矩形、正方形和菱形的判定方法
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
初中数学几何的5大考点矩形、菱形、正方形的判定题型
初中数学几何的5大考点矩形、菱形、正方形的判定题型
1.矩形的判定
①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有三个角是直角的四边形是矩形；
④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
2.菱形的判定方法
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③四条边都相等四边形是菱形；
④对角线垂直平分的四边形是菱形。
3.正方形的判定
①菱形+矩形的一条特征；
②菱形+矩形的一条特征；
③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。
说明一个四边形是正方形的一般思路是：先判断它是矩形，在判断这个矩形也是菱形；或先判断它是菱形，再判断这个菱形也是矩形。
例1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，并交于点E，连续EC、AD。
求证：四边形ADCE是矩形。
例2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF//AB.
求证：AD与EF互相垂直平分。
例3.已知如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。
求证：四边形CDEF是菱形。
矩形、菱形、正方形课件
(3)菱形、矩形与正方形的联系：正方形的判定可简记为：菱形＋矩形 ＝正方形，其证明思路有两个：①先证四边形是菱形，再证明它有 一个角是直角或对角线相等(即矩形)；②先证四边形是矩形，再证 明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).
2
诊断自测
1.(2016·益阳)下列判断错误的是( D ) A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.四个内角都相等的四边形是矩形 C.四条边都相等的四边形是菱形 D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 解析 两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形才是正方形.
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5.(2016·聊城)如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的
点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( A )
A.115°
B.120°
C.130°
D.140°
解析 ∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A
落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，
D.邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有.
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4.(2015·梧州)如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝1，延长AD到点E， 使DE＝AD，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AC、CE、EF、AF，则 下列描述正确的是( B ) A.四边形 ACEF 是平行四边形，它的周长是 4 B.四边形 ACEF 是矩形，它的周长是 2＋2 3 C.四边形 ACEF 是平行四边形，它的周长是 4 3 D.四边形 ACEF 是矩形，它的周长是 4＋4 3
∴AC＝ 32＋42＝5，故①②④正确，③不正确.
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3.(2016·无锡)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )
A.对角线相等
第22讲 菱形、矩形、正方形
一半.
菱形的性质和判别
◆中考指数:★★☆☆☆
1.菱形的性质： (1)菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将 菱形的问题转化为直角三角形去解决. (2)有一个内角为60°(或120°)的菱形，连结对角线可构成 等边三角形，可将菱形问题转化到等边三角形中去解决. (3)巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问题. 2.菱形的判别的两个思路： (1)若四边形为(或可证明为)平行四边形，则再证一组邻边 相等或对角线互相垂直. (2)若相等的边较多(或容易证出)时，可证四条边相等.
形的对角线相等且互相平分．
6.(2012·盐城中考)如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC. 在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再
加上的一个条件是_______.(填上你认为正确的一个答案即可)
【解析】由题知四边形ABCD为平行四边形，再根据有一角为 90°的平行四边形为矩形可得结论. 答案：∠A=90°(或∠A=∠B或∠A+∠C=180°，答案不惟一)
1.(2012·长沙中考)如图，菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC且交 BC于E，AD=6 cm,则OE的长为( (A)6 cm (C)3 cm (B)4 cm (D)2 cm )
【解析】选C.由于四边形ABCD为菱形， 所以AD=AB=6 cm, OC 1 .
AC 2 由于OE∥AB，所以 OC OE ， AC AB
知 识 点 睛
特 别 提 醒
当已知中出现对角线的相关条件时，常用“对角线相等且
互相垂直平分的四边形是正方形”来证.
【例3】(2012·黄冈中考)如图，在 正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF， 连结DF,AE，AE的延长线交DF于点M. 求证:AM⊥DF. 【思路点拨】正方形的性质→△AOE≌△DOF→
菱形、矩形、正方形
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
解：∵ ∴∠BAC＝600 又∵ AB ＝B C ∴ △ BAC是等边三角形 B ∴ AC ＝ 4cm ∴B O ＝ 2 √ 3 ∴B D ＝ 4√ 3 1 S AC BD＝ 8√ 3 2
∠BAD＝1200
D O C
变式：已知菱形ABCD中，E是BC的中点，且 AE⊥BC，AB＝4．
求：⑴∠ABC的度数 ⑵对角线AC的长
∴ ∠AOB=Rt∠， ∴AC⊥BD.
B
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形.
例题解析：
例3、已知: ABCD的对角线AC的垂直平分线 与边AD 、BC分别交于E、F E A 求证：四边形AFCE是菱形。
O
D
分析: （1）利用定义判定 （2） 由已知可知
B
OA=OC,EF⊥AC.
