北京市2021届高三入学定位考试数学试题(含解析)
2021年高三上学期入学考试数学试题 含答案
2021年高三上学期入学考试数学试题 含答案一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设集合，则( )A ．B ．C ．D ．2．复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D．第四象限3．命题“，”的否定是 ( )A ．，使得B ．，使得≤0C ．，都有≤0D ．，都有4．函数的图象是 ( )5．已知，则 （ ）A ．B ．C ．D ．6．设变量满足约束条件则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若等差数列的公差，且成等比数列，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数的图像为，如下结论中错误的是（ ）A ．图像关于直线对称B ．图像关于点对称C ．函数在区间内是增函数D ．由得图像向右平移个单位长度可以得到图像10．设函数，则其零点所在的区间为（ ）A ．B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11.阅读右侧程序框图，则输出的数据为_____.12．已知，函数的最小值13．的值为14．等比数列中，，，则的前项和为15.已知向量，，，则16．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.三．解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上的值域.18. （本小题满分12分）在中，角A、B，C所对的边分别为，且（1）求的值；（2）若的值.19.（本小题满分12分）已知（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在处有极值，求的单调递增区间；密 封 线 内 请 不 要 答 题 （Ⅲ）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.北信附中xx ～xx 学年第一学期入学考试试卷 高 三 数 学 答 题 卡xx.9 第Ⅱ卷（非选择题，共60分） 二．填空题（本题满分24分） (11) (12) (13) (14) (15) (16) 三．解答题(本大题满分36分) 17. （本小题满分12分） （1）（2）18.（本小题满分12分）（1）（2）19.（本小题满分12分）（1）（2）(3)北信附中xx ～xx 学年第一学期入学考试试卷高 三 数 学 答 案 xx.9一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 12. 4 13. 14. 15. 16.三、解答题：本大题共4小题，共36分17. （本小题满分12分）解：已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上的值域.解：（Ⅰ）2()1sin 22cos )4f x x x x π=+-=-， …………………………………3分 最小正周期T=, …………………………………………………………………………4分单调增区间， ……………………………………………………7分（Ⅱ），， …………………………10分在上的值域是. ……………………………………………12分18 （本小题满分12分）解：（1）因为所以………………………3分由已知得所以A A A B sin 4cos cos 4sin )4sin(sin πππ-=-= ………………………6分（2）由（1）知，根据正弦定理得又因为 ………………………12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得的定义域为，因为，所以当时，，所以，因为，所以 ……………………2分所以曲线在点处的切线方程为，即. …………………………3分（Ⅱ）因为在处有极值，所以，由（Ⅰ）知，所以经检验，时在处有极值． …………………………4分 所以，令解得；因为的定义域为，所以的解集为，即的单调递增区间为. …………………………………………6分（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，① 当时，因为，所以 ，所以在上单调递减，，解得，舍去. ……………………8分②当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，满足条件. …………………10分③ 当时，因为，所以，所以在上单调递减，，解得，舍去.综上，存在实数，使得当时有最小值3. ……………12分 34584 8718 蜘24677 6065 恥 32798 801E 耞23953 5D91 嶑39049 9889 颉J31012 7924 礤28780 706C 灬7V29226 722A 爪。
北京市首师大附中2021届高三数学上学期开学试题(含解析)
令 ，则 .
平面 的法向量为 .
设二面角 的大小为 ，则 为锐角， ；
（Ⅲ）由 ，
因为 平面 ，则 ，即 ，所以 .
【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角以及利用空间向量法求解动点问题，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19. 已知椭圆 ： ( )的右焦点为 ，离心率为 .直线 过点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 .
【详解】选①， 的面积 成立，理由如下：
当 时， ，所以 ，所以 ，
则 的面积 ，
因为 ，所以 成立；
选②， 的面积 不成立，理由如下：
当 时， ，
即 ，整理得， ，所以 ，
因 ， ，所以 是 为直角的三角形，
所以 的面积 ，所以 不成立.
【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
【详解】因为（1﹣2x）5展开式的通项公式为 •（﹣2x）r，
令r＝3，
所以x3系数为 •（﹣2）3＝﹣80，
故选：D.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.
5. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A.y＝x﹣2B.y＝|lnx|C.y＝2﹣xD.y＝xsinx
【详解】将函数 图象上所有点向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，
则 ，
设 ，
则当 时， ， ，
即 ，
要使 在区间 上单调递减，
则 得 ，得 ，
即实数 的最大值为 ，
故选：B.
【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.
北京市东城区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
北京市东城区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．5268D ．5266【答案】A 【解析】 【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r. 因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =. 因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DM r =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题 2．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 3．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 【答案】C 【解析】【分析】根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭,即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立. 设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1'23h x m x=-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫+∞⎪+⎝⎭上单调递减, 当1023x m <<+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递增.故在123x m =+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪++⎝⎭. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当21t e >时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减； 当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e⎛⎫⎪⎝⎭递增. 故在21t e =处()h t 取得极大值,为22221111ln 1=k e e e e⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21e. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题.4．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ< D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，再根据21211p p <<<和二次函数的性质求解. 【详解】因为随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.所以i ξ服从二项分布， 由二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，因为21211p p <<<， 所以()()12E E ξξ<，由二次函数的性质可得：()()1f x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()()12D D ξξ>. 故选：B 【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 5．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A 【解析】 【分析】向量1a m =（，），32b m =-（，），//a b ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出【详解】解：向量1a m =（，），32b m =-（,）， //a b ，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 6．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A ∪B= A ．（–1，1） B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的求法直接求出结果. 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)AB =-+∞ ，故选C. 【点睛】考查并集的求法，属于基础题.7．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 【答案】B 【解析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA=-代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.8．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B 【解析】分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i --===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题. 9．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交【答案】D 【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．选D ．10．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．11．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==OC c =.E 为OB 中点.由1a b +=即可求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】根据题意,||2,b =设()(),,2,0OP a x y OB b ====,(),1,0OC c E =则2b OE =由1a b +=代入可得()2221x y ++=即P 点的轨迹方程为2221x y又因为c a b λμ=+,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即2OC OP OE λμ=+,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:所以||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=由切线性质及点M1=,化简可得281k =即4k =±所以切线方程为044x y --=或044x y +-= 所以当a 变化时, O 到直线PE 的最大值为13m ==即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.12．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.故选：C . 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市第十三中学2021届高三上学期开学考试数学试题
北京市第十三中学2021届高三上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设复数11z i=-，则复数z =（ ） A ．1i -B ．1122i -C ．1i +D ．1122i + 2．(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于 A ．80B ．40C ．20D ．103．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（ ） A ．A ，C 为对立事件 B ．A ，B 为对立事件C ．A ，C 为互斥事件，但不是对立事件D ．A ，B 为互斥事件，但不是对立事件 4．设函数()4f x x x=+，则()f x 的极大值点和极小值点分别为（ ） A ．－2，2B ．2，－2C ．5，－3D ．－5，35．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率14，乙解出这个问题的概率是12，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是( ) A ．34B ．18C ．78D ．586．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120 km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A ．30辆B ．1700辆C ．170辆D ．300辆7．若02x π<<，则下列命题正确的是（ ）A ．2sin x x π<B ．2sin x x π>C ．3sin x x π<D ．3sin x x π>8．下图是两组各7名同学体重（单位： kg ）数据的茎叶图．设1， 2两组数据的平均数依次为1x 和 2x ，标准差依次为1s 和 2s ，那么（ ）（注：标准差(n s x x =++- x 为12,,,nx x x 的平均数）A ．12x x >， 12s s <B ．12x x >， 12s s <C ．12x x <， 12s s <D ．12x x <， 12s s <9．教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（ ） A ．84B ．42C ．41D ．3510．已知函数()1xa f x e x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若同时满足条件：①()00,x ∃∈+∞，0x 为()f x 的一个极大值点；②()8,x ∀∈+∞，()0f x >.则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]4,8 B ．[)8,+∞ C ．()[),08,-∞+∞D ．()(],04,8-∞二、填空题11．若复数z 满足12i z i ⋅=+，则||z =_________.12．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是_________.13．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量1ξ=表示结果中有正面向上，0ξ=表示结果中没有正面向上，则E ξ=________.14．学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为________.三、双空题15．二项式613x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于________；二项式系数和为________. 16．已知函数()ln xf x x=. （1）函数的最大值等于________；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，则实数a 的最小值是________.四、解答题17．已知函数()32f x x ax x a =--+，其中a 为实数.（1）求导数()f x '；（2）若()10f '-=，求()f x 在[]2,3-上的最大值和最小值.18．