31010所以sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=255×31010-55×1010=22又因为α，β是锐角，所以-π2解题反思：在已知三角函数值求角的问题中，选择恰当的三角函数是解题关键.通常要根据题中所给已知角的范围确定未知角的的范围，从而确定未知角的象限，再根据角的象限及三角函数在各个象限内的符号确定最终选择合适的三角函数，避免增解的产生.三、求三角函数的值域时忽视图像例3 求函数y=cosx3，x∈[0，4π]的值域.错解：令t=x3，x∈[0，4π]则t∈[0，4π3]，于是y=cost，t∈[0，4π3]，所以，当t=0时，y取得最大值1.当t=4π3时，y取得最小值-12.所以函数的值域为[-12，1].正解：令t=x3，x∈[o，4π]则t∈[0，4π3]，于是y=cost，t∈[0，4π3]，结合函数的图像得所以，当t=0时，y取得最大值1.当t=π时，y取得最小值-1.所以函数的值域为[-1，1].解题反思：求解三角函数值域时，应关注函数的单调性，很多学生往往忽视三角函数的图像的应用.四、三角函数的图像变换的典型错误例4 将函数y=sin2x的图像向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 .错解：将函数y=sin2x的图像向左平移π4个单位得y=sin（2x+π4），再向上平移1个单位得y=sin（2x+π4）+1，故填y=sin（2x+π4）+1.正解：将函数y=sin2x的图像向左平移π4个单位得y=sin2（x+π4）=sin（2x+π2）=cos2x，再向上平移1个单位得y=cos2x+1，故填y=cos2x+1.解题反思：三角函数图像变换中最易错的就是左右平移变换，左右平移变换（相位变换）的本质是图像上点的横坐标在发生变化，因而平移时应仅仅对x进行加减.五、求单调区间无视ω的正负性致误例5 函数y=sin（π4-2x）的单调减区间为 .错解：令2kπ+π2≤π4-2x≤2kπ+3π2，整理得-kπ-5π8≤x≤-kπ-π8（k∈Z），所求区间为[-kπ-5π8，-kπ-π8]（k∈Z），故填[-kπ-5π8，-kπ-π8]（k∈Z）.正解：由题意知y=-sin（2x-π4），所以只需求y=sin（2x-π4）的单调增区间，令2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2，整理得kπ-π8≤x≤kπ+3π8（k∈Z），所求区间为[kπ-π8，kπ+3π8]（k∈Z），故填[kπ-π8，kπ+3π8]（k∈Z）.解题反思：形如y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的函数求单调减区间，基本思路是把ωx+φ看作一个整体，由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2（k∈Z）求得函数的增区间，由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2（k∈Z）求得函数的减区间；形如y=Asin（-ωx+φ）（A>0，ω>0）的函数，可先用诱导公式把x的系数变为正数，得y=-Asin（ωx-φ），由2kπ-π2≤ωx-φ≤2kπ+π2（k∈Z）求得函数的减区间，由2kπ+π2≤ωx-φ≤2kπ+3π2（k∈Z）求得函数的增区间；对于y=Acos（ωx+φ），y=Atan（ωx+φ）的单调区间的求法与y=Asin（ωx+φ）的单调区间的求法相同；对于带有绝对值的三角函数应结合图像，从直观上进行判断.六、三角函数与解三角形的综合应用忽视三角形内角和为π例6 已知函数f（x）=sin（π4+x）.sin（π4-x）+3sinxcosx（x∈R）.