新人教版高一数学必修2第三章第2节《直线方程》
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y
答 不能，当斜率不存在时，不能使用点斜式。 问 那这个时候直线的方程是什么？ 答 当直线的斜率不存在时， 直线的方程是 x= x1 . o
.
P(x,y)
. P (x ,y )
1 1 1
x
例1： 已知一直线经过点P(-2,3)，斜率为2，求这条直线的方程。 解：由直线的点斜式方程，得
y 3 2( x 2)
填空
1.直线y=2x-4的斜率是 2
3 2
，在y轴上的截距是 - 4
。 。
2.直线2x+y-4=0的斜率是 - 2 ，在y轴上的截距是 4
3.直线3x+2y=0的斜率是
判断
，在y轴上的截距是 0
。
1.直线的点斜式方程 y y1 k ( x x1 ) 可以表示直角坐标系 中的任何一条直线。
y
A(-1,3)
.
点P与定点A(-1,3)所确定的直线的斜率恒等于-2， y 3 2 故有： x (1) 即：
y 3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2[ x (1)]
x
O
. P(x,y)
问： 1.直线l上的点的坐标是否都满足方程？ 2.以此方程的解为坐标的点是否在直线l上？ 即 2x y 1 0 .
由此，我们得到经过点A(-1,3)，斜率为-2的直线方程是 2 x y 1 0 .
问题三
直线l经过点P1(x1,y1)，斜率为k，点P在直线l上运动，那么点 P的坐标(x,y)满足什么条件？
y
当点P(x,y)在直线l上运动时，PP1的斜率恒等于k，
P(x,y)
P1(x1,y1)
.
.
o
y y1 k ， 即 x x1 故 y y1 k ( x x1 ) .
练习3： 3.求经过点(0,3)且斜率为2的直线的方程。 y=2x+3
问题一
我们知道给出直线的两个因素，直线就能够确定， 即将直线放在直角坐标系中就能够确定其方程。 在直角坐标系中如果给出直线上一点和斜率，我 们已经研究了其方程表示。如果给出两点 点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ，那么直线 P P2 也就 1 确定了，那么如何表示其方程呢？
方程
Ax+By+C=0(A,B不全为0)
叫做直线的一般式方程。
例4：
求直线3X+5Y-15=0的斜率以及它在坐标轴上的截距，并作图。
例5： 设直线l的方程为：
(m 2m 3) x (2m m 1) y 2m 6 0(m 1)
2 2
根据下列条件分别确定m的值： （1）直线l在x轴上的截距是-3; (2 ) 直线l的斜率是1。
问题一 若直线l经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )( x1 x2 ) ，点P(x,y)在直线l 上运动，那么点P的坐标x和y之间满足什么关系？
若直线l经过两点
P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )( x1 x2 )，则直线l的斜率为
即 2x y 7 0 .
练习1：
1.已知一直线经过点P(4,-2)，斜率为3，求这条直线的方程。 2.已知一直线经过点P(-1,2)，斜率为0，求这条直线的方程。
例2： 已知直线l 斜率为k，与y轴的交点是P(0,b)，求直线l的方程。 解：由直线的点斜式方程，得 y b k ( x 0) 即为 y kx b . 其中，b为直线与y轴交点的纵坐标。 我们称b为直线l 在y轴上的截距。 方程 y kx b 由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定 。 所以，这个方程 y kx b 就也叫做直线的斜截式方程。
a b 0
.
其中b为直线在y轴上的截距，a为直线在x轴上的截距。 这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这 个方程也叫做直线的截距式方程。
例2： 已知三角形的顶点是 A(5,0), B(3, 3), C (0, 2) 试求这个三角形三边所在直线的方程。
C (0, 2)
A(5,0)
由直线点斜式方程得：
y2 y1 k x2 x1
当
y1 y2 时，方程可以写成
y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
这个方程是由直线上两点确定的。
方程
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x
可以验证：直线l上的每个点（包括点P1 ）的坐标都是这个方程的解；
反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上。
由此，这个方程 y y1 k ( x x1 ) 就是过点P1 ，斜率为k的直线l的方程。
方程
y y1 k ( x x1 )
叫做直线的点斜式方程。
问 点斜式方程能不能表示平面内所有的直线?