X X X
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形；
例2、谁正确？ 一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。一 天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四 边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人 都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。 甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角， 发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形” 乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线， 发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩 形”。 根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“2．熟练掌握性质”表示平行四边形，例如：平行四边形 ABCD 记作ABCD，读作“平行四边形 ABCD”．平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S =底⨯高 =a h；3．平行四边形的判别方法②平行四边形的对角线将四边形分成 4 个面积相等的三角形．①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；③对角线：对角线互相平分且相等；（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2 条）．②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为 450；④对称性：轴对称图形（4 条）．④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2 条）．（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；②角：同一底边上的两个角相等；对角互补③对角线：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；④有一个角是直角的菱形③对角线互相垂直的矩形．⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的任意一个角为直角．②先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的对角线相等．③说明四边形 ABCD 的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的任一组邻边相等．②先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③说明四边形 ABCD 的四条相等．（3）识别正方形的常用方法①先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．②先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．③先说明四边形 ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④先说明四边形 ABCD 为菱形，再说明菱形 ABCD 的一个角为直角．（4）识别等腰梯形的常用方法①先说明四边形 ABCD 为梯形，再说明两腰相等．②先说明四边形 ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．③先说明四边形 ABCD 为梯形，再说明对角线相等．5．几种特殊四边形的面积问题①设矩形 ABCD 的两邻边长分别为 a,b，则 S 矩形=ab．1②设菱形 ABCD 的一边长为 a，高为 h，则 S 菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为 a,b，则 S 菱形= ab．21③设正方形 ABCD 的一边长为 a，则 S 正方形= a 2 ；若正方形的对角线的长为 a，则 S 正方形= a2 ．21④设梯形 ABCD 的上底为 a，下底为 b，高为 h，则 S 梯形= (a b)h ．2平行四边形矩形菱形正方形图形1．对边1．对边且1．对边且四条边都2．对角1．对边且四条边都2．对角且；；；；2．对角邻角；；2．对角；且四个角都是；3．对角线且四个角都是；性质3．对角线且每3．对角线；3．对角线条对角线且每条对角；；；线面积。
矩形、正方形和菱形的判定方法
FC D 一、考点分析：矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重要的考点。
二、教学目标：1． 掌握矩形、正方形和菱形的判定方法三、教学内容正方形巩固练习例题1 如图,正方形ABCD 的边长为12,点E 是BC 上的一点,BE=5,点F 是BD 上一动点.（1）AF 与FC 相等吗?试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ，试求y 的最小值,并说明点F 此时的位置.【解】（1）AF 与FC 相等,其理由如下：可证：△ABF ≌△CBF ，∴AF=CF（2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,13=.例题2 如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F 小红同学发现：PD ⊥EF ，且PD=EF ，且矩形PEBF 的周长不变．不知小红的发现是否正确，请说说你的看法．【解】小红的发现是正确，其理由如下：连接BP,延长DP 交EF 于Q.（1）∵四边形ABCD 是正方形∴CB=CD,∠BCP=∠DCP=45°∴△BCP ≌△DCP ，∴PD=PB又∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ， ∴∠BEP=∠BFP=∠EBF=90°，∴四边形BEPF 是矩形∴PB=EF,∴PD=EF（2）∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，∴△AEP 和△CFP 均为等腰直角三角形∴AE=PE,CF=PF∴矩形PEBF 的周长=AB+BC=2AB （为定值）（3）∵PF ∥CD ，∴∠FPQ=∠PDC∵△BCP ≌△DCP ，∴∠PDC=∠PBF A B C D 第28题图 FE∵四边形PEBF 是矩形,∴∠PBF=∠PEF∴∠PEF=∠FPQ又∵∠PEF+∠PFE=90°，∴∠FPQ+∠PFE=90°∴∠PQF=90°，∴PD ⊥EF.【另证】延长EP 交CD 于点R,则CFPR 为正方形∴可证△PEF ≌△RDF∴∠PEF=∠PDR又∵∠DPR=∠EPQ而∠PDR+∠DPR=90°，∴∠PEF+∠EPQ=90°∴∠EQP=90°，∴PD ⊥EF.课堂练习1 如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =（1）如图2，延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点，试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（2）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．梯形回顾梯形性质及判断定理 梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． （1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．底：平行的一组对边叫做梯形的底.（较短的底叫做上底，较长的底叫做下 底）腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰.高：两底间的距离叫做梯形的高.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．结论：①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．②等腰梯形同一底上的两个角相等．③等腰梯形的两条对角线相等．解决梯形问题常用的方法：图1A D CB E 图2 BC ED A F P F（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5 综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．例1．如图，梯形ABC D中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD的长．分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．解（略）．例2 （补充）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB ＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝C D．分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．证明（略）另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．例3：如图 4.9-4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm,求CD的长.练习1已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.练习2 已知：如图4.9-5，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC.练习3：1、填空（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= .（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和 .（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= .4，（1）求梯形2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，A B＝3的各角.（2）求梯形的面积.3、（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，A B∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8）课堂小结1、梯形的定义及分类2、等腰梯形的性质：（1）具有一般梯形的性质：AD∥BC.（2）两腰相等：AB=CD.（3）两底角相等：∠B=∠C，∠A=∠D.（4）是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线.（5）两条对角线相等：AC=BD.两条对角线的交点在对称轴上.两腰延长线的交点在对称轴上.等腰梯形的判断例2（补充）证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC ．∵ AC=BD ，∴ DE=BD ∴∠1=∠E∵∠2=∠E ，∴∠1=∠2又 AC=DB，BC=CE，∴ΔABC≌ΔDCB．∴ AB=CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．例3（补充）已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD 于G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．分析：先证明OE＝OG，从而说明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，由AE，BG延长交于O，显然EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形．例4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成AECD的画图．画法：①画ΔABE，使BE=12—4=8cm．.②延长BE到C使EC=4cm.③分别过A、C作AD∥BC ，CD∥AE，AD、CD交于点D．四边形ABCD就是所求的等腰梯形．解：梯形ABCD周长＝4＋12＋5×2＝26cm ．cm．答：梯形周长为26cm，面积为242例5：.如图4.9-4，已知等腰梯形ABCD的腰长为5cm，上、下底长分别是6cm和12cm，求梯形的面积. （方法一，过点C作CE∥AD，再作等腰三角形BCE的高CF，可知CF=4cm.然后用梯形面积公式求解；方法二，过点C和D分别作高CF、DG，可知，从而在Rt△AGD中求出高DG=4cm. ）课后练习1、填空（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= .（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和 .（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= .4，（1）求梯形2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，A B＝3的各角.（2）求梯形的面积.3、（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，A B∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8）。
菱形矩形正方形的判定
问题：
判断矩形、菱形、正方形有 什么作用？
Байду номын сангаас
1、一组对边相等的四边形是平行四边形. 2、有两个角是直角的四边形是矩形.
