算法合集之《退一步海阔天空——“目标转化思想”的若干应用》
退一步,海阔天空：生活中的智慧与原则
退一步,海阔天空:生活中的智慧与原则在中国的传统文化中，我们常常听到“退一步海阔天空”的智慧之言。
这句话不仅是一种人生哲学，更是我们在日常生活中需要遵循的重要原则。
在复杂多变的社会环境中，学会退让、理解宽容，实际上是一种更为成熟和理智的处理方式。
在人际关系中，“退一步”的原则显得尤为重要。
每个人在日常生活中都会遇到矛盾和冲突，无论是与家人、朋友、同事，还是与陌生人之间的微小摩擦。
在这些情境下，一味地坚持己见或咄咄逼人，不仅可能加剧紧张气氛，甚至可能导致关系破裂。
相反，选择退让一步，意味着给予对方空间，同时也为自己留有余地。
这样的处理方式不仅有助于化解冲突，还可能增进双方的理解与情感。
退一步，更是一种人生智慧。
有时候，我们过于执着于某件事或某个目标，以至于忽略了生活中其他的美好。
当我们在追求某样东西时，不妨退一步，看看周围的世界。
这样，我们可能会发现更多之前未曾注意到的美好和可能性。
退一步，让我们有机会重新审视自己的价值观和目标，从而做出更加明智的选择。
在职场中，“退一步”的原则同样适用。
在竞争激烈的职场环境中，人们很容易陷入对职位、荣誉或利益的争夺中。
然而，真正的成功并不仅仅取决于职位的高低或物质的多少。
选择退一步，意味着能够更好地看到自己的不足和别人的优点，从而更加专注于个人成长和团队合作。
这样的心态不仅有助于建立良好的工作关系，还可能为个人带来更为长远的职业发展。
退一步并不是放弃或妥协，而是一种更为成熟和理智的态度。
在面对困难和挑战时，退一步可以帮助我们冷静分析情况，寻找更好的解决方案。
而在面对机会和诱惑时，退一步则让我们有足够的定力去辨别什么是真正重要的，从而做出更加明智的选择。
同时，“退一步”也意味着一种对生活的敬畏之心。
在这个世界上，许多自然灾害和人为事故都提醒着我们，生活本身就充满了未知和变数。
在这些面前，个人的得失显得微不足道。
学会退一步，就是学会用更加宽广的视野去看待生活，珍惜当下所拥有的一切。
立几思维训练目标转化
立几思维训练目标转化 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】ABDP EFG 立几思维训练——目标转化，尝试探求法东莞市华侨中学 谭银峰【摘要】： 本文从分析法与认知心理学角度出发，探索立体几何问题解决策略 【关键词】：目标转化；尝试探索同学们一见立体几何就会发懵，如果能想到“怎样找到解题的思路”“你为什么会想到这种方法”“你是怎样想到的”说明学生大脑处在一种积极的思考探索中，这时若老师因势导利、合理引导并让学生付之实践，学生的思维和能力都会得到长足提高，不断的探索与反思中促进学生走向成功的彼岸。
这些问题实际上就是怎样探索解题思路的问题。
波利亚在论着《怎样解题》中进行了理性的思考并提供了行之有效的方法和措施。
其中“怎样解题表”将解题程序化分为四个过程：①弄清问题。
也就是明白“求解题”的未知是什么已知是什么条件是什么“求证题”的条件是什么结论是什么也就是我们常说的审题。
②拟定计划。
找出已知与未知的直接或者间接联系。
在弄清题意的基础上，从中捕捉有用的信息，并及时提取记忆网络中的有关信息，再将两组信息资源作出合乎逻辑的有效组合，从而构思出一个成功的计划。
即是我们常说的思考。
③执行计划。
以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来，同时验证解答的合理性。
即我们所说的解答。
④回顾。
对所得的结论进行验证，对解题方法进行总结，对思路策略进行归纳，对心路历程进行回顾而进行经验积累，为今后解决新问题提供理论依据与实践基础。
学生在教科书或资料的例题学习中，只能看到最终的解答，而隐含在解答背后的思考过程和心路历程则是看不见的，也就是没有体现解答人的探索过程。
这就是学生学习的困难所在。
正如波利亚所说“拟定计划往往是不容易的，而执行计划要容易得多，我们所需要的主要是耐心”，其实说明了探索思路是解决问题的关键和难点。
因此，在我们的教学过程中，教师应引导学生自己独立的探索出解题思路，学生自己独立的探索过程，自然的、积极的将原有的知识、方法、思维等图式拓展为更丰富、有序、高效的图式的过程。
数学归纳法原理：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】
数学归纳法原理(六种)：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，日常生活中这样的事例还多着呢！数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题．若(I)命题P(1)成立；(Ⅱ)对所有的自然数k，若P(k)成立，推得P(k+1)也成立.由（I）、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立．我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明，运用数学归纳法原理证题的方法，是中学数学中的一个重要的方法，它是一种递推的方法，它与归纳法有着本质的不同．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是，仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定，这就需要采用数学归纳法证明它的正确性．一个与自然数n有关的命题P(n)，常常可以用数学归纳法予以证明，证明的步骤为：(I)验证当n取第1个值no时，命题P(no)成立，这一步称为初始验证步．(Ⅱ)假设当n=k(k∈N，后≥no)时命题P(k)成立，由此推得命题P(k+1)成立．这一步称为归纳论证步．(Ⅲ)下结论，根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定，对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立．这一步称为归纳断言步，为了运用好数学归纳法原理，下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍．运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第三步是递推的过程与结论．三步缺一不可．数学归纳法的其他几种形式还有：第二数学归纳法；跳跃数学归纳法；倒推数学归纳法（反向归纳法）；分段数学归纳法二元有限数学归纳法；双向数学归纳法；跷跷板数学归纳法；同步数学归纳法等。
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第4讲转化与化归思想课件
(2)因 a1＝12，n∈N*，an＋1＝12＋anan，
则 a2＝12＋a1a1＝21× ＋1212＝23，a3＝12＋a2a2＝21× ＋2323＝45，a4＝12＋a3a3＝21× ＋4545＝89， a5＝12＋a4a4＝21× ＋8989＝1167， 显然有 a1＝202＋0 1，a2＝212＋1 1，a3＝222＋2 1，a4＝232＋3 1，a5＝242＋4 1，
(2)根据递推公式可写出 a2、a3、a4、a5 的值，由此可归纳出数列{an} 的通项公式，然后通过递推公式得出an1＋1－1＝12a1n－1，可知数列a1n－1 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{an}的通项公式．
【解析】 (1)证明：假设 an＋1＝an，因 n∈N*，an＋1＝12＋anan，则12＋anan ＝an，解得 an＝0 或 an＝1，
应用3 正与反引起的转化
核 心 知 识·精 归 纳
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对 立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形， 则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含 有“至多”“至少”情形的问题中．
典 例 研 析·悟 方 法
算求解．
【解析】 5 名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有 C15C13C24＝90 种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有 C13C13C12＝18 种， 故甲乙不在同一实验舱的种数有 90－18＝72 种．故选 C.
