经济数学基础微积分第一篇第一章--函数

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经济数学基础-知识点归纳

第一章函数与极限1．理解函数概念。

（1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。

函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。

学生要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等。

（2）理解函数的对应关系f 的含义：f 表示当自变量取值为x 时，因变量y 的取值为f (x )。

（3）会判断两函数是否相同。

（4）了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。

2．掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。

判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即(1)若)()(x f x f =-，则)(x f 为偶函数；(2)若)()(x f x f -=-，则)(x f 为奇函数。

也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。

3．了解复合函数概念，会对复合函数进行分解。

4．知道初等函数的概念，牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质。

基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质在微积分中常要用到，一定要熟练掌握。

5.了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。

6.知道一些与极限有关的概念（1）知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；（2）了解无穷小量的概念，知道无穷小量的性质；（3）了解函数在某点连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。

第二章导数及其应用1．知道一些与导数有关的概念（1）会求曲线的切线方程（2）知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导)2．熟练掌握求导数或微分的方法。

（1）利用导数（或微分）的基本公式（2）利用导数（或微分）的四则运算（3）利用复合函数微分法3．会求函数的二阶导数。

第1章经济函数.ppt

除了以上三种方法以外，还有其它的表示方法。如：用描述的语言来说明自变量与因变量的对应关系。
定义 [x]：不大于x的最大整数。
则y [x]为定义在实数域上的函数。其对应法则为“不大
自变量的最大整数”。如
于
[2.3] 3 [1.7] 1 [ ] 3 [ 2] 2
15
2019年10月27日星期日
{x a x b} {x a x b} {x a x b}
(,b) {x x b}
无穷 (,b] {x x b} 区间 (a,) {x x a}
[a,) {x x a}
4
2019年10月27日星期日
以后的学习中经常还会遇到另一种集合——邻域。由于邻域一般用绝对值表示比较方便，作为准备，我们先复习和绝对
例 f (x)的定义域为[3,3]，求f (2 x) f (2 x)的定义域。答案 [1,1]
12
2019年10月27日星期日
◆ 图示法即用图形直观地表示变量间的对应关系。一般以横轴表示自变量的取值，纵轴表示因变量的取值。此法比较直观，可以清楚地显示出函数的单调性、周期性、奇偶性等等。例 y sin x
例判断y f (x) x 1 x的单调性。解题过程
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函数的单调性一般在区间上讨论。要注意不能由两个区间上有相同的单调性就得到在这两个区间的并集上单调。如
函数y 1 在(,0)和(0,)上都是单调递减的，但不能说函 x
数y 1 在(,0) (0,)上单调递减。 x
反分映析出此什不么等特式性即。求这一样点才x能，利使用它数与学点计1的算距和离图和像与分点析-各2的距

2022年春经济数学基础微积分部分

08春经济数学基本微积分部分第一部微分学第1章函数1．理解函数概念。

理解函数概念时，要掌握函数旳两要素−−定义域和相应关系，这要解决下面四个方面旳问题：（1）掌握求函数定义域旳措施，会求初等函数旳定义域和函数值。

要掌握常用函数旳自变量旳变化范畴，如分式旳分母不为0，对数旳真数不小于0，偶次根式下体现式不小于0。

例1 求函数xx y --=2)1ln(旳定义域。

解： )1ln(-x 旳定义域是1>x ，x -2旳定义域是2≤x ，但由于x -2在分母上，因此2≠x 。

故函数xx y --=2)1ln(旳定义域就是上述函数定义域旳公共部分，即1<x <2。

（2）理解函数旳相应关系f 旳含义：f 表达当自变量取值为x 时，因变量y 旳取值为)(x f 。

例如，对于函数x x x x f y 2ln )(2++==，f 表达运算：)(22)ln()(++例2 设1)(+=x x f ，求)1)((+x f f 。

解：由于1)(+=x x f ，阐明f 表达运算：1)(+，因此)1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f再将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 2．掌握函数奇偶性旳鉴别，懂得它旳几何特点；判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即（1）若)()(x f x f =-，则)(x f 偶函数；（2）若)()(x f x f -=-，则)(x f 奇函数。

也可以根据某些已知旳函数旳奇偶性，再运用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”旳性质来判断。

例3 下列函数中，（）是偶函数。

A. x x x f sin )(3= B. 1)(3+=x x f C. xxaa x f --=)(D. x x x f sin )(2=解：根据偶函数旳定义以及奇函数×奇函数是偶函数旳原则，可以验证A 中3x 和x sin 都是奇函数，故它们旳乘积x x x f sin )(3=是偶函数，因此A 对旳。

微积分课件0-1函数

一、基本概念
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体集合组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素
a∈ M, a∉ M, A = {a1 , a 2 , ⋯ , a n }
有限集
M = { x x所具有的特征 } 无限集
a •
C•
t
M
•
A
B
O
M
x
y = AM − AB
因轮子无滑动
OM = 弧CM = at
所以：所以：
x = at − a sin t = a (t − sin t ) y = a − a cos t
这条曲线称为旋轮线，又称为摆线。这条曲线称为旋轮线，又称为摆线。旋轮线摆线
4、极坐标系、
则称函数 f ( x )在X上有界 .否则称无界 .
y M y=f(x) o -M x 有界 X M y
x0
o -M X 无界
x
2．函数的单调性: ．函数的单调性
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间I ∈ D , 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 < x 2时, 恒有 (1) f ( x1 ) < f ( x 2 ),
D : [−1,1]
D : ( −1,1)
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，是只有一个，这种函 W y 数叫做单值函数，数叫做单值函数，否则叫与多值函数．则叫与多值函数．
⋅( x, y)
x
例如，例如， x + y = a ．
2 2 2
o

经济数学基础第1章

记为 lim f ( x) A , 或者 x x0
f ( x) A( x x0 ) .
y
当x在x0的去心邻
域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
A
A
A
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
y f (x)
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后,越小越好.
y
单侧极限:
y1 x
x0 x
2
lim(1 1 )x e
x
x
1
或lim(1) e. 0
1.6 函数的连续性
1.6.1 函数连续的概念 1.6.2 初等函数的连续性 1.6.3 闭区间上连续函数的性质
1.6.1 函数连续的概念
定义设函数 f ( x) 在U( x0, ) 内有定义,如果
函数 f ( x) 当 x x0 时的极限存在,且等于它在
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
1.2.2 函数的极限
问题:函数 y f ( x) 在 x x0 的过程中, 对应函数
值 f (x) 无限趋近于确定值A .
x x0 时 f (x) 的极限定义若对任意给定的正数 > 0, 总存在正数 >0,只要 f 的定义域中的点 x 满足0<|x x0|< 时，恒有 |f(x)A|< 成立，则称常数A 是函数 f(x) 当 x x0时的极限,简称 A 是 f (x)在 x0 处的极限.
点 x0处的函数值
那末就称函数 f (
f( x)
x ) ,即 lim f
0
在点
x0
连x续x0 .
(
x

吴传生经济数学微积分第一章1.6 PPT

四、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C 总 C 固 C 可变
支付固定生产要素的费用支付可变生产要素的费用
平均成本