3、有一个角是直角的菱形是正方形.
4、有一个角是60º 的平行四边形是菱形.
5、有两边相等的矩形是菱形.
6、有一组邻边相等的四边形是菱形. 7、两条对角线相等的四边形是矩形. 8、两条对角线相等的平行四边形是正方形. 9、有三个角相等的四边形是正方形.
的四边形是矩形. 的四边形是矩形.
菱形的判定 一、平行四边形 1、 2、 菱形 的平行四边形是菱形. 的平行四边形是菱形.
二、四边形
1、 2、
菱形
的四边形是菱形. 的四边形是菱形.
正方形的判定
一、矩形 二、菱形
三、平行四边形 四、四边形
正方形 正方形
正方形 正方形
特殊四边形的判定应注意层次
判断
特殊四边形的判定
正方形
矩形
菱形
平行四边形
四边形
一般到特殊的演变
矩形
有一个角 是直角
有一组 邻边相等
平行四边形
有一个角是直角 且有一组邻边相等 正方形
有一组 邻边相等
菱形
有一个 角是直角
矩形的判定 一、平行四边形 1、 2、 矩形 的平行四边形是矩形. 的平行四边形是矩形.
二、四边形
1、 2、
矩形
判断
10、一条对角线平分另一条对角线的四边形是 平行四边形.
11、两条对角线互相垂直的四边形是菱形.
12、一组对边平行、一组对角相等的四边形是 平行四边形. 13、有两条边相等的平行四边形是菱形. 14、一组对角的两边分别垂直的四边形是 平行四边形. 15、一组邻边相等、另一组邻边也相等的四边形 是菱形.
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明
矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理及其证明一、知识概述1、矩形的性质定理定理1：矩形的四个角都是直角．说明：(1)矩形具有平行四边形的一切性质．(2)矩形的这一特性可用来证明两条线段互相垂直．定理2：矩形的对角线相等．说明：矩形的这一特性可用来证明两条线段相等．推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．说明：与中位线定理及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半一样，这一推论可用来证明线段之间的倍数关系．2、矩形的判定定理定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．3、菱形的性质定理定理：菱形的四条边都相等．说明：(1)菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有它特殊的性质．(2)利用该特性可以证明线段相等．定理2：菱形的对角线互相垂直．并且每条对角线平分一组对角．说明：根据菱形的特性可知，其对角线将它分成四个全等的直角三角形，再由直角三角形的相关性质，证明线段或角的关系，这样就将四边形问题转化为三角形问题来处理．4、菱形的判定定理定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理2：四条边都相等的四边形是菱形．说明：菱形的两个判定定理起点不同，一个是平行四边形，一个是四边形，判定时的条件不同，一个是对角线互相垂直，一个是四条边都相等．5、正方形的性质普通性质：正方形有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．特有性质：(1)边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角．说明：正方形这些性质根据定义可直接得出．特殊性质——正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．6、正方形的判定(1)判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等；②先证它是菱形，再证有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序；①先证明是平行四边形；②再证有一组邻边相等(有一个角是直角)；③最后证明有一个角是直角(有一组邻边相等)．说明：证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件．二、重难点知识归纳1、特殊的平行四边形知识结构三、典型例题讲解例1、如图所示，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，求证四边形PMQN为矩形．错解：连接MN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC．又∵M，N分别为AD，BC的中点，∴AM BN．∴四边形AMNB是平行四边形．又∵AB=AD，∴AB=AM，∴口AMNB是菱形．∴AN⊥BM，∴∠MPN=90°．同理∠MQN=90°，∴四边形PMQN为矩形．分析：错在由∠MPN=∠MQN=90°，就证得四边形PMQN是矩形这一步，还需证一个角是直角或证四边形PMQN是平行四边形，证四边形PMQN是平行四边形这种方法比较好．正解：连接MN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC．又∵DM=AD，BN=BC(线段中点定义)，∴四边形BNDM为平行四边形．∴BM DN，同理AN MC．∴四边形PMQN是平行四边形．∵AM BN，∴四边形ABNM是平行四边形．又∵AD=2AB，AD=2AM，∴AB=AM，∴四边形ABNM是菱形．∴AN⊥BM，即∠MPN=90°，∴四边形PMQN是矩形．例2、如图所示，4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD四个顶点同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．(1)试判断四边形PQEF的形状，并证明；(2)PE是否总过某一定点?并说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少?分析：(1)猜想四边形PQEF为正方形，先证它为菱形，再证有一直角即可；(2)此问是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即AP CE，四边形APCE为平行四边形，易知PE与AC平分于点O；(3)此问中显然当点P，Q，E，F分别运动至与正方形ABCD各顶点重合时面积最大，分析最小值时的情形可根据S正=PE2，而PE最小时是PE⊥AB，此时PE=BC．解：(1)四边形PQEF为正方形，证明如下：在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，∴BP=QC=ED=FA．又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，∴∠FPQ=90°．∴四边形PQEF为正方形．(2)连接AC交PE于点O．∵AP EC，∴四边形APCE为平行四边形．又∵O为对角线AC的中点，∴对角线PE总过AC的中点．(3)当P运动至与B重合时，四边形PQEF面积最大，等于原正方形面积，当PE⊥AB时，四边形PQEF的面积最小，等于原正方形面积的一半．小结：探索动态问题，解答的关键是抓住它不动的一瞬间和运动中的不变量，即动中求静，这类题目是中考的热点考题．例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF//AB，交直线DE于F，设CD=x．(1)当x取何值时，四边形EACF是菱形?请说明理由；(2)当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？分析：本题考查菱形的判定、解直角三角形等知识的综合运用，有一定的探究性．解：(1)∵∠ACB=90°∴AC⊥BC．又∵DE⊥BC，∴EF//AC．∵AE//CF，∴四边形EACF是平行四边形．当CF=AC时，四边形ACFE是菱形．此时CF=AC=2，BD=3－x，tan B=，∴ED=BD·tan B=(3－x)．∴DF=EF－ED=2－(3－x)=x．在Rt△CDF中，CD2＋DF2=CF2，∴x2＋(x)2=22，∴(负值不合题意，舍去)．即当时，四边形ACFE是菱形．(2)由已知条件可知四边形EACD是直角梯形，例4、如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．