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19．2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在1836-岁之间，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信的数量，现在从北京大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（1）求a ，b ，c 的值．（2）若从100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率．（3）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大．．．学生．．中随机抽取3人，记X 表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X 的分布列和数学期望EX ．20．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间；（2）若对所有1≥x 都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.21．甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是35,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. （1）求乙得分的分布列和数学期望； （2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.22．已知函数()2ln ,23,x x x af x x x x a >⎧=⎨-+-≤⎩，其中0a ≥.（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有()()12f x f x <，求a 的取值范围.参考答案1．B 【分析】由除法法则计算出z 后可得其共轭复数． 【详解】111111(1)(1)222i i z i i i i ++====+--+，∴1122z i =-， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，根据除法法则直接计算化简即可． 2．B 【详解】()512x + 的展开式的通项515(2)r r r T C x -+= ，令52r解得3r =∴(1+2x)5的展开式中，x 2的系数为325C 240=3．C 【解析】试题分析：根据对立事件与互斥事件的定义进行判断，由于A C ⋃≠Ω，因此A 错；A B ⋃≠Ω，因此B 错；,A C A C ⋃≠Ω⋂=∅，因此C 对；{}3A B ⋂=，因此D 错； 考点：对立事件；互斥事件； 4．A 【分析】求出导函数，由导函数确定函数的单调性与极值． 【详解】易知函数定义域是{|0}x x ≠， 由题意224(2)(2)()1x x f x x x +-'=-=，当2x <-或2x >时，()0f x '>，当20x -<<或02x <<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上递增，在(2,0)-和(0,2)上递减， ∴极大值点是－2，极小值点是2． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，求出导函数，确定导函数的正负是解题关键． 5．D 【分析】由甲解决这个问题的概率是14，乙解决这个问题的概率是12，则“至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”，我们可先求出“甲、乙两人均不能解决该问题”，然后根据对立事件概率减法公式，代入求出答案． 【详解】甲解决这个问题的概率是14， ∴甲解决不了这个问题的概率是13144-=， 乙解决这个问题的概率是12， ∴乙解决不了这个问题的概率是11122-= 则甲、乙两人均不能解决该问题的概率为313428⨯=则甲、乙两人至少有一人解决这个问题的概率为35188-= 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式及对立事件概率减法公式，其中根据已知求出“甲乙两个至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”的概率，是解答本题的关键． 6．B 【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆. 【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为()0.030.0350.02100.85++⨯=，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有20000.851700⨯=（辆），故选B. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 7．B 【分析】构造函数2()sin f x x x π=-，3()sin g x x x π=-，利用导数得出其单调性，得出02x π<<时，()0f x >恒成立，存在2(0,)2x π∈，使得2()0g x =，这样可得正确选项同．【详解】 设2()sin f x x x π=-，则2()cos f x x π'=-，201π<<，∴存在0(0,)2x π∈，使得0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 递增，当0(,)2x x π∈时，()0f x '<，()f x 递减，又(0)0f =，()02f π=，∴02x π<<时，()0f x >，即2sin x x π>，B 正确，A 错误；设3()sin g x x x π=-，则3()cos g x x π'=-，301π<<，∴存在1(0,)2x π∈，使得1()0g x '=，当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 递增，当1(,)2x x π∈时，()0g x '<，()g x 递减，又(0)0g =，∴1()0g x >，1()022g π=-<，∴()g x 在1(,)2x π上存在零点2x ，即223sin x x π=，CD 均错．故选：B ． 【点睛】本题考查考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立．解题关键是构造函数，由函数研究不等式问题． 8．C 【解析】 试题分析：153565758617072617x ++++++==，254565860617273627x ++++++==，1 6.72s =≈，2 6.99s =所以12x x <，12s s <.考点：1.茎叶图；2.平均数与标准差 9．B 【分析】分选出0本论语、1本论语、2本论语、3本论语四种情况，分别求出选法，即可得出结果. 【详解】 由题意，若选出0本论语，则有3620C =种选法； 若选出1本论语，则有2615C =种选法；若选出2本论语，则有166C =种选法；若选出3本论语，则有1种选法；综上，不同的选法种数为20156142+++=. 故选B 【点睛】本题主要考查计数原理，熟记分类加法计算原理即可，属于常考题型. 10．A 【分析】条件①说明()'f x 在(0,)+∞上存在零点，极大值点，利用方程的根可得a 的范围，然后求出条件②不等式恒成立a 的范围，求交集可得a 的范围． 【详解】定义域是{|0}x x ≠，222()()1x x a a e x ax a f x e x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞存在极大值点，则20x ax a -+=有两个不等实根，240a a ∆=->，0a <或4a >，设20x ax a -+=的两个实根为1212,()x x x x <，1x x <或2x x >时，20x ax a -+>，12x x x <<时，20x ax A -+<，当0a <，1212x x ax x a+=⎧⎨=⎩，则120x x <<，但2x x >时，()0f x '>，2x 不可能是极大值点；当4a >时，由1212x x ax x a+=⎧⎨=⎩知1>0x ，20x >，10x x <<或2x x >时，()0f x '>，12x x x <<时，()0f x '<．即()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减，1x 是极大值点，满足题意． 所以4a >．()10x a f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则10a x ->，∵8x >，∴a x <，∴8a ≤．综上48a <≤．故选：A ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值．11 【分析】先求出复数z ，再求模. 【详解】由12i z i ⋅=+得122iz i i+==-，则z ==. 【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题. 12．9599【分析】在第1次抽到次品后，还有4件次品，95件正品，利用概率计算公式可得结果. 【详解】在第1次抽到次品后，还有有4件次品，95件正品， 则第二次抽到正品的概率为9599P =，故答案为9599. 【点睛】本题主要考查条件概率，属于简单题.解答条件概率问题时，一定要注意条件概率与独立事件概率的区别与联系. 13．34【分析】先求出结果中没有正面向上的概率和结果中有正面向上的概率，再利用期望公式求解. 【详解】由题意知，结果中没有正面向上的概率为111=224⨯，此时0ξ=， 而1ξ=时对应概率为13144-=，31310444E ξ∴=⨯+⨯=．故答案为：34【点睛】本题主要考查随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．2 【分析】用列举法写出所有符合条件的排列 【详解】满足题意的排列,3142，2413，只有两个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查排列，直接写出排列是排列个数较少时的一种方法． 15．-540 64 【分析】求出二项展开式通项公式，令x 的指数为0，得常数项的项数，从而得常数项，根据二项式系数的性质可得二项式系数和． 【详解】展开式通项公式为66621661(3)(1)3rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，3r =，∴常数项为()3334613540T C =-⨯⨯=-，展开式中二项式系数和为6264=． 故答案为：－540；64． 【点睛】本题考查二项式定理，二项式系数的性质，解题关键是掌握二项展开式通项公式． 16．1e1 【分析】（1）求出导函数()'f x ，由导函数确定单调性，极值，得最大值；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e -≤，而由（1）在[),e +∞上10()f x e<≤，因此只要当0a e <<时，min ()0f x ≥即可得，由此可得a 的取值范围，从而得a 的最小值．【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，21ln ()xf x x-'=， 0x e <<时，()0f x '>，()f x 递增，x e >时，()0f x '<，()f x 递减，∴x e =时，()f x 取得极大值也是最大值1()f e e=； （2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立， 等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e-≤， 由（1）当a e ≥时，max 1()f x e≤，且()0f x >，满足题意； 当0a e <<，()f x 在[,]a e 上递增，ln 1()a f x a e ≤≤，在[),e +∞递减，10()f x e<≤， 只要ln 0aa≥即可，∴1a e ≤<， 综上[1,)a ∈+∞，a 的最小值是1.． 故答案为：1e；1． 【点睛】本题考查用导数求函数最值，研究不等式恒成立问题，恒成立问题的解题关键转化为函数的最小值0≥，由单调性易得结论．17．（1）()2321f x x ax =--'；（2）()max 32f x =；()min 3f x =-【分析】（1）利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则即可求解.（2）利用()10f '-=，求得1a =-，再利用导数求出函数的单调区间，进而求出最值. 【详解】（1）由()32f x x ax x a =--+，则()2321f x x ax =--'（2）因为()10f '-=，则3210a +-=，解得1a =-， 所以()()()[]2321311,2,3f x x x x x x =+-=∈-'-+，当()0f x '<，解得113x -<<，减区间为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，当()0f x '>，解得123x <<或21x -<<-，增区间为()12,1,,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ()10f -=，132327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()23f -=-，()332f =，所以()()max 332f x f ==，()()min 23f x f =-=-， 综上所述，()max 32f x =，()min 3f x =- 【点睛】本题考查了导数的基本运算法则、利用导数求函数的最值，属于基础题. 18．（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34； （Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p < 【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求0p ，再根据频率估计概率1p ，即得大小. 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=； （Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （Ⅲ）01p p < 【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．（1）35a =，120b =，720c =．（2）1633．（3）见解析.【分析】(1)由频率分布列的性质及=频数频率总数,能求出a,b,c 的值. (2)记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A,利用等可能事件概率计算公式能求出2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率. (3)依题意可知,微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0,1,2,3,由此能求出X 的分布列和数学期望EX. 【详解】（1）由已知得030305100a ++++=，解得35a =，5110020b ==，35710020c ==． （2）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则()1140602100C C 16C 33P A ==． 所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． （3）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0，1，2，3．则()430322270C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()121322541C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()212322362C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3332283C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为：数学期望2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望. 20．（1）()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；（2）(],1-∞. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，()0f x '<确定减区间；（2）分离参数得1ln a x x≤+，利用导数求得()1ln g x x x =+在[1,)+∞上的最小值即可．【详解】解：（1）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+，()1ln f x x '=+. 令()0f x '>解得1x e >；令()0f x '<解得10x e<<. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）依题意，得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立， 即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立.令()1ln g x x x =+，即()min a g x ≤，()22111x g x x x x-'=-=， 当1x >时，因为()210x g x x-'=>，故()g x 是[)1,+∞上的增函数， 所以()()min 11g x g ==，则1a ≤. 所以a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】本题考查用导数求单调区间，研究不等式恒成立问题，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，转化为求函数的最值． 21．