第一章-数学物理中的偏微分方程

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数学物理中的偏微分方程与场论

数学物理中的偏微分方程与场论偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学物理学中的重要工具，被广泛应用于描述自然界中的各种现象和过程。

而场论（Field Theory）则是建立在偏微分方程基础上的一种数学框架，用于研究物质粒子的运动以及场的相互作用。

本文将介绍数学物理中的偏微分方程以及其在场论中的应用。

一、偏微分方程的概念和分类偏微分方程是包含多个未知函数及其各个偏导数的方程。

它与常微分方程不同，常微分方程只包含一个未知函数及其关于自变量的各个导数。

偏微分方程常常用于描述关于时间、空间或其他自变量的各种变化规律。

根据方程中出现的各个未知函数及其偏导数的次数，偏微分方程可以分为以下几类：1.1 一阶偏微分方程一阶偏微分方程中包含一阶偏导数，如常见的热传导方程、波动方程等。

具体形式如下：\[\frac{\partial u}{\partial t} = F\left(x, y, z, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)\]其中，$u$是未知函数，$F$是给定的函数。

1.2 二阶偏微分方程二阶偏微分方程中包含二阶偏导数，如常见的泊松方程、扩散方程等。

具体形式如下：\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = F\left(x, y, z, u, \frac{\partialu}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial^2 u}{\partial^2 y}, \frac{\partial u}{\partial z}, \frac{\partial^2 u}{\partial^2 z}\right)\]其中，$u$是未知函数，$F$是给定的函数。

第一章+数学物理方程概述

第一章数学物理方程概述数学物理方程，其定义是研究反映物理规律的数学方程。

由于一般的物理量基本都具有多个变量()t z y x ,,,，因此，它所满足的微分方程属于偏微分方程。

本章的目的，归纳出几个常见物理问题对应的数学物理方程。

§1.1 常见数学物理方程的导出1.1.1 常见的几个偏微分方程波动方程：数学上称双曲型方程，表现为场的波动性。

热传导方程或扩散方程：数学上称抛物型方程，表现为不可逆的输运过程。

拉普拉斯（Laplace ）方程和泊松方程：数学上称椭圆型方程，表现为场的稳定分布。

()⎪⎩⎪⎨⎧−=∇=∇zy x u u ,,022ρ其中，算符z y x e ze y e x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇，∇⋅∇=∇=Δ2称为拉普拉斯算子。

直角坐标系下， ()xx u xux u =∂∂=∇222一维yy xx u u y uxu y x u +=∂∂+∂∂=∇22222),( 二维 ()zz yy xx u u u zuy u x u z y x u ++=∂∂+∂∂+∂∂=∇2222222,, 三维1.1.2 常见数学物理方程的导出一、波动方程的导出1、弦的横振动如图1所示，一根拉紧的弦在平衡位置（x 轴）附近做横向微小振动()1<<α。

已知弦的线密度为ρ，作用于弦单位长度的外力为()t x F ,，方向垂直x 轴，弦上的张力为T ，()t x u ,表示弦上x 点在时刻t 的距离平衡位置的垂直位移。

推导弦横向振动所满足的方程。

图1 弦的横振动将弦上任意一小段()x x x Δ+,作为研究对象，由牛顿第二定律，小弦纵向和横向的运动方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅Δ=Δ+−=2211222211sin sin cos cos t ul l F T T T T ραααα由于弦的振动幅度比较小（α较小），所以有如下近似条件： T T T ==⇒≈=21111cos cos αα,T 为常数； x x u ∂∂=⇒==1111sin sin tan αααα，xx xuΔ+∂∂=2sin α；弦长x dx x u l xx xΔ≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+=Δ∫Δ+21。

第一章数学物理中的偏微分方程

y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'

T
M
gds
x x dx x
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
举例(多元函数)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z u u u u 2 2 2 x y z t
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
u u u u 2 2 2 2 x y z t
2 2 2 2
波动方程
14
物理模型与定解问题的导出
15
弦振动方程的导出
16
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。假设这运动发生在同一平面内，求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
2 vxvxx vy vyy v2
拟线性PDE
8.
9.
拟线性PDE
a( x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy )
半线性PDE
10. 11.
ut ux sin u
半线性PDE 完全非线性PDE
ut ux
2
2
u2
12
1.2 三个典型的方程