(1)求证四边形MENF是菱形；(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．分析：由题中条件根据三角形中位线的性质可证明四边形MENF的四边相等．当四边形MENF是正方形时，则有NE⊥MB，NF⊥MC，所以需连接MN(梯形的高)进行探究．证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠A=∠D．∵M为AD中点，∴AM=DM，∴△ABM≌△DCM，∴BM=CM．∵E，F，N分别为MB，MC，BC的中点，∴EN=MC，FN=MB，ME=MB，MF=MC，∴EN=FN=MF=ME，∴四边形ENFM是菱形．解：(2)结论：等腰梯形ABCD的高等于底边BC的一半．理由如下：连接MN，∵BM=CM．BN=CN，∴MN⊥BC．∵AD//BC，∴MN⊥AD，即MN为梯形ABCD的高，又∵四边形MENF是正方形，∴△BMC为等腰直角三角形，∵N为BC中点，∴MN=BC．小结：梯形的高是指端点在两底上并且与两底垂直的线段．例5、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，M，N分别是AD，BC的中点，AC平分∠DCB，AB⊥AC，P为MN上的一个动点．若AD=3，则PD＋PC的最小值为_________．分析：本题综合考查等腰梯形的性质、轴对称图形和解直角三角形等知识．由M，N为AD，BC中点可知，直线MN为等腰梯形的对称轴，故点A与点D，点B与点C关于直线MN对称．所以连接BD，交MN于点P′，则PC＋PD的最小值为线段BD的长(由三角形三边的关系说明)．因为AC平分∠DCB，且AD//BC，所以AD=DC=AB=3，易知∠ACB=∠DCB=30°．又∠BAC=90°，所以BC=2AB=6，因此．答案：例6、用反证法证明：一个梯形中不能有三个角是钝角．分析：要用反证法证明文字叙述的命题，需写出已知、求证，根据命题要求画出图形，再经过推理论证，得出与所学过的知识相矛盾的结论．从而否定原来的假设．如图所示，已知梯形ABCD，AD//BC．求证：∠A，∠B，∠C，∠D中不能有三个角是钝角．证明：假设∠A，∠B，∠C，∠D中有三个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，∠C>90°．∴∠A＋∠B>180°，∠B＋∠C>180°，∠A＋∠C>180°．又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180°．∴“∠A＋∠B>180°”与“∠A＋∠B=180°”矛盾．∴∠A＋∠B>180°不成立，即假设∠A>90°，∠B>90°不成立．∴梯形中不能有三个角是钝角．。
第二节 矩形、菱形、正方形
第二节矩形、菱形、正方形一、课标导航二、核心纲要1.矩形(1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． (2)性质①边：对边平行且相等； ②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． (3)判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形． (4)其他判定（需要证明）①对于平行四边形，若存在一点到两对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形，若平行四 边形ABCD 中，,.2222PB PD PC PA +=+则平行四边形ABCD 是矩形，证明方法如下右图所示，将△PAB 平移至△DMC，证明DC ⊥PM ；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形． 2．菱形(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2)性质①边：对边平行且四边相等；②角：邻角互补，对角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角； ④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形； ⑤菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． (3)菱形的判定①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四边相等的四边形是菱形． 3．正方形(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． (2)性质②角：四个角都是直角；③对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； ④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． (3)判定①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义：有一组邻边相等，并且有_个角是直角的平行四边形叫做正方形． (4)其他判定（需要证明）①对角线互相垂直的矩形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形；③一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ④四边均相等，对角线相等的四边形是正方形； ⑤四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形； ⑥对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形．(5)平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系（如下图所示）4．直角三角形斜边中线等于斜边一半． 5．对角线互相垂直的四边形的性质①面积是对角线乘积的一半：;21BD AC s ABCD ⋅=四边形 ②对边平方和相等：.2222AD BC CD AB +=+本节重点讲解：两个特殊性质，三个定义，三个性质，三个判定，三、全能突破基 础 演 练1．如图18- 2-1所示，在△ABC 中，D AC BE AC AB ,,⊥=是AB 中点，且C AB BE DE ∠==则.21.的度数是( )．o A 65. 70.B o C 75. 80.D2．如图18-2-2所示，菱形花坛ABCD 的边长为,120,6=∠A m 其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为( )．m A 12. m B 20. m C 22. m D 24.3．菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1:3，则菱形的面积为( )．225.cm A 216.cm B 22225.cm C 2216.cm D4．如图18-2-3所示，平移△ABC 到△BDE 的位置，且点D 在边AB 的延长线上，连接EC 、CD ，若,BC AB = 那么在以下四个结论：①四边形ABEC 是平行四边形；②四边形BDEC 是菱形；③;DC AC ⊥④DC 平分∠BDE ，正确的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图18-2-4所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，F 是CD 上的点，已知==∆∆ADF ABE s s ,31ABCD s 矩形 则CEF AEF s s ∆∆:的值等于( )．2.A3.B4.C5.D6．如图18-2-5所示，点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且,45,60=∠=∠=∠FAD D EAF 则=∠CFE 度．7．如图18-2-6所示，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 中点，P 为CE 中点，F 为BP 中点，则F 到BD 的距离等于8．如图18-2-7所示，四边形ABCD 是矩形，.90,=∠∠=∠DEC CAB EDC(1)求证：.