（1）求f（π6）的值；（2）在△ABC中，若f（A2）=1，求sinB+sinC的值域.错解：（1）f（x）=sin（π4+x）.sin（π4-x）+3sinxcosx=12cos2x+32sin2x，所以f（π6）=1.（2）由f（A2）=1，有f（A2）=sin（A+π6）=1.因为0sinB+sinC=sinB+sin（2π3-B）=32sinB+32cosB=3sin（B+π6）.因为0正解：（1）f（x）=sin（π4+x）.sin（π4-x）+3sinxcosx=12cos2x+32sin2x，所以f（π6）=1.（2）由f（A2）=1，有f（A2）=sin（A+π6）=1.因为0因为0解题反思：三角函数与解三角形的综合是近几年高考命题的热点，多以解答题的形式出现，主要考查三角函数的最值或值域问题.而最值和值域求解的关键是函数的定义域的准确性和图像的应用.三角函数学习过程中，既要合理选用公式，又要关注角的范围对求三角函数值的影响，还应重视通过准确研究三角函数的图像来研究三角函数的性质.既要注重基础，又要关注细节，特别是注意一些易错点，才能在学习过程中少犯错甚至不犯错，取得更加理想的学习效果.。
三角函数常见解题误区例析
‘
．
．
ｓＺ ＋ ｉ ｆ ０ ｛ ］ ｉ ａ ｓ２ Ｅ［， 。 ｎ ｎ ｌ
个函数的定义域关 于原 点不 对称 ， 故原 函数 不具 有 奇偶性 。 误区三 、 忽视三角变换 中的等价性 例 ４ 已知 ＣＳ ＝３ｏｆ，ｏ Ｏ（ ｃｓ ｃｔ ￣ ｌ ａ＝４ ｏ ， ｓ ａ ｃｔ 求 ｉ 。 ｌ ｆ ｎ
错 解 ：． ‘Ｙ＝ｃｓ口＋ｃＳ ’ ０ ２ ｏ２ 卢＝１ １ ｏ（ 一 ｓ口一卢 ， ｃ ）
。 ． ．
（ ｓ 口 （ ｃ 口 １ ÷ ｉ ）＋ ÷ ｏ ）＝ ， ｎ ｓ
。
解之 ， ｓ 口： ２／ － 得 ｉ ，５ ｎ ｏ
剖 析 ： 面 的 解 法 是 在 ｃｔ ≠０ 上 ｏａ ， ≠０的ｎ ｓ２ ＝ ｉ ａ ｉ ｓ ２ ｓ２ ｉ ｆ ｓ２ ＋ｓａ一 ｝ ｉａ ｉ口＋ ｎｌ ｎ ｎ ｎ
＝ 一
即 ２ 詈且 ＃ ｋ 一 ≠ ｋ ＋ｃ ∈ ， ２ｎ ７ ｋ ｚ 从而这 ，
１（ｉａ一１ ｓ ｎ ）
１， ｓ ａ∈［ ，］ 又 ｉ ｎ 一１ １ ，
１ 。
正 确 解 法 ：．Ｙ＝ｃｓ口＋ｃｓ ・ ・ ｏ２ ｏ２ ｐ＝１ １ｃｓ 口一 一 ｏ（
） ， 又 ｉ ＜口＜９ ，ｏ＜ ＜９￣且 ａ＋卢＝１０，‘ ｆ ， ０ ０， ２￣ ． ．
一
下而求的 。事实上 ， 已知条件 中含有 ｃｔ ＝０ ｃｔ ＝ ｏａ ，ｏ ｌ ｆ ０的情况 ， 此时 ｓ ａ＝４１ ｉ ｎ － 也满 足题意 。三 角变换应 注意等价性 ， 能随意扩大或缩小角 的范围。 不
例３ 判 函 ，｝ Ｓ｝ Ｃ 奇 断 数， ｌ 十Ｏ 的 偶性． ： 十ｌ Ｓ 譬ｎ
错 解 ：．Ｙ＝ ｌ ｉｘ—ＣＳ １ ＯＸ＋ｓ ｘ ・ ・ ＋ｓ ｎ Ｏ． ￣ 一ＣＳ ｉ ｎ
三角函数常见错误类型
三角函数常见错误类型由于三角函数的性质和公式较多，变换灵活，一题多解是常有的事，正因为解题途径呈开放性，有时思维误入歧途就不容易察觉，导致误解的原因也因题而异.1.忽视定义域三角恒等变换必须使涉及的各个三角函数有意义，给定的任意角的范围不被改变，对切与割两类函数尤其需要重视定义域的考察，否则易造成错解.例1：求函数sin (1tan tan )2x y x x =+的递增区间. 解：sin (1tan tan )tan 2x y x x x =+=所以原函数可化为tan y x =，故递减区间为(,),()22k k k Z ππππ-+∈. 致误分析：忽视了函数式中tan tan 2x x 有意义的x 的取值范围，即,2,()2x k x k k Z ππππ≠+≠+∈，由此可知递增区间为：(2,2)22k k ππππ-+，(2,2)2k k ππππ++，3(2,2)2k k ππππ++，()k Z ∈. 