均值不等式常见题型整理教学教材
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
均值不等式知点讲解及习题
第三节：基本不等式1、 基本不等式：（1）如果a 、b 是正数，那么（当且仅当a=b 时取“=”）（2）对基本不等式的理解：a ＞0，b ＞0，a,b 的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________.叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数 2、 基本不等式的推广：注意：用基本不等式求最值的要点是：一正 、二定 、三相等三个正数的均值不等式： n 个正数的均值不等式： 3、四种均值的关系两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是：4. 最值定理设x ＞0,y ＞0,由x+y ≥ （1）若积xy=P(定值），则和x+y 有最小值 ；（2）若和x+y=S(定值），则积xy 有最大值 即:积定和最小，和定积最大.2a b+≥ab).(22,R ,)4().(2,R ,)3().(2R,,)2()"",00(,0R,)1(222222等号时取当且仅当则若时取等号当且仅当则若时取等号当且仅当则若取时当且仅当则若b a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a a a a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+∈=≥+∈=≥+∈==≥≥∈++.2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+xy2P 222⎪⎭⎫ ⎝⎛S .33abc c b a ≥++.....n....2121n n n a a a a a a ≥+++（不等式的证明）例1、证明基本不等式（跟踪训练） 例2、（跟踪训练）例3、若x ＞0,y ＞0,x+y=1. 求证:2a b +≥,,: 2.ba ab ab+≥已知都是正数求证9)11)(11(≥++yx（跟踪训练）若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：（利用基本不等式求最值） 例3、（跟踪训练1）（跟踪训练2）若x 、y ∈ ,则x+4y=1,求x .y 的最大值+R .lg lg lg 2lg 2lg 2lg c b a c a b c b a ++>+++++例4、若正数a,b 满足求a+b的最小值（跟踪训练1）若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小值。
均值不等式的应用(新版教材)
均值不等式的应用类型 用均值不等式证明不等式 ┃┃典例剖析__■1．无附加条件的不等式的证明典例1 已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .思路探究：由条件中a ，b ，c >0及待证不等式的结构特征知，先用均值不等式证a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，再进行证明即可． 解析：∵a ，b ，c >0，∴利用均值不等式可得a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．归纳提升：利用均值不等式证明不等式的注意点： (1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立．(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件． 2．有附加条件的不等式的证明典例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b)≥9.思路探究：本题的关键是把分子的“1”换成a ＋b ，由均值不等式即可证明． 解析：方法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba .同理1＋1b ＝2＋ab.故(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b )＝5＋2(b a ＋ab )≥5＋4＝9.所以(1＋1a )(1＋1b )≥9，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．方法二：(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为a ，b 为正数，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝14，所以1ab ≥4，2ab≥8.因此(1＋1a )(1＋1b )≥1＋8＝9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．归纳提升：利用均值不等式证明不等式的两种题型(1)无附加条件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．(2)有附加条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形． ┃┃对点训练__■1．已知x >0，y >0，z >0，求证：(y x ＋z x )(x y ＋z y )(x z ＋yz )≥8.证明：∵x >0，y >0，z >0， ∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xz y >0， x z ＋y z ≥2xy z>0， 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号同时成立． ∴(y x ＋z x )(x y ＋z y )(x z ＋y z )≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 类型 利用均值不等式解决实际问题 ┃┃典例剖析__■典例3 如图所示，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原来的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有36 m 长的钢筋网，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则问题(1)是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值；而问题(2)是在xy ＝24的前提下求4x ＋6y 的最小值，因此可用均值不等式来解决． 解析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，每间虎笼的面积为S m 2. (1)由条件知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，S ＝xy . 方法一：由2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 得26xy ≤18，解得xy ≤272，S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3.故每间虎笼长为92 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．方法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝(9－32y )y ＝32(6－y )·y .∵0<y <6，∴6－y >0. ∴S ≤32·[(6－y )＋y 2]2＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大． (2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l m ，则l ＝4x ＋6y . 方法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅2x ＝3y 时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小． 方法二：由xy ＝24，得x ＝24y. ∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6(16y＋y )≥6×216y·y ＝48.当且仅当16y ＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小． 归纳提升：求实际问题中最值的一般思路 1．读懂题意，设出变量，列出函数关系式． 2．把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题．3．在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解． 4．正确地写出答案． ┃┃对点训练__■2．某公司计划建一面长为a 米的玻璃幕墙，先等距安装x 根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃．一根立柱的造价为6 400元，一块长为m 米的玻璃造价为(50m ＋100m 2)元．