数学物理方程

方程 uxx uyy A5ux B5uy C5u D5, 称为椭圆型方程的标准形。
三、方程的化简
步骤：第一步：写出判别式 a122 a11a22 ，根据判别式判断方程的类型；
第二步：根据方程（1）写如下方程
a11
(
dy dx
)
2
2a12
dy dx
a22
0
(2)
称为方程（1）的特征方
(2)当 0 时，特征线 (x, y) c. 令 (x, y), (x, y).
其中 (x, y)是与 (x, y)线性无关的任意函数，这样以, 为新变量方程(1)化为标准形 u Au Bu Cu D,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(3)当 0 时，令 1 ( ), 1 ( ). 以 , 为新
程。方程（2）可分解为两个一次方程
dy a12 (3)
dx
a11
称为特征方程，其解为特征线。
设这两个特征线方程的特征线为 (x, y) c1, (x, y) c2.
令 (x, y), (x, y).
第三步(1)当 0 时，令 (x, y), (x, y). 以 , 为新变量方程（1）化为标准形 u Au Bu Cu D, 其中A,B,C,D都是, 的已知函数。
(3)若在(x0, y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 (x0, y0 ) 处为椭圆型方程。
例：波动方程 utt a2uxx f (x,t) a2 0 双曲型
热传导方程 ut a2uxx f (x,t) 0 抛物型
位势方程 uxx uyy f (x, y) 1
椭圆型
二、方程的标准形式
定义：方程
uxy A1ux B1uy C1u D1,

数学物理学中的偏微分方程和量子场论

数学物理学中的偏微分方程和量子场论偏微分方程和量子场论在数学物理学中都是非常重要的领域，这两个领域虽然看起来非常不一样，但是它们具有一些共同的特点。

本文将讨论偏微分方程和量子场论的基本概念和应用，并探讨它们之间的联系。

一、偏微分方程偏微分方程是一个描述自变量和其偏导数之间关系的方程。

偏微分方程广泛应用于科学和工程领域，包括物理、化学、生物学、经济学等等。

其中，数学物理学是一个特别重要的领域，因为它研究的是自然界的基本规律。

在数学物理学中，许多重要的现象都可以用偏微分方程来描述。

比如，热传导、电磁场、波动、量子力学等等。

这些现象都是基于物理规律的，并且可以用偏微分方程来描述它们的本质。

通过对这些方程的研究，数学物理学家可以更好地理解物理世界，并且发现新的现象。

二、量子场论量子场论是一种研究基本粒子相互作用的理论。

它结合了量子力学和相对论，并且用场的概念描述了基本粒子的行为。

量子场论被广泛应用于高能物理、凝聚态物理、宇宙学等领域。

在量子场论中，基本粒子被看作是场的激发。

这种场包含了不同位置和时间的信息，并且描述了基本粒子如何相互作用。

通过解决方程，数学物理学家可以预测基本粒子的行为，并且验证这些预测与实验的结果是否相符。

三、偏微分方程和量子场论的联系虽然偏微分方程和量子场论看起来非常不同，但是它们都涉及到自然界的基本规律。

事实上，偏微分方程和量子场论之间存在一些联系。

一方面，偏微分方程可以用来描述势场，这是量子场论中非常重要的概念。

通过偏微分方程，可以计算势场的变化和作用力，进而推导出基本粒子的行为。

另一方面，量子场论中的方程也可以看做是偏微分方程的一种形式。

量子场论中的方程涉及到场的变化和相互作用，而这些变化可以用偏微分方程来描述。

总之，偏微分方程和量子场论之间存在一些联系，这使得它们可以相互补充和影响。

通过对这两个领域的研究，人们可以更好地理解自然界，并且探索新的物理规律。

四、结论偏微分方程和量子场论都是数学物理学中非常重要的领域。

偏微分方程式

第一章偏微分方程式一、基本觀念一個偏微分方程式（partial differential equation；PDE）是一個包含未知函數，稱為u的一個或者多個偏微分的方程式。

