(精华讲义)数学人教版高二-选修-圆锥曲线和方程解析

椭圆

1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121

F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的

轨迹无图形.

2、椭圆的标准方程

1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122

22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；

2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122

22=+b

x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；

注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：

221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122

22=+b

y a x )0(>>b a 的简单几何性质

（1）对称性：对于椭圆标准方程122

22=+b

y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴

为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对

称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x

≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆

122

22=+b

y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c

a c e ==

22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<

从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a y x =+2

2。

注意：椭圆122

22=+b

y a x 的图像中线段的几何特征（如下图）：

假设已知椭圆方程122

22=+b y a x （0,0a b >>），且已知椭

圆的准线方程为2

a x c

=±，试推导出下列式子：（提示：用三角

函数假设P 点的坐标e PM PF PM PF ==

2

21

1

4、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有

e PM PF PM PF ==

2

21

1

5、椭圆12222=+b y a x 与 122

22=+b

x a y )0(>>b a 的区别和联系

标准方程

122

22=+b y a x )0(>>b a 12

2

22=+b x a y )0(>>b a 图形

性质

焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F

焦距 c F F 221= c F F 221=

范围 a x ≤，b y ≤

b x ≤，a y ≤

对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点

)0,(a ±，),0(b ±

),0(a ±，)0,(b ±

轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2

离心率

)10(<<=

e a

c

e 准线方程 c a x 2

±=

c

a y 2

±=

焦半径

01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=

一般而言：

椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线； 椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点；

离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于0，椭圆越圆；当离心率越接近于1时，椭圆越扁。

6.直线与椭圆的位置关系

1.将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式∆来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。

2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础。 7.椭圆方程的求解方法

1.要学会运用待定系数法来求椭圆方程，即设法建立,a b 或者,e c 中的方程组，要善于抓住条件列方程。

先定型，再定量，当焦点位置不确定时，应设椭圆的标准方程为12222=+b

y a x （0a b >>）或22

221

y x a b +=（0a b >>）；或者不必考虑焦点的位置，直接把椭圆的标准方程设为

22

1x y m n

+= 或者 mx 2+ny 2=1 （0,0,m n m n >>≠），这样可以避免讨论及繁杂的计算，当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。