总成本产量

固定成本
可变成本产量
即 C AC

C (Q ) Q

C
1
Q

C
2
(Q )
3 Q + 4 P = 1 0 0 ,求总收
益和平均收益．
解
价格函数为
P
100 3 Q 4
,
100 Q 3 Q 4
100 3Q 4 .
2
所以总收益为
R (Q ) P Q
,
平均收益为
A P (Q ) P (Q )
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
q 2
，
在时间 T 内的总费用 E 为
E 1 2 C 1 Tq C Q
2
q
其中，
1 2
C 1 Tq 为贮存费，
C2
Q q
为进货费用
.
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹曲线是指数函数 y ka
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
b
t
初始期发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示
1 .4
2.某工厂对棉花的需求函数由
PQ
=0.11 给
出 ,（ 1）求其总收益函数 R;（ 2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若工厂生产某种商品，固定成本 200,000 元，每生产一单位产品，成本增加 1000 元，求总成本函数。

经济数学基础微分学之第1章函数

第一单元函数的概念第一节函数的概念一、学习目标通过本节课的学习，理解函数的概念，了解函数的表示法，会计算函数值．二、内容讲解同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．常量——只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：S=πr2考虑半径r可以变化的过程．面积和半径叫做变量．变量——可取不同值的量变域——变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系．这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是：定义1.1——函数设x, y是两个变量，x的变域为D，如果存在一个对应规则f，使得对D内的每一个值x 都有唯一的y值与x对应，则这个对应规则f称为定义在集合D上的一个函数，并将由对应规则f 所确定的x 与y 之间的对应关系，记为：)(x f y =称x 为自变量，y 为因变量或函数值，D 为定义域．集合},)({D x x f y y ∈=称为函数的值域．我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系．三、例题讲解例1 求函数)1ln(1-=x y 的定义域．解：)1ln(1-=x y ，求函数的定义域就是使表达式有意义的x 。

由对数函数的性质得到01>-x ，即1>x ；由分式的性质得到0)1ln(≠-x ，即11≠-x ，即2≠x 。

综合起来得出所求函数的定义域为),2()2,1(∞+= D ．例2 设国际航空信件的邮资F 与重量m 的关系是的关系是⎩⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m F ,求)20(,)8(,)3(F F F 。

2019高等数学课件第1章微积分-函数.ppt

a
2
(2) a a a
(3)K 0 : a ()K K ()a () K a () K a () K 或a () K
(1) a b a b
4)运算性质：
(三角不等式)
(2) a b a b a b
即a b ab a b
x 无界
y=f(x)
o -M o
x0
X
定义2：设函数f ( x )在集合D内有定义，若A（或B )，使x D，都有 f ( x ) A(或f ( x ) B )成立，则称f ( x )在D内有上界
-M
（或有下界），也称f ( x )是D内的有上界(或下界)的函数。
有界函数有上界和下界的函数
实数集：全体实数组成的集合，记 R 数轴：具有原点、正方向和单位长度的直线
数轴上的全体点( 数全体实数
一一对应
微积分--函数
a 3
点
a 3
)
7
2.实数的性质
1)连续性(充满数轴，无空隙) 2)稠密性(任两不等实数间既有有理数,又有无理数) 3)有序性(有大小顺序) 4)对四则运算封闭
(3) a b a b
a a (4) (b 0) b b
微积分--函数 9
1.2 常用实数集
N Z Q R.
1. 自然数集N; 整数集Z; 有理数集Q; 实数集R 2.区间: a, b R, 且a b. : 任意给定( Arbitrary) { x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
微积分经济类高等数学线性代数概率论与数理统计
微积分：极限论一元积分学
一元微分学多元微分学级数论

微积分01函数

a in fS ( 1 ) x S ,有 x a
( 2 ) 0 ,x * S ,使得 x * a
有理数集与实数集性质的区别实数集是连续的有理数集不是连续的
如果实数集的子集有上（下）界,则必有上（下）确界.
但是,有理数集的子集有界,则未必有确界.
抽象函数，首先要讨论其性质．
2．定义域 D ,也记为 D( f ) 函数 f 有意义的自变量集合．
(1) 给定函数时，给定自变量集合，函数只在给定集合有意义，在其他集合即使可以计算，仍然叫无意义； (计算的不是所给函数的值) (2) 给定函数时，没有给定自变量集合，计算定义域原则； ①分母不为0； ②开偶数次方变量非负；
{yy R ,yf(x)x , D }— 值域记为：f(D)
问题：函数是什麽？
函数是一个规则什麽规则？由一个量(自变量)的值，确定另一个量(因变量)对应数值的规则．函数是一种关系什麽关系？一个量(因变量)随另一个量(自变量) 变化的对应关系．当自变量给定时，函数还是一个变量,随自变量变化的变量．
f(x) xx
注：1．奇偶函数定义域关于原点对称； 2．非奇非偶函数运算后，奇偶性不一定．
例 x s in x ,lg ( x 1 x 2 ) ,x 2 c o s x ( x 2 ) 的奇偶性？ 1 x 2
解
x 、 s i n x 为奇函数，所以 x s i n x 为偶函数，
函数的定义域D与对应关系f 一旦确定，两个量之间的关系——函数也就完全确定了．故称之为函数的两要素．
反之如果有两个函数y=f(x), s=g(t), 当它们定义域相同, 对应关系(定义域中同样的自变量值, 对应的函数值)也一样, 就叫做两个函数相等.

经济数学-第1章

第1章函数的概念函数是对现实世界中各种变量之间相互依存关系的一种抽象，是刻画运动变化中变量相依关系的数学模型。

其思想是：通过某一事实的信息去推知另一事实。

在经济学、管理学及其他社会科学的研究中经常会遇到函数。

本章将在中学数学已有的函数知识的基础上，进一步理解函数概念、并介绍反函数、复合函数及初等函数的性质，为微积分的学习打下基础。

一、变量（一）变量与常量在我们观察自然现象或社会现象的过程中经常会遇到两种不同的量，其中一些量在观察过程中始终保持固定的数值，这种量称为常量，一般用字母a ，b，c 等表示；另一些量在观察过程中可取不同的数值，这种量称为变量，一般用 x，y，z 等表示。

例如物体的重力加速度，某段时间内某种商品的不变价格等均是常量；一天的气温、湿度、生产过程的产量是在不断变化的，它们是变量。

（二）区间变量有时可取任意实数值，有时又要受到某种限制，这要根据问题的具体性质来决定。

例如产量不能为负数，圆的内接正多形的边数只能是不小于3的自然数……通常用“区间”来表示变量x的变化范围。

设 a ，b是两个给定的实数，满足 a ≤x≤b 的实数的全体叫做闭区间，用记号[ a ，b] 表示；满足 a < x < b 的实数的全体叫做开区间，用记号（ a，b）表示；满足 a < x≤b 或a ≤x < b 的实数的区间叫做半开闭区间，用记号（ a，b] 或[ a，b）表示。

