数理方程第二版 课后习题答案
数理方程 习题答案
数理方程习题答案数理方程习题答案数理方程是数学中一门重要的学科，它研究的是各种各样的方程。
在学习数理方程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以加深对数理方程的理解，掌握解题的方法和技巧。
在这篇文章中，我将为大家提供一些数理方程习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求解方程：2x + 5 = 17。
解：将方程化简，得到2x = 17 - 5，即2x = 12。
再将等式两边同时除以2，得到x = 6。
所以方程的解为x = 6。
2. 求解方程组：2x + y = 73x - 2y = 4解：可以使用消元法来求解这个方程组。
首先，将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 14。
然后将第二个方程与这个结果相加，得到7x = 18。
再将等式两边同时除以7，得到x = 18/7。
将x的值代入第一个方程，可以求得y的值为y = 7 - 2x = 7 - 2(18/7) = 7 - 36/7 = 7/7 - 36/7 = -29/7。
所以方程组的解为x = 18/7，y = -29/7。
3. 求解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解：可以使用因式分解法来求解这个二次方程。
首先，将方程化简，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，可以得到x - 2 = 0或者x - 3 = 0。
解这两个方程，可以得到x = 2或者x = 3。
所以方程的解为x = 2或者x = 3。
4. 求解三次方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
解：可以使用综合除法来求解这个三次方程。
首先，将方程按照降幂排列，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
然后，尝试将方程的第一项x^3除以x的最高次数x^3，得到商为1。
将这个商乘以方程的所有项，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 - (x^3 - 3x^2 + 2x - 4) = 0。
化简这个等式，可以得到0 = 0。
数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)
数学物理方程第二版答案第一章．颠簸方程§ 1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔嫩逐条而平均的弦线有一端固定，在它自己重力作用下，此线处于铅垂均衡地点，试导出此线的细小横振动方程。
解：如图 2，设弦长为l ，弦的线密度为，则 x 点处的张力 T ( x) 为T ( x)g(lx)且 T( x) 的方向老是沿着弦在 x 点处的切线方向。
仍以 u( x, t) 表示弦上各点在时辰 t 沿垂直于 x 轴方向的位移，取弦段 ( x, xx), 则弦段两头张力在 u 轴方向的投影分别为g(l x) sin ( x); g (l( xx)) sin (xx)此中 (x) 表示 T (x) 方向与 x 轴的夹角又sintgux.于是得运动方程x2u[l( xx)]u∣xxg [lx]u∣x gt 2xx利用微分中值定理，消去x ，再令 x0 得2ug[( l x) ut 2] 。
x x5. 考证u( x, y,t )t 21在锥 t 2 x 2 y 2 >0 中都知足颠簸方程x 2 y 22u2u2u证：函数 u( x, y,t )1在锥 t 2x 2 2内对变量 t 2x 2 y 2t 2 x 2y >0y 2x, y, t 有u3二阶连续偏导数。
且(t2x 2 y 2) 2 tt2u35(t2x2y 2) 23(t2x2y2) 2 t2t23(t 2x 2y 2) 2 (2t 2x2y 2)u3x2 y 2)2 x(t2x2u35t2x2y223 t2x2y22 x 2x25 t2x2y22 t22 x2y22 u5同理t2x2y22 t2x22y2y22 u 2u52u .所以t 2 x 2y 2 2 22x 2 y 2x2y2tt2即得所证。
§2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用流传波法，求解颠簸方程的特点问题（又称古尔沙问题）2ua 22ut 2x 2u x at 0(x) (0)(0)u x at( x).解： u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0得 ( x) =F （ 0） +G （ 2x ）令 x+at=0得( x) =F （2x ） +G(0)所以F(x)=( x) -G(0).2G （ x ） = ( x) -F(0).2且F （ 0） +G(0)= (0) (0).所以u(x,t)=(xat) + ( x at ) - (0).22即为古尔沙问题的解。
数理方程第二版课后习题答案
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1向量函数1.证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2.求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以3.证明。
证毕证：证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为，和在区间上可导。
所以，在区间上可导当且仅当数量函数，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中区间上处处有，从而证毕5.证明具有固定方向的充要条件是具有固定方向，则。
可表示为，。
，其中，于是因为，故，从而为某个数，则在区间上处处有，于是。
如果在证：必要性：设其中为某个数量函数，为单位常向量，于是，可设，令充分性：如果量函数，为单位向量，因为为常向量，于是，6.证明，即具有固定方向。
证毕平行于固定平面的充要条件是。
，对证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得和，从而，，和此式连续求导，依次可得。