依賴於兩個或者多個變數，通常是一個時間變數及一個或者多個空間變數。

方程式中最高階導數的階稱為偏微分方程式的階（order）。

如同對常微分方程一樣，如果一個偏微分方程式對於未知函數u及其偏導數都是一次的，則稱其為線性的（linear）。

否則，就稱其為非線性的（nonlinear）。

如果一個線性的偏微分方程式，它的每一項都包含u或其偏導數中的一個，稱方程式為齊次的（homogeneous）。

否則，稱為非齊次的（nonhomogeneous）。

重要的二階偏微分方程式如下:一維波動方程式一維熱傳方程式二維拉普拉斯方程式二維波義生方程式二維波動方程式三維拉普拉斯方程式此處c是一個正的常數，t是時間，x、y、z 是卡氏座標。

在方程式中座標的數目定義為維度（dimensions）定義在獨立變數空間某些區域R 的偏微分方程式其解（solution）是一個定義於包含R 在內的區域D上的函數，具有所有出現在偏微分方程式中的偏導數，並且在R上滿足偏微分方程式。

要求這個函數在R的邊界上連續，在R的內部具有那些偏導數，並且在R 內部滿足偏微分方程式。

讓R在D之內，可以簡化有關在R的邊界取導數這個情況，使得在R內部及R的邊界皆有相同的導數定義。

一個偏微分方程式解的整體是相當大的集合。

例如，以下的函數都可以驗證出的解，雖然它們彼此完全不同。

之後將會應用於一個給定物理問題的偏微分方程式要有唯一的解，要使用源自於問題本身的一些額外條件（additional conditions）。

例如，也許是這樣的條件，它要求解u在R 的邊界上有些給定的值[邊界條件（boundary conditions）]。

或者，當t 是變數之一時，也許要在t＝0 描述u（或u t＝∂u/∂t，或者兩者）[初始條件（initial conditions）]。

第一章偏微分方程的“弱”形式

第一章偏微分方程的“弱”形式
偏微分方程（PDE）是一类复杂的数学方程，表示物理现象或过程的基本规律，它将分析、预测复杂物理系统的行为，为许多应用领域，如工程、经济学、生物学等提供理论和技术支持。

在这其中，经典的偏微分方程可以分为“强”形式和“弱”形式。

PDE的”强“形式是指，它具有完整的结构性，可以用普通的微分方程来解决，并能够得到一个具有特征的解。

它不关心方程的空间结构，只要方程具有完整性就可以使用微分方法将其求解。

但是，在多维偏微分方程中，其复杂性会大大增加，使得其”强“形式变得不可行。

因此，对于强形式不可行的偏微分方程，人们引入了”弱“形式，将方程分解成一系列微分不完全的次方程，其中的参数是由空间结构和方程结构给定的，这样可以降低复杂性，更容易求解，也更容易获得解的特征。

”弱“形式的偏微分方程可以被称为现实生活中的”弱“性现象，这是因为它们的解并不一定拥有一个特定的解，而是一系列介于稳定态和不稳定态之间的解。

例如，水在运动中，液体是在动态变化的，但它也不会突然发生变化，而是在不同的空间分量中具有各种表现形式，总体看来是一种”弱“现象。

另外，”弱“形式的偏微分方程也有其独特的优势，尤其是当解决某些问题时，比如，在非线性边界值问题上，”弱“形式的偏微分方程具有良好的鲁棒性，更容易处理复杂的边界条件，得到更可靠的
解。

从以上可以看出，“弱”形式的偏微分方程在多种应用领域中具有极大的价值，尤其在非线性边界值问题上，其鲁棒性不同于”强“形式的偏微分方程，可以更容易获得解的特征，也能够处理复杂的边界条件。