以上这些区间叫做有限区间。

除了有限区间之外，还有无限区间。

（ a ，+ ∞）表示全体大于a 的实数； [ a ，+ ∞）表示全体不小于a的实数；（ - ∞，b）表示全体小于b 的实数；（-∞，b] 表示全体不大于b的实数；（ - ∞，+ ∞）表示全体实数。

其中，-∞，+ ∞分别读成负无穷大，正无穷大。

（三）邻域邻域是今后常用的一个概念，在数轴上，一个以 x 点为中心，半径为δ的对称开区间称为x的δ邻域，记为 N（ x ，δ）。

微积分(一)第一节课件

o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2.邻域: 设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.
U (a ) { x a x a }.
例1
(1) y ( x 1)
2
100
由y u
u
100
, u x 1 复合而成。
2
sin 2 (3 x )
2
(2) y 2
由 y 2 , u v , v sin w , w 3x 复合而成
(3) y arcsin
2
2
1 4x
由 y u , u arcsin v , v w , w 1 4 x 复合而成
y
y f (x)
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x1 )
f ( x2 )
o
o
I
x
I
x
(3) 奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
无限区间
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b]
[a ,) { x a x }

第一章函数《经济数学》PPT课件

【例1-1】某班级的全体学生组成一个集合.该班的学生都是这个集合的元素.
【例1-2】自然数的全体组成一个集合.每一个自然数都是这个集合的元素.
【例1-3】直线x+3y+3=0上所有的点组成一个集合.这里直线的每个点是这个集合的元素.
➢ 习惯上,我们用英文大写字母 A 、B、C、X、Y等表示集合,用英文小写字母a、b、c、x、y等表示集合的元素.如果a是集合A的元素,则记作a∈A,读作a属于A.如果a不是集合A的元素,则记作a∉A,读作a不属于A.
1. 2. 1 函数的概念
➢ 问题3：图1-5反映了上海证券交易所的上证指数从201×年10 月1日到201×年12月31日的60个交易日的变化情形,由此图可以看出在这段时间中上证指数随时间的变化.
➢ 从图1-5中我们可以看到,有日期t和指数I两个变量,当变量t在某一范围内变化时(201×年第四季度有60个交易日),指数I随着日期t的变化而变化,并且当t取某一日期时,有唯一上证指数I与之相对应.
➢ 补集有以下性质:A∪A ̅=I;(2)A∩A ̅=Φ . 【例1-14】设全体学生为全集I,如果男生为集合A,则A ̅表示为
女生集合.
1. 1. 5 集合的运算律
1)交换律
运算律
3)分配律
2)结合律
4)对偶律(德•摩根公式)
1. 1. 6
实数集
人们对数的认识从自然数发展到有理数(包括正负整数,正负分数及零),再由有理数发展到无理数(例如e,π,√3等),如果令p,q为整数,且q≠0,则一般有理数可用p/q表示,无理数不能用p/q表示.
1},A∩B={x|0<x≤3}. 【例1-13】设A为全体有理数集合,B为全体无理数集合,则:A∪B为全

《经济数学》教学课件第一章函数

（四）函数的有界性
设函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义．若存在一个正数 M ，使得对于区间 (a ，b) 内的一切 x 值，恒有 | f (x) | M ，则称函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是有界函数，否则称函数 f (x) 为无界函数．
1.4 函数的性质
例 3 判断函数 f (x) ln(x x2 1) 的奇偶性．
(
x)=
4
1
x2
x 2 的定义域．
解要使函数有意义，则有
4 x2 0 x2 0 成立，所以函数 f (x) 的定义域为 x (2 ，2) (2 ， ) ．
1.3 函数的表示法
常用的函数表示方法有三种：解析法、表格法和图形法．
解析法：也称公式法，是指将自变量和因变量之间的关系用数学式子来表示的方法．这些数学式子称为解析表达式．根据解析表达式表示方法的不同，相应的函数可分为显函数、隐函数和分段函数．
轴为渐近线，如图 1-2 所示
图 1-2
基本初等函数
（3）指数函数 y ax (a 0且a 1) 的定义域是 ( ， ) ．由于无论 x 取何值，总有 ax 0 且 a0 1 ，所以它的图形全部在 x 轴上方，通过点 (0 ，1) ，即值域是 (0， ) ．
当 a 1 时，函数单调增加且无界，曲线以 x 轴负半轴为渐近线．当 0 a 1 时，函数单调减少且无界，曲线以 x 轴正半轴为渐近线，如图 1-3 所示．
定义 1-1 设 x 和 y 是两个变量， D 是给定的数集，如果对于每个 x D ，变量 y 按照某个对应法则 f 总有一个唯一确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ．
这里，x 称为自变量，y 称为因变量或 x 的函数，数集 D 称为函数的定义域．当 x 取值 x0 时，与 x0 对应的 y 的数值称为函数在点 x0 处的函数值，记作 f (x0 ) 或 y xx0 ．当 x 取遍 D 的各个数值时，对应函数值的集合 Z {y | y f (x)，x D} 称为函数的值域．

经济数学微积分第一章函数部分[新版]