(2) (2022·全国高三专题练习)8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包
解决各种算法优化问题的实用方法
解决各种算法优化问题的实用方法在计算机科学领域，算法优化是一项非常重要的研究课题。
随着计算机硬件的发展和数据规模的增加，算法的效率对于解决各种问题变得尤为重要。
本文将介绍一些解决各种算法优化问题的实用方法，帮助读者更好地理解和应用优化算法。
了解问题的特性是解决算法优化问题的第一步。
不同的问题有不同的特性，而理解问题特性将帮助我们选择合适的算法和优化方法。
例如，一些问题可能可以通过动态规划算法进行求解，而另一些问题则需要使用贪心算法或者遗传算法等特定的优化方法。
因此，我们需要仔细分析和研究问题的特性，然后选择合适的算法来进行优化。
对于算法本身的优化，我们可以采用多种方法。
其中一种常用的方法是改进算法的时间复杂度。
时间复杂度是用来衡量算法执行时间与输入规模增长率之间的关系的指标。
对于时间复杂度较高的算法，我们可以通过改进算法的实现方式或者引入一些优化技巧来降低其时间复杂度。
例如，我们可以使用空间换时间的方法，通过引入额外的存储空间来提高算法的执行效率。
一些算法优化问题还可以通过并行化来解决。
并行化是指同时使用多个处理单元来执行计算任务。
通过将计算任务分解成多个子任务，并行执行这些子任务，我们可以大大提高算法的执行效率。
例如，对于一些图像处理算法，我们可以将图像分割成多个区域，然后分别对这些区域进行处理，最后再进行合并。
考虑到现实问题中的约束条件也是解决算法优化问题的关键。
在实际应用中，我们常常需要考虑诸如时间、空间、资源等方面的限制条件。
因此，我们需要在算法优化过程中综合考虑这些约束条件，并找到一种在实际应用中可行的方法。
例如，我们可以引入近似算法来取代精确算法，以解决在限制条件下无法求解的问题。
算法优化问题的解决还需要不断地进行实验和测试。
仅仅依靠理论推导是不够的，我们需要通过实验来验证和改进算法的优化效果。
通过对多组不同规模的输入数据进行测试，我们可以检查算法在不同情况下的表现，并找出可能存在的问题和改进的空间。
软件工程_张海蕃
应该推广使用在实践中总结出来的开发软件的成功 的技术和方法，并且研究探索更好更有效的技术和 方法，尽快消除在计算机系统早期发展阶段形成的 一些错误概念和做法。 应该开发和使用更好的软件工具。正如机械工具可 以“放大”人类的体力一样，软件工具可以“放大” 人类的智力。在软件开发的每个阶段都有许多繁琐 重复的工作需要做，在适当的软件工具辅助下，开 发人员可以把这类工作做得既快又好。如果把各个 阶段使用的软件工具有机地集合成一个整体，支持 软件开发的全过程，则称为软件工程支撑环境。
与软件开发和维护有关的许多错误认识和作法的形 成，可以归因于在计算机系统发展的早期阶段软件 开发的个体化特点。错误的认识和作法主要表现为 忽视软件需求分析的重要性，认为软件开发就是写 程序并设法使之运行，轻视软件维护等。
事实上，对用户要求没有完整准确的认识就匆忙着 手编写程序是许多软件开发工程失败的主要原因之 一。只有用户才真正了解他们自己的需要，但是许 多用户在开始时并不能准确具体地叙述他们的需要， 软件开发人员需要做大量深入细致的调查研究工作， 反复多次地和用户交流信息，才能真正全面、准确、 具体地了解用户的要求。对问题和目标的正确认识 是解决任何问题的前提和出发点，软件开发同样也 不例外。急于求成，仓促上阵，对用户要求没有正 确认识就匆忙着手编写程序，这就如同不打好地基 就盖高楼一样，最终必然垮台。事实上，越早开始 写程序，完成它所需要用的时间往往越长。
另一方面还必须认识到程序只是完整的软件产品的 一个组成部分，在上述软件生命周期的每个阶段都 要得出最终产品的一个或几个组成部分(这些组成 部分通常以文档资料的形式存在)。也就是说，一 个软件产品必须由一个完整的配置组成，软件配置 主要包括程序、文档和数据等成分。必须清除只重 视程序而忽视软件配置其余成分的糊涂观念。 作好软件定义时期的工作，是降低软件成本提高软 件质量的关键。如果软件开发人员在定义时期没有 正确全面地理解用户需求，直到测试阶段或软件交 付使用后才发现“已完成的”软件不完全符合用户 的需要，这时再修改就为时已晚了。
计算思维之常用算法设计
计算思维之常用算法设计算法是计算机解决问题的一种方法或者步骤。
在计算思维中，算法设计是非常重要的一部分，它涉及到如何将一个问题转化为计算机可以理解和处理的问题，通过编写算法来解决这些问题。
常用的算法设计方法有很多，下面将介绍一些常见的算法设计思路和方法。
1.贪心算法贪心算法是一种通过每一步的局部最优解来寻找全局最优解的方法。
贪心算法通常用于解决问题的最优解不一定是全局最优的情况，而是局部最优解可以推出全局最优解的问题。
贪心算法的核心思想是每一步只考虑局部最优解，并希望通过每一步的局部最优解能够得到全局最优解。
2.分治算法分治算法是一种将一个大问题分解成若干个小问题并逐个解决，最后将这些小问题的解合并成整个问题的解的方法。
分治算法通常用于解决大规模的问题，通过将问题分解为规模较小的子问题来解决，在解决子问题的过程中，可以使用递归或循环等方式。
3.动态规划算法动态规划算法是一种通过将问题分解成重叠子问题，并使用递推关系来解决子问题的方法。
