简单的线性规划问题教学设计

§3.3.2 简单的线性规划问题

目标：1、理解线性规划问题的有关概念，包括可行域、可行解、（线性）目标函数、线性约束条件；

2、能正确作出线性规划问题的可行域(即能正确画出图像)；

3、能利用直线在y轴上的截距解决线性目标函数的最值问题；重点：如何将求最值问题转化为求平行线截距最大（小）的问题

难点：理解求线性规划问题的方法和步骤

一、复习引入：我们已经学过对于具体的应用题，能用不等式（组）

表示其数学关系，并作出相应的平面区域；下面请同

学们完成以下练习：

练习：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨；现库存有磷酸盐10吨、硝酸盐66吨；在此基础上生产这两种肥料.

（1）列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域

解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮

由题意得

410 181566

x y

x y

x

y

+≤

⎧

⎪+≤

⎪

⎨

≥

⎪

⎪≥

⎩

，

作出不等式组表示的区域，如图

总结要点：（1）一定要用两个未知量,x y表示出所有数学关系；

（2）不等式组表示的平面区域是这几个不等式表示区域重叠的部分.

二、线性规划求最值问题：

1. 提出最值问题：

（练习接）（2）若生产1车皮甲种肥料，可得利润1万元，生产乙种肥料可得利润0.5万元。问化肥厂如何安排生产才

能够取得最大的利润？（课本90页例7）

2. 分析、解决问题：

解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮能够取得最大利润，最大利润为z

则0.5

=+（如何求z的最大值呢？）

z x y

将0.5

=-+，则2z的几何意义就是直线在y

y x z

z x y

=+变形为22

轴上的截距，

因此求z的最大值，就是求直线2

y x b

=-+在y轴上截距的最大值.

因为2

=-+过点M时y x b

y x b

=-+上的点必须在阴影内，所以当2

能得到最大截距，如图。

由画图知，点M 是直线181566x y +=与410x y +=的交点，为(2,2) max 0.53z x y ∴=+=，即甲、乙两种肥料各2车皮能取得最大利润3万。

3. 总结概念、方法步骤;

1、题中的不等式组是对变量x 、y 的约束条件，叫做线性约束条件；

z 是x 、y 的表达式，叫做线性目标函数。在线性约束条件下求目标函数的最值问题称为线性规划问题；

2、线性约束条件表示的图叫做可行域，可行域中的每一个点（,x y ）

都叫做可行解，使目标函数取得最值的可行解叫最优解；

3、求解线性规划问题的方法步骤：

①设变量,x y ，列出约束条件（不等式组）和目标函数z Ax By =+； ②作出可行域； ③将目标函数变成1A y x z B B =-+，作出其对应的平行线A y x B =-，然后让A

y x B =-在可行域内滑动，观察直线在y 轴上的截距（最

大或最小），得到最优解（某一个点M ）

④求出此点的坐标，带入z Ax By =+求得最值。

三、练习：工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件

甲产品使用4个A 配件耗时1H ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2H ，该厂每天最多可以从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8H 计算，

（1）列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域

（2）若生产一件甲产品获利2万元，生产亿件乙产品获利3万

元，应如何安排生产才能获利最大？

四、作业：

1、 求2z x y =+的最大值，使x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩

；

2、 求35z x y =+的最值，使x 、y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