充分性：设的结论知，，即共面，因此，其中，如果可表示为，根据第5题，其中具有固定方向，则为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以共线，又由其中，为法向量过原点的平面，则平行于。
如果可知，，，和共面，于是为数量函数，令，那么，则与不，，这说明与可共线，从而表示为，根据第5题的结论知，具有固定方向，则，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1.求圆柱螺线解：，点在点的切线与法平面的方程。
，于是当时，，对应于参数，于是切线的方程为：法平面的方程为2.求三次曲线解：于是切线的方程为：，当在点处的切线和法平面的方程。
时，，，法平面的方程为3.证明圆柱螺线证：，的切线和轴成固定角。
令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为轴的方向向量为，则证毕4.求悬链线解：从起计算的弧长。
数理方程第二版 课后习题答案教学教材
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社之令狐文艳创作
习题2令狐文艳2.1X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/65/36 1/9 1/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4)(1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4) 2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
数学物理方程答案(全)
化简之后，可以得到定解问题为
utt (Y / )uxx a2uxx u |x0 0,ux |xL 0
u
|t 0
0, ut
|t 0
I
(x
L)
5.高频传输线，原点端施以电动势 E，另一端接地，初始电流为(x) ，电压为 (x) 。
试建立电压的定解问题。（忽略电阻和介质的电导）
Q3 c 4 r2drdu
Q3 Q1 Q2
c 4 r2drdu kur (r dr,t)4 (r dr)2 dt kur (r,t)4 r2dt
4
k
r
(r
2ur
)drdt
即
ut
k c
1 r2
r
(r2ur )
3.设物体表面的绝对温度为 u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定 律正比于 u4 ，即 dQ ku4dSdt ，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传
习题 2.4 1.判断下列方程的类型 (1) auxx 4auxy auyy bux cuy u 0 4a2 a2 0 ,双曲型 (2) auxx 2auxy auyy bux cuy u 0 a2 a2 0 ,抛物型 (3) 2auxx 2auxy auyy 2bux 2auy u 0 a2 2a2 0 ,椭圆型 (4) uxx xuxy 0
ut
k c
ux
2k1 cr
(u
u1 )
0
2.导出匀质且在每一个同心球上等温的孤立球体的热传导方程。
S1
S2
r r+dr
解： dt 时间内通过 S1 流入壳层的能量 Q1 kur (r,t)4 r2dt dt 时间内通过 S2 流入壳层的能量 Q2 kur (r dr,t)4 (r dr)2 dt dt 时间内壳层升高 du 所需的能量
概率论与数理统计习题解答(第二版)李书刚编,科学出版社
概率论与数理统计习题解答〔第二版〕李书刚编，科学出版社概率论与数理统计习题参考答案〔仅供参考〕第一章第1页 (共79页)第一章随机事件及其概率1. 写出以下随机试验的样本空间：〔1〕同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；〔2〕在单位圆内任意一点，记录它的坐标；〔3〕10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；〔4〕测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下〔1〕S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} 〔2〕S= {(x, y)| x2+y20} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示以下事件：〔1〕A发生，B和C不发生；〔2〕A与B都发生，而C不发生；〔3〕A、B、C都发生；〔4〕A、B、C都不发生；〔5〕A、B、C不都发生；〔6〕A、B、C至少有一个发生；〔7〕A、B、C不多于一个发生；〔8〕A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下(1A)BC)BC (5A(7A)B(8A)B(2A)BC(6A)(3A)BC(4A)BCBACCACBCBC3．在某小学的学生中任选一名，假设事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运发动，那么〔1〕事件AB 表示什么？〔2〕在什么条件下ABC=C成立？〔3〕在什么条件下关系式C?B是正确的？〔4〕在什么条件下A?B成立？解所求的事件表示如下〔1〕事件AB表示该生是三年级男生，但不是运发动.概率论与数理统计习题参考答案〔仅供参考〕第一章第2页 (共79页) 〔2〕当全校运发动都是三年级男生时，ABC=C成立.〔3〕当全校运发动都是三年级学生时，关系式C?B是正确的.〔4〕当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A?B成立. 4．设P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求P(AB) 解由于 A?B = A – AB, P(A)=0.7 所以P(A?B) = P(A?AB) = P(A)??P(AB) = 0.3,所以 P(AB)=0.4, 故P(AB)= 1?0.4 = 0.6.485. 对事件A、B和C，P(A) = P(B)＝P(C)＝1 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)=1 求A、B、C中至少有一个发生的概率. 