因此，未来，”弱“形式的偏微分方程将受到越来越多的关注，它将成为解决复杂的物理问题的坚实基础，为许多应用领域提供理论和技术支持。

偏微分方程在物理学中的应用

偏微分方程在物理学中的应用第一章：偏微分方程的概念及分类偏微分方程（partial differential equation，PDE）是指包含多个未知函数在内的偏导数的方程。

在物理学中，PDE被广泛应用于描述自然界中的各种现象，如电磁场、流体运动、热力学等。

根据方程中包含的未知函数的个数和自变量的个数，偏微分方程可以分为单一偏微分方程和多元偏微分方程。

单一偏微分方程只涉及一个未知函数及其偏导数，如抛物型方程、双曲型方程、椭圆型方程等。

多元偏微分方程则涉及多个未知函数及其偏导数，如麦克斯韦方程、能量方程、动量方程等。

第二章：偏微分方程在电磁学中的应用电磁学是物理学中重要的分支，它研究的是电场和磁场的产生和相互作用。

偏微分方程在电磁学中的应用主要是用来描述电场和磁场的分布和变化。

其中最具代表性的是麦克斯韦方程，这个方程组由四个方程组成，分别是电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。

这四个方程描述了电磁场的基本性质和规律，是电磁学研究中必不可少的工具。

第三章：偏微分方程在流体力学中的应用流体力学是研究流体运动的一门学科，偏微分方程在流体力学中的应用主要是用来描述流体的运动状态和变化规律。

流体力学中应用比较广泛的偏微分方程有流体的连续性方程、流体的动量方程和能量方程等。

其中，流体的连续性方程表明质点的质量守恒，动量方程体现了牛顿力学规律，而能量方程则描述了流体内部的热力学状态和能量转化。

第四章：偏微分方程在热力学中的应用热力学是研究热现象和热能转化的一门学科，偏微分方程在热力学中的应用主要是用来描述物体内部的温度分布和热能传递。

热力学中应用比较广泛的偏微分方程有热传导方程和热扩散方程等。

热传导方程表明物体内部的温度分布与时间、空间的变化有关，而热扩散方程则描述了物质内部微小区域中的温度变化。

第五章：偏微分方程在量子力学中的应用量子力学是研究微观世界中粒子结构和行为的一门学科，偏微分方程在量子力学中的应用主要是用来描述量子粒子的波函数和其在空间中的分布规律。

数学物理方程数学物理第一章

非线性微分方程的应用
总结词
非线性微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
详细描述
非线性微分方程在物理学中用于描述各种动态过程，如振荡、波动、控制等现象；在工程学中用于描述控制系统、电路、机械振动等问题；在经济学中用于描述金融市场、人口动态等问题。此外，非线性微分方程还在生物学、化学等领域有广泛应用。
数学物理方程通常包括微分方程、积分方程、偏微分方程等类型，这些方程式在数学和物理学中有着广泛的应用。
数学物理方程的分类
根据变量的个数，数学物理方程可以分为常微分方程、偏微分方程等类型。
根据方程的形式，数学物理方程可以分为线性方程和非线性方程。线性方程是指方程中的未知数和参数之间是线性关系，而非线性方程则是指
总结词
求解非线性微分方程的方法包括分离变量法、积分变换法、幂级数解法等。
详细描述
求解非线性微分方程的方法有多种，其中分离变量法是将方程中的变量分离出来，转化为容易求解的常微分方程；积分变换法通过积分变换将非线性微分方程转化为容易求解的线性微分方程；幂级数解法是通过幂级数展开来求解非线性微分方程。
数学物理方程数学物理第一章
汇报人： 202X-12-29
contents
目录
• 数学物理方程的概述 • 线性常微分方程 • 非线性微分方程 • 偏微分方程
01
数学物理方程的概述
数学物理方程的定义
数学物理方程：描述物理现象中各个量之间关系的方程式。它通常由变量、参数和函数组成，能够反映物理系统的状态和变化规律。
有限差分法
将偏微分方程转化为离散的差分方程，通过迭代求解。
有限元方法
将偏微分方程的求解区域划分为有限个小的子区域，每个子区域用有限元近似表示，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求

