北师大版高中数学必修四知识点汇总

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新版高中数学北师大版必修4课件:第一章三角函数 1.4.4

新版高中数学北师大版必修4课件:第一章三角函数 1.4.4


π 2
±
������的正弦(余弦) 函数值,分别等于角α的余弦(正弦)函数值,
前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
口诀:函数名改变,符号看象限.
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12
【做一做 2-1】 sin
-
19π 3
的值等于(
)
A.−
1 2
B.

3 2
C.
1 2
D.
3 2
答案:B
【做一做 2-2】 cos 300°的值是( )
sin (2������π-������)cos [(2������-1)π-������] sin [(2������ +1)π+������]cos (2������π+������)
=
sin (-������)cos (π+������) sin (π+������)cos ������
=
(-s-isnin���������)���(c-ocos s������������ )=-1.
= sisnin���������(���-ccooss������������)=-1.
综上可得,原式=-1.
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典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
(方法二)由(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,得
sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α). 又sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α),

北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的积化和差与和差化积

北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的积化和差与和差化积

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7
师:现在暂停读书,这几个公式形式比我们过去学过的其他 三角公式要复杂一些,记好用好这些公式得有一段过程,当 然,千万不要死记硬背,适当做一些练习,掌握这些公式的 实际应用,是可以逐步掌握它们的.让我们看看以下的例 题. 例题 求sin75°·cos15°的值. 请同学们想想有什么办法可以解决这个问题? 生1:考虑到75°±15°都是特殊角,所以想到使用积化和差 公式解决之.
2. cos37.5°·cos22.5°
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10
而sin20°·sin40°·sin80°
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11
(四)课堂小结
本节课,我们学习了三角函数的积化和差公式,虽然这些公式是新出现 的,但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系,所以首先应理清他 们的内在联系,这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差 的形式,通过例解及课堂练习,同学们也开始发现这组公式的作用,希 望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式
五、作业
P.231中3;P.236中1、2.
六、教后反思:
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12
第二课时 三角函数的和差化积
一、教与学过程设计 (一)复习积化和差公式 1.请学生复述积化和差公式,教师板书
2.部分作业选讲 ① 证明 cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α. 利用积化和差公式,可得
间是有紧密关系的.
师:和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式,它
们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用.但是,光是这
些关系还不足以解决问题,今天我们还要进一步把握它们的内
在联,寻求新的关系式.
(二)引入新课
请学生说出正、余弦的和差完角整版公课件式pp(t 板书)

(完整word版)北师大高中数学必修四知识点(非常详细)

(完整word版)北师大高中数学必修四知识点(非常详细)

北师大高中数学必修四知识点第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做轴线角。

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360| αββ}4、弧度制:(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制.半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l rα=. (2)度数与弧度数的换算:π= 180 rad,1 rad '185730.57)180(=≈=π(3)若扇形的圆心角为α(α是角的弧度数),半径为r ,则:弧长公式:r l ||α= ;扇形面积:2||2121r lr S α===5、三角函数:(1)定义:①设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (u ,v ), 那么v 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α= v ;u 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时,uv 叫 做α的正切,记作tan α, 即tan α=uv 。

北师大高中数学必修四知识点非常详细

北师大高中数学必修四知识点非常详细

北师大高中数学必修四知识点非常详细1.函数函数是数学中非常重要的概念之一、函数是一种特殊的关系,将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。

在数学中,函数通常用公式表示,例如y=f(x)。

函数有多种形式,常见的包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

2.直线与圆直线和圆是几何中的基本图形。

直线是由一系列点组成的,这些点在同一条直线上。

圆由一个固定点(圆心)和所有到该点距离相等的点组成。

直线和圆有许多重要的性质和定理。

3.平面向量平面向量是数学中的一种工具,用于表示空间中的有向线段。

平面向量有大小和方向,可以进行加法、减法、数乘等运算。

平面向量还可以用坐标表示,例如向量AB可以表示为AB=<x,y>。

4.三角函数三角函数是数学中的重要工具,用于研究角和周期现象。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

三角函数有一系列的性质和公式,可以用于求解各种数学问题。

5.导数与微分导数是微积分中的重要概念。

导数描述了函数在特定点处的变化率。

微分是导数的一种特殊情况,表示函数在特定点的小变化量。

导数和微分有许多重要的应用,例如求函数的极值、描绘函数的图像等。

6.不定积分与定积分不定积分和定积分是微积分的两个重要分支。

不定积分是导数的逆运算,可以用来求解函数的原函数。

定积分表示函数在一些区间上的面积或曲线下的定积分函数值。

不定积分和定积分有许多重要的性质和定理,可以用于求解各种数学问题。

7.数列与数学归纳法数列是数学中一个重要的概念。

数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。

常见的数列有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。

数学归纳法是一种证明方法,常用于证明数学命题,特别适用于证明关于数列的命题。

8.排列与组合排列和组合是数学中的一个重要分支,研究对象是从给定集合中选择元素进行排列或组合的方法。

排列是有序选择元素,组合是无序选择元素。

排列和组合有许多重要的性质和公式,可以用于解决各种计数问题。

北师大版高中数学必修四详细知识点加例题解析

北师大版高中数学必修四详细知识点加例题解析

高中数学北师版必修四全册知识点含例题分析第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做轴线角。

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|αββ} 4、弧度制:(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。