解由于ABC?AB,P(AB)?0,故P(ABC) = 0那么P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC)11115????0?0??0? 444886. 设盒中有α只红球和b只白球，现从中随机地取出两只球，试求以下事件的概率： A＝{两球颜色相同}， B＝{两球颜色不同}.解由题意，根本领件总数为Aa2?b，有利于A的事件数为Aa2?Ab2，有利于B 的事件数为111111AaAb?AbAa?2AaAb, 那么2Aa?Ab2P(A)?2Aa?b12AaAP(B)?2bAa?b17. 假设10件产品中有件正品，3件次品,〔1〕不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；〔2〕每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解〔1〕设A={取得三件次品} 那么33C3A316P(A)?3?或者P(A)?3?C10120A10720.〔2〕设B={取到三个次品}, 那么3327P(A)?3?101000.8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：〔1〕此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；〔2〕此人只会讲法语的概率.解设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语} 根据题意, 可得(1) P(ABC)?P(AB)?P(ABC)?32?9?23100100100 (2)P(ABC)?P(AB)?P(ABC)?P(A?B)?0?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，假设从中任取3颗，求：概率论与数理统计习题参考答案〔仅供参考〕第一章第3页 (共79页) 〔1〕取到的都是白子的概率；〔2〕取到两颗白子，一颗黑子的概率；〔3〕取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；〔4〕取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设A={取到的都是白子} 那么3C814P(A)?3??0.255.C1255(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}1C82C4P(B)?3?0.509.C12(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} P(C)?1?P(A)?0.745.(4) 设D={取到三颗子颜色相同}33C8?C4P(D)??0.273. 3C1210. 〔1〕500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？〔2〕6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？解(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 那么364500P(A)?1?P(A)?1??0.746 5003651C64?C12?112P(B)??0.0073 612 (2)设所求的概率为P(B)11. 将C，C，E，E，I，N，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE 的概率p. 解由于两个C，两个E共有A22A22种排法，而根本领件总数为A77，因此有12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率. 解要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有C54A={4只手套都不配对}，那么有C54?2480 P(A)?4?210C10?24中取法.22A2Ap?72?0.000794A7设13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i只零件是不合格的概率为pi?1 1?i，i=1，2，3，假设以x表示零件中合格品的个数，那么P(x=2)为多少？1 1?i解设Ai = {第i个零件不合格}，i=1,2,3, 那么P(Ai)?pi?所以P(Ai)?1?pi?i 1?iP(x?2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)由于零件制造相互独立，有：P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)，P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)概率论与数理统计习题参考答案〔仅供参考〕第一章第4页 (共79页) 14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，Bi ={第i次击中目标}, i=1,2.那么 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式P(B)?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B|A) ?P(A)P((B1?B2)|A)另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36 由加法公式P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此×0.84 = 0.58815. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.解设Ai ={一批产品中有i件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品}, C={产品中次品不超两件}, 由题意P(B|A0)?019C1C491P(B|A1)??10C50519C2C4816P(B|A2)??10C504919C3C4739P(B |A3)??10C509819C4C46988P(B|A1)??10C502303由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.196i?04由Bayes公式P(A0)P(B|A0)?0P(B)P(A1)P(B|A1)P(A1|B)??0.255P(B)P(A2)P(B|A2)P(A2|B)??0.333P(B)P(A0|B)?