//DE AC(2)过点B 作AC BF ⊥于点F ，连接EF ，试判别四边形BCEF 的形状，并说明理由．能 力 提 升9．如图18-2-8所示，矩形ABCD 的面积为G F E cm 、、,362分别为AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 上任一点，则图中阴影部分的面积为( )218.cm A 216.cm B 220.cm C 224.cm D10.如图18-2-9所示，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个矩形色块图的面积为( ) A ．142 B ．143 C ．144 D ．14511.从菱形的一个钝角顶点向它的两条对边作垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于( )．135.A 150.B 110.C 120.D12.如图18 -2 -10所示，在菱形ABCD 中，,60 =∠BAD M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点， 若PB PM +的最小值是3，则AB 的长为( )．3.A 3.B 6.C 32.D13.如图18 -2 -11所示，两个边长相等的正方形ABCD 和OEFG ，若将正方形OEFG 绕点0按逆时针方向旋转,150则两个正方形的重叠部分四边形OMCN 的面积( )．A.不变 B ．先增大再减小 C ．先减小再增大 D ．不断增大14.矩形的周长为p ，对角线长为d ，则此矩形的长与宽的差可表示为( )．22821.P d A - 22821.P d B + 22621.P d C - 22621D.p d +15.如图18 -2 -12所示，在□ABCD 中，BC AF ADC ⊥=∠,78于点F ，AF 交BD 于点E ，若,2AB DF =则=∠AFD16．(1)如图18 -2 -13所示，菱形ABCD 的对角线的长度分别为4、5，P 是对角线AC 上的一点，PE∥BC 交AB 于点E ，PF∥CD 交AD 于点F ，则图中阴影部分的面积是(2)如图18 -2 -14所示，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，BC=3cm ，EF∥GH∥BC，点P 、Q 是EF 上的任意两点，R 为BC 的中点，则图中阴影部分的面积为____．17．如图18 -2 -15所示，在直线L 上平放有3个面积相等的矩形，其高分别为2m ，3m ，6m ，现作一平行于L 的盲线m ，使截得三部分阴影面积之和恰好等于一个矩形的面积，则L ，m 之间的距离应为18.如图18 -2 -16所示，线段AB 的长为,220cm 点D 在线段AB 上，△ACD 是边长为10cm 的等边三角形，过点D 作与CD 垂直的射线DP ，过DP 上一动点G （不与D 重合）作矩形CDGH ，记矩形CDGH 的对角线交点为0，连接OB ，则线段BO 的最小值为19.如图18 -2 -17所示，在四边形ABCD 中，,35,6,120,135-===∠=∠BC AB BCD ABC6CD =,求AD 的长．20.如图18 -2 -18所示，在Rt△ABC 中，,4,3,90===∠BC AC C点P 为AB 边上任一点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，求线段EF 的最小值．21.如图18 -2 -19所示，以Rt△ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为0，连接AO ，如果,26,4==AO AB 求AC 的值．22.已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(A 、D 、E 、F 按逆时针排列)，使,60=∠DAF 连接CF ．(1)如图18-2-20(a)所示，当点D 在边BC 上时，求证：.;CD CF AC CF BD +==②①(2)如图18-2-20(b)所示，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论CD CF AC +=是否 成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图18-2-20 (c)所示，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．中 考 链 接23.（2012．威海）如图18 -2 - 21所示，在平行四边形ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是( )．AF AE A =. AC EF B ⊥. 60.=∠⋅B C D.AC 是∠EAF 的平分线24.（2012．青海）已知：如图18-2-22所示，D 是△ABC 的边AB 上一点，DN AB CN ,//交AC 于点M ，.MC MA =(1)求证：.AN CD =(2)若,2MCD AMD ∠=∠求证：四边形ADCN 是矩形．巅 峰 突 破25．(1)将七个边长都为1的正方形按图18-2-23所示方式摆放，点、、21A A 6543A A A A 、、、分别是六个正方形的中心，则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是(2)如图18-2-24所示，将边长为),3,2,1(21 =+n n的正方形纸片从左到右顺序摆放，其对应的正方形的中心依次为①、、、 321A A A 若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 ；②若摆放前n 个（n 为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为26. 如图18-2-25所示，正方形ABCD 中，BD 是对角线，E 、F 点分别在BC 、CD 边上，且△AEF 是等边三角形．(2)过点D 作DG ⊥BD 交BC 延长线于点G ，在DB 上截取DH =DA ，连接HG.请你参考下面方框中的方法指导，证明：GH =GE.27.已知：在矩形ABCD 中，,12,10==BC AB 四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，.2=AE(1)如图18-2-26(a)所示，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积； (2)如图18-2-26(b)所示，当四边形EFGH 为菱形，且BF=a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）； (3)在(2)的条件下，△GFC 的面积能否等于2?请说明理由．。
矩形、菱形、正方形
考
典 例
(2)(2009·凉山)如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，
精
析
举
一
反
使 C 落在 C′处，BC′交 AD 于点 E，则下列结论不．一．定．成立的是( )
三
A．AD＝BC′
B．∠EBD＝∠EDB
考
C．△ABE∽△CBD
点 训
D．sin∠ABE＝AEDE
练
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3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边形是菱形；
举 (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
一
反
考点三 正方形的定义、性质和判定
三
1．定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形．
2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；
考 (2)正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
考 点 知 识 精 讲
中
(2010·聊城)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，以 AD 为边
考 作等边三角形 ADE.