第一章函数教学过程:一、集合及其表示、运算（一）集合的概念1.【定义】集合—具有某种属性的事物组成的全体.用大写字母,,A B C 表示. 例如①自然数集:{0,1,2,3,4,}N =,而{1,2,3,4,}N +=； ② 整数集{0,1,2,3,}Z =±±±；③ 有理数集: Q =,,pp Z q N p q q+∈∈｛且与互质｝；④ 实数集:R , 而{|0,}R x x x R +=>∈ .集合的例子： (1) 2009年1月2日出生的人.(2) 方程 2560x x -+=的根. (3) 全体偶数. (4) 直线 10x y +-=上所有的点. 不是集合的例子：很小的数；张雨的好朋友.2.元素——组成集合的各个事物或对象, 用小写字母c b a ,,表示.3.集合与元素的关系(从属关系)(1) a 属于A ——事物a 是集合A 的元素. 记作a A ∈；(2) a 不属于A ——事物a 不是集合A 的元素. 记作a A ∉.4.有限集----含有有限个元素.无限集----含有无限个元素. （二）集合的表示方法(1) 列举法——用列举全体元素表示集合的方法. 即},,,{21n a a a A =.例如 }6,5,4,3,2,1{=A .(2) 描述法——用元素具有的特征表示集合的方法. 即}|{所具有的特征a a A =.例如 22{(,)|1}A x y x y =+=.2{|560}B x x x =-+=.（3）全集与空集①空集——不含有任何元素的集合. 记作Φ.提问：{}{}0,Φ是空集吗？②全集——所研究的所有事物组成的集合，记作U .（三）集合的关系（包含关系）与运算 1.【定义1.1】A 是B 的子集 ——x A x B ∀∈⇒∈.记作A B ⊂.A 是B 的真子集—— A B ⊂,且A B ≠,记作 .例如： , , . 2.规定：空集为任何集合的子集. 空集为任何非空集合的真子集. 3.【定义1.2】A 与B 相等——若A B ⊂且B A ⊂，记作A B =. 例如：（1）设{1,2},A ={2,1},B =2{320},C x x x =-+=则.A B C ==（2）{}|A x x =是大于1而小于4的整数；{}2|560B x x x =-+=则A B =.≠⊂Z Q ≠⊂N Z ≠⊂Q R ≠⊂A BA BB A BA4.【定义1.3】并集{|}AB x x A x B =∈∈或,记作A B .5.【定义1.4】交集{|}AB x x A x B =∈∈且,简记为A B .6.【定义1.5】差集——{|}A B x x A x B -=∈∉且,B A -有时写成A B \；7.【定义1.6】余集(补集)——cA U A =-，其中U 为全集.显然：()c cA A =. （四）集合的运算律 (1)交换律： ① AB B A =； ②A B B A =.(2)结合律： ① )()(C B A C B A =；②)()(C B A C B A =.(3)分配律： ① )()()(C B C A C B A =；② )()()(C B C A C B A =.(4)对偶原理(摩尔根原理)：①()c c c AB A B =；② ()c c c A B A B =.证明：先证①. x U ∀∈，有()c x AB x A B∈⇔∉x A x B ⇔∉∉且cc c c B A x B x A x ∈⇔∈∈⇔且.① 得证.再证②.c c c c c c c c c c c c B A B A B A B A )(])()[(])[( ===.②得证.例1 某地区有100个工厂，其中，80个生产甲种机床，记为集合A ；61个生产乙种机床，记为集合B ；55个两种机床都生产.试用集合表示下列各类工厂，并计算出各类工厂的数目.(1)生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂；(2)生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；(3)甲、乙两种机床中至少生产其中一种的工厂；(4)甲、乙两种机床都不生产的工厂. 解（1）此类工厂的集合为A B -,工厂数目为80-55=25（个）.（2）此类工厂的集合为 B A -,工厂数目为 61-55=6（个）.（3）此类工厂的集合为 A B ,工厂数目为 25+55+6=86（个）.（4）此类工厂的集合为 A B ,工厂数目为 100-（25+55+6）=14（个）.例2 利用集合的运算律证明：()()AB A B B =.（五）笛卡尔积1212{(,,,)|,1,2,,}n n i i A A A x x x x A i n ⨯⨯⨯=∈=.【定义1.7】设有集合：A B 和,对任意的 ,x A y B ∈∈，所有的二元有序数组(,)x y 构成的集合，称为A B 和的笛卡尔乘积（或直积），记作{}(,)|,A B x y x A y B ⨯=∈∈.平面点集 {}2(,)|,R R R x y x y R =⨯=∈.空间点集 {}3(,,)|,,R R R R x y z x y z R =⨯⨯=∈.提问：如果{3,0,2}X Y ==,求X Y ⨯.解 X Y ⨯={(3,3),(3,0),(3,2),(0,3),(0,0),(0,2),(2,3),(2,0),(2,2)}.提问：设集合1231212{,,},{,},{,}X x x x Y y y Z z z ===,求X Y Z ⨯⨯. 解 X Y Z⨯⨯x y z x y z x y z x y z =111112121121{(,,),(,,),(,,),(,,),211212221221(,,),(,,),(,,),(,,),x y z x y z x y z x y z 311312321321(,,),(,,),(,,),(,,)}x y z x y z x y z x y z .例3 设{}|02A x x =≤≤,{}|01B x y =≤≤则 A B ⨯ {}(,)|02,01x y x y =≤≤≤≤.例4 设{}{}{}0,1,1,2,3A B C ===,则{}(0,1,3),(0,2,3),(1,1,3),(1,2,3)A B C ⨯⨯=.提问：按下列要求举例: (1)一个有限集合; }4,3,2,1{=A ;(2)一个无限集合; n n k B ,12|{+=为正整数};(3)一个空集; x x x C ,01|{2=+=为实数};(4)一个集合是另一个集合的子集；}3,2,1{}2,1{21=⊂=D D提问：用集合的描述法表示下列集合:(1)圆2225x y +=内部(不包含圆周)一切点的集合;22{(,)|25,,B x y x y x y =+<均为实数};(2)抛物线2y x =与直线0x y -=的交点的集合.|),{(y x C =2x y =且y x y x ,,0=-均为实数}.提问：用列举法表示下列集合:(1)抛物线2x y =与直线0=-y x 的交点的集合;)}1,1(),0,0{(=B (2)集合5|1| |{≤-x x 的整数}.{4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6)}C =----.提问：下列哪些集合是空集:{|10}A x x =+=⇒∅≠A ，2{|10,B x x x =+=为实数}⇒∅=B1|{>=x x C 且}0<x ⇒∅=C ,0|{>=x x D 且}1<x ⇒∅≠D 1|),{(22=+=y x y x E 且y x y x ,,3=+为实数}⇒∅=E .提问：写出}2,1,0{=A 的一切子集.解 }2,1,0{},2,1{},2,0{},1,0{},2{},1{},0{,∅.注:空集是任何集合的子集.一般含有n 个元素的集合,其子集的个数为:12n n 0nn n n n C C C (11)C 21+++=+-=-.提问：如果}2,1{},2,1,0{==B A ,下列各种写法,哪些是对的?