故P(C)??P(Ai|B)?0.588i?0216. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，概率论与数理统计习题参考答案〔仅供参考〕第一章第5页 (共79页) 0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少〔这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率〕.解设B={三件都是好的}，A1={损坏2%}, A2={损坏10%}, A1={损坏90%}，那么A1, A2, A3是两两互斥, 且A1+ A2 +A3=Ω, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15,P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13, 由全概率公式P(B)??P(Ai)P(B|Ai)i?13?0.8?0.983?0.15?0.903?0.05?0.103?0.8624由Bayes公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为P(Ai)P(B|Ai)0.8?0.983P(A1|B)???0.8731P(B)0.8624P(Ai)P(B|Ai)0.15?0.903 P(A2|B)???0.1268P(B)0.8624P(Ai)P(B|Ai)0.05?0.103P(A3|B)???0.0001P(B)0 .8624由于P( A1|B) 远大于P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料说明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；假设未发现残次品，那么通过验收，否那么要逐一检验并更换残次品，试求：〔1〕一次通过验收的概率α；〔2〕通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解设Hi={箱中实际有的次品数},P(A|H0)?1,4C235P(A|H1)?4?,C2464C2295P(A|H2)?4?C24138i?0,1,2, A={通过验收}那么 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：(1)由全概率公式??P(A)??P(Hi)P(A|Hi)?0.962i?0(2)由Bayes公式得??P(Hi|A)?P(H0)P(A|H0)0.8?1??0.83P(A)0.9618. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查说明，在任一时刻，每台设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻〔1〕恰有两台设备被使用的概率是多少？〔2〕至少有三台设备被使用的概率是多少？解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此此题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1?p=0.9, 故。
数学物理方程答案(全)
SY (ux (x dx,t) ux (x,t)) Sdxutt
utt
Y P
uxx
杆的一端固定，有 u(0,t) 0 ，另一端为自由端有 ux (x,l) 0
由于弦在出事时刻处于静止状态，即初速度为零，故 ut (0,t) 0
在 t 0 时刻，整个杆被纵向拉长 d ，则单位杆长的伸长量为 d ，故 x 点处的伸长 l
(3)特征方程为
4( dy )2 8( dy ) 3 0
dx
dx
解得
dy 3 和 dy 1 dx 2 dx 2
习题 2.2
1.一根半径为 r，密度为 ，比热为 c，热传导系数为 k 的匀质圆杆，如同截面
上的温度相同，其侧面与温度为 1 的介质发生热交换，且热交换的系数为 k1 。
试导出杆上温度 u 满足的方程。 解：
0
x
x+dx
取微元在 (x, x dx) 之间，在时间 t 内
x
从左右两截面流入的热量，有热传导方程可得
dT g dx 对上式进行积分,并且利用在 x 0 处的张力为T x0 gl 可求得 T (x) g(l x)
对于(2)式 sin2 tan2 ux (x dx,t) sin 1 tan 1 ux (x,t)
将上述结果代入(2)式得出
T (x dx,t)ux (x dx,t) T (x)ux (x,t) uttdx
2 x ux)
Y P
x
(x2
u x
)
1 x2
4.一根长为 L、截面面积为 1 的均匀细杆，其 x=0 端固定，以槌水平击其 x=L
端，使之获得冲量 I。试写出定解问题。
解：由 Newton 定律： SYux (x dx,t) YSux (x,t) Sdxutt ，其中，Y 为杨
高等数学教材第二版答案
高等数学教材第二版答案在高等数学教学过程中，教材是学生们学习的主要依据，而答案则是学生们在学习中所追求的。
本篇文章将给出《高等数学教材第二版》的答案，以满足学生们在学习过程中的需求。
第一章极限与连续1.1 初等函数的极限1.2 无穷小与无穷大1.3 极限运算法则1.4 一元函数的连续性1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性第二章一元函数微分学2.1 导数的概念与几何意义2.2 导数的计算方法2.3 高阶导数与莱布尼茨公式2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 函数的局部性质第三章一元函数积分学3.1 不定积分的定义与基本性质3.2 不定积分的计算3.3 定积分的定义与性质3.4 定积分的计算方法3.5 积分中值定理与换元积分法第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限4.2 偏导数的概念与计算4.3 隐函数的偏导数4.4 多元复合函数的偏导数4.5 方向导数与梯度4.6 多元函数的微分第五章多元函数积分学5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法5.3 三重积分的概念与性质5.4 三重积分的计算方法5.5 曲线与曲面积分第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程6.5 齐次线性微分方程第七章无穷级数7.1 数项级数的概念7.2 数项级数的收敛性7.3 幂级数与函数展开7.4 函数项级数的一致收敛性7.5 幂级数的和函数通过以上各章节的答案，学生们可以对高等数学教材第二版中的各个题目进行参考和对照，以检查自己的学习效果和理解程度。