第一章偏微分方程定解问题

(3) 混合问题=泛定方程+初始条件+边界条件：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
定解问题
泛定方程
演化方程稳定方程
线性边界条件边界条件
波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类边界条件第二类第三类
dS u1
u
(2) 第二类（Neumann）边界条件
VS
k u q(t ) n s
当q(t) 0（齐次，表示绝热）
热场
(3) 第三类（Robin）边界条件牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
dQ
h(u
u1)dSdt
k
u n
dSdt
h 热交换系数；u1 周围介质的温度, k为热传导系数
举例（设未知函数为二元函数）
1. u 0 x
解为： u f ( y)
f 为任意函数
2. u a u 0 t x
x
t
1
a
(
)
作变量代换
x x at
a u 0
解为：u f (x at)
f 为任意函数
7
举例（未知函数为二元函数）
2u
3.
0
xt
解为： u g(x) h(t)
数学物理方程主要内容
三种基本问题
初值问题边值问题混合问题
三种基本方程、五种基本解法、两个基本原理、两个特殊函数
波动方程热传导拉普拉斯方程
通解法行波法分离变量法积分变换法格林函数法
叠加原理齐次化原理
贝塞尔函数勒让德函数
一些常见符号
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla

数学中的偏微分方程

数学中的偏微分方程数学中的偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述自然界中各种现象和过程的重要工具。

它们涉及多个变量和它们的偏导数，包含了很多有趣的数学和物理现象。

本文将介绍什么是偏微分方程以及它们的分类和应用。

一、偏微分方程的概念偏微分方程是描述多个变量之间关系的方程，其中，未知函数及其偏导数作为方程的解。

与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数不仅与自变量有关，还与多个独立变量有关。

偏微分方程通常用数学符号来表示，例如：∂u/∂t = c^2 ∂^2u/∂x^2在上述方程中，u表示未知函数，t表示时间，x表示空间坐标，c^2是一个常数。

该方程被称为一维扩散方程，描述了热的传导过程。

二、偏微分方程的分类根据方程中各个变量的次数以及方程形式的不同，偏微分方程可分为多种类型。

以下是常见的偏微分方程分类：1. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程当方程中的未知函数及其各个偏导数之间满足线性关系时，我们称之为线性偏微分方程；否则，称为非线性偏微分方程。

2. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程如果方程中的未知函数及其各个偏导数之间满足齐次关系（即等式右边为零），则称方程为齐次偏微分方程。

否则，称为非齐次偏微分方程。

3. 偏微分方程的阶数方程中各个变量的最高阶数即为偏微分方程的阶数。

常见的一阶偏微分方程如一维波动方程、一维热传导方程等；常见的二阶偏微分方程如拉普拉斯方程、泊松方程等。

三、偏微分方程的应用偏微分方程在多个领域中有着广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。

以下是几个常见的应用领域：1. 物理学中的应用在物理学中，偏微分方程用于描述各种物理现象，如传热、传质、电磁现象等。

例如，电磁学中的麦克斯韦方程组、量子力学中的薛定谔方程等都是偏微分方程的应用。

2. 工程学中的应用在工程学中，偏微分方程常用于模拟和解决各种实际问题，例如流体力学中的纳维-斯托克斯方程、结构力学中的弹性方程等。

偏微分方程讲义

习题3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.5 极坐标系下的分离变量法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 3.5.2 由射线和圆弧所界定区域中问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . 周期边界条件问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv 3.6.3 3.6.4 3.6.5 Legendre方程的级数解、 Legendre多项式 . . . . . . . . . . . . . . Bessel方程的级数解、 Bessel函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 圆盘中热传导方程的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
习题1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.5 线性偏微分方程的叠加原理，定解问题的适定性 1.5.1 叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
习题3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.6 高维曲线坐标系下的分离变量法、球函数和柱函数 . . . . . . . . . . . . 3.6.1 3.6.2 Bessel方程和Legendre方程的导出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 . . . . . . . . . . . . . . . .