半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l rα=. (2)度数与弧度数的换算:π=180 rad ,1 rad '185730.57)180(=≈=π(3)若扇形的圆心角为α(α是角的弧度数),半径为r ,则:弧长公式:r l ||α= ;扇形面积:2||2121r lr S α===5、三角函数:(1)定义:①设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α= v ; u 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时,uv 做α的正切,记作tan α, 即tan α=uv . ②设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y,它与原点的距离是()0r OP r ==>,则sin y r α=,cos x r α=,()tan 0yx xα=≠ (2)三角函数值在各象限的符号:口诀:第一象限全为正;二正三切四余弦.6()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z .口诀:终边相同的角的同一三角函数值相等.()()2sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()3sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-.αsinx y ++ _ _ O x y + + _ _ αcos Oαtan x y++__ O()()4sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()5sin 2sin παα-=-,()cos 2cos παα-=,()tan 2tan παα-=-.口诀:函数名称不变,正负看象限.()6sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ()7sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.口诀:正弦与余弦互换,正负看象限.sin y x =cos y x = tan y x =图 象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域值域: []1,1-当22x k ππ=+()k ∈Z 时,max 1y =;当22x k ππ=- ()k ∈Z 时,min 1y =-. 值域:[]1,1-当()2x k k π=∈Z 时, max 1y =;当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-. 值域:R既无最大值也无最小值周期性sin y x =是周期函数;周期为2,T k k Z π=∈且0k ≠; 最小正周期为2π cos y x =是周期函数;周期为2,T k k Z π=∈且0k ≠; 最小正周期为2πtan y x =是周期函数;周期为,T k k Z π=∈且0k ≠;最小正周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在[]2,2k k πππ+在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数.8、函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 的相关知识:(1)()sin y x b ωϕ=A ++的图象与x y sin =图像的关系:①振幅变换:x y sin = x A y sin =②周期变换:x y sin =x y ωsin =③相位变换:x y sin =)sin(ϕ+=x y④平移变换:)sin(ϕω+=x A y ()sin x b ωϕ=A ++先平移后伸缩:函数sin y x =的图象整体向左(0>ϕ)或向右(0<ϕ)平移ϕ个单位,得到函数()sin y x ϕ=+ 的图象;再将函数()sin y x ϕ=+的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍,横坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上(0>b )或向下(0<b )平移b 个单位,得到函数()sin y x b ωϕ=A ++.先伸缩后平移:函数sin y x =的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变,得到函数sin y x ω=的图象;再将函数sin y x ω=的图象整体向左(0>ϕ)或向右(0<ϕ)平移ϕω图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍图象上每个点的横坐标变为原来的ω1倍,纵坐标不变图象整体向上()或向下()个单位,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍,横坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上(0>b )或向下(0<b )平移b 个单位,得到函数()sin y x b ωϕ=A ++.(2)函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA bx A y 的性质:①振幅:A ;②周期:2πωT =;③频率:12f ωπ==T ;④相位:x ωϕ+;⑤初相:ϕ. 定义域:R值域:[],A b A b -++当22x k πωϕπ+=+()k ∈Z 时,max y A b =+; 当22x k πωϕπ+=-()k ∈Z 时,min y A b =-+.周期性:函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 是周期函数;周期为ωπ2=T单调性:x ωϕ+在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是增函数; x ωϕ+在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是减函数. 对称性:对称中心为(),0k k πϕω-⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭;对称轴为x ωϕ+()2k k ππ=+∈Z第二章 平面向量1、向量定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示.2、零向量:长度为0的向量叫零向量,记作;零向量的方向是任意的.3、单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量平行的单位向量:||a =.4、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作//;规定0与任何向量平行.5、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等.注意:任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。