典 例
(1)求∠CAE 的度数；
精
(2)取 AB 边的中点 F，连结 CF、CE，试证明四边形 AFCE 是矩形．
析
【点拨】本题综合考查等边三角形的性质和矩形的判定．
这两个多边形的内角和分别为 m 和 n，则 m＋n 不可能是( D )
考
A．360°
B．540°
C．720°
D．630°
点
训
练
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考
点
5．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形
矩形、菱形、正方形---菱形的判定
§20.3.矩形、菱形、正方形----菱形的判定复习巩固1、矩形的判定定理： 从角考虑：___________________________的平行四边形是矩形。
从对角线考虑：____________________________的平行四边形是矩形。
从角考虑：____________________________的四边形是矩形。
2.矩形的性质：3.菱形的性质：4、菱形的判定方法1: 定义：有一组邻边__________的平行四边形是菱形. 几何表示：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=CD∴四边形ABCD 是菱形。
5、菱形的判定方法2: ________________平行四边形是菱形． 应用判定方法2时，要注意其性质包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．已知：平行四边形ABCD ，对角线AC⊥BD ，求证：四边形ABCD 是菱形证明：在ABCD 中，OB=OD∵AC ⊥BD∴∠AOB____∠AOD在△AOB 与△AOD 中,∴四边形ABCD 是菱形思考：对角线互相垂直的四边形是菱形吗？为什么？____________________________________ 画一个菱形，使它的边长为6cm 。
（草稿）通过菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：6.菱形的判定方法3：___________的四边形是菱形．已知:四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD 是菱形。
证明：已知：如图ABCD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交12（2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，且PE=PF ，平行四边形ABCD 是菱形吗？为什么？13.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，连接DE ． （1）求证：四边形ABED 是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE ，试判断△CDE 的形状，并说明理由．15.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC =CD ，AD ⊥BD ，E 为AB 中点，求证：四边形BCDE 是菱形．16. 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连结DE ，BF ，BD ． (1)求证：△ADE ≌△CBF ．(2)若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．17.（2011新疆乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，点 E 、F 分别是CD 的中点，过点A 作AG ∥BD ，交CB 的延长线于点G ．（1）求证：四边形DEBF 是菱形；（2）请判断四边形AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明．18.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ．(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．19.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点．求证：MN 与PQ 互相垂直平分。
平行四边形;矩形,菱形,正方形的判定
平行四边形;矩形，菱形•正方形的判定平行四边形；矩形，菱形,正方形的判定学习目标：知识与技能目标：1.拿握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理：2.能够运用判定定理进行有关的计算和证明；3.了解反证法的定义。
情感与态度目标：通过观察归纳，类比，維理，•体会数学活动中所蕴含的探索性和创造性，证明过程的严谨性和结论的确定二吏点：平行四边形、矩形、菱形、正方形判定定理三.难点：平行四边形、矩形、菱形、正方形判定在实际生活中的应用四.教学过程：（一）知识梳理：知识戌1 :平行四边形的判定（I）文字语言：方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形方法3:—組对边平行且栢等的四边形是平行四边形方法＜1 :两组对角分别相等的回边形是平行四边形方法5:对角线互相平分的四边形杲平行四边形（II）数学语言：TAB //CD, AD//BC・•・四边形ABCD是平行四边形TAB二CD, AD=BC•••四边形ABCD是平行四边形TAB〃C D, AB=CD・•・四边形ABCD是平行四边形TZABC=ZAD C, ZBAD=ZBCD・：四边形ABCD是平行四边形OA = OG OB=OD•••四边形ABCD是平行四边形知识直2：反证法（1）步骤：（1）假设命题的结论不成立（2）从这个假设出发，经推理论证，得出矛话（3）由矛JS判定假设不正确，从而青定命题的结论正确（ID说明：（1）找结论的反面要找得准确，全面（2）证题中的每一步都宴有根据，直到推出矛盾⑶雅出的矛盾有两神情况①与定义、定理、公理矛管，②与已知矛盾知识点3：矩形的判定L文字语言：方法1:有一个角是直角的平行四边形是矩形方法2：对角线相等的平行四边形是矩形平行四边形;矩形，菱形•正方形的判定方法3：有3个角是直角的四边形是矩形数学语言：方法1 ：T在平行四边形ABCD中，ZA=9（T/.平行四边形A BCD是矩形方法2： I■在平行四边形ABCD中,AC = BD・•・平行四边形ABCD是矩形方法3:TZA=ZB=ZC=9 0°•••四边形ABCD是矩形知识点4:菱形的判定（I ）文字语言：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.对角线互相垂宜的平行四边形是菱形3.4条边都相锌的四边形是菱形（口）数学语言：1.在平行四边形ABCD中VAB=BC•••平行四边形A BCD是菱形2.在平行四边形ABC D中TAC 丄BD.・.平行四边形ABCD是菱形3.VAB=BC=CD=DA•I四边形ABCD是菱形知识戌5：正方形的判定（I）文字语言：1 .有一组邻边相等的矩形是正方形2.有一个角是直角的菱形是正方形3.对角线相等的菱形是正方形4.对角线互相垂直的矩形是正方形（H）数学语言：1.在矩形A BCD中VAB=BC・•・矩形ABCD足正方形2.在菱形ABCD中T ZA-90 °・•・菱形ABCD是正方形3.在菱形ABCD中VAC=B D・：菱形A BCD是正方形4 .在矩形ABCD中VAC 丄BD・：矩形ABCD是正方形（二）实践探究例1.求证:一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
【分析】矩形正方形和菱形的判定方法
【关键字】分析一、考点分析：矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重要的考点。