动态规划算法通常用于解决最优化问题，通过定义状态和状态转移方程来描述问题，然后使用递推或迭代的方式来求解问题的最优解。
4.回溯算法回溯算法是一种通过尝试所有可能的解，并在尝试的过程中进行判断来寻找符合条件的解的方法。
回溯算法通常用于解决在问题空间中寻找满足约束条件的解的问题，通过在过程中进行剪枝和回溯的操作，可以有效地到符合条件的解。
5.分支界限算法分支界限算法是一种通过对问题的空间进行分支和界限的方式来寻找满足约束条件的解的方法。
分支界限算法通常用于解决优化问题，通过对问题的空间进行分支和剪枝的操作，可以有效地到最优解或近似最优解。
除了以上几种常见的算法设计方法外，还有一些其他的算法设计思路和方法，如模拟退火算法、遗传算法、神经网络等。
不同的问题需要使用不同的算法设计思路和方法来解决，因此在实际应用中需要根据问题的特点选择合适的算法设计方法。
总的来说，算法设计是计算思维中的重要内容，它涉及到如何将问题转化为计算机可以理解和处理的问题，通过编写算法来解决这些问题。
退一步海阔天空
退一步海阔天空作者：林俊能来源：《中学理科园地》2013年第06期古谚有云：“忍一时风平浪静，退一步海阔天空”。
其原义说的是为人处世之道，实际上，数学的学习与研究又何尝不是如此？在中学数学教材中充满着具体与抽象，特殊与一般的辩证关系，而学会“退”一步来看问题就是一种很重要的思想方法。
华罗庚教授曾不止一次地指出：“善于退，足够地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是学习好数学的一个诀窍。
”他一语道出了退一步看问题对数学学习的重要性。
高中数学新课程标准中明确指出这几个理念：倡导积极主动勇于探索的学习方式，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新思维；注重提高学生的数学思维能力；强调数学的本质，注重适当的形式化。
同时认知理论也表明：学习过程是一个主动建构的过程，是根据先前的认知结构主动地和有选择地知觉外在信息。
数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验和常识的系统化。
它可以在学生的生活背景中找到实体模型。
因此，我认为，在教学中能“退”到学生原有的认知结构，是学好新知识、解决新问题的重要保证，也是让学生实现新课程标准中提出的“体验数学发现和创造历程”这一说法的原动力，下面结合教学实际谈一些“退”的方法。
一、新课教学中的“退”1. 退到简单情形——具体化数学教学的本质是思维过程的教学，学生认知的过程都遵循着从简单到复杂，从具体到抽象的过程，所以思维过程的起点应该由简单、具体开始，我们的教学也应该以此为起点。
过去的教材往往略去了过程的叙述，直接呈现出结果，而在新课程改革后，教材呈现的方式做了非常大的改进，尽可能地遵循学生的认知规律，也提供了非常丰富的具体简单的背景。
例如，以新课程标准（人教版）必修1第一章及第二章中函数的教学为例，教材从三个具体的实例抽象出函数的定义，由具体函数的图象和数量关系抽象出一般函数的单调性和奇偶性，由具体的指数（对数）函数的图象抽象出一般指数（对数）函数的图象和性质…。
“退一步”、“慢一步”、“缓一步”word资料5页
“退一步”、“慢一步”、“缓一步”心理学家罗杰斯曾说过：“没有人能教会任何人任何东西。
”知识不是教出来的，任何知识都需要一个吸收和内化的过程。
传统教学中，往往教师只注重传授，填鸭式地向学生灌输概念和要领，忽略了学生的主动性和主体地位，其效果当然事倍功半。
我市推行的“学讲方式”强调转变教师的教学行为，主张把课堂还给学生，把结论留给学生，把推断留给学生，切实还原了学生的学习主体地位，让教学效果向前迈进了一大步。
一、黑板和讲台让出来，教师向后“退一步”传统的教学，教师总是独霸讲台，用“告诉”的方式向学生传授知识，这样的教学活动，忽略了学生亲力亲为的参与体验，思维能力、判断能力、分析能力均得不到发展和提高，如果把学生推上讲台，让他们成为课堂的主角，课堂则是另外一种风采！我在教学《商不变的性质》时，一改教材编排形式，在上课前精心设计了导学单，让学生把新课的学习开始于课前：1.在除法中，被除数和除数怎样变化，商不变。
举例说明。
__________________________________2.这是为什么呢？_______________________3.“商不变规律”我的提醒：__________________4.商不变的规律有哪些应用？_________________学生根据导学单上的学习要求进行探究、整理，小组内交流、补充、完善，完成对新知的理解。
这是孩子们的精彩汇报：第一组：a÷b=c，（a×d）÷（b×d）=c（d≠0），举例：8÷2=4，8×5=40，2×5=10，40÷10=4。
第二组：我们用积的变化规律来说明这个问题。
a×b=c，a×（b×m）=c×m（m≠0），（c×m）÷（b×m）=a。
a÷b=c，a×（b÷m）=c÷m（m≠0），（c÷m）÷（b÷m）=a。
常见八种算法详解 -回复
常见八种算法详解-回复“常见八种算法详解”算法是计算机科学中的重要概念，是解决问题的方法和步骤的描述。
常见八种算法是指八种常用的计算机算法，包括贪心算法、动态规划算法、分治算法、回溯算法、递归算法、穷举算法、分支限界算法和排序算法。