（1）分布列详见解析，15()2E X =；（2）103125【分析】（1）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论． 【详解】（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15-，0，15，30，()3531011512C P X C =-==；21553105)0(12C C C P X ⋅===； 12553105(5)121P C C X C ⋅===；353101() 3012P C C X === 乙得分的分布列如下：()1501530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯= （2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B ．则()322332381()()()551525C P A ==+，()51211122P B +==， 故甲乙两人至少有一人入选的概率441103111252125()A B P P =--⨯=⋅=． 【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键． 22．（1）1y x =-；（2）1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据题意，对函数求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程；（2）先由题意，得到函数()f x 是定义在R 上的增函数；根据导数的方法以及二次函数的性质，由分段函数单调性，分别求解，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，得0x >时，()()ln ln 1f x x x x ''==+， 所以()11f '=，又因为()10f =，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-； （2）因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有()()12f x f x <， 所以()f x 是定义在R 上的增函数；当x a ≤时，()223f x x x =-+-是开口向下，对称轴为1x =的二次函数，为使其在(),a -∞上单调递增，只需1a ≤；当0x >时，()ln f x x x =， 则()ln 1f x x '=+，令()ln 10f x x '=+=，解得1=x e. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：即函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()min 11f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 为使其在(),a +∞上单调递增，只需1a e≥； 又因为()22123122x x x e-+-=---≤-<-，即x a ≤时，()f x 的最大值，必然小于x a >时，()f x 的最小值； 综上，满足题意的a 的取值范围为1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查由分段函数单调性解不等式，利用导函数的方法求解即可，属于常考题型.。
2021届北京市高三入学定位考试数学试题(解析版)
北京市2021届高三入学定位考试试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{}5A x x =<，{}*21,N B x x n n ==-∈，则AB =（ ）A.{}1,1,3-B.{}1,3 C.{}1,3,5D.{}0,1,3『答案』B 『解析』{}1,3,5,B =⋅⋅⋅，{}1,3A B =，故选：B.2. 设复数：1z i =+，则在复平面内复数4z 对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第三象限C. 实轴上D. 虚轴上『答案』C『解析』()()2224124z i i ⎡⎤=+==-⎣⎦，故对应点为()4,0-， 故选：C.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 8B. 83C. 4D. 43『答案』B『解析』由三视图，在棱长为2的正方体中还原该几何体如下，该几何体是底面为正方形，高为2的正四棱锥，所以其体积为118222333V Sh ==⨯⨯⨯=. 故选：B.4.在62x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ） A. 60B. 30C. 20D. 15『答案』A『解析』因为62x ⎫⎪⎭展开式的第1r +项为6632216622r rr r r r r r T C x x C x ---+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令630r -=，则2r ，所以常数项为2236260T C =⋅=.故选：A.5. 设P 为圆222440x y x y +---=上一点，则点P 到直线340x y -=距离的取值范围 是（ ） A.[]2,4B.[]0,4C.[]1,2 D. []0,9『答案』B『解析』圆()()222123x y -+-=，圆心()1,2，半径3，圆心到直线距离1d ==，所以点P 到直线340x y -=距离的最短为0，最长为134+=， 故选：B.6. 设函数()sin xf x x =，则()fx 是（ ）A. 奇函数，且存在0x 使得()01f x >B. 奇函数，且对任意0x ≠都有()1f x <C. 偶函数，且存在0x 使得()01f x >D. 偶函数，且对任意0x ≠都有()1f x <『答案』D『解析』可知()f x 的定义域{}x x ≠关于原点对称，且()()sin sin ()x xf x f x xx --===-，所以()f x 是偶函数，故A ，B 错误；当0x >时，令()sin g x x x =-，则()cos 10g x x '=-≤，()g x ∴在()0,∞+单调递减，则()(0)0g x g <=，即sin 0x x -<，sin 1xx <，令()sin h x x x =+，则()cos 10h x x '=+≥，()h x ∴在()0,∞+单调递增，则()(0)0h x h >=，即sin 0x x +>，sin 1xx >-， sin 11x x ∴-<<，即sin 1x x <，∴当0x >时，()1f x <，因为()f x 是偶函数，所以对任意0x ≠都有()1f x <.故选：D.7. 过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则以线段AB 为直径的圆一定（ ） A. 经过原点B. 经过点()1,0-C. 与直线1x =-相切D. 与直线1y =-相切『答案』C 『解析』设()11,A x y ，()22,B x y ，利用焦半径公式可得：12AB x x p=++，又1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以M 到直线1x =-距离为12122x x p d AB ++==，的所以以线段AB 为直径的圆一定直线1x =-相切. 故选：C.8. 设随机变量ξ的分布列如下其中126,,,a a a ⋅⋅⋅构成等差数列，则16a a ⋅的（ ）A. 最大值为19 B. 最大值为136 C. 最小值为19D. 最小值为136『答案』B『解析』1234561a a a a a a +++++=，1613a a +=，216161236a a a a +⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1616a a ==时取等，故选：B.9. 在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』C 『解析』余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.10. 设函数()3,log ,x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩， 其中0a >.若函数()2y f x =-有且仅有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A. （0，2） B. （0，9） C.[)9,+∞D.()[)0,29,⋃+∞『答案』D『解析』根据选项，可得：若9a =时，函数()3,9log ,9x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，令()2f x =， 当9x ≤时，令2x =，解得2x =或2x =-；当9x >时，令3log 2x =，解得9x =（舍去），此时函数()2y f x =-有且仅有两个零点，排除A 、B ；若1a =时，函数()3,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，令()2f x =， 当1x ≤时，令2x =，解得2x =-或2x =（舍去）；当1x >时，令3log 2x =，解得9x =，此时函数()2y f x =-有且仅有两个零点，排除C.故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数()1f x x =的定义域为_________.『答案』[)()-100⋃+∞，，『解析』联立10,0,x x +≥⎧⎨≠⎩，得函数的定义域为[)()1,00,-⋃+∞.故答案为：[)()1,00,-⋃+∞12. 设平面向量，()3,a k =，(),4b k =，若//a b ，且a 与b 方向相反，则实数k =________.『答案』-『解析』因为//a b ，所以23412k =⨯=，解得k =±又a 与b 方向相反，故k =-故答案为：-13. 若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线2y x =垂直，则其离心率为________.『答案』『解析』因为渐近线方程b y x a =±，所以12b a =，则2a b =，c ==，故离心率为2c ab ==.故答案为：.14. 设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>对于任意R x ∈，都有()()f x f x π≤+成立，则符合条件的ω的一个值为________.『答案』2『解析』由题意，函数()sin cos )4f x x x x πωωω=+=+， 要使得函数()f x 对于任意R x ∈，都有()()f x f x π≤+成立，则满足kT π=，即2k w ππ⋅=，当1k =时，2w ππ=，此时2ω=，故符合条件的ω的其中一个值为2. 故答案为：2.15. 蜂巢结构精密，是通过优胜劣汰的进化自然形成的.单蜂巢的横截面为正六边形，有人研究发现，蜂巢横截面结构和科学论证的最“经济”平面简单结构完全一致，最“经济”平面简单结构同时满足以下两点：（1）横截面图形由全等的正多边形组成，且能无限无缝隙拼接（称此正多边形具有同形结构）；（2）边长为1的单个正n 边形的面积与边数之比nP 最大.已知具有同形结构的正n（3n ≥）边形的每个内角度数为α，那么()*360N k k α︒=∈.给出下列四个结论：①64P =；②正三角形具有同形结构；③具有同形结构的正多边形有4个；④k 与n 满足的关系式为22nk n =-；其中所有正确结论的序号是________.『答案』①②④『解析』对于①，2661464P ==，①正确；对于②③④，n 边形的内角和为()1802n ︒⨯-，正()3n n ≥边形的每个内角度数为()2180n nα-⨯︒=，所以()360360221802n n k n n α︒︒===-⨯︒-，又*N k ∈，故()2244222n k n n -+==+--，故3,4,6n =，所以22nk n =-，3,4,6n =.所以②④正确，③不正确，故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是11A C 的中点，且12AC BC AA ===.（Ⅰ）求证：11//A B 平面ABD ；（Ⅱ）求直线1AB 与平面ABD 所成角的正弦值.『解』（Ⅰ）如图，由三棱柱111ABC A B C -，得11//A B AB ，又因为11A B ⊄平面ABD ，AB平面ABD ，所以11//A B 平面ABD ；（Ⅱ）因为1CC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，所以CA ，CB ，1CC 两两垂直，故分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴， 如图建立空间直角坐标系，则()0,2,0B ，()2,0,0A ，()10,2,2B ，()1,0,2D ，所以()12,2,2AB =-，()12,2,0AB =-，()1,0,2AD =-，设平面ABD 的法向量(),,n x y z =，由0AB n ⋅=，0AD n ⋅=，得220,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令2x =，得()2,2,1n =. 设直线1AB 与平面ABD 所成角为θ，则1113sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>==⋅，所以直线1AB 与平面ABD 所成角的正弦值为.17. 在ABC 中，3A π=，b =再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（Ⅰ）B 的大小；（Ⅱ）ABC 的面积 .条件①：222b ac =+； 条件②：cos sin a B b A =. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.『解』若选择条件①：222b ac +=+.（Ⅰ）因为222b ac =+，由余弦定理222cos 22a c b B ac +-==， 因为()0,B π∈，所以4B π=.（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2b Aa B===，又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12=+=，所以11sin 22ABC S ab C ===△.若选择条件②：cos sin a B b A =.（Ⅰ）由正弦定理sin sin a bA B =，得sin sin a B b A =.又因为cos sin a B b A =，所以sin cos B B =，又因为()0,B π∈，所以4B π=.（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2b Aa B===，又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1222=+⨯=，所以11sin 22ABC S ab C ===△.18. 为了解某校学生的体育锻炼情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两个年级中各抽取6名学生进行体育水平测试测试，得分如下（满分100分） ：A 年级6名学生体育测试得分分别为：73，62，86，78，91，84.B 年级6名学生的体育测试得分分别为：92，61，85，87，77，72.已知在体育测试中，将得分大于84分的学生记为体育水平优秀. （Ⅰ）分别估计A ，B 两个年级的学生体育水平优秀的概率；（Ⅱ）从A ，B 两个年级分别随机抽取2名学生，估计这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率；（Ⅲ）记A ，B 两个年级6名样本学生体育测试得分数据的方差分别为2AS ，2BS ，试比较2AS 与2BS 的大小.（结论不要求证明）『解』（Ⅰ）根据数据，A 年级6名学生的体育测试得分中有2个大于84分，用频率估计概率，可得A 年级的学生体育水平优秀的概率约为2163=；B 年级6名学生的体育测试得分中有3个大于84分，可得B 年级的学生体育水平优秀的概率约为3162=. （Ⅱ）记事件“从A ，B 两个年级分别随机抽取2名学生，这4名学生中至少有2人体育水平优秀”为M .的“这4名学生中恰有0人体育水平优秀的概率.22011111329P ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.事件“这4名学生中恰有1人体育水平优秀”的概率2211122111111111113323223p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯-+-⨯⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则()01519P M p p =--=，答：估计这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率()59P M =.（Ⅲ）由题设中的数据，可得79A B x x ==，求得()()222222222222221117615712,1872681366A B S S =+++++=+++++可得22BA S S <.19. 设函数()()1xe f x a x x =--，其中R a ∈.（Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在()2,1--上有极大值，求a 的取值范围.『解』（Ⅰ）由题意()x e f x x =，求导得()()21x e x f x x -'=.所以()l f e=，()l 0f '=所以曲线()y f x =在点()()1,l f 处的切线方程为y e =.（Ⅱ）()()21x e x f x ax -'=-，令()()21x e x g x ax -=-，则()()2322x e x x g x x -+'=.因为对于()2,1x ∀∈--，()()23110x e x g x x ⎡⎤-+⎣⎦'=<恒成立，所以()g x 在()2,1--上单调递减，即()f x 在()2,1--上单调递减， 因为()f x 在()2,1--上有极大值，所以()f x 在()2,1--上存在“左正右负”变号零点.由零点存在性定理：只需()()20,10,f f ⎧->⎪⎨-<''⎪⎩，即230,4210.a e e ⎧-->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩所以2234a ee -<<-. 