高中数学北师版必修四全册知识点讲解加例题分析

高中数学北师版必修四全册知识点讲解加例题分析

【答案】 B
→→→
→→
9.已知△ ABC 和点 M 满足 MA+ MB+ MC=0.若存在实数 m 使得 AB+ AC=
mA→M成立,则 m=( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】 ∵M→A+M→B+M→C=0.
∴M 为△ ABC 的重心.
连接 AM 并延长交 BC 于 D,则 D 为 BC 的中点. ∴A→M=23A→D. 又A→D=12(A→B+A→C), ∴A→M=13(A→B+A→C),即 A→B+A→C=3A→M,比较得 m=3. 【答案】 B 10. (2013 ·山东高考 )函数 y= xcos x+sin x 的图象大致为 ( )
【解析】 当 x=π2时, y=1>0,排除 C. π
当 x=- 2时, y=- 1,排除 B;或利用 y=xcos x+sin x 为奇函数,图象关 于原点对称,排除 B.
当 x=π时, y=- π<0,排除 A. 故选 D. 【答案】 D
二、填空题 (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填在题中的横 线上 )
【答案】 C
7.在△ ABC 中,若 sin Acos B<0,则此三角形必是 ( )
A.锐角三角形
B.任意三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
【解析】 ∵sin Acos B<0,A、B 为△ ABC 内角,
∴sin A>0, cos B<0.
因此
π 2<B<π,则△
ABC
为钝角三角形.
【答案】 D
模块学习评价
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四

北师大高中数学必修四知识点非常详细修订版

北师大高中数学必修四知识点非常详细修订版

北师大高中数学必修四知识点非常详细修订版第一章函数的概念与性质1.1函数的概念1.2函数的基本性质函数的基本性质包括奇偶性、周期性、单调性和有界性等。

根据图像和函数表达式可以判断函数的性质。

第二章三角函数与解三角形2.1三角函数的概念与性质三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的定义域和值域,以及图像和周期都有一定的规律。

2.2三角函数的运算三角函数之间可以进行各种运算,如加减乘除、复合函数、反函数等。

这些运算可以通过公式和性质来推导。

2.3解三角形解三角形是指根据给定的一些条件来确定三角形的各个角度和边长。

解三角形的方法有余弦定理、正弦定理、辅助角等。

第三章平面解析几何3.1向量的概念与运算向量是具有大小和方向的量,可以进行加减乘除等运算。

向量的基本性质有共线、共面、平行、垂直等。

3.2平面上的点与直线平面上的点与直线有一些基本的性质和关系。

可以使用两点式、点斜式、一般式等来表示直线。

3.3圆的概念与性质圆是由平面上与特定点的距离相等的所有点组成的集合。

圆的中心、半径、切线、弦等都有特定的性质。

第四章导数与微分4.1导数的概念与性质导数表示函数在其中一点处的变化率。

导数的性质有加法性、乘法性、链式法则等。

4.2导数的计算可以通过定义法、基本导数公式和导数运算法则等方法来计算导数。

常见的导数有多项式函数、指数函数、对数函数等。

4.3微分与微分中值定理微分是导数的一种近似。

微分中值定理是指在区间内存在特定点,使得该点的斜率等于该区间上的平均斜率。

第五章积分5.1不定积分与定积分不定积分是指求解原函数的过程,定积分是对函数在给定区间上的面积(或弧长等)进行求解。

5.2积分的性质与基本公式积分具有线性性质、区间可加性以及换元积分法等。

常见的积分有多项式积分、三角函数积分等。

5.3定积分的应用定积分可以应用于计算曲线下面的面积、旋转体的体积、弧长、质量、质心等问题。

这些知识点是北师大高中数学必修四的核心内容,对学生的数学能力培养具有重要意义。

北师大版高中数学必修知识点总结

北师大版高中数学必修知识点总结

北师大版高中数学必修知识点总结高中数学是高中阶段的一门重要学科,对学生的思维逻辑能力、数学分析能力以及解决实际问题的能力有很大的帮助。

下面是北师大版高中数学必修的知识点总结。

一、函数与方程1.函数的定义与性质:定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。

2.初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

3.函数的图像与性质:函数图像的平移、翻折和缩放等。

4.方程与不等式:一元一次方程、一元一次不等式、二次方程、二次不等式等。

二、数列与数学归纳法1.数列的概念与表示:等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的相互转化。