2.忽视单调性已知部分三角函数值，求某一区间上的角，若不注意用三角形的单调性，则容易增解，如下例：例2：已知1cos 7α=, 11cos()14αβ+=-,且(0,)2πα∈,(,)2παβπ+∈，求β的值. 解：因为0()()αβαπ<++-<，所以(0,)βπ∈，又有sin sin[()()]βαβα=++- =sin()cos cos()sin αβααβα+⋅-+⋅=1111471472+⋅=.所以3πβ=或23πβ=.致误分析：(0,)βπ∈时sin β不是单调函数，由sin β=求角β还须进一步讨论范围，因为(0,)βπ∈时cos β是单调函数,所以取余弦函数求角β是合理的，因为cos β =1cos[()()]2αβα++-=, 所以3πβ=. 3.忽视特殊值有些涉及三角函数值域，参变数取值范围的问题，应注意对区间端点，最值点，零点（即图象与x 轴交点）等特殊值进行讨论，以免因一点一值酿成错误，如下例：例3：已知方程sin 0x x a +=在区间[]0,2π上有且只有两个不同的实根，求实数a 的取值范围.解：因为原方程可化为sin()32a x π+=-,[0,2]x π∈,当sin()13x π+=±时，只有唯一解，所以12a -≠±，即112a -<-<时，得(2,2)a ∈-.致误分析：对区间端点分析不够，因为sin(0)sin(2)sin()3333πππππ+=+=+=，所以当2a -=,即a =[]0,2,0,23πππ∈，故a的取值范围为(2,(2)-⋃. 4. 忽视隐含条件有些三角函数问题隐含着重要的条件，必须发现和利用，才能正确解答，如下例： 例4：已知3sin 5x x α-=+, 42cos 5x x α-=+, 试问x 取何值时， 所在象限中s i n α,cos α都是减函数.解：由sin α,cos α都是减函数知222k k ππαππ+<<+,()k Z ∈所以sin 0α>, cos 0α< , 由此得x 的不等式组：301542105x x x x -⎧<<⎪⎪+⎨-⎪-<<⎪+⎩, 解之得 39x << 致误分析：对隐含条件22sin cos 1αα+=还须应用，即22342155x x x x --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 解之得0x =或8x =， 应舍去0x =， 故8x =即为所求.注：为简化运算起见，本题可先解出0x =或8x =,代入sin α,cos α中检验是否满足题意.5.忽视图象变换顺序《代数》上册第143页指出：一般地，函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0)A ω>>,x R ∈的图象可看作用下面的方法得到：先把sin y x =的图象上所有的点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动ϕ个单位，再把所得各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍，（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）.这里所强调的顺序是“平移变换—周期变换—振幅变换”，不能混同于“先周期变换再平移变换”，有些图象变换错误往往就在于此，如下例：例5：已知函数()y f x =,若将()f x 的图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将整个图形沿y 轴向下平移2个单位，得到的图象与函数sin y x =的图象相同，求()f x 的解析式.