哪些不对?A ∈1，B ∉0，{1}A ∈，A ⊂1，A ⊂}1{，A ⊂0，A ⊂}0{，B ⊂}0{，B A =，B A ⊃，A ⊂∅，A A ⊂.提问:设},6,4,2{},5,3,1{},3,2,1{===C B A 求：解 (1)}6,5,4,3,2,1{=C B A ; (2)∅=C B A ;(3){2}A B -=.练习.如果{|35}A x x =<<,{|4}B x x =>,求:(1)A B ；(2)A B ；(3)A B -.解 (1)}3|{>=x x B A ;(2)}54|{<<=x x B A ; (3)}43|{≤<=-x x B A .练习.如果}02|),{(≥+-=y x y x A ,}0632|),{(≥-+=y x y x B ,}04|),{(≤-=x y x C ,在坐标平面上标出C B A 的区域. 解在坐标平面上C B A 表示的区域如图15-所示.练习.如果}3,2,1{},6,5,4,3,2,1{==A U ,}6,4,2{=B求： (1)AB ；(2)A B .解 (1){1,3,4,5,6}A B =;(2){5}A B =.二、区间与邻域（一）实数与数轴 1.有理数-----有限小数或无限循环小数；2.无理数----无限不循环小数.3.实数-------有理数与无理数的总体.4.数轴-------规定了原点、正方向、单位长度的直线.5.实数集与数轴上点的集合是一一对应关系.（二）绝对值1.【定义1.8】实数x 的绝对值记作x ，且有15-图,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩. 2. x 的几何意义：实数为x 的点到原点的距离.3.绝对值及运算性质（1）2x x =.（2）0x ≥.（3）x x =-.（4）x x x -≤≤.（5）{}{}0a x x a x a x a ><=<<时，||-.（6）{}{}0a x x a x x a x a >>=<>时，||-或.（7）x y x y x y -≤±≤+.(8)xy x y =⋅.(9)(0)x xy y y=≠.（三）区间区间常用I 表示. 设R ∈∀b a ,,且b a <.1.有限区间(1)开区间——}|{),(b x a x b a <<=；(2)闭区间——}|{],[b x a x b a ≤≤=；(3)半开半闭区间——}|{],(b x a x b a ≤<=；}|{),[b x a x b a <≤=.a bx a bx a b x abx2.无限区间引入记号∞+及∞-, 分别读作正无穷大和负无穷大.(1) }|{),(a x x a >=+∞；(2) }|{),[a x x a ≥=+∞；(3) }|{),(b x x b <=-∞；(4) }|{],(bx x b ≤=-∞；(5) R R =∈=+∞-∞}|{),(x x .其中：b a ,称为区间的端点；在有限区间中,a b -称为区间的长度. （四）邻域与去心邻域点a 的邻域(称0δ>为邻域的半径) (1) 点a 的δ邻域:{}(,)|(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+, 简记()U a ；(2) 点a 的δ去心邻域:{}(,)|0(,)(,)U a x x a a a a a δδδδ=<-<=-+,a x a xb x O x b x δ-a δ+a xa简记()U a ；(3) 点a 的左δ邻域: (,)(,)U a a a δδ-=-, 简记()U a -；(4) 点a 的右δ邻域: (,),)U a a a δδ+=+（, 简记()U a +；4.无穷大的邻域)0(>K(1) 无穷大∞的K 邻域: ),(),(),(+∞--∞=∞K K K U,简记)(∞U ；(2) ∞-的K 邻域: ),(),(K K U --∞=-∞, 简记)(-∞U ；(3) ∞+的K 邻域: ),(),(+∞=+∞K K U, 简记)(+∞U .注：无穷大邻域中的U 也写成U ,δ-a xa δ+a xaKx0K-Kx 0xK-例如=∞),(K U),(K U ∞.三、映射*、函数关系（一）映射1.【映射定义】设B A ,是两个非空集合,若A x ∈∀,通过法则f ,|y B ∃∈与x 对应,则称f 是A 到B 的映射, 记作B A f →:.其中：(1) y 称为元素x (在映射f 下)的像,记作)(x f , 即)(x f y =；(2) x 称为元素y (在映射f 下)的原像； (3) 集合A 称为映射f 的定义域, 记作)(f D , 即)(f D A =；(4) 数集}),(|{)(A x x f y y A f ∈==称为映射f 的值域.2．特殊映射(1)满射：若()f A B =, 称映射f 为满射；(2) 单射：12,x x A ∀∈,若12x x ≠,有12()()f x f x ≠,称映射f 为单射；(3) 一一映射(双射)：若映射f 既是单射,又是满射, 称映射f 为一一映射.3.逆映射：设f 是A 到B 的单射且为满射,对于)(A f y ∈∀,A x ∈∃|..t s )(x f y =,这样所确定的)(A f 到A B fA BfA B 1-fA 的映射)(y x ϕ=称为映射)(x f y =的逆映射,记作)(1y f x -=.注：(1) 逆映射)(1y f-的定义域为)(A f ,值域为A .(2) 只有双射才有逆映射.（二）函数关系1．函数概念【定义1.9】设非空数集D R ⊂,则映射:f D R →称为定义在D 上的x 的函数. 记作()y f x =,其中：(1) x 称为自变量, y 称为因变量；(2) 对于D x ∈0,称)(0x f 为函数)(x f 在点0x 处的函数值；(3) 数集D 称为函数)(x f 的定义域, 记作=()f D f D ；(4) 数集}),(|{)(D x x f y y D f ∈==称为函数)(x f 的值域. 记作()Z f 或f R .约定：用数学表达式表示的函数)(x f y =,若其定义域没有直接给出,规定()D f ={x |使表达式有意义的实数x }提问:函数有几个要素?(定义域、对应法则)例1 2arcsin(2)y x =+，2lg()y x =-，y x >是函数吗？为什么？例2 下列函数是否相同？为什么？（1）2(),()x f x x g x x==；（2）2(),()f x x g x x ==；（3）2()ln ,()2ln f x x g x x ==；（4）21(),()11x f x g x x x -==-+.例3 求下列函数的自然定义域(1)2121y x x =++-；解：⎩⎨⎧≥+≠-02012x x ⇒⎩⎨⎧-≥±≠21x x ⇒ ),1()1,1()1,2[)(+∞---= f D .(2)211arcsin 225x y x-=+-；解：121≤-x 且5x <⇒2|1|≤-x 且5x <⇒[1,3](5,5)--⇒()[1,3]D f =-.(3)ln(3)||1x y x -=-；解：⎩⎨⎧>->-01||03x x ⇒⎩⎨⎧><1||3x x ⇒)3,1()1,()( --∞=f D .(4)221arccos76x y x x -=--.解：⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-0617122x x x ⇒⎩⎨⎧>+-≤-0)2)(3(712x x x ⇒⎩⎨⎧>-<≤≤3 243x x x 或－⇒]4,3()2,3[)( --=f D .(5)25lg 4x x y -=解: ⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥-0)5(145045045lg 222x x x x x x x x ⎩⎨⎧<<≥+-⇒500452x x x}41|{)(≤≤=⇒x x y D ;（6）1lg(32)y x =-解: 321lg(32)021232033x x x x x x -≠⎧-≠⎧⎪⇒⇒>≠⎨⎨->>⎩⎪⎩且22(){|1}(,1)(1,)33D f x x x ⇒=>≠=+∞且.2．