2.数列的通项公式:求通项公式、求和公式等。

3.数列的前n项和与无限项和:有限等差数列求和、有限等比数列求和、无限等差数列求和、无限等比数列求和等。

4.数学归纳法的基本思想与应用。

三、平面向量1.向量的概念与运算:向量的表示、向量的加法、向量的数乘、数量积、向量积等。

2.向量的模、方向角、坐标与坐标运算:向量的模、方向角与坐标之间的关系、向量的坐标运算等。

3.平面向量的应用:向量的共线性、向量的法则等。

四、三角函数与解三角形1.角度与弧度制:角度与弧度的转化、正角和负角等。

2.三角函数:正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。

3.三角函数的诱导公式:和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等。

4.三角函数的图像与性质:正弦函数、余弦函数、正切函数的图像、最小正周期与变换等。

5.解三角形:海伦公式、正弦定理、余弦定理等。

6.三角函数的应用:三角函数的模型求解等。

五、平面几何和立体几何1.平面几何基本概念:点、直线、线段、射线、角的概念与性质等。

2.平面几何的证明方法:直接证明、间接证明、反证法等。

3.圆的性质与判定:圆的定义、弧、弦、切线、正切、割线、弓形与线段的关系等。

4.圆锥曲线:椭圆、双曲线的定义与性质。

5.空间几何基本概念:点、直线、平面、直线与平面的位置关系等。

6.空间几何的投影:点到线的距离、点到平面的距离、线到平面的距离等。

2019-2020年新版高中数学北师大版必修4课件:第一章三角函数 1.4.4

2019-2020年新版高中数学北师大版必修4课件:第一章三角函数 1.4.4
sin [(������+1)π+������]cos (������π+������)
分析:解决本题有两种方法,方法一是对整数k分奇数、偶数讨论; 方法二是根据(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,并结 合诱导公式将题目中的角均转化为kπ+α,其中k∈Z.
+
cos
3π 7
+
cos
4π 7
=
cos
π 7
+
cos
π-
π 7
+
cos
2π 7
+
cos
π-
2π 7
+
cos
3π 7
+
cos
π-
3π 7
=
cos
π 7
-cos
π 7
+
cos
2π 7
-cos
2π 7
+
cos
3π 7
-cos
3π 7
=
0.
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【例 3】 (1)已知 sin
典例透析
12345
2cos
-
16π 3
的值等于(
)
A.
1 2
B.

1 2
C.
3 2
D.

3 2
解析:cos
-
16π 3
π 6
-������
+
5π 6
+
������

北师大版高中数学必修四知识点汇总

北师大版高中数学必修四知识点汇总

性 最小正周期为 2
最小正周期为 2
k 0 ;最小正周期为


奇函数
偶函数
奇函数


调 在 2k
, 2k

2
2
在 2k
,2 k k
上 在k
,k
2
2
-3-
k
上是增函数;在
是增函数; 在 2k ,2 k
k
上是增函数.
3
2k
, 2k
2
2
k
上是减函数.
对 对称中心 k ,0 k

性 对称轴 x k
k
2
k
上是减函数.
终边在 y 轴上的角的集合为
k 180 90 , k
终边在坐标轴上的角的集合为
k 90 , k
3、与角 终边相同的角,连同角 在内,都可以表示为集合 { |
k 360 ,k Z }
4、弧度制:
( 1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。
半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ,则角 的弧度数的绝对值是
30
45 60 90 120 135 150 180
2
3
5
的弧度 0
6
4
3
2
3
4
6
sin
0
1 2
2
3
1
2
2
3
2
1
2
2
2
0
cos
1
3
2
1
2
2
2
0
1 2
2 2
3 2
1
tan
0

高中数学北师大版必修四《第3单元 第22讲 正弦定理和余弦定理》课件

高中数学北师大版必修四《第3单元 第22讲 正弦定理和余弦定理》课件

弦定理sicnC=sibnB,即 c=bssiinnBC=2
2×12=2. 2
2
(2)由 sinB+cosB= 2得 1+2sinBcosB=2,即 sin2B
=1,因为 0<B<π,所以角 B=π4 .又因为 a= 2,b=2,
所以在△ABC 中,由正弦定理得sin2A=si2nπ,解得 sinA=
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正弦定理和 余弦定理
知识梳理
1.关于正弦定理 (1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦
abc
的比相等,即____s_i_n_A=__s_in_B_=_s_i_n_C ____. (2)正弦定理的变形(设外接圆半径为R) ①a=_2_R__s_in_A__,b=__2_R_s_i_n_B_,c=_2_R_s_in_C___,
4
1,又 a<b,所以 A<B=π,所以 A=π.
2
4
6
如图22-1所示,已知扇形OAB,O为顶点,圆心角∠AOB=60°,半径为 2 cm,在弧AB上有一动点P,由P引平行OB的直线和OA相交于C,∠AOP =β,求△POC的面积的最大值以及此时β的值.
图22-1
[思路] 所求三角形的面积等于OC·OPsinβ,在△OCP中根据正弦定理建 立OC的长度关于角β的关系式,然落后行三角恒等变换求解.
2
2
又 sinB+sinC=1,∴B=C=π,
6
从而△ABC 为等腰三角形.
4 [2010·辽宁卷] 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C 的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小; (2)若sinB+sinC=1,试判定△ABC的形状.