下面将逐一详细介绍这八种算法的原理和应用。
一、贪心算法贪心算法是一种寻找局部最优解的方法，在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优的选择，从而希望最后得到的结果是全局最好或最优的。
贪心算法的核心思想是利用局部最优解构建全局最优解。
其典型应用包括霍夫曼编码、最小生成树算法和最短路径算法等。
二、动态规划算法动态规划算法是一种将问题分解成相互重叠的子问题并解决子问题的优化问题。
动态规划算法的核心思想是通过存储已计算结果来避免重复计算，以达到减少计算时间的目的。
其典型应用包括背包问题、最长公共子序列和矩阵连乘等。
三、分治算法分治算法是一种将问题分解成相互独立且同样类型的子问题，然后递归地解决这些子问题的方法。
分治算法的核心思想是将原问题分解成多个相似的子问题，然后将子问题的解合并成原问题的解。
其典型应用包括归并排序、快速排序和二分查找等。
四、回溯算法回溯算法是一种通过穷举所有可能的解来求解问题的方法。
回溯算法的核心思想是在每一步都尝试所有可能的选项，并根据问题的约束条件和限制条件进行搜索和剪枝，以找到问题的解。
其典型应用包括八皇后问题、0-1背包问题和图的着色问题等。
五、递归算法递归算法是一种通过调用自身来解决问题的方法。
递归算法的核心思想是将大问题转化为相同类型的小问题，然后逐层向下求解小问题，直到达到问题的结束条件。
其典型应用包括计算斐波那契数列、求解阶乘和合并排序等。
六、穷举算法穷举算法是一种通过列举所有可能的解来求解问题的方法。
穷举算法的核心思想是遍历问题的解空间，找到符合问题要求的解。
穷举算法通常适用于问题的解空间较小的情况。
其典型应用包括全排列问题、子集和问题和图的哈密顿回路问题等。
学习笔记《老喻的人生算法课》
学习笔记《⽼喻的⼈⽣算法课》腾讯新闻01 发刊词|给你的⼈⽣明确算法这门课主要由两个模块构成：A计划，针对的是你内⼼世界的不确定性；⽬标，是把你打造成⼀辆赛车；B计划，针对的是外部世界的不确定性；⽬标是要让你这辆赛车，在正确的赛道上获胜。
“从获取信息到采取⾏动”认知⾏为的最⼩闭环：好奇感知灰度认知⿊⽩决策疯⼦⾏动02 A计划：⾃我塑造的九段⼼法这九个段位，分为上半场和下半场。
上半场，从初段到六段，是⼀个切割钻⽯的过程，就是为了不断找到，真正属于你⾃⼰的、最⼩的那个内核。
下半场，放⼤内核，就是如何通过复制，令内核价值最⼤化。
上半场是做减法，聚焦；下半场是做乘法，放⼤。
⼀个⼈成功的最⼤秘诀是：找到可⼤规模复制的、具有连续性的“⼤概率事件”作为内核，这样才能像⼀辆车⼀样跑起来，进⽽收获⼈⽣的复利。
03 初段-闭环：如何对抗完美主义1. 闭环就是把⼀件事⼉做完，也就是“凡事有交代，件件有着落，事事有回⾳”。
2. 如果你是为了给别⼈⼀个交代，你就容易太在意他⼈的评价；如果你是为了给⾃⼰⼀个交代，就容易陷⼊完美主义，害怕失败。
3. 闭环需要你拥有成长型思维，勇于⾏动，给⾃⼰的未来⼀个交代。
04 ⼆段-切换：掌控⼤脑的两种模式⼀切脑⼒活动，最后拼的都是体⼒；⼀切体⼒活动，当然只是那些看起来以体⼒为主的活动，最后拼的都是脑⼒。
混合两种⼤脑模式的攻略：1. 把不那么重要的事情交给“⾃动驾驶系统”。
2. 在使⽤“⾃动驾驶系统”后，积极⽤“主动控制系统”复盘。
3. 在⼤脑中⽤“主动控制系统”去模拟“⾃动驾驶系统”。
05 三段-内控：跑好⼤脑的四⼈接⼒赛不管⼈⽣多么紧迫，你都有权利按下⾃⼰的暂停键。
在那些关键时刻，你只⽤说：慢，让我想想看！然后激活脑袋⾥的那位“⽴项决策者”，开始计算你的答案。
“认知飞轮”有四个环节：1. 感知环节，你要像个情报员，获取外部信息，所以你需要很敏感；2. 认知环节，你要像个分析师，考虑评估各种变量，你需要特别理性；3. 决策环节，你要像个指挥官，作出决定和取舍，你需要⼗分果断；4. ⾏动环节，你要像个战⼠，勇往直前执⾏任务，需要不畏艰险。
退一步海阔天空——数学解题的重要思想方法
退一步海阔天空——数学解题的重要思想方法如今，数学作为一门科学，在各行各业中得到了越来越多的应用，数学解题也很重要。
解题时，应该采用什么样的思想方法，这一点非常重要。
著名的数学家欧几里得曾说过：“最宝贵的长处是上帝给了我们两个眼睛，让我们可以看到一步一步地向前走。
”他的意思是，一步一步地前进会比一次性处理更有效，因为它可以使我们将复杂的问题分解为若干个更小的问题，每个问题都可以通过计算机的帮助来快速解决。
逐步解决问题的思想方法也被称为“退一步海阔天空”，这是一句古谚语，意思是当你面临困难时，可能要放弃你正要完成的任务，回头看一下，就会发现前面有更宽阔的天空等待着你。
这一思想方法在解决数学解题中也是非常有效的，首先，它可以帮助更好地理解问题，使我们能更容易地找出解决问题的正确解法；其次，它可以让我们分而治之，让我们可以将一个复杂的问题分解为多个较小的问题，使得解题过程更加容易、更有效率。
另外，在解决数学解题时，还要注意利用相关思想，比如，可以利用其他类型的问题解决问题，可以利用数学方法解决问题，也可以利用解题过程中遇到的现象来解决问题。
通过利用这些不同的思想方法，我们可以更快地解决数学解题，同时我们也可以有效地运用数学知识，从而使自己的数学水平有所提高。
从这个意义上讲，“退一步海阔天空”的思想方法对数学解题来说是非常重要的。