函数分类(1) 单值函数——R ⊂∈∀D x ,通过法则f ,R ∈∃y |与x 对应,则称函数)(x f y =是x 的单值函数. 注：除特别情况外，本课所讨论的函数均指单值函数.(2) 多值函数——R ⊂∈∀D x ,通过法则f ,R ∈∃y 与x 对应,且D x ∈∃0,通过法则f ,至少有两个不同的R ∈21,y y 与0x 对应,此时则称函数)(x f y =是x 的多值函数.例如 222r y x =+, )0(>r 是多值函数.又例如 sin arcsin ()y Arc x k x k Z π==+∈ 也是多值函数.(3)一元函数: )(x f y =自变量只有一个；(4)多元函数：(,,,)12n y f x x x =自变量有2个或2个以上的元素；(5)显函数：形如()y f x =用自变量的代数式表示因变量的函数. 225y x =-,1lg(32)y x =-,2y x 6x 7=+-,22z x y 6x 4y y =+-+等 (6)隐函数：形如(,)0F x y =,用方程表示自变量和因变量关系的函数.,sin()ln()22xy x y 4e x y 2x 5+=++=+, 1xy =,210y x +-=为隐函数.注意：隐函数不一定可以转化为显函数.不是所有的方程(,)0F x y =都可以确定隐函数，如方程2210x y ++=就不能确定隐函数.3.函数的表示法解析法、列表法、图像法.4．特殊函数(1) 绝对值函数,0,||,0.x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩()(,)D f =-∞+∞；()[0,)f D =+∞.(2) 符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()(,)D f =-∞+∞；(){1,0,1}f D =-.显然：||sgn x x x =.(3) 取整函数[]y x =, ()(,)D f =-∞+∞；Z =)(D f .其中：][x 表示不超过x 的最大整数, 并称][x 为x 的整数部分. 例如：1]5.1[=, 2]5.1[-=-,1]2[=,0]5.0[=等等.(4) 分段函数：自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子表示的函数.yxO xy sgn =1-1y xO][x y =1-12-2yxy +=1xy 2=)(x f y =yxO||x y =例如：||x y =,x y sgn =,][x y =等等.例如函数⎩⎨⎧>+≤≤==.1,1,10,2)(x x x x x f y 是一个分段函数.),0[)(+∞=f D ；),0[)(+∞=D f .例如：2212)21(==f ,212)1(==f ，431)3(=+=f .提问：分段函数的定义域和值域如何确定？(5) 阶梯函数：分段取常值且增加的函数. 例如：][x y =等.(6) Dirichlet （狄利克雷）函数x QD x x R Q∈⎧=⎨∈-⎩1,()0,例4 确定下列函数的定义域并作出函数图形:(1) 1,0,()0,0,1,0.x f x x x >⎧⎪==⎨⎪<⎩(2), 1 211,()1, 2.x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-<<⎪⎩解 (1) ()(,)D f =-∞+∞,图形如图31-所示;(2) =)(f D }22|{<<-x x ,图形如图32-所示.例5 将函数5|21|y x =--用分段形式表示,作出函数图形.31-32-解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥-=--=.21 ,42,21 ,26|12|5x x x x x y图形如图33-所示.例6 函数221,11,12x x y x x ⎧-<⎪=⎨-<≤⎪⎩解：1x =时函数无意义，函数定义域为[2,1)(1,1)(1,2]D =---图形如图44-所示.例7 已知函数22,02(),24x x f x xx +≤≤⎧=⎨<≤⎩，求(1)f x -.解：2(1)2,012(1)(1),214x x f x x x -+≤-≤⎧-=⎨-<-≤⎩ 21,13(1),35x x x x +≤≤⎧=⎨-<≤⎩. 例8 画出函数 []y x x =-的图像.（是周期为1的周期函数.）（三）函数的几种基本性质 1.奇偶性：【定义1.10】给定函数()y f x =，若()D f 关于原点对称.33-(1) 偶函数()f x ——()x D f ∀∈,恒有()()f x f x -=.注: 偶函数图形关于y 轴对称.(2) 奇函数()f x ——()x D f ∀∈,恒有()()f x f x -=-.注: 奇函数图形关于原点对称.讨论函数奇偶性时，千万注意条件：()D D f =关于原点对称,即x D x D ∀∈⇒-∈.例9 判断下列函数的奇偶性（1）1y x =（奇函数）；（2）31y x =+（非奇非偶函数）（3）422y x x =-（偶函数）（4）0y = （即奇又偶函数）（5）sin xy x=（偶函数）.例10 判断函数10()0010x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩的奇偶性.解: 10()0010x x f x x x x -+-<⎧⎪-=-=⎨⎪--->⎩100010()x x x x x f x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩=- 故函数()f x 为奇函数.结论：设函数()f x 的定义域为(,)l l -，则在(,)l l -上一定存在函数奇函数()g x 与偶函数()h x ，使得()()()f x g x h x =+.即对于定义在(,)l l -上的函数，则有奇函数 ()()()2f x f xg x --=；偶函数 ()()()2f x f x h x +-=.2.周期性设()D D f =(1)【定义1.11】周期函数()f x —— 0,..l s t x D ∃≠∀∈,有x l D ±∈且()()f x l f x +=.其中l 称为函数()f x 的周期.注1：周期函数在)(f D 内每个长度为l 的区间上图形相同.注2：一般来说默认周期函数的周期（最小周期）是其最小正周期T .但不是所有的函数都有最小周期，例如()4f x =就是周期函数，且任何非零常数都是它的周期.又例如：狄利克雷函数 1,,()0,\.x Q D x x R Q ∈⎧=⎨∉⎩任何非零有理数均为其周期，但没有最小周期.例11 设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证 (1)①设)()()(21x f x f x f +=,其中)(1x f 与)(2x f 均为定义在区间),(l l -上的偶函数,即)()(),()(2211x f x f x f x f =-=-,则)()()()()()(2121x f x f x f x f x f x f =+=-+-=-,故)(x f 为),(l l -上的偶函数.即两个偶函数的和是偶函数.②设)()()(21x f x f x f +=,其中)(1x f 与)(2x f 均为定义在区间),(l l -上的奇函数, 即)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-,则)()()()()()(2121x f x f x f x f x f x f -=-+-=-+-=-,故)(x f 为),(l l -上的奇函数。