假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y 元(总造价＝立柱造价＋玻璃造价)． (1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当a ＝56时，怎样设计能使总造价最低？ 解析：(1)依题意可知a m ＝x －1，所以m ＝ax －1，y ＝6 400x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤50a x －1＋100⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －12(x －1) ＝6 400x ＋50a ＋100a 2x －1(x ∈N ，且x ≥2)．(2)y ＝6 400x ＋50a ＋100a 2x －1＝100⎣⎢⎡⎦⎥⎤64(x －1)＋a 2x －1＋50a ＋6 400. ∵x ∈N ，且x ≥2，∴x －1>0. ∴y ≥20064(x －1)·a 2x －1＋50a ＋6 400＝1 650a ＋6 400，当且仅当64(x －1)＝a 2x －1，即x ＝a8＋1时，等号成立．又∵a ＝56，∴当x ＝8时，y min ＝98 800.所以，安装8根立柱时，总造价最低． 易混易错警示 忽略等号成立的条件┃┃典例剖析__■典例4 求函数y ＝x (1－x )，x ∈[23，1)的最大值．错因探究：由23≤x <1，易知1－x >0，从而错解为y ＝x (1－x )≤[x ＋(1－x )2]2＝14.而x ＝1－x 在x ＝12时才能取“＝”，但23≤x <1，因而不等式取不到等号，从而最大值为14是错误的． 解析：y ＝x (1－x )＝－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14，当x ＝23时，y max ＝23×(1－23)＝29.误区警示：利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答． 学科核心素养 与不等式有关的恒成立问题 ┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围．对于求不等式成立时参数的范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为求最值问题，即 y ≥m 恒成立⇔y min ≥m ； y ≤m 恒成立⇔y max ≤m .但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．典例5 已知函数y ＝－1a ＋2x ，若y ＋2x ≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是__(－∞，0)∪[14，＋∞)__.解析：∵y ＋2x ≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即－1a ＋2x ＋2x ≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴1a ≤2(x ＋1x )在(0，＋∞)上恒成立． 当a <0时，不等式恒成立；当a >0时，∵2(x ＋1x )≥4，当且仅当x ＝1时，等号成立，∴0<1a ≤4，解得a ≥14.∴a <0或a ≥14.课堂检测·固双基1．若实数a ，b 满足ab >0，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为( C )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：直接利用关系式的恒等变换和均值不等式求出结果．实数a ，b 满足ab >0，则a 2＋4b 2＋1ab ≥4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a ＝2b ，且ab ＝12时，等号成立，故选C ． 2．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( D ) A ．1ab ≤14B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．a 2＋b 2≥8解析：4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25_m 2__. 解析：设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，所以y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25 m 2. 4．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为__32__.解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥22(x －a )·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.A 级 基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．若0<x <12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为( C )A ．1B ．12C ．14D ．18解析：因为0<x <12，所以1－4x 2>0，所以x1－4x 2＝12×2x ×1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2即x ＝24时等号成立，故选C ． 2．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：由于x >1，所以x －1>0，1x －1>0，于是x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当1x －1＝x －1即x ＝2时等号成立， 即x ＋1x －1的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a ≤3，故选D ．3．(2019·江苏南京师大附中高二期中)函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1 (x >－1)的图像的最低点的坐标是( D ) A ．(1,2) B ．(1，－2) C ．(1,1)D ．(0,2)解析：∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立，即当x ＝0时，该函数取得最小值2.所以该函数图像最低点的坐标为(0,2)． 4．若对所有正数x ，y ，不等式x ＋y ≤a x 2＋y 2都成立，则a 的最小值是( A ) A ．2 B ．2 C ．22D ．8解析：因为x >0，y >0， 所以x ＋y ＝x 2＋y 2＋2xy ≤2x 2＋2y 2＝2·x 2＋y 2， 当且仅当x ＝y 时等号成立， 所以使得x ＋y ≤ax 2＋y 2对所有正数x ，y 恒成立的a 的最小值是 2.故选A ．5．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为( C )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：因为点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 所以－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.因为m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4mn ＋2≥4＋2·n m ·4mn＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号．故选C ．二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4的最小值是__1__.解析：f (x )＝(x －2)2＋12x －4＝x －22＋12x －4＝2x －44＋12x －4≥22x －44·12x －4＝1. 当且仅当2x －44＝12x －4，即x ＝3时取“＝”．7．(2019·辽宁本溪高级中学高二期中)若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(4，＋∞)__.解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴(x ＋y 4)min <m 2－3m .∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y4＝(x＋y 4)(1x ＋4y )＝4x y ＋y4x＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴(x ＋y4)min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．8．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__[9，＋∞)__；a ＋b 的取值范围是__[6，＋∞)__.解析：①∵正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴ab ∈[9，＋∞)．