总之，在解决数学解题时，要充分利用“退一步海阔天空”思想方法，将困难的问题分解成若干个更小的问题，分别处理，再综合求解，这样，我们就能更快、更有效地解决问题，提高自己的数学水平。
退学生转化案例10个
退学生转化案例10个案例1：学术挑战描述一位学生面临学术挑战无法适应高等教育，成绩一落千丈。
但通过指导和辅导，帮助学生树立正确的研究方法和目标，最终成功转化为积极进取的学生。
解决方案- 提供个性化辅导，了解学生的挑战和困惑- 指导学生制定合理的研究计划和目标- 帮助学生掌握研究技巧和方法- 鼓励学生参加相关学术活动和竞赛，提高学术自信心和能力案例2：社交障碍描述一位学生由于社交障碍，无法与同学和教师建立良好的沟通和人际关系，导致研究和生活受到影响。
通过社交训练和心理辅导，帮助学生克服障碍，融入校园生活。
解决方案- 进行系统的社交技巧培训和心理调适训练- 提供场景模拟和实际演练，帮助学生积累社交经验- 引导学生参与社团活动和团队合作，扩展人际交往圈子- 鼓励学生主动寻求帮助和参与社交场合案例3：时间管理困难描述一位学生因长期缺乏时间管理意识，导致课业堆积、任务拖延，无法有效利用时间。
通过指导和培训，帮助学生掌握时间管理技巧，提高研究和工作效率。
解决方案- 分析学生的时间管理惯和现状- 教授学生有效的时间管理技巧，如制定优先级、合理分配时间- 帮助学生制定明确的目标和计划，并监督执行- 提供研究资源和工具，帮助学生更好地管理时间...案例10：职业规划困惑描述一位学生面临毕业后的职业规划困惑，不清楚自己的兴趣和能力，不知道如何选择适合自己的职业方向。
通过职业咨询和辅导，帮助学生明确职业目标，制定职业规划并提供求职指导。
解决方案- 提供职业测评，了解学生的职业兴趣和潜力- 分析学生的优势和兴趣，帮助学生明确职业目标- 提供就业市场的行业信息和趋势分析- 提供求职技巧培训和简历指导，帮助学生准备面试和职业发展以上是10个退学生转化案例，通过针对不同的问题和困扰，提供相应的解决方案，帮助学生面对挑战并实现转变与发展。
10个经典的算法问题与解决方案
10个经典的算法问题与解决方案算法问题是计算机科学中非常重要的一部分，对于准备面试或提升自己的技能都是很有帮助的。
下面列举了10个经典的算法问题及其解决方案：1.两数之和（Two Sum）问题描述：给定一个整数数组和一个目标值，找出数组中和为目标值的两个数。
解决方案：使用哈希表记录每个数字的索引，然后遍历数组，查找目标值减当前数的差是否存在于哈希表中。
2.盛最多水的容器（Container With Most Water）问题描述：给定一个非负整数数组，数组中的每个表示一条柱子的高度，找出两个柱子，使得它们与x轴构成的容器可以容纳最多的水。
解决方案：维护两个指针，分别指向数组的开始和结尾，计算当前指针所指的两条柱子之间的面积，并更新最大面积。
然后移动指向较小柱子的指针，重复计算直到两个指针相遇。
3.三数之和（3Sum）问题描述：给定一个整数数组，找出数组中所有不重复的三个数，使得它们的和为0。
解决方案：首先对数组进行排序，然后固定一个数字，使用双指针在剩余的数字中寻找另外两个数使得它们的和为相反数。
4.最大子序和（Maximum Subarray）问题描述：给定一个整数数组，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素）。
解决方案：使用动态规划的思想，从数组的第一个元素开始依次计算以当前位置结尾的子数组的最大和，并保存最大值。
5.二分查找（Binary Search）问题描述：给定一个排序的整数数组和一个目标值，使用二分查找算法确定目标值是否存在于数组中，并返回其索引。
解决方案：通过比较目标值与数组的中间元素来确定目标值是在左半部分还是右半部分，并更新搜索范围进行下一轮查找。
6.背包问题（Knapsack Problem）问题描述：给定一组物品和一个背包，每个物品都有自己的重量和价值，在不超过背包容量的情况下，找到一个组合使得总价值最大化。
解决方案：使用动态规划的思想，定义一个二维数组表示背包容量和物品数量，从左上角开始计算每个格子可以放置的最大价值。
经典算法的现代应用
经典算法的现代应用
经典算法是指那些在计算机科学领域中被广泛研究和应用的基本算法。
这些算法经过长时间的发展和优化，在解决特定问题上具有高效性和可靠性。
现代应用中，经典算法仍然扮演着重要的角色，并且被应用于各个领域。
以下是一些经典算法在现代应用中的例子：
1. 排序算法：经典排序算法如冒泡排序、插入排序、选择排序等仍然在很多场景下使用。
例如，在大规模数据处理中，快速排序和归并排序常用于排序阶段。
2. 图像处理：图像处理算法中，经典的算法如边缘检测（Sobel算子、Canny算子）、图像增强（直方图均衡化）、图像分割（K-means聚类）等仍然被广泛应用。
3. 数据压缩：哈夫曼编码是一种经典的无损数据压缩算法，它仍然被广泛用于文件压缩和网络传输中。
4. 图论算法：在社交网络分析、网络路由、电力网络优化等领域，图论算法如最短路径算法（Dijkstra算法）、最小生成树算法（Prim和Kruskal算法）等被广泛应用。
5. 机器学习：很多机器学习算法基于经典算法进行改进和优化。
例如，支持向量机（SVM）算法基于凸优化算法，决策树算法基于分治算法等。