北师大版数学高一(北师大)必修4素材 轻松识别几个易混概念

北师大版数学高一(北师大)必修4素材 轻松识别几个易混概念

轻松识别几个易混概念识别一:向量与有向线段的区别(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,又称为自由向量.只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量.(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.有向线段是具有向量两要素的最简单的几何图形.故向量可以用有向线段表示.(3)对于一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以自由平行移动的,因此,在用有向线段表示向量时,可以自由选择起点,所以任何一组平行向量都可以移到同一直线上. 识别二:零向量、单位向量概念(1)长度为0的向量叫零向量,记作0.0的起点和终点重合,因此0向量有两个特征:一是长度为0(注意0与0的含义与书写区别);二是方向不确定,或者说任何方向都是0向量的方向.(2)长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.对于单位向量的认识:有无数个单位向量,在统一的单位长度下,所有的单位向量的大小都是一个单位,所以单位向量的大小都相等,但单位向量不一定相等.因为不同的单位向量有不同的方向,即使是共线的单位向量,它们也不一定相等,因为它们有可能方向相反.例1下列命题中不正确的是 ( )A .零向量没有方向B .零向量只与零向量相等C .零向量的模为0D .零向量与任何向量共线解:零向量有方向,它的方向可以是任意的,应选A .评注:零向量是指长度为0的向量,并规定“0与任一向量平行”,说明零向量的方向不确定.例2判断下列命题的正误:(1)单位向量都共线;(2)单位向量都相等;(3)共线的单位向量必相等;(4)与非零向量a 共线的单位向量是||a a . 解:(1)(2)(3)(4)均不正确.因为共线向量的方向可能相同或相反,所以(4)中与共线的单位向量有两个:||a a . 评注:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量.注意这里并未强调向量的方向.识别三:平行向量、共线向量、相等向量由于三者联系较为紧密,所以不少同学经常将三者混为一谈,给解题带来了一些不必要的麻烦,但如果我们能准确识别三者及其关系并应用其知识进行解题,也会给解题带来很大的方便.(1)平行向量①概念:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.②表示方法:如果a 、b 、c 是非零向量且方向相同或相反(向量所在的直线平行或重合),则可记为////a b c .③注意点:任一向量都与它自身是平行向量,并且规定:零向量与任一向量是平行向量.(2)共线向量①概念:共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,其所在直线可以平行也可以重合.②含义:“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上,共线向量有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.因此,任意一组共线向量都可以移到同一条直线上.(3)相等向量①概念:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.②识别依据:两个向量只有当它们的模相等,同时方向又相同时,才能称它们相等.如=a b ,就意味着||||=a b ,且a 与b 的方向相同.③理解拓展:由向量相等的定义可以知道,对于一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以平行移动的,都可以用同一条有向线段表示,因此,用有向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点.(4) 平行向量、共线向量、相等向量三者的异同点①共线向量即为平行向量;②共线向量不一定是相等向量,但相等向量一定是共线向量.例3下列命题正确的是 ( )A .a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线B .任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C .向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量D .有相同起点的两个非零向量不平行解:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a 与b都是非零向量,所以应选C.。

高中数学北师大版必修四《第一章第5节正弦函数的性质与图像1-5-3》课件

高中数学北师大版必修四《第一章第5节正弦函数的性质与图像1-5-3》课件

(2)∵1<π2<2<3<π,sin(π-2)=sin 2,sin(π-3)=sin 3. 0<π-3<1<π-2<π2且 y=sin x 在0,π2上递增, ∴sin(π-3)<sin 1<sin(π-2),即 sin 3<sin 1<sin 2.
规律方法 用正弦函数的单调性来比较大小时,应先将异 名化同名,再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到 同一单调区间,再利用单调性来比较大小.
5.3
正弦函数的 性质
北师大版 高中数学
[学习目标] 1.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)
值、单调性、奇偶性; 2.能熟练运用正弦函数的性质解一些简单问题.
[知识链接] 1.视察正弦函数图像知正弦曲线每相隔2π个单位重复出现
其理论根据是什么? 答 诱导公式sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)当自变量x的值增 加2π的整数倍时,函数值重复出现. 2.视察正弦曲线的对称性,你有什么发现? 答 正弦函数y=sin x的图像关于原点对称; 3.上述对称性反应出正弦函数分别具有什么性质? 答 正弦函数是R上的奇函数.
与最小值 当 x=2kπ-2π(k∈Z)时,最小值为 -1
2.正弦函数 y=sin x 的图像关于点 (kπ,0)(k∈Z) 关于直线 x=kπ+2π(k∈Z) 轴对称.
中心对称,
要点一 正弦函数的周期性 例 1 求下列函数的周期.
(1)y=sin2x+3π (x∈R);(2)y=|sin 2x| (x∈R).
法二 f(x)=sin2x+π3的周期为22π=π. (2)作出 y=|sin 2x|的图像.
由图像可知,y=|sin 2x|的周期为π2.

