数列训练题一

数列训练题（一）

(时间90分钟，满分100分)

一、选择题(共8个小题，每小题5分，满分40分)

1．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( C )

A ．a n ＝n 2－n ＋1

B ．a n ＝

n (n －1)2 C ．a n ＝n (n ＋1)

2

D ．a n ＝n (n ＋2)

2

2．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1

a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 17＝( C )

A ．1

B ．2 C.1

2

D ．2

－987

3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( D )

A ．k ＞0

B ．k ＞－1

C ．k ＞－2

D ．k ＞－3

4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n

n ≤2的正整数n 的集合为(B ) A ．{1,2}

B ．{1,2,3,4}

C ．{1,2,3}

D ．{1,2,4}

5．(2011·龙岩模拟)数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝( A ) A.40202011

B.40182010

C.20102011

D.2009

2010

6．(2011·济宁模拟)将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，{2，4}

第一组，{6，8，10，12} 第二组，{14，16，18，20，22，24} 第三组

则2012位于第( C )组． A ．30 B ．31 C ．32

D ．33

7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＞0，a 8＜0，则下列结论正确的是( C ) A ．S 7＜S 8 B ．S 15＜S 16 C ．S 13＞0

D ．S 15＞0

8．已知等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3，且b n ∈N *，则数列{a bn }是( B ) A ．等差数列且公差为5 B ．等差数列且公差为6 C ．等差数列且公差为8

D ．等差数列且公差为9

二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)

9．已知数列{2n －

1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，则数列{ a n }的通项公式是___ a n ＝

⎩⎪⎨⎪⎧

3(n ＝1)－32

n －2(n ≥2)_____． 10．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a 2＝2，a n a n ＋1a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，且a n ＋1a n ＋2≠1，则a 1＋a 2＋a 3＝__6______，S 2010＝__4020______.

11．(2011·兰州模拟)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项(如下表所示)，按如此规律下去，则a 2009＋a 2010＋a 2011＝_1005_______.

12. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则S 9＝___63_____ 三、解答题(12+13+15=40)

13．已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n . 解：由2S n ＝a n ＋1，得S n ＝(a n ＋12)2

，

当n ＝1时，a 1＝S 1＝(a 1＋12)2

，得a 1＝1；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a n ＋12)2－(a n －1＋12)2

.

整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵数列{a n }各项为正，∴a n ＋a n －1＞0. ∴a n －a n －1－2＝0.

∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)×2＝2n －1.

14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1

n )a n ＋n ＋12n ，若b n ＝a n n ，试求数列{b n }的通项

公式．

解：由已知得b 1＝a 11＝1.将a n ＋1＝(1＋1

n )a n ＋n ＋12n 的两边同除以n ＋1得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n ，

即b n ＋1－b n ＝1

2

n ，

所以b 2－b 1＝12，b 3－b 2＝122，b 4－b 3＝123，…，b n －b n －1＝1

2n －1，

将以上n －1个式子相加得

b n －b 1＝12＋122＋…＋12n －1＝1－12n －1，所以b n ＝2－1

2n －1.

15．若数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27.

(1)求a 1、a 2的值；

(2)记b n ＝1

2n (a n ＋t )(n ∈N *)，是否存在一个实数t ，使数列{b n }为等差数列？若存在，求

出实数t ；若不存在，请说明理由．

解：(1)由a 3＝27,27＝2a 2＋23＋1得a 2＝9，由9＝2a 1＋22＋1，得a 1＝2. (2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列．

则2b n ＝b n －1＋b n ＋1, 即2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋1

2

n ＋1(a n ＋1＋t )，

整理得4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，又4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋

1＋t ＋1＝4a n ＋t －1，

∴t ＝1，故存在t ＝1，使得数列{b n }为等差数列．