所以函数()f x 在()2,1--上有极大值时，a 的取值范围为223,4e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 20. 已知椭圆E ：()22104x y m m +=>，圆W ：224x y +=，过点()2,0A -作直线l 交椭圆E 于另一点B ，交圆W 于另一点C .过点B ，C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1B ，1C .（Ⅰ）设()0,2C ，B 为AC 的中点，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若1m =，求11B C 的最大值.『解』（Ⅰ）由B 为AC 的中点，得()1,1B -，代入椭圆E 的方程，得43m =，所以椭圆E 的方程为223144x y +=.（Ⅱ）由题意得直线l 的斜率存在. 当直线l 的斜率为0时，110B C =当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为()2y k x =+，设()11,B x y ，()22,C x y .联立方程()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()()222214164410k x k x k +++-=.则()()()2222161614410kkk ∆=-+->，()21216214k x k +-=-+，所以()21221414k x k -=+. 联立方程()222,4,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去y ，得()()222214410k x k x k +++-=.则()()2224121k x k --⋅=+，所以()222211k x k -=+.于是()()2211122221421141k k B C x x k k --=-=-++24222121241451345k k k k k ==≤=++++.当且仅当2214k k =，即212k =时，11B C 取最大值43.综上所述，当k =时，11B C 取最大值43.21. 已知{}n a 是无穷数列，且10a <.给出两个性质：①对于任意的m ，*N n ∈，都有m n m na a a +>+；②存在一个正整数p ，使得n p na a +>，对于任意的*N n ∈都成立.（Ⅰ）试写出一个满足性质①的公差不为0的等差数列{}n a （结论不需要证明）（Ⅱ）若2nn a -=-，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，并说明理由；（Ⅲ）设{}n a 为等比数列，且满足性质②，证明：数列{}n a 满足性质①.『解』（Ⅰ）答案不唯一，如3n a n =-.因为m n m na a a +>+，即()()()111111a m m d a m d a n d++->+-++-，即1a d <，只需取10a <，0d >即可；（Ⅱ）数列{}n a 同时满足性质①和性质②.理由如下：由2nn a -=-，得n a <，且112n n n a a a +=>.所以1p =，使得n p na a +>，对于任意的*N n ∈都成立.所以数列{}n a 满足性质②.由1n na a +>，得数列{}n a 为递增数列.又因为0n a <，所以对于任意的*,N m n ∈，m n m m n a a a a +>>+.即数列{}n a 满足性质①.（Ⅲ）设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，当0q >时，由10a <，得n a <，由题意，知n p na a +>，即()10p n a q ->，所以10p q -<，即1p q <.故01q <<. 当0q <时，由10a <，得20a >.由性质②，知22p a a +>，即()210p a q ->，所以10p q ->，即1pq >.故111p p a a q a +=<，这与性质②不符，所以0q <不成立. 综上，等比数列{}n a 的公比()0,1q ∈.所以1n n na a q a +=>，即数列{}n a 为递增数列，且0n a <.故对于任意的*,N m n ∈，m n m m n a a a a +>>+.即数列{}n a 满足性质①.。
北京市门头沟区2021届新高考一诊数学试题含解析
北京市门头沟区2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，0,a >∴Q 函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，则()()()()22,'1xxf x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()2'10xf x x x e =+->，解得15x -+>或15x --<由()()2'10xf x x e =-<，解得：1515x ---+<<，即1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A ．312B ．512C ．32D 51【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求出焦点坐标为(1,0)(-1,0)，,可求得幂函数为()f x x =,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率． 【详解】依题意可得，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，F 关于原点的对称点(1,0)-；24α=，12α=，所以12()f x x x ==，()2f x x '=，设00(,)Q x x ，则002xx =，解得01x =，∴ ()1,1Q ，可得22111a b -=，又1c =，222c a b =+，可解得51a -=，故双曲线的离心率是51251ce a +===-. 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.3．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C 3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为2，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．4．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.5．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ）A ．34+ B ．C ．36+ D 【答案】A 【解析】 【分析】 所求211a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121()[(1)]41a b a b ++--，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦-- ()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当()211b aa b -=-时取等号， 故选：A ． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.6．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】B 【解析】根据题意满足条件的安排为：A （甲，乙）B （丙）C （丁）；A （甲，乙）B （丁）C （丙）；A （甲，丙）B （丁）C （乙）； A （甲，丁）B （丙）C （乙）； A （甲）B （丙，丁）C （乙）；A （甲）B （丁）C （乙，丙）；A （甲）B （丙）C （丁，乙）；共7种，选B.7．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）． A ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦I C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞U【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出集合A ，进而求出集合A B U 和A B I ，分析选项即可得到答案. 【详解】根据题意，{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,8．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（ ） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】 【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 9．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 10．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -【答案】C 【解析】 【分析】根据程序图，当x<0时结束对x 的计算，可得y 值． 【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得1y e -=，故选C ． 【点睛】本题考查程序框图，是基础题．11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,ABC ∆是边长为3角形,若球O 的表面积为20π,则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为( ) A ．34B ．7 C 377D 7【答案】C 【解析】 【分析】设D 为AB 中点,先证明CD ⊥平面PAB ，得出CPD ∠为所求角,利用勾股定理计算,,PA PD CD ,得出结论． 【详解】设,D E 分别是,AB BC 的中点AE CD F =IPA ⊥Q 平面ABC PA CD ∴⊥ABC ∆Q 是等边三角形 CD AB ∴⊥又PA AB A =ICD \^平面PAB CPD ∴∠为PC 与平面PAB 所成的角ABC ∆Q 是边长为33CD AE ∴==，223AF AE ==且F 为ABC ∆所在截面圆的圆心 Q 球O 的表面积为20π ∴球O 的半径5OA =221OF OA AF ∴=-=PA ⊥Q 平面ABC 22PA OF ∴== 227PD PA AD ∴=+37tan 7CD CPD PD ∴∠===本题正确选项：C 【点睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．12．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为32c ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x = B ．2y x =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离为2c ，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=，可得：2c =，可得b c =，ba =C的渐近线方程为y =．故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
东城区2021年高三一模数学试卷及答案
北京市东城区2021届高三一模数学试卷2021.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<1}，那么A∪B＝（A）（－1，2）（B）（－1，1）（C）（－∞，2）（D）（－∞，1）（2）在复平面内，复数（1＋2i）i对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）某中学高一、高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（A）18（B）22（C）40（D）60（4）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（A）92（B）9（C）272（D）27（5）已知圆x 2＋y 2＝1截直线y ＝k （x ＋1）（k >0）所得弦的长度为1，那么k 的值为（A ）12（B（C ）1（D（6）已知函数2102,()6,2,x x f x x x ⎧-<<=⎨-≥⎩，那么不等式f （x ）（A ）（0，1]（B ）（0，2]（C ）[1，4]（D ）[1，6]（7）“x y <”是“ln ln x y <”成立的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）宽与长的比为心，10.6182≈的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD 中，BC1，AB ＞BC ，那么AB AC ⋅的值为 （A1（B1（C ）4（D）2（9）已知椭圆221221x y C a b+=：（a >b >0）的右焦点F 与抛物线222(0)C y px p =>：的焦点重合，P 为椭圆C 1与抛物线C 2的公共点，且PF ⊥x 轴，那么椭圆C 的离心率为 （A1（B）3（C）2（D1（10）如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线y ＝f （x ）连接在一起，需满足要求：曲线y ＝f （x ）经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD ，那么下列说法正确的是（A ）存在曲线y ＝ax 3＋bx 2－2x ＋5（a ，b ∈R ）满足要求 （B ）存在曲线y ＝sin cos 2ax bx+＋c （a ，b ，c ∈R ）满足要求（C ）若曲线y ＝f 1（x ）和y ＝f 2（x ）满足要求，则对任意满足要求的曲线y ＝g （x ），存在实数λ，μ，使得g （x ）＝λf 1（x ）＋μf 2（x ）（D ）若曲线y ＝f 1（x ）和y ＝f 2（x ）满足要求，则对任意实数λ，μ，当λ＋μ＝1时，曲线y ＝λf 1（x ）＋μf 2（x ）满足要求第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021届北京市第十三中学高三上学期开学考试数学试题(解析版)
2021届北京市第十三中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题 1．设复数11z i=-，则复数z =（ ） A ．1i - B ．1122i -C ．1i +D ．1122i + 【答案】B【解析】由除法法则计算出z 后可得其共轭复数． 【详解】111111(1)(1)222i i z i i i i ++====+--+，∴1122z i =-， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，根据除法法则直接计算化简即可． 2．(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于 A ．80 B ．40C ．20D ．10【答案】B 【解析】【详解】()512x + 的展开式的通项515(2)r r r T C x -+= ，令52r解得3r =∴(1+2x)5的展开式中，x 2的系数为325C 240=3．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（ ） A ．A ，C 为对立事件 B ．A ，B 为对立事件C ．A ，C 为互斥事件，但不是对立事件D ．A ，B 为互斥事件，但不是对立事件 【答案】C【解析】试题分析：根据对立事件与互斥事件的定义进行判断，由于A C ⋃≠Ω，因此A 错；A B ⋃≠Ω，因此B 错；,A C A C ⋃≠Ω⋂=∅，因此C 对；{}3A B ⋂=，因此D 错；【考点】对立事件；互斥事件； 4．设函数()4f x x x=+，则()f x 的极大值点和极小值点分别为（ ） A ．－2，2 B ．2，－2C ．5，－3D ．－5，3【答案】A【解析】求出导函数，由导函数确定函数的单调性与极值． 【详解】易知函数定义域是{|0}x x ≠， 由题意224(2)(2)()1x x f x x x +-'=-=， 当2x <-或2x >时，()0f x '>，当20x -<<或02x <<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上递增，在(2,0)-和(0,2)上递减， ∴极大值点是－2，极小值点是2． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，求出导函数，确定导函数的正负是解题关键． 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率14，乙解出这个问题的概率是12，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是( ) A ．34 B ．18C ．78D ．58【答案】D【解析】由甲解决这个问题的概率是14，乙解决这个问题的概率是12，则“至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”，我们可先求出“甲、乙两人均不能解决该问题”，然后根据对立事件概率减法公式，代入求出答案． 【详解】甲解决这个问题的概率是14， ∴甲解决不了这个问题的概率是13144-=， 乙解决这个问题的概率是12，∴乙解决不了这个问题的概率是11 122 -=则甲、乙两人均不能解决该问题的概率为313 428⨯=则甲、乙两人至少有一人解决这个问题的概率为35 188 -=故选：D．【点睛】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式及对立事件概率减法公式，其中根据已知求出“甲乙两个至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”的概率，是解答本题的关键．6．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A．30辆B．1700辆C．170辆D．300辆【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆.【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为()0.030.0350.02100.85++⨯=，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有20000.851700⨯=（辆），故选B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 7．若02x π<<，则下列命题正确的是（ ）A ．2sin x x π<B ．2sin x x π>C ．3sin x x π<D ．3sin x x π>【答案】B【解析】构造函数2()sin f x x x π=-，3()sin g x x x π=-，利用导数得出其单调性，得出02x π<<时，()0f x >恒成立，存在2(0,)2x π∈，使得2()0g x =，这样可得正确选项同． 【详解】 设2()sin f x x x π=-，则2()cos f x x π'=-，201π<<，∴存在0(0,)2x π∈，使得0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 递增，当0(,)2x x π∈时，()0f x '<，()f x 递减，又(0)0f =，()02f π=，∴02x π<<时，()0f x >，即2sin x x π>，B 正确，A 错误；设3()sin g x x x π=-，则3()cos g x x π'=-，301π<<，∴存在1(0,)2x π∈，使得1()0g x '=，当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 递增，当1(,)2x x π∈时，()0g x '<，()g x 递减，又(0)0g =，∴1()0g x >，1()022g π=-<，∴()g x 在1(,)2x π上存在零点2x ，即223sin x x π=，CD 均错．故选：B ． 【点睛】本题考查考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立．解题关键是构造函数，由函数研究不等式问题．8．下图是两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）A ．12x x >，12s s <B ．12x x >，12s s <C ．12x x <，12s s <D ．12x x <，12s s <【答案】C【解析】试题分析：153565758617072617x ++++++==，254565860617273627x ++++++==，()()()()()()()2222222115361566157615861616170617261 6.727s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-⎣⎦，()()()()()()()2222222215462566258626062616272627362 6.997s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-≈⎣⎦所以12x x <，12s s <.【考点】1.茎叶图；2.平均数与标准差9．教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（ ） A ．84 B ．42 C ．41 D ．35【答案】B【解析】分选出0本论语、1本论语、2本论语、3本论语四种情况，分别求出选法，即可得出结果. 【详解】 由题意，若选出0本论语，则有3620C =种选法；若选出1本论语，则有2615C =种选法； 若选出2本论语，则有166C =种选法；若选出3本论语，则有1种选法；综上，不同的选法种数为20156142+++=. 故选B 【点睛】本题主要考查计数原理，熟记分类加法计算原理即可，属于常考题型. 10．已知函数()1xa f x e x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若同时满足条件：①()00,x ∃∈+∞，0x 为()f x 的一个极大值点；②()8,x ∀∈+∞，()0f x >.则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]4,8 B ．[)8,+∞ C ．()[),08,-∞+∞D ．()(],04,8-∞【答案】A【解析】条件①说明()'f x 在(0,)+∞上存在零点，极大值点，利用方程的根可得a 的范围，然后求出条件②不等式恒成立a 的范围，求交集可得a 的范围． 【详解】定义域是{|0}x x ≠，222()()1x x a a e x ax a f x e x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞存在极大值点，则20x ax a -+=有两个不等实根，240a a ∆=->，0a <或4a >，设20x ax a -+=的两个实根为1212,()x x x x <，1x x <或2x x >时，20x ax a -+>，12x x x <<时，20x ax A -+<，当0a <，1212x x ax x a+=⎧⎨=⎩，则120x x <<，但2x x >时，()0f x '>，2x 不可能是极大值点；当4a >时，由1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩知1>0x ，20x >，10x x <<或2x x >时，()0f x '>，12x x x <<时，()0f x '<．即()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减，1x是极大值点，满足题意． 所以4a >．()10x a f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则10a x ->，∵8x >，∴a x <，∴8a ≤．综上48a <≤． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值．二、填空题11．若复数z 满足12i z i ⋅=+，则||z =_________.【解析】先求出复数z ，再求模. 【详解】由12i z i ⋅=+得122iz i i+==-，则z ==. 【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.12．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是_________. 【答案】9599【解析】在第1次抽到次品后，还有4件次品，95件正品，利用概率计算公式可得结果. 【详解】在第1次抽到次品后，还有有4件次品，95件正品， 则第二次抽到正品的概率为9599P =，故答案为9599. 【点睛】本题主要考查条件概率，属于简单题.解答条件概率问题时，一定要注意条件概率与独立事件概率的区别与联系.13．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量1ξ=表示结果中有正面向上，0ξ=表示结果中没有正面向上，则E ξ=________.【答案】34【解析】先求出结果中没有正面向上的概率和结果中有正面向上的概率，再利用期望公式求解. 【详解】由题意知，结果中没有正面向上的概率为111=224⨯，此时0ξ=， 而1ξ=时对应概率为13144-=， 31310444E ξ∴=⨯+⨯=．故答案为：34【点睛】本题主要考查随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为________. 【答案】2【解析】用列举法写出所有符合条件的排列 【详解】满足题意的排列,3142，2413，只有两个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查排列，直接写出排列是排列个数较少时的一种方法．三、双空题15．二项式613x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于________；二项式系数和为________. 【答案】-540 64【解析】求出二项展开式通项公式，令x 的指数为0，得常数项的项数，从而得常数项，根据二项式系数的性质可得二项式系数和． 【详解】展开式通项公式为66621661(3)(1)3rrrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，3r =，∴常数项为()3334613540T C =-⨯⨯=-，展开式中二项式系数和为6264=． 故答案为：－540；64． 【点睛】本题考查二项式定理，二项式系数的性质，解题关键是掌握二项展开式通项公式． 16．已知函数()ln xf x x=. （1）函数的最大值等于________；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，则实数a 的最小值是________. 【答案】1e1 【解析】（1）求出导函数()'f x ，由导函数确定单调性，极值，得最大值； （2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e -≤，而由（1）在[),e +∞上10()f x e<≤，因此只要当0a e <<时，min ()0f x ≥即可得，由此可得a 的取值范围，从而得a 的最小值．【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，21ln ()xf x x-'=， 0x e <<时，()0f x '>，()f x 递增，x e >时，()0f x '<，()f x 递减，∴x e =时，()f x 取得极大值也是最大值1()f e e=； （2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立， 等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e-≤， 由（1）当a e ≥时，max 1()f x e≤，且()0f x >，满足题意； 当0a e <<，()f x 在[,]a e 上递增，ln 1()a f x a e ≤≤，在[),e +∞递减，10()f x e<≤，只要ln 0aa≥即可，∴1a e ≤<， 综上[1,)a ∈+∞，a 的最小值是1.． 故答案为：1e；1． 【点睛】本题考查用导数求函数最值，研究不等式恒成立问题，恒成立问题的解题关键转化为函数的最小值0≥，由单调性易得结论．四、解答题17．已知函数()32f x x ax x a =--+，其中a 为实数.（1）求导数()f x '；（2）若()10f '-=，求()f x 在[]2,3-上的最大值和最小值.【答案】（1）()2321f x x ax =--'；（2）()max 32f x =；()min 3f x =-【解析】（1）利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则即可求解.（2）利用()10f '-=，求得1a =-，再利用导数求出函数的单调区间，进而求出最值. 【详解】（1）由()32f x x ax x a =--+，则()2321f x x ax =--'（2）因为()10f '-=，则3210a +-=，解得1a =-， 所以()()()[]2321311,2,3f x x x x x x =+-=∈-'-+，当()0f x '<，解得113x -<<，减区间为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，当()0f x '>，解得123x <<或21x -<<-，增区间为()12,1,,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ()10f -=，132327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()23f -=-，()332f =，所以()()max 332f x f ==，()()min 23f x f =-=-， 综上所述，()max 32f x =，()min 3f x =- 【点睛】本题考查了导数的基本运算法则、利用导数求函数的最值，属于基础题.18．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34； （Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p < 【解析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求0p ，再根据频率估计概率1p ，即得大小. 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=； （Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （Ⅲ）01p p < 【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19．2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在1836-岁之间，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信的数量，现在从北京大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（1）求a ，b ，c 的值．（2）若从100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率．（3）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大．．．学生．．中随机抽取3人，记X 表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X 的分布列和数学期望EX ． 【答案】（1）35a =，120b =，720c =．（2）1633．（3）见解析.【解析】(1)由频率分布列的性质及=频数频率总数,能求出a,b,c 的值. (2)记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A,利用等可能事件概率计算公式能求出2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率. (3)依题意可知,微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0,1,2,3,由此能求出X 的分布列和数学期望EX. 【详解】（1）由已知得030305100a ++++=，解得35a =，5110020b ==，35710020c ==． （2）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则()1140602100C C 16C 33P A ==． 所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． （3）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0，1，2，3．则()430322270C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()121322541C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212322362C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()30332283C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为：数学期望2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望. 20．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间；（2）若对所有1≥x 都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；（2）(],1-∞. 【解析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，()0f x '<确定减区间；（2）分离参数得1ln a x x≤+，利用导数求得()1ln g x x x =+在[1,)+∞上的最小值即可． 【详解】解：（1）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+，()1ln f x x '=+. 令()0f x '>解得1x e >；令()0f x '<解得10x e<<. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）依题意，得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立， 即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立. 令()1ln g x x x =+，即()min a g x ≤，()22111x g x x x x-'=-=， 当1x >时，因为()210x g x x -'=>，故()g x 是[)1,+∞上的增函数， 所以()()min 11g x g ==，则1a ≤. 所以a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】本题考查用导数求单调区间，研究不等式恒成立问题，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，转化为求函数的最值．21．甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是35,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. （1）求乙得分的分布列和数学期望； （2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 【答案】（1）分布列详见解析，15()2E X =；（2）103125【解析】（1）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论． 