二、教学目标：1．掌握矩形、正方形和菱形的判定方法三、教学内容正方形巩固练习例题1 如图,正方形ABCD的边长为12,点E是BC上的一点,BE=5,点F是BD上一动点.（1）AF与FC相等吗?试说明理由.（2）设折线EFC的长为y，试求y的最小值,并说明点F此时的位置.【解】（1）AF与FC相等,其理由如下：可证：△ABF≌△CBF，∴AF=CF（2）连接AE,则AE与BD的交点就是此时F点的位置此时有最小值,最小值为.例题2 如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上一动点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F小红同学发现：PD⊥EF，且PD=EF，且矩形PEBF的周长不变．不知小红的发现是否正确，请说说你的看法．【解】小红的发现是正确，其理由如下：连接BP,延长DP交EF于Q.（1）∵四边形ABCD是正方形∴CB=CD,∠BCP=∠DCP=45°∴△BCP≌△DCP，∴PD=PB又∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠BEP=∠BFP=∠EBF=90°，∴四边形BEPF是矩形∴PB=EF,∴PD=EF（2）∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴△AEP和△CFP均为等腰直角三角形∴AE=PE,CF=PF∴矩形PEBF的周长=AB+BC=2AB（为定值）（3）∵PF∥CD，∴∠FPQ=∠PDC∵△BCP≌△DCP，∴∠PDC=∠PBF∵四边形PEBF是矩形,∴∠PBF=∠PEF∴∠PEF=∠FPQ又∵∠PEF+∠PFE=90°，∴∠FPQ+∠PFE=90°∴∠PQF=90°，∴PD⊥EF.【另证】延长EP交CD于点R,则CFPR为正方形∴可证△PEF≌△RDF∴∠PEF=∠PDR又∵∠DPR=∠EPQ而∠PDR+∠DPR=90°，∴∠PEF+∠EPQ=90°∴∠EQP=90°，∴PD⊥EF.课堂练习1 如图1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，（1）如图2，延长交正方形外角平分线，试判断的大小关系，并说明理由；（2）在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．梯形回顾梯形性质及判断定理梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．底：平行的一组对边叫做梯形的底.（较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰.高：两底间的距离叫做梯形的高.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．结论：①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．②等腰梯形同一底上的两个角相等．③等腰梯形的两条对角线相等．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5 综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．例1．如图，梯形ABC D中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD的长．分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．解（略）．例2 （补充）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB ＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝C D．分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．证明（略）另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．例3：如图 4.9-4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm,求CD的长.练习1已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.练习2 已知：如图4.9-5，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC.练习3：1、填空（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= .（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和 .（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= .4，（1）求梯形2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，A B＝3的各角.（2）求梯形的面积.3、（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，A B∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8）课堂小结1、梯形的定义及分类2、等腰梯形的性质：（1）具有一般梯形的性质：AD∥BC.（2）两腰相等：AB=CD.（3）两底角相等：∠B=∠C，∠A=∠D.（4）是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线.（5）两条对角线相等：AC=BD.两条对角线的交点在对称轴上.两腰延长线的交点在对称轴上.等腰梯形的判断例2（补充）证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC ．∵ AC=BD ，∴ DE=BD ∴∠1=∠E∵∠2=∠E ，∴∠1=∠2又 AC=DB，BC=CE，∴ΔABC≌ΔDCB．∴ AB=CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．例3（补充）已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD 于G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．分析：先证明OE＝OG，从而说明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，由AE，BG延长交于O，显然EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形．例4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成AECD的画图．画法：①画ΔABE，使BE=12—4=8cm．.②延长BE到C使EC=4cm.③分别过A、C作AD∥BC ，CD∥AE，AD、CD交于点D．四边形ABCD就是所求的等腰梯形．解：梯形ABCD周长＝4＋12＋5×2＝26cm ．cm．答：梯形周长为26cm，面积为242例5：.如图4.9-4，已知等腰梯形ABCD的腰长为5cm，上、下底长分别是6cm和12cm，求梯形的面积. （方法一，过点C作CE∥AD，再作等腰三角形BCE的高CF，可知CF=4cm.然后用梯形面积公式求解；方法二，过点C和D分别作高CF、DG，可知，从而在Rt△AGD中求出高DG=4cm. ）课后练习1、填空（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= .（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和 .（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= .4，（1）求梯形2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，A B＝3的各角.（2）求梯形的面积.3、（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，A B∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8）此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
矩形,菱形,正方形的判定符号数字语言
矩形,菱形,正方形的判定符号数字语言示例文章篇一：《矩形、菱形、正方形的判定：符号、数字语言》一、矩形的判定1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
从平行四边形的定义出发，如果一个平行四边形ABCD，其中∠A = 90°，那它就是矩形。