解：对问题逆向思维，由函数sin y x =的图象作相对运动，变换得到()y f x =的图象，因此将sin y x =的图象向上平移2个单位，然后使图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标缩小为原来的12倍，故得到1()sin 22f x x =+. 致误分析：视sin x 为y 的函数，依先拉伸再平移的变换过程，应得sin 22x y =-，因此答案应为1sin 12y x =+. 或者采用待定系数法求解：设s i n y a x b =+, 则依题意得2(s i n )2y a x b =+-与sin y x =为同一函数，因此得12a =,1b =, 故1sin 12y x =+为所求函数解析式. 6.忽视验算结果正弦函数和余弦函数的有界性，即 sin 1x ≤， cos 1x ≤的掌握情况和应用，在综合问题的解答中，常被忽视，如下例： 例6：求函数2cos 2sin 132sin x x y x-+=-的值域. 解：原式去分母整理得：2sin 2(1)sin 320x y x y +-+-=由24(1)4(32)0y y ∆=---≥ 解得函数的值域为y ≥ 或y ≥致误分析：对判别式成立的条件没有检验，因为52y +=时0∆=，由求根公式得到3sin (1)(1,1)2x y =--=∉- ,所以0∆≥求出的y 的取值范围是错误的. 本题应采用图象法求解：设232sin ,cos 2sin 1x t y t t =-=-+ . 消t 得到：21(5)34y x =--+ ，(15)x ≤≤ 由此转化为求y k x =的取值范围， 两式连立消y 又得：22(25)130x k x +-+=,由0∆=得到52k ±= 由(1,1)P -点坐标，求得1k =-，根据直线y kx =与抛物线存在的曲线相交(切)位置关系便得：512k -≤≤, 故所求函数值域为512y -≤≤ .。
三角函数题的错解剖析
易错 环节三 ： 忽视 三角 函数 的有界性 。 造成错解
【 椤 ０ ３ 】 若２ √ ２ ｓ ｉ ｎ ２ ａ ＋ｓ ｉ ｎ 。 一２ ｓ ｉ ｎ ａ ＝０ ， 贝 ０ Ｃ Ｏ Ｓ ２ ￣ ＋
Ｃ Ｏ Ｓ 的取值范 围是 （ ） ．
ｎ
‘ 士
Ｌ ０
错解 ： 由角 ａ ， 的终边 关 于 Ｙ轴 对称 ， 则 有
・
． ｓ ｉ ｎ Ｏ －ｃ ｏ ｓ ０ 一 ± ７
．
０
．Байду номын сангаас
・ ．
． ｓ ｉ ｎ ０ 一 ４， ｃ ｏ ｓ ０一 一 ３
，
是减函 数， 而 一２ ｓ ｉ ｎ ｕ 在［ ２ ７ 【 一詈， ２ ｋ ＋吾］ （ 是 ∈ ｚ ） 上
进 而
可 求 得 ｃ 。 ｔ ： 一 导 ． 或 ｓ ｉ ｎ ０ ＝ 一 － 詈 － ， ｃ 。 ｓ 一 ４ ， 进 而 可 求 得 ｃ 。 一 一 号 ．
点评 ： 利 用 位 置 关 系确 定 角 的 集 合 ， 必 须 明确 角 的 终边 的 图象关 系， 考虑全 面才能防止 出错 ．
２ ｓ ｉ ｎ ２ ａ还 隐含 ｓ ｉ ｎ ａ取值 范 围 的条件 ． 由ｓ ｉ ｎ ２ 一２ ｓ ｉ ｎ ａ 一
２ ｓ ｉ ｎ 。 ａ ≥０ ， 可得 ０ ≤ｓ ｉ ｎ ａ ＜ ￣１ ， 从 而应 选 Ｂ ． 易错环节 四： 忽视复合函数的性质 。 造成错解
２ ｓ ｉ ｎ 口 ） 一ｓ ｉ ｎ ２ １ ２ －２ ｓ ｉ ｎ ａ ＋２ 一（ ｓ ｉ ｎ ａ －１ ） ＋１ ．
错解一 ： 由（ ｓ ｉ ｎ ａ －１ ） ＋１ ≥１ ， 从而选 Ｄ ．
错解二 ： ‘ ． ’ 一１ ≤ｓ ｉ ｎ ａ ≤１ ， ． ‘ ． １ ≤（ ｓ ｉ ｎ ａ 一１ ） ＋１ ≤５ ，
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法高中数学中，三角函数是一个重要的内容，也是学习数学的一个难点。