【详解】（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15-，0，15，30，()3531011512C P X C =-==；21553105)0(12C C C P X ⋅===； 12553105(5)121P C C X C ⋅===；353101() 3012P C C X === 乙得分的分布列如下：()1501530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯= （2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B ．则()322332381()()()551525C P A ==+， ()51211122P B +==，故甲乙两人至少有一人入选的概率441103111252125()A B P P =--⨯=⋅=． 【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．22．已知函数()2ln ,23,x x x af x x x x a >⎧=⎨-+-≤⎩，其中0a ≥.（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有()()12f x f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）1y x =-；（2）1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）根据题意，对函数求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程； （2）先由题意，得到函数()f x 是定义在R 上的增函数；根据导数的方法以及二次函数的性质，由分段函数单调性，分别求解，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，得0x >时，()()ln ln 1f x x x x ''==+， 所以()11f '=，又因为()10f =，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-； （2）因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有()()12f x f x <， 所以()f x 是定义在R 上的增函数；当x a ≤时，()223f x x x =-+-是开口向下，对称轴为1x =的二次函数，为使其在(),a -∞上单调递增，只需1a ≤；当0x >时，()ln f x x x =， 则()ln 1f x x '=+，令()ln 10f x x '=+=，解得1=x e. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：即函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()min 11f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 为使其在(),a +∞上单调递增，只需1a e≥； 又因为()22123122x x x e-+-=---≤-<-，即x a ≤时，()f x 的最大值，必然小于x a >时，()f x 的最小值； 综上，满足题意的a 的取值范围为1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查由分段函数单调性解不等式，利用导函数的方法求解即可，属于常考题型.。
西城区2021届高三年级统一测试数学试题及答案 (1)
北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第1页（共8页）西 城 区 高 三 统 一 测 试数学参考答案 2021.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（ 1 ）B （ 2 ）A （ 3 ）A （ 4 ）D （ 5 ）D （ 6 ）C （ 7 ）B（ 8 ）C（ 9 ）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12），（13），3（14）（答案不唯一，只要是即可）（15）②④注：第（12）和（13）题第一空 3 分,第二空 2 分.第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接交于点，连接，在正方形中，.因为为的中点,所以. ………………3分因为平面，平面，所以平面. ………………5分（Ⅱ）不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，所以，，. ………………8分设平面的法向量为，(0,1]y =12-π(21)k +πBD AC O OE ABCD OB OD =E 1DD 1//OE BD 1BD ⊄ACE OE ⊂ACE 1//BD ACE 2A xyz -(0,0,0)A (2,2,0)C (0,2,0)D (0,2,1)E (0,2,0)AD = (2,2,0)AC = (0,2,1)AE =ACE (,,)x y z =n北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第2页（共8页）所以 所以 即………………10分令，则，，于是.………………11分设直线与平面所成角为，则.………………13分所以直线与平面（17）（共13分）解：（Ⅰ）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期，.………………2分此时.选条件①②：因为的最小值为，所以.………………3分因为图象的一个对称中心为，所以，………………5分所以，因为，所以，此时.………………7分所以.………………8分选条件①③：因为的最小值为，所以.………………3分0,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 220,20,x y y z +=⎧⎨+=⎩,2,x y z y =-⎧⎨=-⎩1y =-1x =2z =(1,1,2)=-n AD ACE θ|sin |cos ,|||||AD AD AD θ⋅=〈〉===⋅n |n n AD ACE ()f x 2π()f x 22T π=⨯=π22Tωπ==()sin(2)f x A x ϕ=+()f x A -2A =()f x (,0)125π2()12k k ϕ5π⨯+=π∈Z ()6k k ϕ5π=π-∈Z 2ϕπ<6ϕπ=1k =()2sin(2)6f x x π=+()f x A -2A =北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第3页（共8页）因为函数的图象过点， 则，即，.因为，所以，………………5分所以，.………………7分所以.………………8分选条件②③：因为函数的一个对称中心为，所以，………………4分所以.因为，所以，此时.………………6分所以.因为函数的图象过点，所以，即，，所以.………………7分所以.………………8分（Ⅱ）因为，所以，因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，………………11分()f x (,1)65π-()16f 5π=-2sin()13ϕ5π+=-1sin()32ϕ5π+=-2ϕπ<636ϕ7π5π13π<+<36ϕ5π11π+=6ϕπ=()2sin(2)6f x x π=+()f x (,0)125π2()12k k ϕ5π⨯+=π∈Z ()6k k ϕ5π=π-∈Z 2ϕπ<6ϕπ=1k =()sin(26f x A x π=+()f x (,1)65π-(16f 5π=-πsin(136A 5π+=-11πsin 16A =-2A =()2sin(2)6f x x π=+[0,]x a ∈ππ2[,2]666x a π+∈+()f x [0,]a ππ3π2262a +<≤北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第4页（共8页）得，………………13分所以的取值范围为.（18）（共14分）解：（Ⅰ）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件. 由图表可知，颗恒星有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值.所以.………………3分（Ⅱ）由图表知，有颗恒星的“赤纬”数值大于，有颗恒星的“赤纬”数值小于. 所以随机变量的所有可能取值为：.………………4分，，， . ………………8分所以随机变量的分布列为：………………9分所以.………………11分（Ⅲ）.………………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）当时，，所以.………………1分所以，.………………3分曲线在点处的切线方程为.………………4分63a π2π<≤a [,)63π2πA 10551()102P A ==750- 350- X 1,2,3,41373410C C 71(1)C 21030P X ⋅====2273410C C 3(2)C 10P X ⋅===3173410C C 1(3)C 2P X ⋅===4073410C C 1(4)C 6P X ⋅===X 131114()12343010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=2212s s <1a =()e (ln 1)x f x x =-11()e (ln 1)e e (ln 1)x xx f x x x x x'=-+=+-(1)e f =-(1)0f '=()y f x =(1,(1))f e y =-X 1234P1303101216北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第5页（共8页）（Ⅱ）由，得，令，则.………………6分当时，，当时，，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.所以的最小值为.………………7分当时，，，………………9分又在单调递增，故存在，使得，在区间上，在区间上.………………10分所以，在区间上，在区间上，所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数存在极小值.………………11分（Ⅲ）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于.① 当时，，由（Ⅱ）得，所以.所以在上单调递增，所以的最小值为.由，得，满足题意.………………13分② 当时，由（Ⅱ）知，在上单调递减，所以在上，不满足题意.综上所述，实数的取值范围是.………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）依题意，，解得.………………1分因为 ，即，………………2分()e (ln )x f x x a =-1()e (ln )x f x x a x'=+-1()ln h x x a x =+-22111()x h x x x x-'=-=01x <<()0h x '<1x >()0h x '>()h x (0,1)(1,)+∞()h x (1)1h a =-1a >(1)10h a =-<(e )e 0a a h -=>()h x (1,)+∞0(1,e )a x ∈0()0h x =0(1,)x ()0h x <0(,)x +∞()0h x >0(1,)x ()0f x '<0(,)x +∞()0f x '>0(1,)x ()f x 0(,)x +∞()f x ()f x [1,)x ∈+∞()1f x -≥()f x 1-1a ≤(1)10h a =-≥()0h x ≥()0f x '≥()f x [1,)+∞()f x (1)e f a =-e 1a --≥1ea ≤1a >()f x 0(1,)x 0(1,)x ()(1)e <e f x f a =--≤a 1(,e-∞21314a +=2a =222431c ab =-=-=1c =北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第6页（共8页）所以 ，，所以离心率，的面积.………………5分（Ⅱ）由已知，直线的方程为. 当，，时，直线的方程为，交轴于点；当，，时，直线的方程为，交轴于点.若直线经过轴上定点，则，即，直线交轴于点.………………7分下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点.联立消整理，得 ，………………8分设，.则，.………………10分设点，所以直线的方程：.………11分令，得.………………12分因为，(2,0)D -(1,0)F 12c e a ==DEF △1393224S =⨯⨯=DE 112y x =+(2,0)A -3(1,)2B (1,)G t AG (2)3t y x =+y 2(0,)3t 3(1,)2A (2,0)B -(2,)G t -AG 332(1)23t y x --=--y 3(0,)3t +AG y 2333t t +=3t =AG y (0,2)3t =AG y (0,2)221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，y 22(43)880k x kx ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122843k x x k -+=+122843x x k -=+2(,3)G x AG 121233()y y x x x x --=--0x =2121211212333x y x x x yy x x x x -+-=+=--121121212123(1)3x x kx x x kx x x x x x -+--==--1212kx x x x =+北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第7页（共8页）所以.………………14分所以直线过定点.综上，存在实数，使得直线经过轴上定点.………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为，，，，所以，.………………4分（Ⅱ）充分性：若是等差数列，设公差为.因为数列是递增数列，所以.则当时，.所以，.………………6分必要性：若.因为是递增数列，所以，所以，且互不相等.所以.又，所以，且互不相等.所以，，…，.所以，所以为等差数列.………………9分（Ⅲ）因为数列由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和.共个不同的值；且对任意的，和这两个数中至少有一个在集合中.………………11分又因为这个数在数列中共出现次，所以数列中存在，所以.综上，，且.………………12分A T A A 12121212123()222x x x x x x y x x x x --+-===--AG 0,2（）3t =AG y (0,2)11a =22a =34a =43a ={1,2,3,1}T =-()4P T =A d A 0d >j i >()j i a a j i d -=-{,2,,(1)}T d d N d =- ()1P T N =-()1P T N =-A 21311N a a a a a a -<-<<- 21311,,N a a a a a a T ---∈ ,21311{,,}N T a a a a a a =--- ,32421221N N N a a a a a a a a a a --<-<<-<-<- 324221,,,N N a a a a a a a a T ----∈ ,3221a a a a -=-4231a a a a -=-211N N a a a a --=-21321N N a a a a a a --=-==- A 1,2,3,,,2n n 1n +1,2,3,,(1)n ±±±±- (21),(22),,n n n ±-±-± 2(1)242n n n -+=-1,2,3,,1,,,21m n n n =-- m m -1,2,3,,,2n n 1n +21N n =+()i j a a i j =≠0T ∈()41P T n -≤()2P T n ≥北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第8页（共8页）设数列：，此时，.现对数列分别作如下变换：把一个移动到之间，得到数列：，此时，.把一个移动到之间，得到数列：，此时，.……把一个移动到之间，得到数列：，此时，.把一个移动到之间，得到数列：，此时，.再对数列依次作如下变换：把一个移为的后一项，得到数列：，此时，；再把一个移为的后一项：得到数列：，此时，；依此类推……最后把一个移为的后一项：得到数列：，此时，.综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为.………………15分{0,1,2,,21}n - 12n ()3P T n =22n ()3+1P T n =2n 0A 1,1,2,2,3,3,4,4,,,,2n n n T =()2P T n =0A 12,31,2,2,1,3,3,4,4,,,,2n n n {0,1,2,3,,(21),1}T n =-- ()21P T n =+13,41,2,2,3,3,1,4,4,,,,2n n n {0,1,2,3,,(21),1,2}T n =--- ()22P T n =+11,n n -1,2,2,3,3,4,4,,1,1,1,,,2n n n n n -- {0,1,2,3,,(21),1,2,,2}T n n =---- ()2232P T n n n =+-=-1,2n n 1,2,2,3,3,4,4,,,,1,2n n n {0,1,2,3,,21,1,2,,1}T n n =---- ()2131P T n n n =+-=-0A 1A 1,2,2,3,3,4,4,,,,2,1n n n {0,1,2,3,,21,1,2,,1,12}T n n n =----- 2A 1,2,3,3,4,4,,,,2,2,1n n n {0,1,2,3,,21,1,2,,1,12,22}T n n n n =------ n n A 1,2,3,4,,,2,,1,,2,1n n n n - {0,1,2,3,,21,1,2,,1,12,22,,}T n n n n n =------- ()41P T n =-()P T 2n 41n -2n ()P T 2n。
2021年北京理数高三试题(word版含答案)
绝密★启用前2021年一般高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。
