专题强化训练31

专题强化训练(三十一)
1．(2020·湖南长沙联考)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C 1，C 2的极坐标方程．
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点分别
为M ，N ，求△C 2MN 的面积．
[解] (1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
∴C 1：x ＝－2的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1的极坐标方程为(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－2)2＝1，化简，得ρ2－(2ρcos θ＋4ρsin θ)＋4＝0.
(2)把直线C 3的极坐标方程θ＝π4(ρ∈R )代入
圆C 2：ρ2－(2ρcos θ＋4ρsin θ)＋4＝0，
得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.
∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝ 2.
∵圆C 2的半径为1，∴|C 2M |2＋|C 2N |2＝|MN |2，
∴C 2M ⊥C 2N .
∴△C 2MN 的面积为12·|C 2M |·|C 2N |＝12×1×1＝12.
2．(2020·唐山二模)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，直线l ：y ＝－x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 与直线l 的极坐标方程；
(2)已知P 为曲线C 上一点，PH ⊥l 于H ，求S △POH 的最大值．
[解] (1)由x ＝ρcos α，y ＝ρsin α，ρ2＝x 2＋y 2得
曲线C ：ρ2－2ρcos α＝0，即ρ＝2cos α；
直线l ：θ＝3π4(ρ∈R )．
(2)依题意，设P (ρ，α)，－π2<α<π2，则|OP |＝2cos α，所以|OH |＝
|OP |·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4， |PH |＝|OP |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2cos α·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， 因此S △POH ＝12·|OH |·|PH |
＝2cos 2
α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝cos 2α|cos 2α－sin 2
α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α－142－18. 所以当cos 2α＝1，即α＝0时，S △POH 取得最大值1.
3．(2020·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2－t －t 2，y ＝2－3t ＋t 2，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点． (1)求|AB |；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．
[解] (1)因为t ≠1，由2－t －t 2＝0得t ＝－2，所以C 与y 轴的交点为(0,12)；由2－3t ＋t 2＝0得t ＝2，所以C 与x 轴的交点为(－4,0)．故|AB |＝410.
(2)由(1)可知，直线AB 的直角坐标方程为x －4
＋y 12＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0.
4．(2020·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎨⎧ x ＝－12t ，y ＝1＋32t ，(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，π2，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |＋|MB |的值．
[解] (1)把ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π6展开得ρ＝2sin θ＋23cos θ， 两边同乘ρ，得ρ2＝2ρsin θ＋23ρcos θ，①
将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入①，
即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x －2y ＝0.
(2)将⎩⎨⎧
x ＝－12t ，y ＝1＋32t ，
(t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程，得
t 2＋3t －1＝0， 设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－3，t 1t 2＝－1. 又因为点M 的直角坐标为(0,1)，满足l 的方程，∴点M 在直线l 上．
则由参数t 的几何意义得|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，且t 1t 2<0，所以|MA |＋|MB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝3＋4＝7.
5．(2020·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos k t ，y ＝sin k t ，(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0.
(1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？
(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．
[解] (1)当k ＝1时，C 1：⎩⎨⎧ x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是圆心为坐标原点，半径为1的圆．
(2)当k ＝4时，C 1：⎩⎨⎧ x ＝cos 4t ，y ＝sin 4t ，消去参数t 得C 1的普通方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0.
由⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝14.
故C 1与C 2的公共点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14. 6．(2020·云南曲靖模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α，(其中t 为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆O 的极坐标方程为ρ＝1.直线l 与圆O 交于A ，B 两个不同的点．
(1)求直线l 倾斜角α的取值范围；
(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程．
[解] (1)圆O ：ρ＝1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.
当α＝π2时，直线l (即y 轴)与圆O 有两个交点，符合题意．
当α≠π2时，记k ＝t a n α，将直线l 的参数方程⎩
⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α，(其中t 为参数)化为普通方程得kx －y －2＝0.
圆心O 到直线l 的距离d ＝
2k 2＋1，若直线l 与圆O 交于不同的两点，则d ＝2k 2
＋1<1，即k <－1或k >1.当k <－1时，直线l 倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；当k >1时，直线l 倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. 综上，直线l 倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. (2)将⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α，(其中t 为参数)代入x 2＋y 2＝1中得到关于t 的方程t 2－22sin α·t ＋1＝0.(*)
设直线l 与圆O 的交点A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ，线段AB
中点对应的参数为t P ，则t A ，t B 恰好是方程(*)的两个实数根，t P ＝t A ＋t B 2
＝2sin α.所以点P 的坐标(x ，y )满足
⎩⎨⎧ x ＝t P ·cos α＝2sin αcos α＝22sin2α，y ＝－2＋t P ·sin α＝－2＋2sin 2α＝－22－22cos2α.
所以线段AB 中点P 的轨迹的参数方程是
⎧x＝2
2sin2α，
y＝－
2
2
－2
2cos2α
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α为参数，
π
4<α<
3π
4.
⎩⎨。