同时，对于一些较难的问题，答案的给出也可以作为解题思路的参考，引导学生们加深对知识点的理解和应用。
值得注意的是，答案只是学习的辅助工具，学生们在学习过程中应注重理论的学习和问题的解决思路。
与学习过程相比，答案的提供仅是一个参考，对于理解掌握知识点并独立解决问题才是更为重要的。
希望本篇文章所提供的《高等数学教材第二版》答案能够帮助到广大学生，提升他们在高等数学学习中的自信与能力。
概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答
习题解答——第一章1－1解：（1）C AB ；（2）ABC ；（3）C B A ；（4）C AB C B A BC A ； （5）C B A ；（6）C B A C B A C B A C B A 。
1－2解：（C )。
1－31－4（1）31333131211132()1313169A A n P A n 创====；（2）37()1()169P A P A =-=。
1－5 解：（1）()()()()()0.450.100.080.030.30P ABC P A P AB P AC P ABC =--+=--+= （2）()()()0.100.030.07P ABC P AB P ABC =-=-=（4）∵,,ABC ABC ABC 为互不相容事件，参照（2）有 （5）（6）()1()10.900.10P A B C P A B C =-=-=。
1－6解：设321,,A A A 为（1）、（2）、（3）的事件，由题意知（1）25131()C P A ==；（2）24231()C P A ==；（3）1145331()C C P A ´== 1－7（（（5)(A P =（5)(A P =1－8解：这是一个几何概率问题，设折断点为 所包含的区域如图，故28()142A P A m L ===。
1－9解：设{},{},{}A AA B Aa C aa ===。
1－10解：设A ＝{活到20岁}；B ＝{活到25岁}，()0.8,()0.4P A P B ==显然,A B ABA B B ?=，由题意得()()(|)0.5()()P AB P B P B A P A P A === 1－11解：设i A ＝{第i 次取到次品}，1,2,3i =。
由题意得 1－12解：设i A ＝{第i 人译出密码}，1,2,3i =。
由题意得 1－131－0,1,,)n ，由题意1－1个1－1－A 0，A 1，A 23由全概率公式 由贝叶斯公式 1－18解：设21,A A 分别表示甲、乙击中目标，由题意知12,A A 相互独立。
数理方程习题解答
β,
α4
=
1 cosθ ，则 2
α
=
⎛ ⎜⎝
±
1, 2
1 sinθ sin β , 2
1 sinθ cos β , 2
1 2
cosθ
⎞ ⎟⎠
。
8
（3）设α
=
(α1,α2,α3 )
，则0
=
α
2 2
−
α
2 3
，取单位特征方向，α12
+
α
2 2
+
α
2 3
=1。
所以，α12
+
2α
2 2
= 1。记α1
=
cosθ , α2
问题 II：求u ∈ M = C1 (Ω) 使得它对于任意v ∈ M 都满足
∫ (∇u ⋅ ∇v + u ⋅ v − fv) dx + ∫ (a(x)uv − gv) ds = 0
Ω
∂Ω
问题 III (第三边值问题)：求u ∈ C 2 (Ω) ∩ C1 (Ω) 满足以下边值问题
⎧⎪−Δu + u = f
( ) uξη
+
1 2(ξ −η)
uξ − uη
=0
（5）由特征方程sin2 xdy2 − 2 y sin xdxdy + y2dx2 = 0 解得一簇特征线
ytg x = c ，做变换ξ = ytg x ,η = y ，则由链式法则原方程化为
2
2
uηη
− 2ξ ξ2 +η2
uξξ
=0
( ) ( ) （6）由特征方程 1 + x2 dy2 + 1 + y2 dx2 = 0 解得两簇共轭特征线
数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)
数学物理方程第二版答案第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为)()(x l g x T -=ρ且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。
仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ∆+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ∆+∆+--θρθρ其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角又 .sin x u tg ∂∂=≈θθ 于是得运动方程x ux x l tu x ∂∂∆+-=∂∂∆)]([22ρ∣x u x l g x x ∂∂--∆+][ρ∣g x ρ利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得])[(22x ux l x g t u ∂∂-∂∂=∂∂。
5. 验证 2221),,(y x t t y x u --=在锥222y x t -->0中都满足波动方程222222y u x u t u ∂∂+∂∂=∂∂证：函数2221),,(yx t t y x u --=在锥222y x t -->0内对变量t y x ,,有二阶连续偏导数。
且t y x t tu⋅---=∂∂-23222)(2252222322222)(3)(t y x t y x t tu⋅--+---=∂∂--)2()(22223222y x t y x t++⋅--=-x y x t xu⋅--=∂∂-23222)(()()22522223222223x y x t y xt xu ----+--=∂∂()()222252222y x t y x t -+--=-同理 ()()22225222222y x t y x t yu+---=∂∂-所以 ()().222222252222222t uyx ty x t yu xu ∂∂=++--=∂∂+∂∂-即得所证。