许多学生在学习三角函数时常常会遇到一些解题错误，认为这需要通过大量的练习与积累才能解决。
但实际上，三角函数解题错误的成因并不仅仅是因为练习不够，更多的是因为对于三角函数的理解和运用上存在一些困难。
本文将针对这一问题进行分析，并提出解决方法，希望能够帮助学生更好地掌握高中数学中的三角函数知识。
我们来分析一下高中数学中学生在解题中常常会出现的三角函数错误的成因。
主要可以总结为以下几点：是对三角函数的基本概念理解不清。
三角函数是一个基础概念，但是很多学生对于正弦、余弦、正切等各种三角函数的定义不够清晰，甚至会混淆它们在不同象限的正负值。
有的学生经常会混淆正弦函数与余弦函数的定义，导致在解题中出现了错误。
是对三角函数的运算规则理解不够透彻。
三角函数的运算规则是学习三角函数的一个关键，但是很多学生在学习过程中对于角度的转换、函数的加减法、倍角公式等运算规则掌握不够牢固，导致在解题中经常出现错误。
是对于三角函数的应用题目理解不够深入。
在高中数学中，三角函数的应用题目往往需要学生通过建立数学模型，运用三角函数的知识来解决实际问题。
但是很多学生在解题时并没有很好地理解实际问题的背景和要求，导致在解题中出现错误。
是缺乏对于错题的分析总结。
很多学生在做错题后，往往只是匆匆地改正了答案，而没有对错题进行深入的分析和总结，导致同样的错误在之后的解题中依然会出现。
针对以上的问题，我们可以从以下几个方面进行解决：是要加强对于三角函数的基本概念的理解。
在学习三角函数之初，学生可以通过反复地复习正弦、余弦、正切等三角函数的定义，以及它们在不同象限的正负值，从而清晰地掌握它们的基本概念。
老师可以通过实际例子加深学生对于这些概念的理解，帮助他们建立起对三角函数的直观认识。
是要加强对于三角函数的运算规则的掌握。
学生可以通过大量的练习来巩固对于角度的转换、函数的加减法、倍角公式等运算规则的掌握，同时也可以通过总结不同题型的解法，帮助他们更好地理解和掌握这些运算规则。
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法高中数学中涉及到的三角函数是一个很重要的概念，在许多题目中都有应用。
学生在学习三角函数时，考试中难免会出现错误。
本文将分析高中数学中三角函数解题错误的成因，并提出解决方法。
一、成因分析1.公式记忆不牢固三角函数有很多公式需要掌握，公式记忆不牢固就容易导致答题错误。
例如，学生容易混淆诱导公式中的加减号，导致解题错误。
2.角度制和弧度制的混用角度制和弧度制是学生在学习三角函数时最容易混淆的概念。
学生需要明确题目要求使用角度制还是弧度制，否则很容易出现解题错误。
3.计算错误三角函数中经常需要进行计算，学生在计算时容易出现错误。
例如，学生计算sin30°时，可能会将30°误写成300°，导致计算错误。
4.符号处理错误三角函数中很多题目需要处理符号，学生不注意符号的处理就容易出现错误。
例如，学生计算 tan(-π/4)时，可能会误以为 tan(-π/4)=-(tan(π/4))，导致计算错误。
二、解决方法学生需要牢固掌握三角函数公式，尤其是常用的诱导公式和和差公式。
学生可通过反复练习来帮助自己记忆。
2.强制转化学生在解题时应该将角度制和弧度制强制转化为同一种形式。
例如，如果题目使用角度制，那么学生在计算时可以将弧度制转化为角度制，以避免混淆。
在计算过程中，学生需要认真仔细地计算，尤其是小数精度的计算。
为了避免出现错误，建议学生多使用计算器进行计算，以确保计算的准确性。
4.注意符号学生在解题时需要特别注意符号的处理，尤其是负号的处理。
在处理符号时，可以将符号单独拎出来进行计算，减少出现错误的概率。
总之，高中数学中三角函数解题错误的成因有很多，学生需要认真掌握各种解题方法和技巧，尤其是需要牢固掌握公式和注意计算细节，以避免出现错误。
同时，在日常学习中，要多做练习、多总结经验，以提高自己的解题能力和水平。