微积分第一章函数

第一章函数微积分研究的主要对象是函数．研究函数通常有两种方法：一种方法是代数方法和几何方法的综合．用这种方法常常只能研究函数的简单性质，有的做起来很复杂．初等数学中就是用这种方法来研究函数的单调性、奇偶性、周期性的；另一种方法就是微积分的方法，或者说是极限的方法．用这种方法能够研究函数的许多深刻性质，并且做起来相对简单．微积分就是用极限的方法研究函数的一门学问．因此，在介绍微积分之前，有必要先介绍函数的概念和有关知识．第一节函数的概念及其基本性质一、集合及其运算自从德国数学家康托(Geor g CAntor,1845~1918)在19世纪末创立集合论以来，集合论的概念和方法已渗透到数学的各个分支，成为现代数学的基础和语言。

一般地，所谓集合(简称集)是指具有某种确定性质的对象的全体．组成集合的各个对象称为该集合的元素．习惯上，用大写字母A ，B ，C ，…表示集合，用小写字母a ,b ,c ,…表示集合的元素．用a ∈A 表示a 是集合A 中的元素，读作“a 属于A ”；用a ∈（或a ∉A ）表示a 不是集合A 中的元素，读作“a 不属于A ”．含有有限多个元素的集合称为有限集；含有无限多个元素的集合称为无限集；不含有任何元素的集合称为空集，记作∅．集合的表示方法有两种：列举法和描述法．列举法就是把集合中的所有元素一一列出来，写在一个花括号内．如A =｛－１，１｝，B ＝｛０，１，２｝等．描述法就是在花括号内指明该集合中的元素所具有的确定性质．如C =｛210x x -≥｝，Ｄ＝｛sin 0x x =｝等．一般，用N 表示自然数集，用Z 表示整数集，用Q 表示有理数集，用R 表示实数集．对于集合A 和B ，若集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，即若a ∈A ，则a ∈B ，这时就称A 是B 的一个子集，记作A ⊂B ，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)．若A ⊂B ，且存在b ∈B ，使得b ∉A ，则称A 是B 的一个真子集．规定：∅是任何集合A 的子集，即∅⊂A ．若A ⊂B 且B ⊂A ，则称A ，B 相等，记作A ＝B ．此时A 中的元素都是B 中的元素，反过来，B 中的元素也都是A 中的元素，即A ，B 中的元素完全一样．设A ，B 是两个集合，称｛x ∣x ∈A 或x ∈B ｝为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝｛x ∣x ∈A 或x ∈B ｝．它是将A 和B 的全部元素合起来构成的一个集合．称｛x ∣x ∈A 且x ∈B ｝为A 与B 的交集，记作A B ，即A B ＝｛x ∣x ∈A 且x ∈B ｝．它是由A 与B 的公共元素构成的一个集合．称｛x ∣x ∈A 且x ∉B ｝为A 与B 的差集，记作A -B ，即A -B ＝｛x ∣x ∈A 且x ∉B ｝．它是由A 中那些属于A 但不属于B 的元素构成的一个集合．集合的运算满足下述基本法则：定理1 设A ，B ，C 为三个集合，则(1) A ∪B ＝B ∪A ，A ∩B ＝B ∩A ．（交换律)(2) (A ∪B )∪C ＝A ∪（B ∪C ），（A ∩B ）∩C ＝A ∩（B ∩C ）；（结合律)（３）（A ∪B ）∩C ＝（A ∩C ）∪（B ∩C ），（A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C），（A-B）∩C＝（A∩C）-（B∩C）；（分配律)（４）A∪A＝A，A∩A＝A；（幂等律)(5) A∪∅＝A，A∩∅＝∅；若A⊂B，则A∪B＝B，A∩B＝A．（吸收律)特别地，由于A∩B⊂A⊂A∪B，所以有，A∪(A∩B)＝A，A∩（A∪B）＝A．二、区间与邻域设a,b∈R，且a＜b，记(a，b）＝｛x∣a＜x＜b，x∈R｝，称为开区间；记［a，b］＝｛x∣a≤x≤b，x∈R｝，称为闭区间；记［a，b）＝｛x∣a≤x＜b，x∈R｝，称为左闭右开区间；记(a，b］＝｛x∣a＜x≤b，x∈R｝，称为左开右闭区间；a，b分别称为区间的左端点和右端点．另外，我们还记(－∞，＋∞）＝R，（－∞，b）＝｛x∣x＜b，x∈R｝，（a，＋∞）＝｛x∣a ＜x，x∈R｝，等等．设x0∈R，δ＞０，记U（x0，δ）＝｛x x－x0＜δ，x∈R｝，称为x0的δ邻域，其中x0称为这个邻域的中心，δ称为该邻域的半径．容易知道，U(x0，δ）＝（x0－δ，x0＋δ）．记U（x0，δ）＝Ｕ（x0，δ）－∣x0∣＝｛x∣0＜∣x－x0∣＜δ，x∈R｝＝（x0－δ，x0）∪（x0，x0＋δ），称为x0的去心δ邻域．当不必知道邻域的半径δ的具体值时，常将x0的邻域和去心邻域分别简记为Ｕ（x0）和0U(x0）．三、函数的概念定义1 设D为非空实数集，若存在对应规则f，使得对任意的x∈D，按照对应规则f，都有唯一确定的y∈R与之对应，则称f为定义在D上的一个一元函数，简称函数．D称为f的定义域．函数f的定义域常记作D f(或D(f))．对于x∈D f，称其对应值y为函数f在点x处的函数值，记作f(x)，即y=f(x)．全体函数值所构成的集合称为f的值域，记作f(D)、R f（或R(f))，即R f＝｛f(x)︱x∈D f｝．应该注意，在定义1中，函数是f，它是一个对应规则，规定了D f中的x对应于哪个实数y．而f(x)(即y)则是函数值，是在对应规则f的规定下，x所对应的那个值y，这两者在概念上是不一样的．但由于历史的原因，我们习惯上也把f(x)(或y)称为x的函数，称x为自变量，称y为因变量．由定义1可知，确定一个函数需确定其定义域和对应规则，因此，我们称定义域和对应规则为确定函数的两个要素．如果两个函数f和g的定义域和对应规则都相同，则称这两个函数相同．函数的表示法一般有三种：表格法、图象法和解析法．这三种方法各有特点，表格法一目了然；图象法形象直观；解析法便于计算和推导．在实际中可结合使用这三种方法．例1 求φ（x)=ln(arcsin x）2和g(x)=2ln arcsin x的定义域，并判断它们是否为同一个函数．解在中学我们就已知道，对于用解析式表示的函数f(x)，若其定义域未给出，则认为其定义域为使该函数式f (x )有意义的实数的全体．因此，要使ϕ (x )有意义，x 必须满足11arcsin 0x x -≤≤⎧⎨≠⎩，即110x x -≤≤⎧⎨≠⎩，故D （ϕ）＝［－１，０）∪（０，１］．要使g (x )有意义，x 必须满足11arcsin 0x x -≤≤⎧⎨>⎩，即110x x -≤≤⎧⎨<⎩，故D (g )＝（０，１］．由于D (ϕ）≠D (g )，可见ϕ (x )和g (x )不是同一函数．例2 设函数21,0()1,0x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩当时，当时，求f (0),f (-1),f (2)，并作函数图形．解这是定义在(-∞，+∞）内的一个函数，在定义域的不同部分上，函数的表达式不同，这种函数称为分段函数．当x ＜０时，对应的函数值f (x )=x -1［即用x -1来计算f (x )］，而当x ≥０时，对应的函数值f (x )=x 2+1［即用x 2+1来计算f (x )］．所以f (-1)=(-1)-1=-2，f (0)=02+1=1，f (2)=22+1=5．函数图形可分段描绘，并注意空心点和实心点的区别(图1-1)．图1-1四、复合函数和反函数１．复合函数设y =f (u )，u ∈Ｕ，而u =φ(x )，x ∈Ｘ，此时y 常常能通过变量u 成为x 的函数．这是因为任取x ∈Ｘ，由于u 是x 的函数，由这个x 可确定唯一的u 与之对应，又由于y 是u 的函数，对这个由x 所确定的u (当u ∈Ｕ时)，又可确定唯一一个y 与u 对应，即f x u y ϕ−−→−−→，由函数定义知y 是x 的函数．其函数式可通过代入运算得到：将u =ϕ (x )代入y =f (u )中，得y =f (ϕ (x ))，称为由f (u )和ϕ (x )构成的复合函数．例3 设y =f (u )=ln u ,u =φ(x )=sin x ，则他们构成的复合函数为y =f (ϕ (x ))=ln sin x ．