(精华讲义)数学人教版高二-选修-圆锥曲线和方程解析

椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。

3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a ca c e ==22。

②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<<e 。

e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a y x =+22。

注意：椭圆12222=+by a x 的图像中线段的几何特征（如下图）：假设已知椭圆方程12222=+b y a x （0,0a b >>），且已知椭圆的准线方程为2a x c=±，试推导出下列式子：（提示：用三角函数假设P 点的坐标e PM PF PM PF ==22114、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。

即上图中有e PM PF PM PF ==22115、椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221=范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace 准线方程 c a x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=一般而言：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线； 椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点；离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于0，椭圆越圆；当离心率越接近于1时，椭圆越扁。

6.直线与椭圆的位置关系1.将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式∆来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。

2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础。

7.椭圆方程的求解方法1.要学会运用待定系数法来求椭圆方程，即设法建立,a b 或者,e c 中的方程组，要善于抓住条件列方程。

先定型，再定量，当焦点位置不确定时，应设椭圆的标准方程为12222=+by a x （0a b >>）或22221y x a b +=（0a b >>）；或者不必考虑焦点的位置，直接把椭圆的标准方程设为221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 （0,0,m n m n >>≠），这样可以避免讨论及繁杂的计算，当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。

但是需要注意的是m和n（或者11m n和）谁代表2a，谁代表2b要分清。

不要忘记隐含条件和方程，例如：222a b c =+，cea=等等。

不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄混。

2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析，即使画不出图形，思考时也要联想图形，注意数形结合法的使用，切勿漏掉一种情况。

【典型例题】1、椭圆的定义例1、已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )A 圆B 椭圆C线段 D 直线例2、椭圆221169x y-=左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则⊿CDF1的周长为______2、椭圆的标准方程例3、已知方程22111x yk k+=+-表示椭圆，则k的取值范围是( )A -1<k<1B k>0C k≥0D k>1或k<-1例4、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6；(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)；(3) 经过点(5，1)，(3，2)例5、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，则⊿ABC的重心G的轨迹方程为______________________3、离心率例6、椭圆22221(0)x ya ba b-=>>的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。

若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________例7、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______ 4、最值问题例8、椭圆2214xy+=两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|²|PF2|的最大值为_____，最小值为_____例9、椭圆2212516x y+=两焦点为F1、F2，A(3，1)点P在椭圆上，则|PF1|+|PA|的最大值为_____，最小值为_____5、 直线和椭圆例10、已知直线l :y=2x+m ，椭圆C ：22142x y +=，试问当m 为何值时： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.例11、已知斜率为1的直线l 经过椭圆2214x y +=的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.【课后练习】1、 已知直线l ：y=2x+m 与椭圆C ：22154x y +=交于A 、B 两点，求m 的取值范围；若|AB|=5156，求m 的值2、 斜率为1的直线l 与椭圆C: 22154x y +=交于A 、B 两点,且0OA OB = ，求直线l 的方程.3、 已知椭圆2212016x y +=，过点P （1，1），引一弦AB ，使得AB 被P 平分，求AB 的方程4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ|=210，求椭圆的方程。

双曲线一、知识点讲解（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在y 轴上标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图 形顶 点 )0,(),0,(21a A a A -),0(),,0(21a B a B -对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2焦 点 )0,(),0,(21c F c F -),0(),,0(21c F c F -焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c+=离心率 )1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 渐近线 x ab y ±= x ba y ±= 通 径22b a（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b±=。

②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x ；（4）等轴双曲线为222t y x =-，其离心率为2 1.注意定义中“陷阱问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 2.注意焦点的位置： 问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 xO F 1 F 2PyA 2 A 1xOF 1P B 2 B 1 F 2yABCPOxy【典型例题】 1.定义题：1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．2. 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．36B ．12C ．312D ．243.如图2所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．274. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a - （B ）b -（C ）c -（D ）c b a -+5. 若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b -=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|²|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B.()a m -21C. 22a m -D. a m -XYOF 1F 2P2r 2.求双曲线的标准方程1.已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．2.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为_________________.4.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=>C ．1822=+y x （x > 0）D ．221(1)10y x x -=>3.与渐近线有关的问题1若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B.3C.5D.22. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是 ( )A. 23y x =±B. 49y x =±C. 32y x =±D. 94y x =±3.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x 4.过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是4.几何1.设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ） A ．63 B ．12 C.123 D ．245.求弦1.双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. 12-=x yB. 22-=x yC. 32-=x yD. 32+=x y2.在双曲线1222=-y x 上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.【课后练习】1. 如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)364 (B)362 (C)62 (D)322. 已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（A ）a(B)b(C)ab(D)22b a +3. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A 221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++= D ．221090x y x +++= 4. 以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ）Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=5. 若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)6. 若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 二、填空题7. 过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。