6. 数据库管理：在数据库查询优化中，经典的查询优化算法如选择操作的推测执行、连接操作的排序融合等仍然发挥重要作用。
总之，尽管现代科技发展迅猛，经典算法仍然在各个领域中有着广泛的应用。
这些算法经过了长期的验证和优化，在解决实际问题时具有可靠性和高效性，为现代应用提供了重要的支持。
1。
普林斯顿 算法 -回复
普林斯顿算法-回复普林斯顿算法：解密传世之难题【引言】在计算机科学和数学领域，算法是解决问题的步骤和指令的有序集合。
而在这个世界上，有一种特殊的算法备受研究人员的关注，它被称为普林斯顿算法。
普林斯顿算法作为解密传世之难题的独特工具，引起了广泛的讨论和探索。
本文将深入研究普林斯顿算法的原理和应用，并逐步回答关于它的问题。
【正文】【第一部分：普林斯顿算法的基本原理】普林斯顿算法是一种基于分治思想的求解问题的算法。
它的核心思想是将原问题划分为若干个子问题，并通过递归的方式解决这些子问题，最终将它们的解合并得到原问题的解。
普林斯顿算法的基本框架如下：PrincetonAlgorithm(问题P)1. 如果问题P可以直接求解，返回解2. 将问题P划分为若干个子问题P1, P2, ..., Pn3. 递归地解决子问题P1, P2, ..., Pn，得到它们的解S1, S2, ..., Sn4. 将子问题P1, P2, ..., Pn的解S1, S2, ..., Sn合并，得到问题P的解5. 返回问题P的解【第二部分：普林斯顿算法的应用】普林斯顿算法具有广泛的应用领域，特别是在解密传世之难题方面。
传世之难题是指那些被加密保护的信息或者密码，其破解困难度极高。
普林斯顿算法在解密传世之难题时，可以通过将整个加密信息或密码划分为若干个子问题，并通过分别破解子问题来逐步得到整个加密信息或密码。
这种逐步解密的过程，利用了普林斯顿算法的分治思想，可以大大提高破解的效率。
【第三部分：普林斯顿算法的案例分析】为了更好地理解普林斯顿算法的应用，我们以实际案例进行分析。
假设有一个传世之难题，我们得到了一个加密密码，该密码是由两个相同长度的字符串拼接而成。
我们知道密码的总长度是10位，并且已经猜到了其中的一部分字符串。
现在的问题是如何通过普林斯顿算法来破解剩下的密码。
首先，我们将问题划分为两个子问题：猜测字符串的前5位和猜测字符串的后5位。
退一步海阔天空——数学解题的重要思想方法
抽 象 问题 具体 化 ，高维 问题 低 维化 ，整体 问题 局 部 化 ， 实现 明 什 么 也 不 知 如 何 证 明 ，为 此 ，可 从 特 殊 情 况 出 发 弄 清 题 意 ，
关 键 词 ：数 学 解题 ；思 想 方 法 ；以 退 求进
解 目标 ，是在符 合题设 的前提下 ，从 特殊到一 般 ，使复杂 问题
联 列 方 程 ，求 得 两 直 线 交 点 为 （ ， １． １ ） 依此坐标代入原方程得 ：
左 边 ＝Ａ ＋ ＇ Ｂ， ＋Ｃ＝ ＋Ｂ＋Ｃ＝０＝右 边 ． Ａ
（因 Ｉ ｓ 为（ ） 厂
）厂 ＋（ ＿
．
） ＝ 州 ）． ］
）， ］
所 ／半 ） ｆ 以（ ＝ （
因为对于任意的实数 ｍ，ｔ （ ，＋。 ，都有ｆ（ ｎ ＝ （ ＋ ｉ ０ 。） ｍ ） － ｍ） 厂
分 析 ：先 取 两 条 特 殊 直 线 求 出 交 点 ， 然后 ，证 明 此 交 点 即
为所求证的定点．
厂 成 ， 以 （） ｆ ＝ 厂Ｘ， ＿ ）立 所 ＿ ・／ ）厂 ‘２＝（） （ ｎ 厂 ＋ Ｉ Ｘ） ２
２１ ０ １年
第 ４期
Ｊ ｕ ｎ 】ｏ ｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒ ａ ｆ Ｃ ｉ ｅｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
Ｎ ． ２ １ Ｏ４ ０ １
、
摘 要 ：数 学 解 题 时 ， 常 会 有 一 筹 莫 展 的 时 候 ， 此 时换 一 个 角度 思考 ，退 回 到 容 易看 清 楚 问题 的 地 方 ，将 一般 问题 特 殊 化 ，
解 ：（ ） ｍ＝ｎ：１ １令 ，得／（ ） ｌ（ ） －（ ） １ ＝ １ ＋厂 １ ，故ｆ（ ） ． 厂 １ ＝０
栗师
i
c1
选出k-1个和为0的多项式uixi+vix1，去掉x1,就 剩下k-1个x了。 可以假设所有的x的最大公约数是1，否则，只 要约掉公约数就可以了。
放大目标——求整数解(9)
求出了满足条件的 u , v ， gi|xi k 设gi=Lcm(xi,x1)/x1(i>1) 因此就可以从方程① g | ci xi i 2 的左边拿掉 k -1 个向 g|g 设g=gcd(g2,g3……gk) i 量，vix1+uixi,(其中， 所有xi的最大 <ix <= k)，又因为所有 ui xi vi x1 0 k g1 |(c ) 1 1 公约数是1 k i xi 0 的vi的和等于 c1c ，所 i 1 vi c1 以，向量 P1的系数为 g与x1互质 i2 g|c1 0了，因此，就把k个 存在整数序列 向量变成了k-1个， v = d g ， i i i d2,d3……dk ， k /x =-d g x /x 证明了结论①。 u =v x i i 1 i i i 1 i 使得 di gi c1 =-diLcm( x1,xi)/xi i 2
定义T有什么意义呢?