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法三角函数是高中数学中的一大重点和难点，是让很多学生头疼的地方。
在解题过程中，学生常常会出现一些错误，导致答案错误，下面就来分析几个常见的错误原因及解决方法。
错误1：没有熟练掌握基本公式三角函数基本公式是学生在学习三角函数时必须要掌握的知识点。
但是，许多学生在学习时对这些公式没有做到熟读、熟记、熟练运用，导致在解题过程中对基本公式的使用不熟练，容易出错。
解决方法：要加强对基本公式的掌握和理解，并多做一些实例练习，把基本公式熟记于心，掌握好其应用方法，这样在解题过程中才能游刃有余。
错误2：缺乏对三角函数图像的理解和应用三角函数图像是解决三角函数问题的一个很好的工具。
然而，许多学生在使用三角函数图像时，缺乏充分的理解和应用知识，导致解题过程中出现错误。
解决方法：首先，要充分理解和熟悉三角函数的周期、振幅、相位、对称轴等知识点，掌握好三角函数的图像及其性质。
其次，要多做一些与三角函数图像相关的例题和练习，加强对图像的应用和理解。
错误3：题目阅读不清题目阅读不清是导致许多学生在解题过程中出现错误的原因之一。
由于题目的表述有时较为复杂，容易让学生产生实际意义上的误解，导致答案错误。
解决方法：在解题前，要仔细阅读题目，弄清所给条件，理解求解的目标和方法。
在解题过程中，要认真分析和理解题目，明确关键点，在解决问题时要一步一步推导，避免出现漏洞或错误。
错误4：计算方法不当计算方法不当是许多学生在解三角函数题中容易出现的错误之一。
由于三角函数的计算方法较为繁琐，学生经常会在计算过程中出现错误，影响到结果的准确性。
解决方法：在计算过程中，要仔细核对计算步骤和计算结果，避免出现疏漏或错误。
同时，要掌握好数学计算方法，做到熟练运用，并且要注意保留足够的小数位数，避免计算误差。
综上所述，解决三角函数解题错误的关键在于加强对基本公式、图像性质等知识点的理解和应用，并注意阅读题目，规范计算方法，严谨认真，避免疏漏和错误。
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一个 单 调 递 增区 间
-
12,
5 12
,
然后再加上
2k , 就 认为 这 是所 求的 所有 单 调递 增区 间,
其实不 对. 因为 该函 数的 周期 是 , 所以 正确
答案应是
k
-
12, k
+
5 12
(k
Z) . .
例3
函数 y = -
1 2
cos
2
x
-
2a sin x +
a2
+ a+
1 2
的最小值是 3, 求 a 的值.
例 4 已知函数 y = A sin( x + ) ( A >
0, | | < ) 的一段图象 如图所示, 则函数的
解析式为( )
( A) 2sin 2x - 4
( B) 2sin 2x -
4
或 2sin 2 x +
3 4
( C) 2sin 2 x +
3 4
( D) 2sin
2x -
3 4
错解 由图象, 知 A = 2.
用数形结合应更小心.
例 2 求 函数 y = sin 2 x - 3 的 单调 递增区间.
错解 由 - 2 ∃ 2x - 3 ∃ 2 , 得
第2 期
- 12 ∃
x
∃
5 12
.
! y = sin 2x - 3 的递增区间为
2k
-
12 , 2k
+
5 12
(k
Z) .
剖析 先求出函数 y = sin 2 x - 3 的
高中数学教与学
三角函数问题的常见错解分析
2005 年
孙道静 ( 江苏省泰州市口岸中学, 225321)
解三 角函 数问 题常 因概 念不 清, 方法 不 当或没有挖掘隐含条件而导致错误, 这 不能简 单地归咎于粗心大意等心理因素, 更主 要的是 对知识的熟练掌握程度不够和缺乏严谨的、深
刻的和善于批判的思维品质.
