第1章随机事件与概率知识讲解

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将不定性数量化，来尝试回答这些 问题，是直到20世纪初叶才开始的. 还 不能说这个努力已经十分成功了，但就 是那些已得到的成果，已经给人类活动 的一切领域带来了一场革命.
这场革命为研究新的设想，发展自 然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道 路. 而且也改变了我们的思维方法，使 我们能大胆探索自然的奥秘.
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什么是随机现象?
带有随机性、偶然性的现象.
随
当人们在一定的条件下对它加
机 以观察或进行试验时，观察或试验
现 的结果是多个可能结果中的某一个.
象 的
而且在每次试验或观察前都无法确
特 知其结果，即呈现出偶然性. 或者
点 说，出现哪个结果“凭机会而定”.
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随机现象是不是没有规律可言?
No！
在一定条件下对随机现象进行大量观 测会发现某种规律性.
不确定性 3
随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象、随机现象
1、确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳从东边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
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2、随机现象
实例1 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”.
结果: “弹落点会各不相同”.
7）三个事件至少有一个不发生 : ABC或 ABC
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第二节
29
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些 事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小， 也就是事件的概率.
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
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现在，让我们看一个 从死亡线上生还 的故事
本来，这位犯臣抽到“生”还是“死”是 一个随机事件，且抽到“生”和“死”的可能 性各占一半，也就是各有1/2概率. 但由于国王 一伙“机关算尽”，通过偷换试验条件，想把 这种概率只有1/2 的“抽到死签”的随机事件， 变为概率为1的必然事件，终于搬起石头砸了 自己的脚，反使犯臣得以死里逃生.
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3、事件的和(并):“事件A与B至少有一个发生” 记 作 A B 或 A B ，
A
B
S
n
推广:A1A2An Ak表示事件
k1
“A1,A2,,An至少发生一个”.
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4、事件的积(交)：“事件A与B同时发生”
记作 AB或AB
A
B
S
n
推广: AkA1A2An,
k1
或 记 A 1 A 2 为 A n,
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再如: 测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有 差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量 次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量 值大多落在此常数的附近，越远则越少，因 而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右 基本对称”.
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随机试验
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
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了解事件发生的可能性即概率的大小，对人 们的生活有什么意义呢？下面举几个例子.
例如，了解发生意外人身事故的可能性大小, 确定保险金额.
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了解来商场购物的顾客人数的各种可能性 大小，合理配置服务人员.
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了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理 确定堤坝高度.
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对一个随机事件A，我们用一个数 P(A)来表示 A发生的可能性大小，称之为随机事件A的概率。
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例如，掷一颗骰子一次，观察出现的点数 样本空间：
S = { 1,2,3,4,5,6 }
事件B: 出现奇数点.
B = {1,3,5}
“掷出点数小于7”是必然事件;
而“掷出点数8”则是不可能事件.
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二、事件的关系与运算
1、包含关系“：A发生必导致B发生”，记为A B。
B A
2、等价:
AB A＝B AB 且 BA.
Buffon
4040
K. Pearson 12000
K. Pearson 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
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例2 英文字母被使用的频率相当稳定.
字母 频率 字母 频率 字母 频率
空格 E T
O
A
N
I
RS
0.2 0.105 0.072 0.0654 0.063 0.059 0.055 0.054 0.052
H
D
L
C
F
U
MPY
0.047 0.035 0,029 0.023 0.0225 0.0225 0.021 0.0175 0.012
W
G
B
V
K
X
JQZ
0.012 0.011 0.0105 0.008 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001
数据引自L.Brillouin, Science and Information Theory, New York, 1956
那么，怎么来规定 P(A)的大小呢？
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一、频率(概率与频率的关系)
定义 在相同的条件下进行n次试验,其中事件A发 生的次数nA称为频数,比值nA/n称为频率,记为fn(A).