可见，若给出两个函数y =f (u )和u =ϕ (x )，要求复合函数只须作代入运算即可．但应注意，并非任何两个函数都能构成复合函数．例4 设y =f (u )=ln(u -2),u =ϕ (x )=sin x ，问f (u )和ϕ (x )能否构成复合函数f (ϕ(x ))？解将u =sin x 代入到y =ln(u -2)中，得y =ln(sin x -2)，由于-1≤sin x ≤１，sin x －２＜０，故函数的定义域为空集，所以不能构成复合函数．研究例3、例4可以发现，要使y =f (u )和u =ϕ (x )能够构成复合函数f (ϕ (x ))，关键是要保证代入后的函数式要有意义，或者说要保证u =ϕ (x )的值域全部或部分落在y =f (u )的定义域内，这样，我们得到复合函数的定义．定义2 若y =f (u )的定义域为U ，而u =ϕ (x )的定义域为X ，值域为*U ，且Ｕ∩*U ≠∅，则y 通过变量u 成为x 的函数，称它为由f (u )和ϕ (x )构成的复合函数，记作f (ϕ (x ))．u 称为中间变量．例5 设f (x )ϕ (x )，求复合函数f (ϕ (x ))和ϕ (f (x ))．解由例2知， f (ϕ (x ))= ϕ (f (x ))=．２．反函数在研究两个变量的函数关系时，可以根据问题的需要，选定其中一个为自变量，那么另一个就是因变量或函数．例如，在圆面积公式S =πr 2中，圆面积S 是随半径r 的变化而变化的，或者说任给一个r ＞0，就有唯一确定的S 与之对应，因此S 是r 的一个函数，r 是自变量，S 是因变量．但如果是要由圆面积S 的值来确定半径r ，则可从S =πr 2中解出r ，得rr 是随S 的变化而变化的，或者说，任给一个S ＞0，就有唯一确定的r 与之对应，按函数定义，r 是S 的函数，这时的自变量为S ，而r 为因变量．我们称r为S ＝πr 2的反函数．一般地，设y =f (x )的定义域为X ，值域为Y ＝｛f (x )∣x ∈Ｘ｝，且f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈Ｘ，若x １≠x ２，则f (x １)≠f (x ２)．此时，对任意的y ∈Ｙ，必存在唯一确定的x ∈Ｘ满足y =f (x )，换言之，对Y 中的任何一个y ，通过函数y =f (x )，可以反解出唯一的一个x ，使得y 与这个x 相对应，根据函数定义，x 是y 的函数．这个函数的自变量是y ，因变量是x ，定义域是Y ，值域是X ．称之为y =f (x )的反函数，记为x =f -1(y )．显见，若x =f -1(y )是y =f (x )的反函数，则y =f (x )是x =f -1(y )的反函数，即他们互为反函数．x =f -1(y )的定义域和值域分别是y =f (x )的值域和定义域．并且不难知道f -1(f (x ))=x ,x ∈Ｘ；f (f -1(y ))=y ,y ∈Ｙ．注意到在x =f -1(y )中，y 是自变量，x 是因变量，由于习惯上常用x 作为自变量，y 作为因变量，因此，反函数x =f -1(y )，y ∈Ｙ常记作y =f -1(x )，x ∈Ｙ．关于反函数还有一些常用结论：(1) y =f (x ),(定义域为X ，值域为Y )存在反函数y =f -1(x )(x ∈Y )的充要条件是对任意的x １，x ２∈X ，若x １≠x ２，则f (x １)≠f (x ２)．(2)若y =f (x )，x ∈X 存在反函数y =f -1(x )，则在同一直角坐标系xOy 中，y =f (x )和y =f -1(x )的函数图形关于直线y =x 对称．这是因为若点P (a ,b )是y =f (x )的函数图形上的点，即b =f (a )，由反函数定义知，a =f -1(b )，因此点Q (b ,a )是y =f -1(x )的函数图形上的点；反之，若点Q (b ,a )是y =f -1(x )的函数图形上的点，则P (a ,b )是y =f (x )的函数图形上的点．因点P (a ,b )与Q (b ,a )关于直线y =x 对称(即直线y =x 垂直平分线段PQ ，故上述结论(2)正确(图1-2)．图1-2例6 求下列函数的反函数：(1) y =2x+1；(2) f (x)= 2101,02x x x -≤+≤≤⎪⎩<, 解 (1)由y =2x +1得2x =y -1，两边取对数得x =lo g 2（y -1)．交换x ,y 的位置，得反函数y =lo g 2(x -1)．(2) 当-1≤x ＜0时，由yx=≤y ＜1．当0≤x ＜2时，由y =x 2+1得x=≤y ＜５．于是，有x=15y y ⎧≤<⎪⎨≤<⎪⎩．交换x ,y 的位置，得反函数y=15x x ⎧≤<⎪⎨≤<⎪⎩五、函数的基本性质１．单调性定义3 设函数f (x )在实数集D 上有定义，对任意的x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，(1)若有f (x 1)≤f (x 2)，则称f (x )在D 内是单调递增的；(2) 若有f (x 1)≥f (x 2)，则称f (x )在D 内是单调递减的；(3) 若有f (x 1)＜f (x 2)，则称f (x )在D 内是严格单调递增的；(4) 若有f (x 1)＞f (x 2)，则称f (x )在D 内是严格单调递减的．当f (x )在区间I 内单调递增(递减)时，又称f (x )是区间I 内的单调递增(递减)函数．单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数，使函数单调递增(递减)的区间称为单调增(减)区间．例如，y =x 3在定义域R 内是单调递增函数：y =x 2在定义域R 内不是单调函数，但(-∞，0)是其单调减区间；(0，+∞)是其单调增区间．易见，若f (x )是(a ,b )内的严格单调函数，则f (x )在(a ,b )内存在反函数y =f -1(x )．这是因为对任意的x 1，x 2∈(a ,b )，若x 1≠x 2，则因f (x )严格单调，必有f (x 1)≠f (x 2)，故存在反函数．２．奇偶性定义4 设函数f (x )的定义域D (f )关于原点对称(即若x ∈D ，则-x ∈D ），对于任意的x ∈D ，(1)若有f (-x )=-f (x )，则称f (x )为D 内的奇函数；(2) 若有f (-x )=f (x )，则称f (x )为D 内的偶函数．从定义4知，奇函数的图形关于原点对称，而偶函数的图形关于y 轴对称，如图1-3(a)与(b)所示．例如，y =x 2k +1（k 为整数)为奇函数，y =x 2k （k 为整数)为偶函数．y =sin x 是奇函数，y =cos x 是偶函数，y =C (C 为非零常数)是偶函数，y =0既是奇函数也是偶函数，y =x 2+x 既不是奇函数也不是偶函数．图1-3例7判断下列函数的奇偶性：(1)()ln(f x x =+; (2) 2e e ()2x xg x x -+= ．解 (1) f (-x )=ln(-x +=-ln(x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2) g (-x )=(-x )2·()e e 2x x ---+＝2e e 2x x x -+ =g (x )，所以g (x )是偶函数．３．有界性定义5 设函数f (x )在实数集D 内有定义，如果存在正数M ，使得对任意的x ∈D ，都有∣f (x )∣≤Ｍ成立，则称f (x )在D 内有界，或称f (x )在D 内为有界函数，否则称f (x )在D 内无界，或称f (x )在D 内为无界函数．定义6 设函数f (x )在实数集D 内有定义，若存在数A ，使得对任意的x ∈D ，都有f (x )≤A (或f (x )≥A )成立，则称f (x )在D 内有上界(或有下界)，也称f (x )是D 内有上界(或有下界)的函数．A 称为f (x )在D 内的一个上界(下界)．显然，有界函数必有上界和下界；反之，既有上界又有下界的函数必是有界函数，即函数在D 内有界的充要条件是该函数在D 内既有上界又有下界。