求非负整数解(4)
因为需要证明下面的结论： 结论③：如果T中至少有一个正数，有一个负 数，那么方程①一定有非负整数解。
证明的方法就是，构造一个非负整数解。
求非负整数解(5)
构造方法：
n=5，P1=(2,4)，P2=(2,2)，P3=(-3,-3)，P4=(4,3)，P5=(1,3) 步骤1：因为x有正也有负，所以可以为每一个向量Pi选择 相当大的正系数di，使得和向量的x为0。 W=200P1+300P2+700P3+200P4+300P5=(0,800) 步骤2：因为T集合中有正数也有负数，所以可以在T集合 中取出一个比较接近于-800的数，把对应的向量加到W 中,W的模就接近于0了。这里取1068P3+801P4=(0,-801)。 W=200P1+300 P2+1768P3+1001P4+300P5=(0,-1) 步骤①选的系数 d都非常大，步骤②加的系数也是正数，步 步骤 3：用构造出的整数解-4P1+4P2-1P4+4P5=(0,1) ，把它 骤③加的数的绝对值相对于步骤①非常小，所以保证最后 乘以 2后加到W中。 的系数仍然非负。 W=192P1+308P2+1768P3+999P4+308P5=(0,1)
新管理学思维—反推法激励了无数人
新管理学思维—反推法激励了无数人目标反推法指的是用问题的条件从后往前来推测的一种方法。
改“条件导向法”为“目标反推法” 做事情的时候，我们往往习惯于“条件导向法”，即从现有的条件出发，条件有多少，就做多少，也就是说，条件决定结果。
一般，我们是用问题的条件从后往前来推测。
新管理学思维—反推法激励了无数人文/赵宇舰那么目标反退法的利弊是有的，好处是提前进行整个过程的演练，准确度会更高，更有拿捏（把握），这是一件有准备的工作。
弊端在于需要很强的执行力和应急处置能力，比如提前想好的事情，因为当时需要的人未配合，就会导致事宜推进的进度。
但是我们在反推的过程中，就考虑到了人的因素，我们就要在反推中去思考这些因素发生的可能，如果你对一个人足够的了解，那么在这件事推进的过程中，你就有十足的把握，这其实是有利的。
我们习惯性的用条件导向法做事的时候，会因为条件不足而不知所措，我们尝试引入反推法来解决这些问题，很多问题就迎刃而解了。
反推法，协同让工作更轻松我试着举一个例子来证明反推法，我是一个IT工程师，在我的工作中，会有一些技术活。
那么大家看看我是怎么在短时间内使用反推法来把这件事完成的，有一天，我们领导希望我能够组织我们公司上线一个购物网站，那么我就利用反推法，提前在大脑里想了一遍整个过程：网站上线的最终目的就是希望能够让用户购买产品，有很好的购物体验，并且网站的商品要能更快的到达用户的手里。
那么这个网站需要在设计上、功能上、物流优化上做好。
反推的话，我就会找到设计部门将设计UI需求提出来，设计部门就按照我的说法去做了，在功能上我和我们研发部门进行了沟通。
物流优化上我找到了商务部门，同时和商务详细讲了需要与周边的物流公司进行合作，涉及到的商品和周边小超进行了合作洽谈，将销售的商品作为增值服务，讨论分成模式。
你会发现为了达到一个目标Q，我提前制定了A、B、C个环节细分。
反推法就是又一个目标不断细分下去，最终落到项目合同上，以及合同怎么编写上来。
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退一步海阔天空——“目标转化思想”的若干应用【关键字】让步假设 割补法 应用【摘要】本文主要讨论在算法设计中，如何将不易求解的问题转化成为一个范围较大、但容易求解的问题，然后再将所扩大部分削减，最后得出所要的答案。
讨论中主要是针对计算集合和组合数学中的一些常见问题进行剖析，同时也涉及了一些公理，如容斥原理等。
在一些问题中并不一味追求一个完全理想的算法，而是将所用的方法取长补短，并讨论算法的利弊及对解题的帮助。
第一章 概述古人常说：“退一步，海阔天空。
”这是在教我们在待人接物中，要学会忍让；在追求目标时，要有所取舍。
的确如此。
但我们除了在行为举止中遵循古人的教诲之外，是否还可以从中得到一些启发呢？比方说，在做学问受阻而停滞不前时，能否将所不能解决的问题扩大求解呢？答案是肯定的，这正如数学界对“歌德巴赫猜想”的证明，“1+1”不行，暂且退一步，而且一退就退到了“9+9”，然后再一步步地向目标逼近，直到现在陈景润的“1+2”，不管这个猜想的证明最后能不能成功，它至少给了我们一点启发：在信息学中，也可以有“让步”，退一步，同样海阔天空。
在我们平时设计算法时，经常会遇到一些难以解决的问题，有时可以先将问题求解的范围扩大（如条件放松、给以适当假设（猜想）、目标放大等），然后再对新的问题求解，最后，将扩大部分“剪掉”，就解决了问题。
例如2002NOI 分区联赛（提高组）复赛第二题，整数划分。
问题问的是：将一个自然数n 分解成为k 部分A1，A2，A3，……Ak （其中A1<=A2<=A3<=……<=Ak ），问有多少种不同的分法？解题时，问题不易直接求解，必须先将它进行转化。
不难发现，问题等价于：将一个自然数n 分成若干份，其中最大的一份为k 的分法总数。
这时，可以令设G(n,k)表示这个值的大小，但这样仍然不利于解决问题，于是引入另外一个函数F(n,k)，表示将一个自然数n 分解成若干份，其中最大一份不超过k 的方法总数。
于是，F(n.k)便满足以下递推关系：)1,(),(),(),(),(11-+-=-==∑∑==k n f k k n f i i n f i n g k n f ki k i这样，便可以用最常规的递推算法求解问题了，方法简单，每次运算也只需要进行一次加法运算，算法复杂度为O(NK)，最后)1,(),(--k n f k n f 就是所求。
在这里，一开始先对问题进行转化，将难于求解的转化为可以求解的，但仍需进行累加，复杂度太高。
于是就运用了上面所说的“让步”，将求解目标扩大到分得的允许最大一份小于k，最终得到一个二次方复杂度的算法。
应当说，这里虽然也用了目标扩大的方法，但这退的只是一小步，只是达到了简化算法的目的，并不涉及解题模型的根本。
第二章在计算几何中的应用计算几何是近几年信息学竞赛经常涉及的领域，虽然考得不是很深，但一些常见的问题还是难倒了不少选手。
这也许是因为现实世界与纯粹的数字世界有太大差异的缘故吧。
例如遮挡问题，判断一件物体是否被另外的一件或几件物体遮挡，这在日常生活中想都不用想，看一眼就什么都清楚，但在计算几何中，就不是一件轻而易举的事情了。
也正因为如此，“让步假设”才在计算几何中大有用武之地。
例如许多涉及到多边形面积的问题就经常用到这一方法：求多边形面积、求多边形重心、判断点与多边形位置关系等等。
对于这些问题，无论在日常计算或是实际的算法设计中都或多或少的引入了这一思想。
例如小学时我们常做这样的习题：计算右图染色部分的面积。
我们谁都知道要先求出矩形的面积，再将圆形面积求出，最后相减便得到结果。
其实也可以将它看成这样一个过程：先假设圆形也是图形的一部分，它也染了色，于是整个图形便是一个矩形，然后将“假设”的部分拿掉，就得到了这个图形。
由这种思想便产生了另外的一种更为科学的面积计算方法。