(北师大必修4)课件:本章知识梳理1

(北师大必修4)课件:本章知识梳理1

求出 a,b 的值;若不存在,说明理由.
解:f(x)=-2asin2x+π6+2a+b,x∈π4,34π. ∵π4≤x≤34π,∴π2≤2x≤32π.∴23π≤2x+π6≤53π.
∴-1≤sin2x+π6≤
3 2.
设 f(x)的值域为[-3, 3-1]. (1)当 a>0 时,-2a× 23+2a+b=-3,
-2a×-1+2a+b= 3-1. 解得ab= =1 ,3-5∉Q. ∴b 无解. (2)当 a=0 时,f(x)=b,不符合要求.
(3)当 a<0 时,-2a× 23+2a+b= 3-1, -2a×-1+2a+b=-3.
解得ab==-1. 1<0, ∴存在常数 a=-1,b=1 满足 a,b∈ Q,且使 f(x)的值域为[-3, 3-1].
(2)将 y1 的图像向右平移 2 个单位得到 y2 的图像.
∴y2=2sinπ4x-2+π4=2sinπ4x-4π. (3)由(2)知,y2 的周期 T=2ππ=8,频率 f=T1=18,
4
振幅 A=2,初相 φ0=-π4.
专题三:三角函数的性质 1.三角函数的周期在不加说明的情况下,就是指最小正 周期,求三角函数的周期一般要通过三角恒等变形化为y= Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k或y=Atan(ωx+φ)+k的形 式.然后用公式求解,另外还可以观察分析图像利用图像求出 三角函数的周期.
求函数 y=sinπ3+4x+cos4x-π6的周期、单调区间 及最大、最小值.
解:因为π3+4x+π6-4x=π2,所以 cos4x-π6=cosπ6-4x =cosπ2-π3+4x=sinπ3+4x.
从而原式就是 y=2sin4x+π3,这个函数的最小正周期为 24π,即π2.

2020-2021学年数学北师大版必修4课件:第一章 三角函数 本章知识体系

2020-2021学年数学北师大版必修4课件:第一章 三角函数 本章知识体系

cos(-274π)-sin(-274π)的值是( C )
A. 2
B.- 2
C.0
2 D. 2
解析:cos(- 247π )-sin(- 274π )=cos 274π +sin 274π =cos 34π + sin34π=-cosπ4+sinπ4=0,故选C.
专题三 三角函数的图像与性质
【例3】
数的周期.
4.研究函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时,应先考虑其定义
域,若其定义域关于原点对称,则当φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇
函数;当φ=kπ+
π 2
(k∈Z)时,函数为偶函数;当φ≠
kπ 2
(k∈Z)
时,函数为非奇非偶函数.
5.求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0, ω>0)的单调区间时(若ω<0,可先利用诱导公式将x前的系数ω变 成正值),应把ωx+φ视为一个整体,由A的符号来确定单调 性.
A.y=tanx B.y=cosx
C.y=tan2x D.y=|sinx|
【解答】 (1)相邻两条对称轴之间的距离为π2, 即T2=π2,T=π,∴ω=2. 由f(0)= 3,得sinφ= 23, 而|φ|<π2,∴φ=3π. (2)y=tanx为T=π的奇函数,且在(0,2π)上是增函数.
规律方法 1.正弦函数与余弦函数的图像具有轴对称性,y
【解答】 (1)原式=
cos180°+30°·cos-360°-60°·tan360°-30° tan360°+30°·sin360°×2+30°·cos360°×2+180°
=-ctaons3300°°··csions3600°°··co-s1ta8n03°0°

北师大版高中数学必修4

北师大版高中数学必修4
2.2向量的减法 向量的减法
实例分析
飞机从广州飞往北京,然后再由北京 返回广州,我们把北京记作B点,广州 记作A点,那么这辆飞机的位移是多少? 怎样用向量来表示呢?
北京

AB+BA=0
广州
A
我们把与a长度相等,方向相反的向量,叫作a的 a a 相反向量.记作-a, a和-a互为相反向量. - 相反向量 - .
C
b
A
a
B
变式三: 在本例中, 有可能相等吗? 变式三 在本例中 a+b与a-b有可能相等吗 与 有可能相等吗 变式四: 在本例中,|a|, |b|,|a+b|,|a-b|有什么关系 有什么关系? 变式四 在本例中 有什么关系
1 化简
b − 3a 1 a − b + 5 − b + 5 2
叫做向量的减法. 定义: 求两个向量差的运算,叫做向量的减法 定义 求两个向量差的运算 叫做向量的减法
a − b = a + (−b)
求两个向量的差
任取一点A,作向量 AB = a, 作向量 AC = b, 则CB = a − b。
b
b
a
A
C
a−b
a
B
小结:作两向量的差向量的步骤 小结 作两向量的差向量的步骤: 作两向量的差向量的步骤 (1)将两向量移到共同起点 (2)连接两向量的终点,方向指向被减向量 注意与作和向量的区别
5 : 化简MD + MN − MP + DP
(1)相反向量 (2)向量减法转化为向量加法 (3)向量减法的作图方法
(1)将两向量移到共同起点 (2)连接两向量的终点,方向指向被减向量 注意与作和向量的区别

北师大版数学高一(北师大)必修4素材 2.5学习ab的九点注记

北师大版数学高一(北师大)必修4素材 2.5学习ab的九点注记

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高中数学 学习a b •的九点注记
注记1:a •b 是指两个向量的数量积,是一个实数,不是向量,该实数的符号由cos θ的符号决定.
注记2:a •b 是指两个向量的数量积称为内积,其积为一个实数.不能写成a ×b ,它称为两个向量的外积,其积仍是一个向量.
注记3:a •b =|a ||b |cos θ,其中θ的意义为夹角,即两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段的夹角,不同起点的向量要通过平移成为相同起点的向量,再找夹角.
注记4:a •b =|a ||b |cos θ,|a |cos θ叫做向量a 在向量b 上的射影.射影为一个实数,而非向量,可正,可负,可零.