既然概率 P(A)度量了随机事件A发生的可能性大 小，可以预料，在大量的重复试验中，若P(A)较大， 则频率也较大; 反之，若P(A)较小，则频率也较小， 而且概率P(A)应与频率有许多相似的性质。下面我 们先对频率的性质进行一番考察。
性 质 ， 例 如 ， “ 不 可 能 事 件 的 频 率 fn(Ø )0” ， “ 任 何
事 件A，fn(A)1” ， 等 等 。
当大量重复同一试验时，事件A发生的频率往往 呈现一定的稳定性。
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例1 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质 硬币时，出现正反面的机会均等。

随机事件
定义 随机试验中每一种可能的结果，称为随机事 件，简称事件.记作A、B、C等.
任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 每次试验中都一定出现的事件，称做必然事件， 记作Ω； 任何一次试验中都不会出现的事件，称做不可 能事件，记作Ø； 为了讨论问题方便，我们把必然事件和不可能 事件也看成是特殊的随机事件。
本章主要学习内容
一、随机事件及其关系 二、事件的概率 三、概率 的运算 四、全概率公式和逆概率公式
第一节
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在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化……，我们无时 无刻不面临着不确定性和随机性.
实例6 “明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨”等都为随机现象.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
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从亚里士多德时代开始，哲学家们 就已经认识到随机性在生活中的作用， 他们把随机性看作为破坏生活规律、超 越了人们理解能力范围的东西. 他们没 有认识到有可能去研究随机性，或者是 去测量不定性.
表 示 事 件 “ A 1 ,A 2 , ,A n 同 时 发 生 ” .
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5、互不相容事件：
如 果 事 件 A 与 B 不 可 能 同 时 发 生 ， 即 A B ， 则 称 事 件 A 与 B 互 不 相 容 ( 或 互 斥 ) .
A
B
S
AB
互斥完备群：n个互斥事件构成必然事件。
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6、对立事件(逆事件)：
常常把这样的试验结果称为“等可能的”.
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例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全 相同的球. 将球编号为1－10 .把球搅匀，闭上眼 睛，从中任取一球.
因为抽取时这些球是完全平 等的，我们没有理由认为10个球 中的某一个会比另一个更容易取 得 . 也就是说，10个球中的任一 个被取出的机会是相等的，均为
实例2 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.
结果有可能为:
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
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实例3 “从一批含有正 品和次品的产品中任意抽 取一个产品”.
实例4 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”.
其结果可能为: 正品 、次品.
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实例5 “出生的婴儿可 能是男,也可能是女”.
字母使用频率的研究，对键盘设计、铅字铸造、 信息编码、密码破译等方面都是十分有用的。
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请看 福尔摩斯破密码 请回答:
福尔摩斯为什么能破译出那份密码? 对案情的深入了解和分析； 运用字母出现的规律.
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根据上述频率稳定性的讨论，似乎可以提出 这样的猜想，即当n足够大时，fn(A)与 P(A)应充 分接近，这就是所谓的概率的统计定义。
对 事 件 A,B，若 满 足 A B Ω， A B Φ ，则 称事件 A 与 B 互为对立事件或逆事件. A 的逆事件记为 A ,即 A =Ω-A。
实 际 上 ， A 表 示 “ 事 件 A 不 发 生 ” 。
注意: 对立事件必互斥； A
但互斥的事件未必为对立 事件。
A
S
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事件的运算律
事件间的关系与运算与集合的关系与运算是完 全相似的，运算规律也是完全相似的。但要注意， 应该用概率论的语言来解释这些关系及运算，并且 会用这些运算关系来表示一些复杂的事件。
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例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性 的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一 定的规律性，如一定的命中率，一定的分 布规律等等.
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又如: 在一个容器内有许多气体分子，每个气
体分子的运动存在着不定性，无法预言它在 指定时刻的动量和方向. 但大量分子的平均 活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度 下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现“无 序中的规律”.