第一节计算任意多边形的面积学习计算几何，就不得不面对一个问题：计算平面图形面积。
如果按图形的形状分，可将其分为折线图形和弧线图形，我们这里讨论的主要是折线图形的面积。
折线图形又可以分为凸多边形和凹多边形（假设多边形的任意两条边都不相交，端点除外）。
凸多边形面积比较好求，只须先将它分解成为若干个三角形，再用海伦公式或叉积面积计算公式就可以方便求出了，而对于凹多边形恐怕就要花费一番心思了。
受到上面图形的启发，不难得到一种初学者常用的方法：先将一个凹多边形补足成为一个凸多边形，求其面积，再减多出来的部分。
但这种方法显然带有瑕疵，例如下面的几个图形，虽然都可以补足成为一个凸多边形，但补足部分的面积计算就大相径庭了：第一个图形的多余部分是一个三角形，第二个的是一个凸多边形，最后一个则是一个凹多边形了。
这种方法正违背了运用“割补”的最重要原则：方便。
“割补法”的核心正是变复杂为简单，但如果无法降低其运算复杂度，割补就失去了它的意义了。
其实，求任意多边形的面积已经有一种经典的算法——叉积面积计算公式。
假设笛卡儿坐标系中的一个任意多边形A1A2A3……Ak ，各点的坐标分别是A1(X1,Y1)，A2(X2,Y2)，A3(X3,Y3)，……，Ak(Xk,Yk)，设O(X0,Y0)任意一点，则多边形面积S 有：∑=++----=k i i i i i Y Y Y Y X X X X S 101001021这种方法中，I+1是再MOD 的意义下进行的，而且其中的三角形面积有正负之分。
例如图一，图二所示。
当点O 在多边形内时，每一个三角形的面积都是正的，与第一中方法相同；当出现图二所示情形时，恰好两部分面积（如图）一正一负，相减即为所求。
其实它的正确性是比较明显的，对于刚才的图形，我们可以给出一个简略的证明：设S i,j,k,…表示图上I ，j ，k ，……等点构成的多边形面积（恒为正），则 6543216515414313216105605105105404100140430130130320215105104104,1,03103100160650540430320210160650540430320216101001021，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，）（）（）（）（）（）（）（S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Y Y Y Y X X X X S i i i i i =+++=--+-++-++-+=-+-+-+--+++=--+++=----=∑=++证毕。
这只是证明了图示情况的正确性而已，但由此推及一般，不难证明该公式的正确性。
另外，这里采用了一个单独的点O 作为“新原点”，在实际应用中，为了简化公式，往往将O 取在坐标原点上，这样，公式就简化成为∑=++=k i i i i i Y Y X X S 11121，显然方便多了。
如果还不满意的话，也可以尝试将点换成一条边，即将原来的点与线段围成的面积转化成为线段与直线对应围成的面积（如下图所示）。
由同样方法，也不难证明这种方法对于上图同样适用。
但比较这两种算法，显然后者不如前者。
前者面积公式简单明了，后者就繁杂多了，此其一；其二，前者的“新原点”可以十分随便，取哪都成，但后者需要的是一条直线，为了方便起见，直线不能与图形相交，而且最好还是水平的，这就大大限制了这种方法的适用范围。
但此二法就根本上讲，其实同出一家，“本是同根生”，算法复杂度也相当，均为O （N ）级（N 表示多边形的顶点个数）。
在这里，我们讨论了“割补法”的一个应用，也是最基础、常见的一个实例，而实际上，它远不止如此，下面我们将见到它在其他问题上的威力。
第二节 计算任意多边形的重心“重心”在物理学上是一个使用频率极高的概念，许多信息学的“好事者”也喜欢在它上面大做文章。
于是，如何求物体重心便成为一个问题摆在我们面前。
其实，在去年的《电脑爱好者》上就登载了一篇介绍如何求任意多边形重心的文章，文章介绍了一种以“划分三角形”为主体思想的算法。
大致可以描述如下：先将多边形划分成为若干个三角形（应当讲，这一步是整个算法最复杂的，但由于不属于本文论述范围，不做深入探讨），依次求出这些三角形的重心位置和重量（即面积），然后将所有重心合并，即是所求。
在这种算法中，第一步花费较多时间，其单步算法复杂度将在O （N 2）左右，整个算法复杂度较高，而且编程复杂度也很高，不易于实现。
我们知道，如果两个质点质量分别为M1，M2，横坐标为X1，X2，那么它们的合重心将有)12(121M M X X X =++=λλλ其中，,21M M M +=。
我们不妨将这一运算为“重心加法法则”，其中（M1，X1），（M2，X2）就是两个加数，而（M ，X ）就是和。
再根据减法定义：“已知两个加数的和，和其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
”，于是重心可以有加法法则当然就可以有减法法则，依据减法和负数的关系我们还可以引入“负重心”这一概念来帮助解决问题。
例如，已知重心位置在（1，0）处，质量10KG ，它的一个分重心在（0，0），质量5KG ，我们可以求出另一个分重心的位置（2，0）和质量5KG 。
由此可见，重心运算法则可以有加减、有正负，当然也就可以用“割补”了。
只要将上面的面积计算公式迁移到这里来，就不难写出重心位置的计算式：设多边形的顶点分别为（Xi ，Yi ），质量分布均匀，可得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=----=++++3321 11010010i i i i i i i i i i i Y Y Q X X P Y Y Y Y X X X X M 令点：依次处理图形的每个顶 )0(=⎪⎩⎪⎨⎧⇐⇐⇐M Q Q P P M M i i i 则)0(11≠⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+⇐++⇐++⇐=M M M M Q Q Q P P P M M ii i i λλλλλ或最后，（P ，Q ）就是所求图形重心坐标，M 即为图形质量。
这里巧妙的引入了负质量和从而利用割补法简洁明了的特点方便的解决了问题。
应当指出的是，该方法与上面提到的《电脑爱好者》中的方法相比，不仅仅是直观明了，更重要是降低了程序复杂度，因为该方法对于每个点至多只处理依次，每次处理也不过是几个简单的乘除运算，显然其运算复杂度只有O （N ），不失为一种较为理想的方法。
第三节 判断点与任意多边形的位置关系判断点与多边形位置关系是一个经典的计算几何问题了，也已经有许多种不错的解决方法，应当讲，在这一方面“割补法”并没有优势，只是作为一种借鉴提出来供参考。
例如判断点O 是否在图形K 内（如图），可以先判断O 是否在四边形ABCD 内，如果不是，显然不会出现在K 以内了，计算到此结束，如果是，则进一步判断O 在不在三角形AED内，是则可以判断O 在多边形K 外，反之也可知O 于多边形内，算法到此结束。