A C y x B B
A ，在轴上截距为 C的直线；特别地， B 当A=0时，它表示垂直于轴的直线。 B
它表示斜率为
（2）当
C x 它表示垂直于轴的直线。 A
B 0 时，由 A 0 ，方程Ax+By+C=0可以写成
因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二 元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示一条直 线。
作业：
P79-80 习题2.1（1） 3，6，7，8。
直线的方程
高一年级 曾艳萍
问题一
1.在平面内，需要知道哪几个条件，才能确定直线的位置。 2.画出经过点A(-1,3)，斜率为-2的直线。
y
A(-1,3)
. .
O x
3.在直角坐标系内， 点的代数形式是 坐标 直线方向的代数形式是
。 斜率
。
问题二 若直线l经过点A(-1,3)，斜率为-2，点P(x,y)在直线l上运动，那么 点P的坐标x和y之间满足什么关系？
叫做直线的两点式方程。
问 点斜式方程能不能表示平面内所有的直线? 答 不能。从代数式的表达意义上讲“两点式” x1 方程使用的前提是“ x2 y1 y2 ”。 且 它不能表示倾斜角为 0 和 的直线，即 90 当直线与x轴,y轴不平行时，可以用两点式 表示。
例1： 已知一直线经过两点 A(a,0), B(0, b). 其中 求这条直线的方程。 解：由直线的两点式方程，得 y 0 xa b0 0a x y 即 1 a b
B(3, 3)
例3： 求过点 (3, 4) 且在坐标轴上的截距相等的直线的方程。
问题二
以上我们介绍了直线方程的几种特殊形式，它们都是关于 x和y的二元一次方程，那么，关于x和y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示直线吗？ （1） 当
B 0 时，方程Ax+By+C=0可以写成
2.方程y=kx+2表示通过点(0,2)的所有直线。
( X ) ( X )
3.若直线y=kx+b与y轴交点为A，则线段AO的长度为b。
( X )
练习2： 1. 求斜率为-3，在y轴上的截距为-1的直线的方程。 2.已知一条直线经过点P(1,2)，且斜率与直线2x+y-3=0相等， 则该直线的方程是 。
例6：
4 已知直线经过A（6，4），斜率为 ，求直线方程 3 的点斜式，一般式，截距式。
回顾反思： （1）在熟记的基础上灵活运用所有直线方程的表达 形式。 （2）注意点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的适用范 围。
（3）直角坐标系是把直线和方程联系起来的桥梁，一个 二元一次方程就是直角坐标系上的一条确定的直线。
答 不能，当斜率不存在时，不能使用点斜式。 问 那这个时候直线的方程是什么？ 答 当直线的斜率不存在时， 直线的方程是 x= x1 . o
.
P(x,y)
. P (x ,y )
1 1 1
x
例1： 已知一直线经过点P(-2,3)，斜率为2，求这条直线的方程。 解：由直线的点斜式方程，得
y 3 2( x 2)
填空
1.直线y=2x-4的斜率是 2
3 2
，在y轴上的截距是 - 4
。 。
2.直线2x+y-4=0的斜率是 - 2 ，在y轴上的截距是 4
3.直线3x+2y=0的斜率是
判断
，在y轴上的截距是 0
。
1.直线的点斜式方程 y y1 k ( x x1 ) 可以表示直角坐标系 中的任何一条直线。
y
A(-1,3)
.
点P与定点A(-1,3)所确定的直线的斜率恒等于-2， y 3 2 故有： x (1) 即：
y 3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2[ x (1)]
x
O
. P(x,y)
问： 1.直线l上的点的坐标是否都满足方程？ 2.以此方程的解为坐标的点是否在直线l上？ 即 2x y 1 0 .
由此，我们得到经过点A(-1,3)，斜率为-2的直线方程是 2 x y 1 0 .
问题三
直线l经过点P1(x1,y1)，斜率为k，点P在直线l上运动，那么点 P的坐标(x,y)满足什么条件？
y
当点P(x,y)在直线l上运动时，PP1的斜率恒等于k，
P(x,y)
P1(x1,y1)
.
.
o
y y1 k ， 即 x x1 故 y y1 k ( x x1 ) .
练习3： 3.求经过点(0,3)且斜率为2的直线的方程。 y=2x+3
问题一
我们知道给出直线的两个因素，直线就能够确定， 即将直线放在直角坐标系中就能够确定其方程。 在直角坐标系中如果给出直线上一点和斜率，我 们已经研究了其方程表示。如果给出两点 点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ，那么直线 P P2 也就 1 确定了，那么如何表示其方程呢？
方程
Ax+By+C=0(A,B不全为0)
叫做直线的一般式方程。
例4：
求直线3X+5Y-15=0的斜率以及它在坐标轴上的截距，并作图。
例5： 设直线l的方程为：
(m 2m 3) x (2m m 1) y 2m 6 0(m 1)
2 2
根据下列条件分别确定m的值： （1）直线l在x轴上的截距是-3; (2 ) 直线l的斜率是1。
问题一 若直线l经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )( x1 x2 ) ，点P(x,y)在直线l 上运动，那么点P的坐标x和y之间满足什么关系？
若直线l经过两点
P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )( x1 x2 )，则直线l的斜率为
即 2x y 7 0 .