②∵正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b2)2，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴a ＋b ∈[6，＋∞)． 三、解答题(共20分)9．(6分)(2019·湖北华中师大一附中高二检测)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a 2＋1b 2＋1c2.解析：因为a ，b ，c 都是正实数，且abc ＝1， 所以1a 2＋1b 2≥2ab ＝2c ，1b 2＋1c 2≥2bc ＝2a ， 1a 2＋1c 2≥2ac＝2b ， 以上三个不等式相加，得2(1a 2＋1b 2＋1c 2)≥2(a ＋b ＋c )，即1a 2＋1b 2＋1c 2≥a ＋b ＋c . 因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都同时成立． 所以a ＋b ＋c <1a 2＋1b 2＋1c2.10．(7分)a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c ，求n 的最大值．解析：∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. ∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c .∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，∴n ≤(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ，∴n ≤b －ca －b ＋a －bb －c ＋2.∵b －c a －b ＋a －b b －c≥2(b －c a －b )·(a －b b －c)＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4.11．(7分)已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc . 解析：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0. ∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．B 级 素养提升一、单选题(每小题5分，共10分)1．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( B ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b2解析：由条件知A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2， 所以(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤[(1＋a )＋(1＋b )2]2，所以1＋x ≤1＋a ＋b 2，故x ≤a ＋b2.2．已知正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，且使1m ＋16n 取得最小值．若y ＝5m ，x ＝4n 是方程y ＝x α的解，则α＝( C ) A ．－1 B ．12C ．2D ．3解析：1m ＋16n ＝(1m ＋16n )(m ＋n )＝1＋16m n ＋n m ＋16＝17＋16m n ＋nm ≥17＋216m n ·nm＝25. 当且仅当16m n ＝n m ，又m ＋n ＝1，即m ＝15，n ＝45时，上式取等号，即1m ＋16n 取得最小值时，m ＝15，n ＝45，所以y ＝25，x ＝5,25＝5α. 得α＝2.二、多选题(每小题5分，共10分)3．设a >0，b >0，下列不等式恒成立的是( ABC )A ．a 2＋1>aB ．(a ＋1a )(b ＋1b )≥4C ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4 D ．a 2＋9>6a解析：由于a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0， ∴a 2＋1>a ，故A 恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2， ∴(a ＋1a )(b ＋1b)≥4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故B 恒成立； 由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab ， ∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故C 恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故D 不恒成立；故选ABC ．4．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( BD )A ．ab >1B ．ab <1C ．a 2＋b 22<1 D ．a 2＋b 22>1 解析：因为ab ≤(a ＋b 2)2，a ≠b ，所以ab <1， 又1＝(a ＋b )24＝a 2＋b 2＋2ab 4<a 2＋b 22， 所以a 2＋b 22>1，所以ab <1<a 2＋b 22. 三、填空题(每小题5分，共10分)5．如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是__56__dm 2.解析：设阴影部分的高为x dm ，则宽为72xdm ，四周空白部分的面积是y dm 2. 由题意，得y ＝(x ＋4)(72x ＋2)－72＝8＋2(x ＋144x)≥8＋2×2x ·144x＝56(dm 2)． 当且仅当x ＝144x，即x ＝12 dm 时等号成立． 6．设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b取最小值时a 的值为__－2__. 解析：因为a ＋b ＝2， 所以12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b＝ a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a 4|a |＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a |b时等号成立． 又a ＋b ＝2，b >0，所以当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值． 四、解答题(共10分)7．某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数．(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解析：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，即k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(元)， ∴2019年该产品的利润y ＝1.5x ·8＋16x x －8－16x －m ＝－[16m ＋1＋(m ＋1)]＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当 16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。
人教高中数学必修一B版《均值不等式及其应用》等式与不等式说课教学课件复习(第2课时均值不等式的应用)
＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
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当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2
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利用均值不等式求条件最值 【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1， ∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16x y ≥10＋2 xy·16xy＝18，
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当且仅当8x＋1y＝1， xy＝16xy，
(2)法一：∵0<x<13，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
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法二：∵0<x<13，∴13－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2 ＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
算能力.