学科:网第一部份（选择题共40分）一、选择题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=（A）{0，1} （B）{–1，0，1}（C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2}（2）在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如下图的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最先用数学方式计算出半音比例，为那个理论的进展做出了重要奉献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次取得十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．假设第一个单音的频率为f ，那么第八个单音的频率为 （A ）32f （B ）322f （C ）1252f（D ）1272f（5）某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 （A ）充分而没必要要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也没必要要条件（7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 转变时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 （A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ，（2，1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时，（2，1）A ∉（D ）当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉ 第二部份（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
2021年北京海淀区高三一模数学试题及答案
2021 北京海淀高三一模数学2021. 04 本试卷共6 页，150 分。
考试时长120 分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10 小题，每小题 4 分，共40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A＝{1}，B＝{x | x≥a）。
若A∪B＝B，则实数a 的取值范围是（A）（－∞、1）（B）（－∞，1] （C）（1，＋∞）（D）[1，＋∞）z（2）如图，在复平面内，复数z 对应的点为P.则复数i（A）1 （B）－1（C）2 （D）－2的虚部为（3）已知{a n}为等差数列，S n为其前n 项和.若a5＝S5＝5，则a1＝（A）－5 （B）－4 （C）－3 （D）－2（4）在(x -a)6的展开式中，x4的系数为12，则a 的值为x（A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1（5）函数① f (x) = sin x + cos x ，② f (x) = sin x cos x ，③ f (x) = cos2 (x +π) -1中，周期是π且为奇函数的4 2所有函数的序号是（A）①②（B）②（C）③（D）②③（6）已知函数f (x) 满足f (1+x) =f (1-x) ，且当x＞1 时，f（x）＝log2x，则f (8) -f (-2) =（A）－2 （B）－1 （C）1 （D）3（7）已知a，b 是单位向量，c＝a＋2b，若a⊥c，则|c|＝（A）3 （B）2 2（C）1（D）（8）已知点A(x1, x1 ) ，B(x2 , x2 )，C(0,4) ，则“△ABC 是等边三角形”是“直线AB 的斜率为0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）设无穷等比数列{a n}的前n 项和为S n若－a1＜a2＜a1，则（A）{S n}为递减数列（B）{S n}为递增数列（C）数列{S n}有最大项（D）数列{S n}有最小项（10）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积，如图1，在一个棱长为2a 的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为h 的平面为a，记平面a 截牟合方盖所得截面的面积为s，则函数S＝f（h）的图象是第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共25 分.（11）已知函数f（x）＝x3＋at 若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为 2.则实数 a 的值是。
2021届北京市丰台区高三一模数学试题(含解析)
2021届北京市丰台区高三一模数学试题一、单选题1．已知集合{|21}A x x =-<≤，{|03}B x x =<≤，则A B =（ ）A ．{|20}x x -<<B ．{|01}x x <≤C ．{|13}x x <≤D ．{|23}x x -<≤【答案】D【分析】根据并集的定义计算．【详解】因为集合{|21}A x x =-<≤，{|03}B x x =<≤ 所以{|23}AB x x =-<≤．故选：D ．2．在复平面内，复数34z i =-，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】求得z ，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】34z i =-，则34z i =+，因此，z 对应的点位于第一象限.故选：A.3．已知双曲线2221(0)x y a a-=>，则a =（ ）A B ．2C ．D ．4【答案】B【分析】根据双曲线方程得到a ，b ，再利用离心率公式求解.【详解】因为双曲线方程为2221(0)x y a a-=>，所以离心率是c e a ====， 解得24a =，又因为0a >， 所以2a =， 故选：B4．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，且2sin 3α=.把角α的终边绕端点O 逆时针方向旋转π弧度，这时终边对应的角是β，则sin β=（ ）A ．23-B ．23C ．D 【答案】A【分析】依题意可得βαπ=+，再利用诱导公式计算可得； 【详解】解：依题意βαπ=+，因为2sin 3α=，所以()3s 2sin s n n i i απαβ+-===-故选：A5．若直线1y kx =+是圆2220x y x +-=的一条对称轴，则k 的值为（ ） A ．12-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【分析】由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到k 的值． 【详解】圆的方程2220x y x +-=可化为()2211x y -+=，可得圆的圆心坐标为()1,0，半径为1，因为直线1y kx =+是圆2220x y x +-=的一条对称轴，所以，圆心()1,0在直线1y kx =+上， 可得101k k +==-，，即k 的值为1-， 故选：B ．6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．4【答案】C【分析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P ABC -，其中PA ⊥底面ABC ，BC AB ⊥，2AB PA BC ===，由此能求出在该三棱锥中最长的棱长．【详解】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P ABC -， 其中PA ⊥底面ABC ，BC AB ⊥，2AB PA BC ===，22222222PB PA AB ∴=+=+=，224823PC PA AC =+=+=，∴在该三棱锥中，最长的棱长为23PC =．故选：C ．7．P 为抛物线22(0)y px p =>上一点，点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p =（ ） A ．2 B ．4C ．4或9D ．2或18【答案】D【分析】由抛物线22(0)y px p =>可得准线l 的方程为：2px =-，设点(,)P x y ，再由点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，可得102px +=，6y =±，再与抛物线方程22(0)y px p =>，联立解方程组，即可求解.【详解】解：由题意可得：抛物线22(0)y px p =>的准线l 的方程为：2p x =- 设点(,)P x y ，又因点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，所以有210262p x y y px⎧+=⎪⎪=±⎨⎪=⎪⎩，解得118x p =⎧⎨=⎩或92x p =⎧⎨=⎩，即p 的值分别为18或2. 故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题.8．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，1Pa =1N/m 2），大气压强p （Pa ）随海拔高度h （m ）的变化规律是0khp p e -=（0.000126k =m -1），0p 是海平面大气压强.已知在某高山12,A A 两处测得的大气压强分别为12,p p ，1212p p =，那么12,A A 两处的海拔高度的差约为（ ） （参考数据：ln 20.693≈） A ．550m B ．1818m C ．5500m D ．8732m【答案】C【分析】根据0khp p e -=以及指数的运算即可求解.【详解】在某高山12,A A 两处海拔高度为12,h h ，所以()1122012012kh k h h kh p e p e p p e ----===， 所以()121lnln 22k h h --==-， 所以120.69355000.000126h h -≈=（m ）.9．已知非零向量,,a b c 共面，那么“存在实数λ，使得a c λ=成立”是“()()a a cb bc ⋅=⋅”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合平面向量的数量积运算判断. 【详解】假设存在实数λ，使得a c λ=成立， 所以()()cos ,a c c c c c b b b b c λλ⋅=⋅=⋅，()cos ,b a c c c c b b λ⋅=⋅，所以()()a a c b b c ⋅=⋅，故充分；若()()a a c b b c ⋅=⋅， 则()()a a c b b c ⋅=⋅，即co ,cos ,s b b b b a a c a c c ⋅=⋅， 所以cos ,cos ,b b a c =， 因为[],0,,,b b a c π∈，所以 ,,b c b a =或 ,,b b a c π+=， 所以,a c 方向相同或相反，所以存在实数λ，使得a c λ=成立，故必要； 故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是平面向量数量积定义的应用.10．已知函数2,(),x m x mf x x x m⎧+≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,2) B ．(,2)(0,2)-∞-⋃ C ．(2,0)-D ．(2,0)(2,)-+∞【分析】作出函数()f x 的图象，分0m >、0m =、0m <三段讨论即可． 【详解】分情况讨论，当0m >时，要使()f x b =有三个不同的根，则22020m m m m ⎧>⇒<<⎨>⎩；当0m <时，要使()f x b =有三个不同的根，同理可知，需要2220m mm m ⎧>⇒<-⎨<⎩． 当0m =时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．m ∴的取值范围是(,2)(0,2)-∞-⋃，故选：B ．【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到临界位置的高低是难点，属于中档题．二、填空题11．函数()ln(2)1f x x x =+-的定义域为_____. 【答案】(0,1]【分析】利用对数和偶次根式有意义的条件限制列不等式，计算即得结果． 【详解】依题意知，函数有意义，则需1020x x -≥⎧⎨>⎩，解得01x <≤，故定义域为(0,1]．故答案为：(0,1]．12．在62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为________(用数字作答). 【答案】160【分析】写出62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可求得常数项.【详解】62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：()6612rrrr C x x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 6262r r r x C -=⋅⋅626(2)r r r C x -⋅=⋅，当620r -=， 解得3r =，∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：3632208160C ⋅=⨯=. 故答案为：160.【点睛】关键点睛：本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C r n r rr n T a b -+=.13．在ABC 中，2a b B A ===，则cos A =_____.【分析】在ABC 中，根据2a b B A ===，利用正弦定理结合二倍角正弦公式求解.【详解】在ABC 中，因为2a b B A ===，所以sin sin a b A B ===，解得cos A =，故答案为：6314．设等比数列{}n a 满足124548,6a a a a +=+=，则2123log ()n a a a a 的最大值为_____. 【答案】15【分析】由等比数列的基本量法求得1a 和公比q ，然后计算12n a a a 的最大值后可得结论．【详解】设公比为q ，则由已知各3454121(1)61(1)488a a a q q a a a q ++====++，12q =，12111482a a a a +=+=，132a =，所以1613222n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．21154654(6)21222222n nn n n a a a -+-+++-=⨯⨯⨯==，221112111()24n n n -+=--+，又*n N ∈， 所以5n =或6时，211n n -+取得最大值为30， 所以2123log ()n a a a a 的最大值为3022log 215=．故答案为：15．15．如图，从长、宽、高分别为,,a b c 的长方体AEBF GCHD -中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥A BCD -.下列四个结论中，所有正确结论的序号是_____.①三棱锥A BCD -的体积为13abc ；②三棱锥A BCD -的每个面都是锐角三角形；③三棱锥A BCD -中，二面角A CD B --不会是直二面角；④三棱锥A BCD -中，三条侧棱与底面所成的角分别记为,,αβγ，则222sin sin sin 2αβγ++≤.【答案】①②④【分析】三棱锥A BCD -的体积为长方体体积减去4个三棱锥体积；利用余弦定理判断每个面是否为锐角三角形；建立空间直角坐标系判断平面的法向量是否垂直；结合线面夹角的定义求解即可．【详解】三棱锥A BCD -的体积为1114323V abc abc abc =-⨯⨯=，故①正确； 三棱锥A BCD -的每个面的边长分别为222222,,a b a c b c +++， 设a b c >>，则22a b +是三边中最大边，设其对应角为θ则()()()2222222222222222222cos 022a cb ca bc a c b c a c b c θ+++-+==>+⋅++⋅+所以θ为锐角，故每个面为锐角三角形，②正确； 以F 为原点建立空间直角坐标系如图所示：则()()()(),0,0,,,,0,0,,0,,0A b C b a c D c B a()()()()0,,,,0,,,,0,0,,AC a c AD b c DC b a DB a c ==-==-设平面ACD 的一个法向量为()1111,,x n y z =则111100ay cz bx cz +=⎧⎨-+=⎩ 取1=x c ，则11,bc y z b a =-=，则1,,bc n c b a ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 设平面BCD 的一个法向量为()2222,,n x y z =则222200ay cz bx ay -=⎧⎨+=⎩ 取2x a =，则22,ab y b z c =-=-，则2,,ab n a b c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以2222222212,,,,bc ab b c ab a c b c a b n n c b a b ac a c a c ac +-⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 取2,1a b c ===，有22222202a cbc a b ac +-==，则120n n ⋅=，所以二面角A CD B --会是直二面角，故③错；三棱锥A BCD -中，三条侧棱分别为,,AB AC AD 与底面AEBF 的夹角分别记为,,αβγ则sin 0,sin αβγ===所以222222222sin sin sin 02c c a c b cαβγ++=++≤++，故④正确， 故答案为：①②④【点睛】方法点睛：判断两个平面是否垂直通常有两个方法： (1)几何法，利用面面垂直的判定定理；(2)空间向量法，判断两个平面的法向量是否垂直．三、解答题16．