矩形、正方形和菱形的判定方法

P

F

E

B

A C

D

Q

一、考点分析：

矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重要的考点。

二、教学目标：

1． 掌握矩形、正方形和菱形的判定方法

三、教学内容 正方形巩固练习

例题1 如图,正方形ABCD 的边长为12,点E 是BC 上的一点,BE=5,点F 是BD

上一动点.（1）AF 与FC 相等吗?试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ，试求y 的最小值,并说明点F 此时的位置. 【解】（1）AF 与FC 相等,其理由如下： 可证：△ABF ≌△CBF ，∴AF=CF

（2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,最小值为2212513+=.

例题2 如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F 小红同学发现：PD ⊥EF ，且PD=EF ，且矩形PEBF 的周长不变．不知小红的发现是否正确，请说说你的看法． 【解】小红的发现是正确，其理由如下： 连接BP,延长DP 交EF 于Q. （1）∵四边形ABCD 是正方形 ∴CB=CD,∠BCP=∠DCP=45° ∴△BCP ≌△DCP ，∴PD=PB 又∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，

∴∠BEP=∠BFP=∠EBF=90°，∴四边形BEPF 是矩形

A

B C D 第28题图 F

E

∴PB=EF,∴PD=EF

（2）∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，∴△AEP 和△CFP 均为等腰直角三角形 ∴AE=PE,CF=PF

∴矩形PEBF 的周长=AB+BC=2AB （为定值） （3）∵PF ∥CD ，∴∠FPQ=∠PDC ∵△BCP ≌△DCP ，∴∠PDC=∠PBF ∵四边形PEBF 是矩形,∴∠PBF=∠PEF ∴∠PEF=∠FPQ

又∵∠PEF+∠PFE=90°，∴∠FPQ+∠PFE=90° ∴∠PQF=90°，∴PD ⊥EF.

【另证】延长EP 交CD 于点R,则CFPR 为正方形

∴可证△PEF ≌△RDF ∴∠PEF=∠PDR 又∵∠DPR=∠EPQ

而∠PDR+∠DPR=90°，∴∠PEF+∠EPQ=90° ∴∠EQP=90°，∴PD ⊥EF.

课堂练习1 如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =

（1）如图2，延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点，试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；

（2）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

梯形

图1

A

D

C

B

E 图2

B

C

E D

A

F P F

回顾梯形性质及判断定理

梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．

（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．

底：平行的一组对边叫做梯形的底.（较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）

腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰.

高：两底间的距离叫做梯形的高.

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

结论：

①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．

②等腰梯形同一底上的两个角相等．

③等腰梯形的两条对角线相等．

解决梯形问题常用的方法：

（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形；

（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中

（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中

（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形

（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．

图1 图2 图3 图4 图5 综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．

例1．如图，梯形ABC D中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD的长．

分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．

解（略）．

例2 （补充）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB ＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝C D．

分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则

DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．证明（略）

另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．

例3：如图 4.9-4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm,求CD的长.

练习1已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.

练习2 已知：如图4.9-5，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥

CE，求证：AD+BC=DC.

练习3：

1、填空

（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= .

（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和 .

（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= .

4，（1）求梯形2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，A B＝3