数理方程第二版 课后习题答案讲解学习
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_.doc
习题 2 参考答案X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/65/361/91/12 1/18 1/36解：根据P( Xk) 1 ，得aek1 ，即 ae 11。
k 0k 01 e 1故 a e 1解：用 X 表示甲在两次投篮中所投中的次数， X~B(2, 用 Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数 , Y~B(2, (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=0 0 1 1 2 2C 20.700.32C 20.400.62C 20.710.31C 20.410.61C 20.720.30C 2 0.420.60 0.3124(2) 甲比乙投中的次数多P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=122 1C 20.710.31C 20.400.62 C 20.72 0.30 C 2 0.400.62 C 2 0.720.30 C 20.410.610.5628解 : （ 1） P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=1 2 3 21515 1551 2 1 (2)P{<X<}=P{X=1}+ P{X=2}=15 15511111[1 ( 1)k]1解：（ 1）P{X=2,4,6, }=L =lim 44 242 62k3222k1 141 1 1（ 2） P{X≥3}=1 ―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}= 12 4 4解：设 A i表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2P{ X 0} P{ A1A2 A3 A4}P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1 A2)P( A4 | A1A2 A3) =18 17 16 15 1220 19 18 17 19P{ X 1} P{ A1 A2 A3 A4 } P{ A1A2 A3 A4} P{ A1 A2 A3 A4} P{ A1 A2 A3A4}2 18 17 16 18 2 17 16 18 18 2 16 18 17 16 2 3220 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 95P{ X 2} 1 P{X 0} P{ X 1}12 32 3 195 9519解： (1) 设 X 表示 4 次独立试验中 A 发生的次数，则 X~B(4,3 4P( X 3) P( X 3) P( X 4) C4 0.430.61 C40.440.60 0.1792(2)设 Y 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~B(5,30.43 0.62 4 50.450.60P( X 3) P(X 3) P( X 4) P(X 5) C5 C50.440.61 C5 0.31744 （1）X～P( λ)=P×3)= PP{X 0} 1.50 e 1.5 =e 1.50!（2）X～P( λ)=P×4)= P(2)P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 20e2 21e2 1 3e 20! 1!解：设应配备名设备维修人员。
(整理)数理方程第二版课后习题答案
第一章曲线论§ 1向量函数1 .证明本节命题3、命题5中未加证明的结论略2 .求证常向量的微商等于零向量。
证：设31,回为常向量，因为r(t4- At) -r(t) c-c 11m = lim = 0it —AtAt —At所以E33 .证明⑹ p 2(t)则此向量在该区间上是常向量 证：设［=«r)=)⑴ 返 ［回 回1为定义在区间口上的向量函数，因为 回在区间口上可导当且仅当数量函数 晅］,EH3和EH3在区间 口上可导。
所 以，।° I ,根据数量函数的Lagrange 中值定理，有证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,x(t) - X(t o ) 4- %)y(t) =y(S)+ y r (日”(t -力式 t) = z(M)+ /(%)《一其中 51,囹，因介于口与口之间。
从而* =3(口 =比⑷ y(t) 4 t)} =+ £(%)(「-1) y(j) + 4(%)«-咐 《%) +={刀(珀 “幻)+ X(sp 4电)/(%)}("明=『口 +年一%)上式为向量函数的 0阶 Taylor 公式，其中 :—卜("'_‘(")_一 ⑻):。
如果在 区间口上处处有F ⑴=口⑷ *)曰!,则在区间口上处处有适三从而F = (，©) y'(%) ，(1)] = o]于是E3。
证毕5 .证明左逗1具有固定方向的充要条件是F 黑亍二°1证：必要性：设F=1a)l 具有固定方向,则F =直力1可表示为F =, 其中四为某个数量函数，目为单位常向量，于是f"=。
⑴P 住"X" Q] 充分性：如果区三可，可设[_叫,令巨运三叵画,其中四为某个 数量函数，回为单位向量，因为F=p 岸前⑴+。
("'⑴]于是r x ? = O-*p(t)2(t) x [p'(t)?(t) + p(t)e (t) - O^*p 2(f)[e(t) x e (t) - 0 因为回，故国亘1,从而F⑷x.(t)=。
数理方程习题答案
习题6.21. 解：这是Laplace 方程的Robin 问题，直接调用公式，得⎰⎰⎰⎰∂∂-=∂∂-=sMM sMM MMds r n ds r n M M r M u )1(41)]1()()(1[41)(00πϕψπ2. 解：011111()()()()441111()()44S V S V u M M M dS f M dV r n r r M dS M dV n r r ψϕππϕδππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题6.31. 证明：设u1与u2是定解问题(,,),(,,)(,,)SSu f x y z x y z V u x y z ϕ∆=∈⎧⎪⎨=⎪⎩的两个解。