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>. （1）当1ω=时，求π()6f 的值；（2）当函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π2时， . 从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.①求()f x 在区间π[0,]2上的最小值；②求()f x 的单调递增区间；③若()0f x ≥，求x 的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）2；（2）答案见解析.【分析】（1）根据1ω=，由πππ()sin666f =求解. （2）利用辅助角法得到()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π2，得到2ω=，进而得到2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，选①：由π02x ≤≤，得到42333x πππ≤+≤，再利用正弦函数的性质求解；选②：利用正弦函数的性质，令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈求解；选③：将()0f x ≥，转化为2sin 203x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）当1ω=时，πππ1()sin26662f ===.（2）()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭. 因为函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π2， 所以2ππ(0)T ωω==>，解得2ω=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选①：因为π02x ≤≤，所以42333x πππ≤+≤. 当4233x ππ+=，即2x π=时，()f x 在区间π[0,]2上有最小值为选②：令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π],1212k k k Z -+∈. 选③：因为()0f x ≥，所以2sin 203x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 所以222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈.解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=，M 是棱PB 上的点，O 是AD 中点，且PO ⊥底面ABCD ，3OP OA =.（1）求证：BC ⊥OM ； （2）若35PM PB =，求二面角B OM C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）34. 【分析】(1)由底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=，可得ABD △为等边三角形，再加上点O 是AD 中点可证OB AD ⊥，进而可得OB BC ⊥，再由PO ⊥底面ABCD ，可得OP BC ⊥，结合线面垂直的判定定理及性质定理，即可求证所求证；(2)由题意及(1)可以，以点O 为原点，,,OA OB OP 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法即可求解. 【详解】证明：在菱形ABCD 中，3BAD π∠=，ABD ∴为等边三角形.又O 为AD 的中点，∴OB AD ⊥.AD //BC ， ∴OB BC ⊥.PO ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴OP BC ⊥.OP OB O =，,OP OB ⊂平面POB ，∴BC ⊥平面POB.M 是棱PB 上的点，∴OM ⊂平面POB . ∴BC ⊥OM .（2）解：PO ⊥底面ABCD ，OB AD ⊥，∴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设1OA =，则3==OP OB .(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，3,0)B ，(3,0)C -，3)P ，∴(3,0)OC →=-.由35PM PB =， 得33323(0,555OM OP PB →→→=+=.设(,,)m x y z →=是平面OMC 的法向量，由0OM m OC m →→→→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩，得320,230,y z x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩令2y =，则3,3x z ==-，则(3,2,3)m →=-.又平面POB 的法向量为(1,0,0)n →=，∴33cos ,4349m nm n m n→→→→→→⋅===++. 由题知，二面角B OM C --为锐二面角， 所以二面角B OM C --的余弦值为34. 【点睛】本题考查线线垂直的证明及空间向量法求二面角，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力及方程思想，属于中档题.18．某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如图所示.（1）从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率； （2）从2011年至2020年中任选两年，设X 为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为222123,,s s s ，试比较222123,,s s s 的大小.（只需写出结论）【答案】（1）35；（2）分布列见解析，65；（3）222123s s s >>．.【分析】（1）由统计图表知10年有6年时间动画影片时长大于纪录影片时长，由此可得概率；（2）X 的所有可能取值为0,1,2，计算出各概率，可得分布列，由期望公式计算出期望； （3）根据统计图表中的数据计算出方差后可得．【详解】（1）从2011年至2020年中任选一年，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是2011年，2015年，2017年，2018年，2019年和2020年，共6年.记从2011年至2020年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件A ， 则63()105P A ==. （2）X 的所有可能取值为0,1,2.242102(0)15C P X C ===；11462108(1)15C C P X C ===；2621051(2)153C P X C ====.所以X 的分布列为数学期望()012151535E X =⨯+⨯+⨯=. （3）科教影片所记录时长波动较大，方差最大，动画影片、纪录影片的时长需计算出方差才能确定．218015020024032029035026038043028110x +++++++++==，222222222222(101)(131)(81)(41)39969(21)99149744110s -+-+-+-++++-++==，310027033030024038019013021015023010x +++++++++==，222222222223(130)401007010150(40)(100)(20)(80)744010s -++++++-+-+-+-==．所以222123s s s >>．.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -，离（1）求椭圆C 的方程；（2）P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP PB 分别交直线6x =-于,M N 两点，连接NA 并延长交椭圆C 于点Q .（ⅰ）求证：直线,AP AN 的斜率之积为定值； （ⅱ）判断,,M B Q 三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析.【分析】（1）根据长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -和离心率为2，由2,2c a e a ===求解； （2）（ⅰ）设00(,)P x y ，则直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -，再由直线的交点，求得点N 的坐标，进而得到直线AN 的斜率，然后结合220014x y +=运算即可；（ⅱ）设直线AP 斜率为k ，易得M 的坐标，再由（ⅰ）得到直线AN 斜率为12k-，写出直线AN 的方程，与椭圆方程联立，求得Q 点的坐标，再判断直线BQ k 与BM k 是否相等即可.【详解】（1）由题意得2,c a e a ===所以2221==-=c b a c ，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）（ⅰ）证明：设00(,)P x y ，因为P 在椭圆C 上，所以220014x y +=.因为直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -， 所以直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--. 所以N 点的坐标为008(6,)2y N x ---. 所以直线AN 的斜率为0000822622y x y x --=-+-. 所以直线,AP AN 的斜率之积为： 20200022000021422122442x y y yx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-+---.（ⅱ）,,M B Q 三点共线.设直线AP 斜率为k ，易得(6,4)M k --. 由（ⅰ）可知直线AN 斜率为12k-，所以直线AN 的方程为1(2)2y x k =-+. 联立22440,22,x y x ky ⎧+-=⎨=--⎩可得22(44)80k y ky ++=.解得Q 点的纵坐标为221kk -+， 所以Q 点的坐标为222222(,)11k kQ k k --++.所以，直线BQ 的斜率为22220122221kk k k k--+=--+，直线BM 的斜率为40622k k --=--. 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率， 所以,,M B Q 三点共线.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．20．已知函数32()3()f x x x b b R =-+∈.（1）当1b =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在三个零点，分别记为123,,x x x 123()x x x <<. （ⅰ）求b 的取值范围； （ⅱ）证明：120x x +>.【答案】（1）320x y +-=；（2）（ⅰ）04b <<；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求斜率，由点斜式求解即可； （2）利用导数研究函数的单调性及极值，（ⅰ）据此当满足(0)0(2)0f f >⎧⎨<⎩时，可求出b 的取值范围（ⅱ）计算21()0()f x f x -<=，利用函数单调性可得21x x -<，即可证明. 【详解】（1）当1b =时，32()31f x x x =-+，得2'()36f x x x =-， 因为(1)1f =-，'(1)3f =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即320x y +-=.（2）因为2'()36f x x x =-，所以令()0f 'x =，得0x =，2x =. ()f 'x ，()f x 随x 的变化如下：所以()f x 的极大值为(0)f b =，极小值为(2)4f b =-.（ⅰ）若函数()f x 存在三个零点，分别记为123,,x x x 123(),x x x << 则(0)0(2)0f f >⎧⎨<⎩，所以04b <<.当04b <<时，(1)40f b -=-<，(3)0f b =>，此时(1)(0)0f f -⋅<，(0)(2)0f f ⋅<，(2)(3)0f f ⋅<，故()f x 存在三个零点，所以若函数()f x 存在三个零点，b 的取值范围是04b <<. （ⅱ）证明：因为123,,x x x 123()x x x <<是函数()f x 的零点， 所以1230x x x <<<.因为32222()30f x x x b =-+=，所以323222222()()3()3f x x x b x x b -=---+=--+332322222(3)20x x x b x =-+-+=-<.因为1()0f x =，所以21()()f x f x -<.又因为12,(,0)x x -∈-∞，且()f x 在区间(,0)-∞上单调递增， 所以21x x -<，即120x x +>.【点睛】关键点点睛：证明120x x +>转化为21x x -<，先证明21()0()f x f x -<=，利用函数的单调性即可求证，属于难题. 21．已知数列*122:,,,()n A a a a n N ∈，现将数列A 的项分成个数相同的两组，第一组为12:,,,n B b b b ，满足1(1,2,,1)i i b b i n +≥=-；第二组为12:,,,n C c c c ，满足1(1,2,,1)i i c c i n +≤=-，记1ni i i M b c ==-∑.（1）若数列:1,2,4,8A ，写出数列A 的一种分组结果，并求出此时M 的值； （2）若数列:1,2,3,,2A n ，证明：{}max ,1(1,2,,)i i b c n i n ≥+=；（其中{}max ,i i b c 表示,i i b c 中较大的数）（3）证明：M 的值与数列A 的分组方式无关.【答案】（1）:8,4B ；:1,2C ，9；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）按照分组要求分组即可，再求解M 的值；（2）由于1i i b b +≥，1i i c c +≤，则{}{}12121max ,max ,i i i i i n i i i b c b b b b c c c c ++--≥，，，，，，，，即可证明；（3）将数列*122:,,,()n A a a a n N ∈重新排序得到数列'A ，再根据题意计算1ni i i M b c ==-∑，由结果判断是否与分组有关即可．【详解】（1）可将数列A 分成：:8,4B ；:1,2C .此时81429M =-+-=.（2）因为1i i b b +≥，1i i c c +≤(1,2,,1)i n =-，所以{}12max ,i i i i i n b c b b b b ++≥≥≥≥≥(1,2,,)i n =，{}121max ,i i i i i b c c c c c --≥≥≥≥≥.所以{}{}12121max ,max ,i i i i i n i i i b c b b b b c c c c ++--≥，，，，，，，，. 因为12i i i n b b b b ++，，，，121i i i c c c c --，，，，，共1n +项， 所以{}12121max ,1i i i n i i i b b b b c c c c n ++--≥+，，，，，，，，. 所以{}max ,1i i b c n ≥+. （3）不妨将数列*122:,,,()n A a a a n N ∈重新排序得到数列*122':',',,'()n A a a a n N ∈，满足()1''1,2,,21i i a a i n +≤=-，因为1i i b b +≥，1i i c c +≤(1,2,,1)i n =-，所以{}12max ,i i i i i n b c b b b b ++≥≥≥≥≥(1,2,,)i n =，{}121max ,i i i i i b c c c c c --≥≥≥≥≥.所以{}{}12121max ,max ,i i i i i n i i i b c b b b b c c c c ++--≥，，，，，，，，. 因为12i i i n b b b b ++，，，，121i i i c c c c --，，，，，共1n +项， 所以{}max ,i i b c 恰为*122',',,'()n n n a a a n N ++∈中某一项.同理{}min ,i i b c 恰为*12',',,'()n a a a n N ∈中某一项（其中{}min ,i i b c 表示,i i b c 中较小的数）.因为{}{}max ,min ,i i i i i i b c b c b c -=-, 所以()()122121''''''niin n n n i M b c aa a a a a ++==-=+++-+++∑.所以M 的值与数列A 的分组方式无关．【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，认真理解题目所给的定义是解题的关键点．。
2021年北京市西城区高三数学一模试卷与答案_20210409154420
所以 2 k (k Z) ， 12
所以 k (k Z) . 6
因为 ，所以 ，此时 k 1.
2
6
所以
f
(x)
A sin(2 x
)
.
6
因为函数 f (x) 的图象过点 ( , 1) ， 6
所以
f
()
（A）12
（B） 8 2
（C）16
（D） 8 4 2
（5）已知函数
f
(x)
2 x
log2
x
，则不等式
f
(x)
0 的解集是
（A）（0，1）
（B）（－∞，2）
（C）（2，＋∞）
（D）（0，2）
（6）在△ABC 中，C＝90º，AC＝4，BC＝3，点 P 是 4B 的中点，则 CB CP
1 / 14
，
8 / 14
………………5 分
………………7 分 ………………8 分 ………………3 分
则
f
()
1 ，即
2 sin(
)
1
，
sin(
)
1
.
6
3
3
2
因为 ，所以 ，
2
6
36
所以 ， .
36
6
所以
f
(x)
2 sin(2 x
)
.
6
选条件②③：
因为函数 f (x) 的一个对称中心为 ( , 0 ) ，
（A）{2}
（B）{1，2}
（C）{0，1，2}
（D）{x | x≥－1}
（2）已知复数 z 满足 z z 2i ，则 z 的虚部是
（A）－1
（B）1