记5:a
•b =0,不

推出
a

0,注记6:在实数中,有(a •b )c =a (b •c );但在数量积中,(a •b )•c ≠a •(b •c ),由于左端是与c 共线的向量,而右端是与a 共线的向量,一般a 与c 不共线.
注记7:|a •b |≠|a ||b |,由于|a •b |=|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |,即应有|a •b |≤|a ||b |,当
且仅当
a ,
b 中至少一个为
零注记8:a •b 的符号与a ,b 的夹角关系,设a ≠0,b ≠0,a 与b 的夹角为θ,则有 ①θ为锐角时⇔a •b >0且a ,b 不同向,
②θ为钝角时⇔a •b <0且a ,b 不反向. 注记9:已知实数a ,b ,c (b ≠0),则ab =bc ⇒a =c ;但a •b =a •c (a ≠0),不能推出b = E
M B。

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北师大高中数学必修四知识点第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做轴线角。

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|αββ} 4、弧度制:(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。

半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l rα=. (2)度数与弧度数的换算:π=180 rad ,1 rad '185730.57)180(=≈=π(3)若扇形的圆心角为α(α是角的弧度数),半径为r ,则:弧长公式:r l ||α= ;扇形面积:2||2121r lr S α===5、三角函数:(1)定义:①设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (u ,v ), 那么v 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α= v ;u 叫做α的余 弦,记作cos α,即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时,uv 叫 P (u ,v )yxo做α的正切,记作tan α, 即tan α=uv . ②设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ,它与原点的距离是()220r OP r x y ==+>,则sin y r α=,cos x r α=,()tan 0yx xα=≠ (2)三角函数值在各象限的符号:口诀:第一象限全为正;二正三切四余弦.(3)特殊角的三角函数值α的角度 ︒0 ︒30 ︒45 ︒60 ︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒180α的弧度 0 6π 4π 3π 2π 32π 43π 65π π αsin21 22 23 1 23 22 21 0αcos1 23 22 21 021- 22- 23- 1- αtan33 1 3 不存在 3- 1-33-α的角度 ︒210 ︒225 ︒240 ︒270 ︒300 ︒315 ︒330 ︒360 α的弧度 67π 45π 34π 23π 35π 47π 611ππ2αsin21- 22- 23- 1-23-22- 21-αcos23-22- 21-21 22 23 1 αtan331 3 不存在 3- 1-33- 06、三角函数的诱导公式:()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z .口诀:终边相同的角的同一三角函数值相等.()()2sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-.P (x ,y )yxox y ++_ _ O x y + + _ _ Ox y++_ _ O()()3sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. ()()4sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()5sin 2sin παα-=-,()cos 2cos παα-=,()tan 2tan παα-=-.口诀:函数名称不变,正负看象限.()6sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ()7sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 口诀:正弦与余弦互换,正负看象限.sin y x =cos y x =tan y x =图 象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域值域: []1,1-当22x k ππ=+()k ∈Z 时,max 1y =;当22x k ππ=- ()k ∈Z 时,min 1y =-. 值域:[]1,1-当()2x k k π=∈Z 时, max 1y =;当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-.值域:R既无最大值也无最小值周期性sin y x =是周期函数;周期为2,T k k Z π=∈且0k ≠; 最小正周期为2π cos y x =是周期函数;周期为2,T k k Z π=∈且0k ≠; 最小正周期为2πtan y x =是周期函数;周期为,T k k Z π=∈且0k ≠;最小正周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数.是增函数;在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数.()k ∈Z 上是增函数.对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴8、函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 的相关知识:(1)()sin y x b ωϕ=A ++的图象与图像的关系:①振幅变换:②周期变换:③相位变换:④平移变换:)sin(ϕω+=x A y ()sin x b ωϕ=A ++先平移后伸缩:函数sin y x =的图象整体向左(0>ϕ)或向右(0<ϕ)平移ϕ个单位,得到函数()sin y x ϕ=+ 的图象;再将函数()sin y x ϕ=+的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍,横坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上(0>b )或向下(0<b )平移b 个单位,得到函数()sin y x b ωϕ=A ++.先伸缩后平移:函数sin y x =的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变,得到函数sin y x ω=的图象;再将函数sin y x ω=的图象整体向左(0>ϕ)或向右(0<ϕ)平x y sin =x y sin =x A y sin =x y sin =x y ωsin =x y sin =)sin(ϕ+=x y 图象整体向左(0>ϕ)或向右(0<ϕ)平移ϕ个单位图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍图象上每个点的横坐标变为原来的ω1倍,纵坐标不变图象整体向上()或向下()平移b 个单位移ϕω个单位,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍,横坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上(0>b )或向下(0<b )平移b 个单位,得到函数()sin y x b ωϕ=A ++.(2)函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA bx A y 的性质:①振幅:A ;②周期:2πωT =;③频率:12f ωπ==T ;④相位:x ωϕ+;⑤初相:ϕ. 定义域:R值域:[],A b A b -++当22x k πωϕπ+=+()k ∈Z 时,max y A b =+; 当22x k πωϕπ+=-()k ∈Z 时,min y A b =-+.周期性:函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 是周期函数;周期为ωπ2=T单调性:x ωϕ+在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是增函数; x ωϕ+在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是减函数. 对称性:对称中心为(),0k k πϕω-⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭;对称轴为x ωϕ+()2k k ππ=+∈Z第二章 平面向量1、向量定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示.2、零向量:长度为0的向量叫零向量,记作0;零向量的方向是任意的.3、单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量a 平行的单位向量:||a a e =.4、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作b a //;规定0与任何向量平行.5、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等.注意:任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。