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自
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
主
预习
探新知
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均值不等式复习课件
利用高维空间中向量模长的平方与点积之间的关系，通过数学推导证明该不等式。
高维空间中均值不等式的应用
在解决高维空间中的优化问题、概率统计问题以及机器学习算法中，可以利用高维空间中的均值不等式 进行求解。
06
练习与思考题
基础练习题
基础练习题1
已知$x > 0，y > 0$，求证：$frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$。
04
均值不等式的应用举例
在数学解题中的应用
01Leabharlann 代数问题均值不等式可以用于解决代数问题，例如求最值、证明不等式等。通过
运用均值不等式，可以将问题转化为对基本不等式的理解和运用。
02 03
几何问题
在几何学中，均值不等式常常用于解决与面积、周长和体积等几何量相 关的问题。例如，利用均值不等式求得几何体的最大或最小面积、周长 等。
如果将不等式中的每一项 都乘以一个正数$k$，则 不等式的方向不会改变。
可加性
如果将不等式中的每一项 都加上一个正数$k$，则 不等式的方向不会改变。
应用场景
最大最小值问题
证明不等式
利用均值不等式可以求出函数在某个 区间上的最大值和最小值。
利用均值不等式可以证明一些数学上 的不等式。
优化问题
在生产和经济活动中，经常需要通过 调整某些参数使得某个指标达到最优 ，此时可以利用均值不等式进行求解 。
供需分析
在微观经济学中，均值不等式用于分析市场供需关系。例如，利用均值不等式分析商品价 格与需求量之间的关系，以及生产成本与供给量之间的关系。
生产效率
在生产效率分析中，均值不等式可以用于评估生产过程中的资源配置效率。例如，利用均 值不等式分析生产要素之间的最优配置，以提高生产效率。
均值不等式及其应用课件-2025届高考数学知识点题型及考项复习
+
13
5
≥2
36
25
+
13
5
=5
（转化配凑成分子不含变量的形式）
,当且仅当3 x −
3
5
=
12
3
25 x−5
,y =
x
,即x
5x−3
1
2
= 1,y = 时取等号.故3x + 4y的最小值为5.
（方法1易想，但计算量大，且需要两次对式子进行转化配凑.下面我们来研究另一
种方法）
方法2 （常数代换）
+ (y +
=
x2
+
=
[x 2
+
1 2
]
2x
x2 =
[y 2
+
1 2
]
2y
x=y=
故 x+
2
2
1 2
2y
+
y
x
+
x
y
≥2⋅x⋅
1
2x
+2⋅y⋅
1
2y
+2
y x
⋅
x y
= 4，当且仅当 y 2 =
y
x
x
y
1
,
4x2
1
,
4y2
+
即
= ,
时取等号.（【明易错】多次使用基本不等式时,要注意等号成立的一致性）
min
= 16.
+ 10,且y − 9 > 0，
例10 (2024·河南省开封市期末)当0 < x <
1
1时，
x
A.8
新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时 均值不等式的应用
第二课时 均值不等式的应用课标要求 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b >0).结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.素养要求 通过学习均值不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.1.思考 由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？提示 最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法错误.要利用均值不等式a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用.2.填空 均值不等式与最大(小)值(1)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(2)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .温馨提醒 (1)在21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22中，会根据定值情况，合理地选择不等式.(2)应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形.3.做一做 判断正误(1)对于实数a ，b ，若a ＋b 为定值，则ab 有最大值.(×) 提示 a ，b 不一定为正实数.(2)对于实数a ，b ，若ab 为定值，则a ＋b 有最小值.(×) 提示 a ，b 不一定为正实数. (3)若x >2，则x ＋1x 的最小值为2.(×)提示 当x >0时，当且仅当x ＝1时不等式取得最小值2，故x >2时，取不到最小值2.(4)已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为0.(√)题型一 均值不等式的简单应用 角度1 “常数代换法”求最值例1 已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值. 解 ∵1x ＋9y ＝1，且x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ·9xy ＝10＋6＝16.当且仅当y x ＝9x y .又1x ＋9y ＝1， 即x ＝4，y ＝12，故当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.思维升华 若题中不存在满足均值不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，灵活运用“1”的代换.在不等式解题过程中，常常将不等式乘“1”、除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替.角度2 “减元代换法”求最值例2 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________.答案 8解析 ∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12， ∴x ＝3y ＋3，∴0<3y ＋3<12， 解得y >3.则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2（y －3）·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4，x ＝37时取等号.思维升华 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用均值不等式求解. 训练1 (1)已知x ，y 是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315 B.94 C.2D.3(2)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________. 答案 (1)B (2)18解析 (1)由x ＋y ＝1得(x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 即14[(x ＋2)＋(y ＋1)]＝1，∴4x ＋2＋1y ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1·14[(x ＋2)＋(y ＋1)]＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4＋1＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1 ≥14(5＋4)＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时“＝”成立，故选B.(2)由条件得2x ＋6＝(x －1)y .由x >0，y >0知x >1，所以y ＝2x ＋6x －1，所以xy ＝x ×2x ＋6x －1＝2x 2＋6x x －1＝2（x －1）2＋10（x －1）＋8x －1＝2(x －1)＋8x －1＋10≥22（x －1）×8x －1＋10＝18， 当且仅当2(x －1)＝8x －1，即x ＝3时取等号，此时y ＝6.故(xy )min ＝18. 