数学物理方程期末考试试题及答案

数学物理方程期末考试试题及答案
一、求解方程（15分）
⎪⎩⎪⎨⎧===-=+=-.
)()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψϕ
其中)0()0(ψϕ=。

解：设⎩
⎨⎧+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得：
)()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψϕ=+=+
由)0()0(ψϕ=即得：
)0()2
()2(
),(ϕψϕ--++=at x at x t x u 。

二、利用变量分离法求解方程。

（15分）
⎪⎩⎪⎨⎧==≥==∈=-====)(,)(,
0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψϕ
其中l x ≤≤0。

0>a 为常数
解：设)()(t T x X u =代于方程得：
0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’)
x C x C X λλsin cos
21+=，at C at C T λλsin cos 21+=
由边值条件得：
21)(
,0l
n C πλ== l
x n at A at B u n n n πλλsin
)sin cos (1+=∑∞= ⎰=l n dx l x n x l B 0sin )(2πϕ，⎰=l
n dx l
x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)
证明：设u e v ct -=代入方程：
⎪⎩
⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ
设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得：
⎪⎩
⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t
由极值原理得0=v 唯一性得证。

(8’)由
≤-21v v ετ≤-2
1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性
得证。

四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分).
,0,0>=++=∆z u u u u zz yy xx
).(0x f u z ==
解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点
),,(ςηξ-p 格林函数：
222)()()(141
),,,(ςηξπ
ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141
ςηξπ++-+-+z y x
2/32220])()[(2ςηξπς
+-+-=∂∂-=∂∂=y x z G n G z 方程的解：dx y x y x u R ⎰+-+-=2
2/3222])()[(),(2),(ςηξϕπς
ηξ
五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)
),,()(2t y x f u u a u yy xx tt =+- ),,(0y x u t ϕ==
),,(0
y x u t t ψ== ).,,(t y x g u =Γ
其中,),(,0Ω∈>y x t Γ为Ω的边界.
解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得：
0)(2=+-yy xx tt u u a u
00==t u
00
==t t u .0=Γu 设⎰⎰Ω
=[21)(t E dxdy u u a u y x t ](2222++ =dt t dE )(⎰⎰Ω
[2dxdy u u u u a u u yt y xt x tt t )](2++ ⎰⎰Ω=[2dxdy u u a u u yy xx tt t
)]([2+-
0=(10’)
0)0()(==E t E ，C u =，由边值条件得：0=u 。

(20’)
六 考察边值问题
∑==++∆n i x i
f u x c u x b u i 1)()(
.0=∂∂Γn u
试证)(x c 当充分负时,其解具有唯一性及在能量模意义下的稳定性.(20分) 证明：在原方程两边同乘以u 然后在Ω上积分：
⎰Ω∆u u ∑⎰=Ω
=++n i x i dx fu dx u x c u u x b i 12)()(
由格林公式dx u u ⎰Ω∆⎰Ω
∂-∂∂=
ds n u dx Du 2⎰Ωdx Du 2⎰Ω-= 由Young 不等式≤⎰∑=dx u u
n i x i 1dx u n i x i 212⎰∑=εdx u n ⎰+22ε
又⎰⎰⎰+≤
dx u dx f fudx 222121故得估计： ⎰⎰∑≤+=dx f C dx u u n i x i 222
1)((10’)
设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程并由估计式得：0=u 唯一性得证
≤-21u u ετ≤-2
1f f ，稳定性得证。