chapter1_偏微分方程定解问题

对于一般的偏微分方程，找出通解非常困难。但我们可以根据方程的物理背景或数学特点，
找出某些特定形式的特解来满足实际需要。例如，根据解析函数的实、虚部是调和函数，即可得到二维 Laplace 方程2u 0 的中心对称解u ln 1 (r 0) ，周期解u ex sin y ，多项式解
r
u x2 y 2 等。
u
c(x, y)
u
f (x, y) ，
(1)
y b(x, y) b(x, y)
利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解：
， y c( x, )
u(x,
y)
e ( y0
d ) b( x, )
y
y
0
c( b(
x,s x,s
) )
ds
e y
0
f (x,)
d g(x)
b( x, )
其中g(x) 是任意的C1 函数。
1.2 定解问题及其适定性：
偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如：
例 1.2.1：求解二阶偏微分方程 2u 0 ，u u( ,) 。
解：两边依次对，积分，得
u f ( ) g() ，对于任意C1(R) 函数 f 和 g ，都是方程在全平面的解。
#
称m 阶偏微分方程的含有m 个任意函数的解为方程的通解，不含任意函数或某些任意函数为常数的解为方程的一个特解。通解中的任意函数一旦确定，通解就成了特解。
第一章．偏微分方程定解问题
偏微分方程：是指含有多元的未知函数u
u(
x)
,
x
(
x1,
x2,,
xn)
及其若干阶偏导数的关式
u u u F (x,u, , ,..., ,...,

数学物理学中的偏微分方程

数学物理学中的偏微分方程偏微分方程是数学物理学中的一类重要的方程，它们描述了一些物理现象和过程的演化和变化。

在自然科学和工程技术领域中，偏微分方程经常被用来建模和求解各种各样的问题，如流体力学、电磁学、声学、热力学、生物学等等。

一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是描述多个独立变量间关系的微分方程。

一般地，对于一个二元函数$u(x,y)$，如果它所满足的方程关系为$$F(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partialy},\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\frac{\partial^2u}{\partialy^2},\cdots)=0$$其中$F$为已知函数，则称此方程为偏微分方程。

上式中的$\frac{\partial u}{\partial x}$和$\frac{\partial u}{\partialy}$分别表示$u(x,y)$对$x$和$y$的偏导数，$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$和$\frac{\partial^2u}{\partialy^2}$分别表示$u(x,y)$对$x$和$y$的二阶偏导数。

二、偏微分方程的分类偏微分方程可以按照方程的类型被分为很多种类，比如双曲型、抛物型、椭圆型和混合型。

不同类型的偏微分方程之间具有非常不同的性质和解法。

1. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程描述了波动方程，具有强烈的方向性，解的行为受到初始数据和边界条件的影响。

它们的通解通常可以通过变量分离法或者分离变量组合法得到。

2. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程描述了热传导和扩散现象，其解的行为随着时间的增长而趋于稳定。

它们通常需要时间和空间上的整体控制条件来保证存在唯一的解。

3. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程描述了稳态热传导和电势分布现象，具有强烈的平滑性和正则性。

1 偏微分方程定解问题

(5)微小横振动——绝对位移和相对位移都很小。
建立坐标系：确立未知函数研究对象：u ( x, t ) ，弦上某点在 t 时刻的横向位移。
7
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
微元分析法：取微元[x,x+dx]， t时刻牛顿运动定律： F=ma
2 u ( x, t ) dx u0 T t , x dx T t , x G t , x; dx 2 t T x dx g t , x dxu0
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数学物理方程翻译：对微元应用物理定律 dt时间内温度升高所需热量
第1章偏微分方程定解问题
Q Q流入 Q放出 u Q cdxdydz dt t
2u 2u 2 u Q流入 Q左右 Q上下 Q前后 k（ 2 2 2 )dtdxdydz x y z u u Q左右 k dtdydz k dtdydz x (t , x, y , z ) x (t , x dx, y , z ) 2u z k 2 dtdxdydz (x+dx, x+dy, z+dz) x 2u Q前后 k 2 dtdxdydz y dz 2 y u dy Q上下 k 2 dtdxdydz z (x,y,z) dx
2 2u u 2 a f t, x 2 2 t x
ut 6uxux uxxx 0
(4)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．
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数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
2u 2 2 a u f (t , x) ☆波动方程： 2 t
2 T2 u u u T2 T1 张力沿切线： T T12 T22 T1 1 T1 T1 x x x 由(1)得: T1 T1 t （T 与 x 无关）