题型二 建立目标不等式求最值例3 (1)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＋3＝xy ，则x ＋y 的最小值为________. (2)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________. 答案 (1)6 (2)2 2解析 (1)由题意知x ＋y ＋3＝xy ≤（x ＋y ）24，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，所以(x ＋y －6)(x ＋y ＋2)≥0， 所以x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)，所以x ＋y 的最小值为6，当且仅当x ＝y ＝3时取等号. (2)由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0， 所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ， 即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.思维升华 利用均值不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值.训练2 已知a >0，b >0，且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则a ＋b 的取值范围是( ) A.[1，4] B.[2，＋∞) C.(1，4)D.(4，＋∞)答案 A解析 ∵a ＋b ＋1a ＋1b ＝5， ∴a ＋b ＋a ＋bab ＝5.∵a >0，b >0，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴1ab ≥4（a ＋b ）2， ∴a ＋b ＋a ＋b ab ≥a ＋b ＋4a ＋b ，∴a ＋b ＋4a ＋b ≤5，即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0， ∴(a ＋b －4)(a ＋b －1)≤0， 即1≤a ＋b ≤4，当a ＝b ＝12时，左边等号成立， 当a ＝b ＝2时，右边等号成立，故选A. 题型三 利用均值不等式解决实际应用问题例4 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对山东乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x 万元之间的函数关系为Q ＝x ＋12(其中推广促销费不能超过3万元).已知加工此批农产品还要投入成本2⎝ ⎛⎭⎪⎫Q ＋1Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋20Q 元/件. 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 解 设该批产品的利润为y ，由题意知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋20Q ·Q －2⎝ ⎛⎭⎪⎫Q ＋1Q －x ＝2Q ＋20－2Q －2Q －x ＝20－2Q －x＝20－4x ＋1－x ＝21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋（x ＋1），0≤x ≤3. ∵21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋（x ＋1）≤21－24＝17， 当且仅当x ＝1时，上式取“＝”， ∴当x ＝1时，y max ＝17.答：当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元. 思维升华 解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.训练3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？⎝ ⎛⎭⎪⎫注：1＋2＋3＋…＋x ＝x （x ＋1）2解 设该厂每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1). 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. [课堂小结]1.利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件.2.在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的.一、基础达标1.若x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 处取得最小值，则t ＝( )A.1＋ 2B.2C.3D.4答案 B 解析 ∵x >1，∴x 2－x ＋1x －1＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1， 即x ＝2时，等号成立， ∴t ＝2.2.已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是( ) A.18 B.16 C.8 D.10答案 A解析 ∵x >0，y >0且8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝xy ，即x ＝12，y ＝3时，等号成立.3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处答案 A解析 设仓库与车站的距离为d ，则y 1＝k 1d ，y 2＝k 2d ，由题意知2＝k 110，8＝10k 2， ∴k 1＝20，k 2＝0.8.∴y 1＋y 2＝20d ＋0.8d ≥216＝8，当且仅当20d ＝0.8d ，即d ＝5时，等号成立.选A.4.设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是( ) A.(38－373) m 3 B.16 m 3 C.4 2 m 3 D.14 m 3 答案 B解析 设车厢的长为b m ，高为a m.由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2a a ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设a ＋1＝t >1，则V ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫20－2t －18t ≤2⎝⎛⎭⎪⎫20－22t ·18t ＝16，当且仅当2t ＝18t ，即t ＝3时取“＝”，此时a ＝2.故选B.5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为( )A.10 mB.20 mC.30 mD.40 m答案 B解析 设矩形的另一边长为y .由三角形相似得x 40＝40－y40，其中0<x <40，0<y <40，∴40＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝20时，矩形的面积取得最大值.故选B. 6.设x >－1，则（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值是______.答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝（t ＋4）（t ＋1）t＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值9.7.已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________. 答案 2＋ 3解析 根据题意，3a ＋b ＝2ab ⇒32b ＋12a ＝1， 则a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32b ＋12a (a ＋b )＝2＋3a 2b ＋b 2a ≥2＋23a 2b ·b2a ＝2＋3，当且仅当b ＝3a 即a ＝3＋12，b ＝3＋32时等号成立， 则a ＋b 的最小值为2＋ 3. 8.若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥15解析 因为x >0，所以x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x ＋3＝15. 当且仅当x ＝1时，等号成立， 所以x x 2＋3x ＋1的最大值为15.所以a ≥15.9.