练习1：
1.已知一直线经过点P(4,-2)，斜率为3，求这条直线的方程。 2.已知一直线经过点P(-1,2)，斜率为0，求这条直线的方程。
例2： 已知直线l 斜率为k，与y轴的交点是P(0,b)，求直线l的方程。 解：由直线的点斜式方程，得 y b k ( x 0) 即为 y kx b . 其中，b为直线与y轴交点的纵坐标。 我们称b为直线l 在y轴上的截距。 方程 y kx b 由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定 。 所以，这个方程 y kx b 就也叫做直线的斜截式方程。
a b 0
.
其中b为直线在y轴上的截距，a为直线在x轴上的截距。 这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这 个方程也叫做直线的截距式方程。
例2： 已知三角形的顶点是 A(5,0), B(3, 3), C (0, 2) 试求这个三角形三边所在直线的方程。
C (0, 2)
A(5,0)
由直线点斜式方程得：
y2 y1 k x2 x1
当
y1 y2 时，方程可以写成
y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
这个方程是由直线上两点确定的。
方程
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x
可以验证：直线l上的每个点（包括点P1 ）的坐标都是这个方程的解；
反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上。
由此，这个方程 y y1 k ( x x1 ) 就是过点P1 ，斜率为k的直线l的方程。
方程
y y1 k ( x x1 )
叫做直线的点斜式方程。
问 点斜式方程能不能表示平面内所有的直线?
A C y x B B
A ，在轴上截距为 C的直线；特别地， B 当A=0时，它表示垂直于轴的直线。 B
它表示斜率为
（2）当
C x 它表示垂直于轴的直线。 A
B 0 时，由 A 0 ，方程Ax+By+C=0可以写成
因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二 元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示一条直 线。
作业：
P79-80 习题2.1（1） 3，6，7，8。
直线的方程
高一年级 曾艳萍
问题一
1.在平面内，需要知道哪几个条件，才能确定直线的位置。 2.画出经过点A(-1,3)，斜率为-2的直线。
y
A(-1,3)
. .
O x
3.在直角坐标系内， 点的代数形式是 坐标 直线方向的代数形式是
。 斜率
。
问题二 若直线l经过点A(-1,3)，斜率为-2，点P(x,y)在直线l上运动，那么 点P的坐标x和y之间满足什么关系？
叫做直线的两点式方程。
问 点斜式方程能不能表示平面内所有的直线? 答 不能。从代数式的表达意义上讲“两点式” x1 方程使用的前提是“ x2 y1 y2 ”。 且 它不能表示倾斜角为 0 和 的直线，即 90 当直线与x轴,y轴不平行时，可以用两点式 表示。
例1： 已知一直线经过两点 A(a,0), B(0, b). 其中 求这条直线的方程。 解：由直线的两点式方程，得 y 0 xa b0 0a x y 即 1 a b
B(3, 3)
例3： 求过点 (3, 4) 且在坐标轴上的截距相等的直线的方程。
问题二
以上我们介绍了直线方程的几种特殊形式，它们都是关于 x和y的二元一次方程，那么，关于x和y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示直线吗？ （1） 当
B 0 时，方程Ax+By+C=0可以写成
2.方程y=kx+2表示通过点(0,2)的所有直线。
( X ) ( X )
3.若直线y=kx+b与y轴交点为A，则线段AO的长度为b。
( X )
练习2： 1. 求斜率为-3，在y轴上的截距为-1的直线的方程。 2.已知一条直线经过点P(1,2)，且斜率与直线2x+y-3=0相等， 则该直线的方程是 。
例6：
4 已知直线经过A（6，4），斜率为 ，求直线方程 3 的点斜式，一般式，截距式。
回顾反思： （1）在熟记的基础上灵活运用所有直线方程的表达 形式。 （2）注意点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的适用范 围。
（3）直角坐标系是把直线和方程联系起来的桥梁，一个 二元一次方程就是直角坐标系上的一条确定的直线。