BC CA
=
OB OA
<
1, 知 BC <
CA , 并且 ∀ T OC =
1 2
(
∀ T OB
+
∀ T OA ) =
x1+ 2
x 2,
% 40 %
tan
x1+ 2
x2
的函数线为 TC.
# T C = T B + BC < TB + CA ,
! TC <
1 2
[
(
TB
+
BC) +
(TB+
CA ) ]
=
- 1 ∃ t ∃ 1, 当 a = 3 时, t = 3, 即 sin x = 3
显然不合题意. 事实上, 换元后, 问题转 化为二
次函数 y = f ( t ) = ( t - a ) 2 + a 在 闭区 间
[- 1, 1] 上的最小值问题.
( 1) 当 a < - 1 时, 由 y min = f (- 1) = 3,
例1
函数 f ( x ) =
4sin x ( 1 sec x ( 1 +
tan2 x ) tan2 x )
的
最小正周期是( )
( A) 2 ( B) ( C) 2 ( D) 4
错解
由 f ( x) =
4sin x ( 1 sec x ( 1 +
tan2 x ) tan2 x )
=
4sin x cos x cos 2 x = sin 4 x .
!
f ( x1)
+ 2
f
(
x 2)
>
f
x 1+ x2 2
.
剖析 要证的不等式实际是凸函 数的定
义, 用 凸函 数的 直 观图 象来 证 是一 个 循环 论
证, 相 当于换了 个说法. 正切 图象只 是提 供了
一个思维模式, 不能作为论证的依据.
如图 6, 设 x 1 = ∀ T OB, x 2 = ∀ T OA , x 1 < x 2, 在单位圆上分别作出正切线 TB < TA , 知 OB < OA , 作 A OB 的角 平分 线 OC, 由
得
a=
-
32
17;
( 2) 当- 1 ∃ a ∃ 1 时, 由 y min = f ( a) =
3, 得 a = 3 不合题意, 舍去;
( 3) 当 a > 1 时, 由 y min = f ( 1) = 3, 得 a
= 2.
高中数学教与学
综合( 1) ( 2) ( 3) , 得
a=
-
32
17 或 a = 2.
当 x = - 8 时, 2sin - 8 & 2 + = 2.
sin
- 4 =%
1 2
[
TB
+
(TB+
BC +
CA ) ]
=
1 2
(
TB
+
TA ),
! tan
x1+ 2
x2
<
1 2
(
t
an
x1+
tan
x 2) .
由上面的分析 知, 利用 数形 结合 解题时,
代数性质与几何性质的转换应该是等价的, 否
则解题 就会 出 现漏 洞, 同 时由 于 图形 的 局限
性, 有时不 能完整的 表现数 的一般 性, 此时应
# 8 + 8 = 4 , ! T = , = 2.
当 x = 8 时, y = 0, 即 2sin 4 + = 0,
!
=-
4
或
3 4
,
选
B.
剖析 对于函数 y = 2sin 2x - 4 , 取 x = 0 时, 得 y = - 2 , 所以经过( 0, - 2 ), 显 然该答案不正确, 函数图象中的特征点为最高 点和最低点, 具有唯 一性, 而零 点没有 这样的 性质. 为防止这类错误的发生只须在确定 值 时避免取零点, 而取特征点.
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 2 , 选 C.
剖析 以上错解的原因是没有考虑函数 的定义域, 因为函数 f ( x ) 的定义域为 x k
+ 2 , k Z. 画 出 f ( x ) = sin 4x ( x
的草图( 如图 1) .
k + 2 , k Z)
由图可知 T = , 应选 B.
错解 函数 y = sin2x - 2 asin x + a 2+
a , 令 sin x = t , 则 y = ( t - a ) 2+ a , 当 t = a
时, y min = a , ! a = 3. 剖析 三角问题中通过换元便隐 去了三
角函数的特征, 三角函数的定义域和值 域的有
界性常常被忽略, 上例中 - 1 ∃ sin x ∃ 1, 即