(1)若x >0，求y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值； (2)设0<x <32，求y ＝4x (3－2x )的最大值. 解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x 时， 即x 2＝4，x ＝2时取等号.∴y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ， 即x ＝34时，等号成立. ∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92. 10.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解 设底面的长为x m ，宽为y m ，水池总造价为z 元.根据题意，有z ＝150×4 8003＋120(2×3x ＋2×3y )＝240 000＋720(x ＋y ).由容积为4 800 m 3，可得3xy ＝4 800.因此，xy ＝1 600.故z ＝240 000＋720(x ＋y )≥240 000＋720×2xy ＝240 000＋720×2 1 600 ＝297 600，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝40时，等号成立.所以，将水池的底面设计成边长为40 m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.二、能力提升11.(多选)下列表达式的最小值为2的有( )A.当ab ＝1时，a ＋bB.当ab ＝1时，b a ＋a bC.a 2－2a ＋3D.a 2＋2＋1a 2＋2答案 BC解析 对于A ，当a ，b 均为负值时，a ＋b <0，故最小值不为2；对于B ，因为ab ＝1，所以a ，b 同号，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝±1时取等号，故最小值为2； 对于C ，a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2，当a ＝1时，取最小值2；对于D ，a 2＋2＋1a 2＋2≥ 2a 2＋2·1a 2＋2＝2，当且仅当a 2＋2＝1a 2＋2，即a 2＋2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2.故选BC.12.已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对任意的x >1恒成立，则实数m 的取值范围为________.答案 (－10，＋∞) 解析 ∵2x ＋m ＋8x －1>0在x >1时恒成立， ∴m >－2x －8x －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1， 又x >1时，x －1>0，x －1＋4x －1＋1≥2（x －1）·4x －1＋1＝5， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立， ∴－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1≤－2×5＝－10. ∴m >－10，∴实数m 的取值范围为(－10，＋∞).13.某种商品原来每件的定价为25元，年销售量为8万件.(1)据市场调查，若每件的定价每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元.公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量至少为多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.解 (1)设每件商品的定价为m 元.依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－m －251×0.2m ≥25×8， 整理，得m 2－65m ＋1 000≤0，解得25≤m ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件商品的定价最高为40元.(2)设明年的销售量为a 万件.依题意，当x ＞25时，ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x ，即当x ＞25时，a ≥150x＋16x ＋15，因为150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，所以a ≥10.2.所以当该商品明年的销售量至少为10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元.三、创新拓展14.(多选)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b 有最小值4 B.ab 有最小值12 C.a ＋b 有最大值2D.a 2＋b 2有最小值12 答案 ACD解析 正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，即有1a ＋1b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，即有a ＝b ＝12时，1a ＋1b 取得最小值4，无最大值；ab ≤a ＋b 2＝12，即ab 的最大值为12.由a＋b＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋2×12＝2，可得a＝b＝12时，a＋b取得最大值2；由a2＋b2≥2ab可得2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝1，则a2＋b2≥12，当a＝b＝12时，a2＋b2取得最小值12.综上可得A，C，D均正确.。
均值不等式常考题型教程文件
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式精选教学PPT课件
重逢的时候 那是心情的又一次触动
惊喜的表情 熟悉的面庞 回忆中的甜蜜 一瞬间在脑海中隐现 于是，永远成为了所谓的缘分的代表 重逢…惊喜… 重逢的时候 那是思念的又一次宣泄 深情的一个拥抱 紧紧的一个握手 彼此的心轻鬆了许多 才发现思念是一种病 重逢…思念…… 重逢的时候 那是记忆的又一次翻新 彼此回忆著孩提时的美好 诉说着自己的苦恼 谈论着朋友的生活 讲述着自己无奈的过往 重逢…记忆… 重逢的时候 那是时间的又一次停滞 那一刻，时间终于停了 自己终于可以放假 感动的身体一时瘫在那里 重逢时的感动告诉了时光老人 时间不能改变的东西…… 重逢…感动… 重逢的时候，那是一阵欣喜，一阵感 动 欣喜之余还有一丝的忧伤 因为我们毕竟还要赶路 那么多线终有相交的一点 可是相交以后注定还要分别 但是，至少我明白 暂时的离别是为了再次相聚时的感动 ……
3.由例2总结出如下的规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
问：在使用“和为常数，积有最 大值”和“积为常数，和有最小 值”这两个结论时，应注意什么 条件？
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 那么错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
注立意。：1，适用条件： a, b R
2，结构特征：
a b ab 2
3，等号成立的条件：
当且仅当a=b时，式中等号成立
课堂互动探究重:要不等式
1，探究均值不等式与不 等式a2 b2 2ab的关系如何？
2 ，均值不等式有什么作用？ （结合例题来探究此问题）
作用：（1）证明不等式， （2）求最值.
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
人教高中数学必修一B版《均值不等式及其应用》等式与不等式说课教学课件复习(均值不等式)
＝ ab⇒a＝b.
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1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若 x＞1，则 x＋1x≥2 x·1x＝2；
②若 x＜0，则 x＋4x＝－－x＋－4x≤－2 ③若 a，b∈R，则ba＋ab≥2 ba·ba＝2.
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3．已知 ab＝1，a>0，b>0，则 a＋b 的最小值为( )
A．1
B．2 C．4 D．8
B [∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab ＝2，当且仅当a＝b＝1时取等 号，故a＋b的最小值为2.]