6、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点: 首尾相接⑵平行四边形法则的特点: 起点相同⑶运算性质:①交换律:a b b a +=+;②结合律:()()a b c a b c ++=++;③00a a a +=+=. ⑷坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y +=++. 7、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y -=--.设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()2121,x x y y AB =--.8、向量数乘运算:⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ. ①a a λλ=;②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反; 当0λ=时,0a λ=.⑵运算律:①()()a a λμλμ=;②()a a a λμλμ+=+;③()a b a b λλλ+=+. ⑶坐标运算:设(),a x y =,则()(),,a x y x y λλλλ==.9、向量共线定理:向量()0a a ≠与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=. 设()11,a x y =,()22,b x y =,其中0b ≠,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、()0b b ≠共线.10、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+.(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底)11、分点坐标公式:设点P 是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ,()22,x y ,当12λP P =PP 时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭.12、平面向量的数量积:⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤.零向量与任一向量的数量积为0. ⑵性质:设a 和b 都是非零向量,则①0a b a b ⊥⇔⋅=.②当a 与b 同向时,a b a b ⋅=;当a 与b 反向时,a b a b ⋅=-;22a a a a ⋅==或a a a =⋅.③ab a b ⋅≤. ⑶运算律:①a b b a ⋅=⋅;②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅;③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅. ⑷坐标运算:设两个非零向量()11,a x y =,()22,b x y =,则1212a b x x y y ⋅=+. 若(),a x y =,则222a x y =+,或2a x y =+设()11,a x y =,()22,b x y =,则12120a b x x y y ⊥⇔+=.设a 、b 都是非零向量,()11,a x y =,()22,b x y =,θ是a 与b 的夹角,则121cos x x a b a bx θ⋅==+.第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式(1)平方关系:1cos sin 22=+αα (2)商数关系:αααcos sin tan = (3)倒数关系:1cot tan =ααααα222tan 1tan sin += ; αα22tan 11cos +=注意: αααtan ,cos ,sin 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切)(βα+S :βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ )(βα-S :βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-)(βα+C :βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C :βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a )(βα+T : βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+)(βα-T : βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-正切和公式:)tan tan 1()tan(tan tan βαβαβα-⋅+=+3、辅助角公式:⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 222222 )sin()sin cos cos (sin 2222ϕϕϕ+⋅+=⋅+⋅+=x b a x x b a(其中ϕ称为辅助角,ϕ的终边过点),(b a ,ab =ϕtan )4、二倍角的正弦、余弦和正切公式: α2S : αααcos sin 22sin =α2C : ααα22sin cos 2cos -=1cos 2sin 2122-=-=αα α2T : ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角公式的常用变形:①、|sin |22cos 1αα=-,|cos |22cos 1αα=+;②、|sin |2cos 2121αα=-, |cos |2cos 2121αα=+ ③、22sin 1cos sin 21cos sin 22244ααααα-=-=+;ααα2cos sin cos 44=-;降次公式:ααα2sin 21cos sin =212cos 2122cos 1sin 2+-=-=ααα 212cos 2122cos 1cos 2+=+=ααα5、半角的正弦、余弦和正切公式:2cos 12sinαα-±= ; 2cos 12cos αα+±=,αααcos 1cos 12tan+-±=ααααcos 1sin sin cos 1+=-= 6、同角三角函数的常见变形:(活用“1”)① αα22cos 1sin -=; αα2cos 1sin -±=;αα22sin 1cos -=; αα2sin 1cos -±=; ②θθθθθθθ2sin 2cos sin sin cos cot tan 22=+=+,αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±; |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式:①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=; 2tan12tan 1cos 22ααα+-=; 2tan12tan 2tan 2ααα-=②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=③和差化积公式 2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-。

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