令v=u1-u2,则： 120()S Sv v u u ∆=⎧⎪⎨=-≡⎪⎩由调和函数性质知：在VS 上： 1212()0SSV V vu u u u =-≡⇒=得证解的唯一性。
设在边界S 上给出两个函数f1与f2,且： 12f f ε-< 泊松方程的狄氏问题对应于f1与f2的解设为u1与u2，即：111(,,),(,,)SSu f x y z x y z V u f ∆=∈⎧⎪⎨=⎪⎩222(,,),(,,)SSu f x y z x y z V u f ∆=∈⎧⎪⎨=⎪⎩ 令：12v u u =-， 那么：120,(,,)SS v x y z V v f f ∆=∈⎧⎪⎨=-⎪⎩由调和函数极值原理，v 在VS 上的极值只能在S 上取得，所以 12u u ε-< 得证解的稳定性。
习题6.41.（2）证明：10441)41(),(220-=+⋅-=∂-∂=∂∂⎰⎰⎰⎰r rdS n v r dS n M M G ss πππ 其中v v ,02=∇是调和函数，所以0d =∂∂⎰⎰S nvS。
得证。
习题6.51. 求区域上的格林函数（1） 解：格林函数满足的定解问题为：200,()()(1)0(2),0(3)RG M M G G ρϕπδ==∆=--⎧⎪⎨==⎪⎩设想在000(,)M ρϕ放置电量为ε0的电荷(1) 对于 0,ϕπ=在000(,)M ρϕ'-放置电量为-ε0的电荷，则能够使边界条件(3)满足，但不能使(2)满足。
数理方程课后习题(带答案)
第2章习题选讲
nn2
n2,n1,2,3,
l
n
Xn
Bn
sin l
x
Ta2T0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
A nB nea2n l2 22tsinn l xC nea2n l2 22tsinn l x
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
a2n22
t
u un Cne l2
0 x l,t 0
t 0 0 x l
对于（II）用分离变量法可得
W
Ce
na22l22
n
n1
t
sinn l
x
代入初始条件可得
T
Cn
n1
sin
n
l
x
由此可得
C n2 l 0 lTsinn lxd xn 2 T[1 ( 1 )n]
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
对于（I）可用固有函数法
令Ae-x
v(x,t)
vea2nl222t n
n1
sinnx
l
其 中 v n2 l 0 l[g (x) w (x)]sinn lxd x
原 问 题 得 解 为 u ( x ,t) v ( x ,t) w ( x )
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2第12题： 求下列定解问题：
u(x20u2,y)y2u2u(l10,,y)0,
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2 第1题
设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为 零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
解：5. 求抛物线对应于的一段的弧长。
解：6. 求星形线，的全弧长。
解：7. 求旋轮线，对应于一段的弧长。
解：8. 求圆柱螺线从它与平面的交点到任意点的弧长。
解：圆柱螺线与平面的交点为，交点对应的参数为，而，9. 求曲线，在平面与平面之间的弧长。
解：取为曲线参数，曲线的向量参数方程为：平面对应于参数，平面对应于参数，10. 将圆柱螺线化为自然参数表示。
解：，因为自然参数11. 求极坐标方程给定的曲线的弧长表达式。
解：极坐标方程给定的曲线的方程可化为向量参数形式：§3 空间曲线1. 求圆柱螺线在任意点的密切平面的方程。
解：密切平面的方程为即2. 求曲线在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线、副法线的方程。
解：原点对应于参数,于是在处，密切平面的方程为副法线的方程为法平面的方程为：切线的方程为从切平面的方程为主法线的方程为3. 证明圆柱螺线的主法线和轴垂直相交。
证：一方面，主法线的方程为另一方面，过圆柱螺线上任意一点作平面π与轴垂直，π的方程为，π与轴的交点为，过与的直线显然与轴垂直相交，而其方程为这正是主法线的方程，故主法线和轴垂直相交。
证毕4．在曲线的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解：令，则曲线的方程可表示为：设的副法线向量为，则有根据题意，新曲线的方程可表示为}将代入上式，整理后，得于是新曲线的密切平面为：即：5. 证明球面曲线的法平面通过球的中心。
证：设曲线为球心在原点，半径为的球面上的曲线,其中为自然参数。
曲线(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。
则有上式两边关于求导，得设为法平面上的点的向径，则曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为根据(2)式 满足方程(3)，故法平面过原点。
证毕6. 证明过原点平行于圆柱螺线的副法线的直线的轨迹是锥面。
证：设过原点且与平行的直线上的点为,则直线的方程为化为参数方程，得则有这说明直线上的点都在锥面上。
证毕7. 求下列曲线的曲率和挠率。
，解: 对于曲线(1)对于曲线(2)8. 给定曲线，求（1）基本单位向量，，；（2）曲率和挠率；（3）验证伏雷内公式。
解: 对于给定曲线，有其中，根据(5)(6)(8)式可得，根据(6)(9)(10)式，可得，又根据(6)式，得另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得从而，。
9. 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。
证1：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。
(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。
因为(C)在P点处的切线都经过一定点Q（Q点的向径设为），所以与共线，进而有(1)上式两端关于求导并利用Frenet 公式，得：(2)(2)式中的为(C )在P 点处的曲率。