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第二章 等式与不等式
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用 第1课时 均值不等式
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学习目标
核心素养
1.掌握均值不等式，明确均值不等 1.通过不等式的证明，培养逻辑推
式成立的条件．(难点) 理的素养．
∴1a－1＝b＋a c>0，1b－1＝a＋b c>0，1c－1＝a＋c b>0，
均值不等式教学课件ppt
均值不等式的形式与性质
基于基本不等式的证明：利用基本不等式证明均值不等式的方法是最常用的方法之一。
均值不等式的证明
均值不等式的应用
03
1
均值不等式在数学中的应用
2
3
利用均值不等式可以简洁明了地证明一些不等式成立。
证明不等式
通过运用均值不等式，可以求出函数的最值，使函数取得最优解。
解决最值问题
在求解一些方程时，运用均值不等式能够简化计算，提高解题效率。
均值不等式的现代形式
对于任意正数$a$和$b$，总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
均值不等式的推广形式
均值不等式的定义
形式
均值不等式有许多形式，如$A \geq B \geq C \geq D$，其中A、B、C、D是实数或变量。
性质
均值不等式具有对称性、传递性和可加性等性质。
求解方程
03
生产计划
通过均值不等式，可以帮助生产厂家制定生产计划，实现产能和成本的最优配置。
均值不等式在经济学中的应用
01
投资组合选择
在确定投资组合时，利用均值不等式可以找到最优投资组合的比例，以实现最大收益。
02
资本预算
在资本预算中，运用均值不等式可以确定最优资本结构，以最小成本获得最大收益。
教学内容的难度和深度需要进一步调整和完善
虽然小组讨论的教学方式有助于培养学生的合作精神和思维能力，但在实际操作中容易出现小组讨论不够充分、讨论方向偏离主题等问题。因此，在今后的教学中，我将更加注重小组讨论的组织和引导，确保学生能够充分参与到讨论中，并沿着正确的方向展开讨论。
小组讨论的组织需要更加严谨
2.2.4 均值不等式及其应用新教材新素养
()
A．16
B．25
C．9
D．36
解析：因为 x>0，y>0，且 x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋
x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋x＋2 y2＝9＋42＝25，因此当且仅当
x＝y＝4 时，(1＋x)(1＋y)取最大值 25.
答案：B
2．[利用均值不等式解决恒成立问题]已知 a>0，b>0，2a＋1b＝16， 若不等式 2a＋b≥9m 恒成立，则 m 的最大值为________． 解析：由已知，可得 62a＋1b＝1，∴2a＋b＝62a＋1b·(2a＋b)＝ 65＋2ba＋2ab≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2ba＝2ab时等号成立， ∴9m≤54，即 m≤6.
答案：5 8
3．[利用均值不等式求实际问题中的最大值]某地方政府准备在 一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性 休闲广场，其总面积为 3 000 m2，其中场地四周(阴影部分) 为通道，通道宽度均为 2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑 胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动 场地占地面积为 S 平方米.
[典例 1] (1)已知 x，y 都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2) (x3＋y3)≥8x3y3；
(2)已知 a，b，c 为正数，且 a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. [证明] (1)∵x，y 都是正数， ∴x＋y≥2 xy>0， x2＋y2≥2 x2y2>0，x3＋y3≥2 x3y3>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2 xy·2 x2y2·2 x3y3＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当 x＝y 时，等号成立． (2)1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
均值不等式及其应用-高一数学教学课件(人教B版2019必修第一册)
引入新课
要做一段周长为200米的的栅栏，如何使其面积最大？
新知讲解
思考：一般地，对于任意实数 x、y，我们有
x2 y2 2xy ，当且仅当 x=y 时等号成立.
你能给出它的证明吗？
证明: x2 y2 - 2xy = x;0 ,当 x y 时，等号成立．
sin x
有同学这样解0 x ,sin x 0, 4 0,
sin x
y sin x 4 2 sin x 4 4
sin x
sin x
所以, y sin x 4 最小值为4. sin x
反思：研究函数
最值的处理思路是：
（1）可以用基本不等式求解；（2）不能用基本不等式时就用单 调性求解。
因为 OD CD ， 所以 a b ab 2
当且仅当 C 与 O 重合，即 a b 时，等号成立．
D
ab
2
ab
O
C
B
例 1 设 a, b 均为正数，证明不等式
ab
1
2
1
.
ab
证明 因 a, b 均为正数，由基本不等式，可知
11 a b
1
2
ab
也即
ab
1
2
1
，当且仅当 a
b 时，等号成立．
（1）求x，y的函数关系式，并求x的取值范围； （2）问框架的横边长x为多少时用料最省？
x y
反思：根据图形，建立总长L(米）与横边长x(米）之间的函数 关系式，再用数学方法（本例用基本不等式）求最小值，解题 过程中要关注x的取值范围对问题解答的影响。
实际问题 数学问题 实际问题
小结
1.基本不等式的定义和应用; 2. 均值不等式链
均值不等式应用及例题解析(PPT教案)
a/4 (x=a/8)
练习3
练习4 :已知2a b 2 求f ( x) 4a 2b的最值及此时的 a和b.