数学中的偏微分方程与数学物理

数学中的偏微分方程与数学物理数学是一门古老而深奥的学科，它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式。

在数学的世界里，人们发现了许多规律和模式，这些规律和模式不仅仅存在于纯粹的数学领域，也可以适用于其他科学领域，如物理学。

在物理学中，数学扮演着重要的角色，特别是在研究自然现象中的变化和运动方面。

而偏微分方程是数学与物理学交叉研究的重要领域之一，本文将介绍数学中的偏微分方程以及它们在数学物理中的应用。

一、偏微分方程的概念偏微分方程是数学中研究函数的方程，其特点是这些函数的导数涉及到多个自变量。

与常微分方程不同，常微分方程中的未知函数一般只是关于一个变量的函数。

而偏微分方程考虑的是多个自变量之间的关系。

例如，波动方程、热传导方程、亥姆霍兹方程等都是偏微分方程的例子。

二、数学物理中的应用1. 波动方程波动方程是偏微分方程的一种，它描述了波动现象的传播和变化。

在数学物理中，波动方程被广泛应用于描述光、声波等的传播过程。

通过求解波动方程，可以预测波的传播速度、幅度和波前的形状，从而对声波的传播和光的折射等现象进行分析和研究。

2. 热传导方程热传导方程是偏微分方程的另一个重要应用，它描述了热量在物体内部的传导和分布规律。

在数学物理中，热传导方程被广泛应用于研究物体的温度分布以及热传导过程中的热量损失和温度变化。

通过求解热传导方程，可以预测物体在不同条件下的温度分布和随时间的变化，从而对热量传导进行分析和控制。

3. 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程是偏微分方程的一种，它描述了电磁波在介质中的传播和变化。

在数学物理中，亥姆霍兹方程被广泛应用于研究电磁波的传播过程和介质的特性。

通过求解亥姆霍兹方程，可以预测电磁波在不同介质中的传播速度、幅度和波前的形状，从而对电磁波的传播和介质的特性进行分析和研究。

三、偏微分方程的解法求解偏微分方程是数学物理中的重要任务之一。

根据方程的类型和特点，可以采用不同的解法。

常见的解法包括分离变量法、变换方法、特解法等。

偏微分方程课件云南财经大学

, xn , t )的n维波动方程
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《偏微分方程》第一章绪论第20页
例1.1.2 热传导方程在三维空间中, 考察一均匀、各向同性的物体G, 假定其内部有热源, 并且与周围介质有热交换, 求物体内部温度的分布和变化规律。问题: 设函数u (x, y, z, t )为物体G在点(x, y, z)处时刻t的温度, 求u所满足的方程。我们可利用能量守恒定律和富里叶(Fourier)热传导定律来建立数学模型, 导出热传导方程 (略) 。
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《偏微分方程》第一章绪论
教材及参考资料
第 4页
教材：偏微分方程(第三版) ，陈祖墀，高教出版社。参考书目： 1. 数学物理方程(第二版),谷超豪、李大潜等,高教出版社。 2. 现代偏微分方程导论, 陈恕行, 科学出版社。 3.偏微分方程讲义(俄罗斯数学教材选译)，高教出版社。
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《偏微分方程》第一章绪论第12页
注：Lu可视为线性算子L作用在函数u上。例如
2 2 2 2 2 Lu ( 2 a 2 2 2 )u t xn x1 x2 2 2 2 2u u u u 2 2 a 2 2 2 t xn x1 x2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 xn 2 2 2 2u 2u u ( 2 2 2 )u 2 2 x1 x2 xn x1 x2
2 2 Laplace算子 2 2 x1 x2
, xn , t ) 的n维Laplace方程，利用
2 2 写成 xn
y ( y1, y2 , , ym ) 是参数，则