又(2)式中，这是因为如果，则同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。
从而根据(2)式有，即(C )是直线。
证毕证2：设曲线的方程为)(t r r =，因为曲线上任一点的切线经过一定点0r ，则0-与'共线，但'0')(r r r -=，于是0-与'0)(-共线，从而)(0-⨯'0)(-=0,由此可知0-具有固定的方向，即0-与一个常向量平行，于是0-=p λ,或p r r λ+=0，这说明曲线上的点都在以p 为方向向量，过点0r 的直线上，所以曲线为直线。
证毕10. 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。
证：设曲线(C )的向量参数方程为：，其中为自然参数。
曲线(C )上任意一点P （P 点的向径为）处的基本向量为，，。
因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），即 ，而即(C )上任何点的曲率。
设(C)在P点处的密切平面都经过一个定点Q （Q点的向径设为），则为(C)在P点处的密切平面上的一个向量，从而有(1)(1) 式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(2)(2)式中的为(C)在P点处的挠率。
由(2)式可知，或者但，因为如果结合(1)式,可知与共线，于是(3)(3)式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(4)(4)式中的为(C)在P点处的曲率。
因为，所以，结合(3)知同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。
这个矛盾说明，于是由(2)式可知，只能，曲线(C) 是平面曲线。
证毕11. 证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量，则此曲线是平面曲线。
证1：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。
(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。
因为(C)在P点处的法平面都包含常向量，则有(1)注意到，(1)式两端关于从到求积分，得：(2)（2）式说明曲线(C)在以常向量为法向量且过点的平面上。
证毕证2：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。
(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。
因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），即，而即(C)上任何点的曲率。
因为(C)在P点处的法平面都包含常向量，则(1)上式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(2)因为，所以(3) ，结合(1)式可知与共线，从而(4)(4)式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(5)(5)式中，否则，根据(3)式，和将同时成立，即既与平行，又与垂直，这是矛盾。
于是只能是，所以曲线(C) 是平面曲线。
证毕12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。
证：设曲率为常数的空间曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。
(C)上任意一点P处的基本向量为，，，曲率半径为，又设(C)的曲率中心的轨迹为，的曲率记为，根据题意，的方程为(1)式两边关于求导，得(4)式说明的曲率也是常数且。
证毕13. 证明曲线(C)：为平面曲线，并求出它所在平面的方程。
解：由上式可知，(C)为平面曲线。
令，则有(C)所在平面的方程为。
14. 设在两条曲线和的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行。
证：设曲线的方程为，，其中为的自然参数，曲线的方程为，，其中为曲线的自然参数。
因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，，和为曲线在点处的基本向量，，，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和。
如果两条曲线总保持在对应点与处的切线平行，则有，其中(2)式两边关于求导，得从而，(4)式说明和在对应点与处的主法线平行。
又因为，由(2)式和(4)式，得(5) 式说明和在对应点与处的副法线平行。
证毕15. 设在两条曲线和的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线总是相互平行，证明它们在对应点的切线成固定角。
证：设曲线的方程为，，其中为的自然参数，曲线的方程为，，其中为曲线的自然参数。
因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，，和为曲线在点处的基本向量，，，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，如果两条曲线总保持在对应点与处的主法线平行，则有，其中根据(2)式，可得设与之间的夹角为，则根据(3)式，(4)式说明和在对应点与处的切线成固定角。
证毕16. 如果曲线的主法线是曲线的副法线，的曲率和挠率分别为和，求证其中是常数。
证：设曲线的方程为，，其中为的自然参数，曲线的方程为，，其中为曲线的自然参数。
因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，，和为曲线在点处的基本向量，，，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和。
如果曲线的主法线是曲线的副法线，依题意，有下面两式成立：，其中。
(3)式两边关于求导，得整理(4)式，可得利用(2)式，在(5)式两边与作内积，得(6)式中由于故，从而为常数，(5)式化为(7)式两边关于求导，得因为，上式两边同时与作内积，得根据(7)式，(9)式等价于即从而，。
证毕17. 曲线在哪些点的曲率半径最大？解：解: 对于给定曲线，有其中，根据(7)式，当，时，最大。