最小值 4 ，当2a=b时 有最小值(a=1/2 b=1)
三不等，改用“单调性”
例11.求函数 y
x2 5 x 4
2
的最小值. 5/2(x=0)
变形:
1 利用对勾函数 y t t
(t>0)的单调性.
练习：（ 1 ）求函数y （2）求函数y
2
x 5
2
x 1
2
的最小值；
sin x 5
2
sin x 1 1 1 （3）求函数y x 在 ， 3上的值域。 x 2
的最小值；
例 1２: 用三元均值不等式求最值
构造三 解: 1 x 0, 个数相 1 2 y x (1 x) x x (2 2 x) 加等于 2 定值.
注意:各项必须为正数
一 不 正 , 常 用 a b 2 a b ( a 0, b 0 )
二边乘-1不等式要变号
2x x 3 例8、（ 1 ）已知函数f（x） （x 0) x 求f ( x)的最大值，以及此时 x的值。
2
解：函数看不出二项相乘为定值，需要变形使它二项相乘为定值 （凑积定）
（拆项时常拆成两个相同项）。
五、错题辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错， 指出有错误的地方。 1 1 1. 已 知 a， b R ， 且 a 2 b 1， 求 的 最 小 值 . a b
1 1 1 1 解法二：由a 2b 1及a、b R , ( a 2b)( ) a b a b 1 1 1 2 2ab 2 , 的最小值为 4 2 . 因为二不定 ab a b
人教数学B版必修一《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT(第1课时均值不等式)
故1x＋3y的最小值为
1＋
3 2.
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第二章 等式与不等式
本部分内容讲解结束
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第二章 等式与不等式
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键， 利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式 中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．
)
A．3 2－3
B．3
C．6 2
D．6 2－3
解析：选 D.y＝3(x2＋1)＋x2＋6 1－3≥2 3（x2＋1）·x2＋6 1－3 ＝2 18－3＝6 2－3，当且仅当 x2＝ 2－1 时等号成立，故选 D.
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第二章 等式与不等式
3．已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，则 x＋y 的最小值为________． 解析：x＋y＝(x＋y)1x＋9y ＝10＋xy＋9yx≥10＋2 xy·9yx＝10＋6＝16. 即 x＝4，y＝12 时等号成立，所以 x＋y 的最小值为 16. 答案：16
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第二章 等式与不等式
解：因为 x<2，所以 2－x>0， 所以 y＝x＋x－4 2＝－（2－x）＋2－4 x＋2≤ －2 （2－x）2－4 x＋2＝－2， 当且仅当 2－x＝2－4 x，得 x＝0 或 x＝4(舍去)， 即 x＝0 时，等号成立． 故 y＝x＋x－4 2的最大值为－2.
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第二章 等式与不等式
1．已知 0＜x＜1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的值为( )
均值不等式求最值的6种常用方法-高一数学(人教B版2019必修第一册)(解析版)
均值不等式求最值的6种常用方法一、均值不等式常用的结论1、如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、2220,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤≤>>+ 二、利用均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用均值不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在均值不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用均值不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a b λμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：1525⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用均值不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
均值不等式(上课用)
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 号成立。
3 2x x
x y 2 x y 2
xy P
x y 2 P (当x y时取" ")
因此当 x y 时和 x y 有最小值 2 P (2)和 x y 为定值s,有:
S xy 2
因此当 x
1 2 即 xy S (当x y时取 " ") 4 1
y 时积 xy
3
2
6
1 max= 12
“拆用”均值不等式求最值 2 x 2 x 3 例3．求函数 f ( x) ( x 0) x
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
“凑用”均值不等式求最值
分析二： 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0； 3 1 可用均值不等式法 ∵0＜x＜ ，∴1-3x＞0 3 1 1 3 x 1 3 x 1 2 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( ) 3 12 当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y
的最值。
的最值。
4 设0 x 2,求函数f ( x) 3x(8 3x)的最值. 例3
并求相应的x的值.
2 练习：已知 0 x ，求函数y x(2- 3x) 3 的最大值 , 及相应x的值
实际问题应用 （1）一个矩形的面积为100平方米，问这个矩形的长、 宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
a b 2 ab
均值不等式应用及例题解析 PPT教案 教案课程共65页
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
均值不等式应用及例题解析 PPT教案 教 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 案课程
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
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