用符号语言表示就是：在平行四边形ABCD中，若∠A = 90°，则四边形ABCD是矩形。
这就好比一个队伍本来是规规矩矩站成平行四边形的形状，突然有一个角变成了直角，那整个队伍的形状就变成了矩形，就像一个长方形的盒子的一个角。
我和我的小伙伴们在讨论这个的时候，小伙伴小明说：“那这个直角就像是一个特殊的标志，只要平行四边形里有了这个标志，它就变身成矩形啦。
”我觉得他说得很有趣呢。
2. 对角线相等的平行四边形是矩形。
假如平行四边形ABCD的对角线AC = BD，那这个平行四边形就是矩形。
用数字和符号语言来表示就是：在平行四边形ABCD中，若AC = BD，则四边形ABCD是矩形。
这就好像两根长度一样的棍子，当它们是平行四边形的对角线的时候，这个平行四边形就变成矩形了。
我跟同桌讨论这个的时候，同桌说：“感觉这两根一样长的对角线就像是一种特殊的密码，只要平行四边形有这个密码，就成矩形了。
”我想了想，还真是这么个道理呢。
3. 有三个角是直角的四边形是矩形。
如果在四边形ABCD中，∠A =∠B =∠C = 90°，那这个四边形就是矩形。
用符号语言写就是：在四边形ABCD中，若∠A =∠B =∠C = 90°，则四边形ABCD是矩形。
这就像是一个四边形的三个角都站得笔直，那第四个角肯定也得站得笔直啦，就像一个房子的三个墙角都是直角，那这个房子的形状肯定就是长方形（矩形）啦。
我跟后面的同学讲这个的时候，他说：“哇，就像三个小伙伴都站得特别端正，那第四个小伙伴也得跟着端正起来。
”二、菱形的判定1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对于平行四边形ABCD，如果AB = AD，那这个平行四边形就是菱形。
菱形、矩形、正方形
矩形、菱形、正方形、梯形一、矩形 1、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质 （1）矩形的对边平行且相等 （2）矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线相等且互相平分 （4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形 四个顶点的距离相等） ；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形 （3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形 4、矩形的面积 S 矩形=长×宽=ab 二、菱形 1、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质 （1）菱形的四条边相等，对边平行 （2）菱形的相邻的角互补，对角相等 （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形 四条边的距离相等） ；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形 （3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、菱形的面积 S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 三、正方形 1、正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质 （1）正方形四条边都相等，对边平行 （2）正方形的四个角都是直角 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4） 正方形既是中心对称图形又是轴对称图形； 对称中心是对角线的交点； 对称轴有四条， 是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定 判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证它是菱形。
1先证它是菱形，再证它是矩形。
【精品课件】八年级数学下册第章矩形菱形与正方形2菱形22菱形的判定第1课时菱形的判定定理1课件新版华
个外角，AD 平分∠FAC，CD 平分∠ECA.求证：四边形 ABCD 是菱形．
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第1课时 菱形的判定定理1
证明：∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠FAC＝∠ACE＝120°. ∵AD 平分∠FAC，CD 平分∠ECA，
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第1课时 菱形的判定定理1
解： (1)如答图所示，EF 为所求直线； (2)四边形 BEDF 是菱形．理由：∵EF 垂直平分 BD， ∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF.∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE， ∴BE＝BF.又∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF， ∴四边形 BEDF 是菱形．
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第1课时 菱形的判定定理1
知 识 管 理 [学生用书P106]
菱形的判定方法
定 义：有一组邻边相等的__平__行__四___边__形___是菱形． 定理 1：四条边相等的__四___边__形___是菱形．
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第1课时 菱形的判定定理1
归 类 探 究 [学生用书P106]
A∠EA＝＝C∠F，C，
∴△AED≌△CFD(ASA)；
∠AED＝∠CFD，
(2)由(1)得△AED≌△CFD，∴AD＝DC.∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴四边形 ABCD 是菱形．
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第1课时 菱形的判定定理1
9．如图，小刚在研究矩形性质时，把两张完全相同的矩形纸片叠放在一起(矩
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2”表示平行四边形，例如：平行四边形记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形=⨯分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ． 平行四边形 矩形 菱形 正方形图形性质1．对边 且 ；2．对角 ； 邻角 ；3．对角线 ；1．对边 且； 2．对角 且四个角都是； 3．对角线 ；1． 对边 且四条边都 ；2．对角 ；3．对角线 且每条对角线；1．对边 且四条边都 ；2．对角 且四个角都是 ；3．对角线 且每条对角线 ；面积。
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PFEBA CDQ一、考点分析：矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重要的考点。
二、教学目标：1． 掌握矩形、正方形和菱形的判定方法三、教学内容 正方形巩固练习例题1 如图,正方形ABCD 的边长为12,点E 是BC 上的一点,BE=5,点F 是BD上一动点.（1）AF 与FC 相等吗?试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ，试求y 的最小值,并说明点F 此时的位置. 【解】（1）AF 与FC 相等,其理由如下： 可证：△ABF ≌△CBF ，∴AF=CF（2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,最小值为2212513+=.例题2 如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F 小红同学发现：PD ⊥EF ，且PD=EF ，且矩形PEBF 的周长不变．不知小红的发现是否正确，请说说你的看法． 【解】小红的发现是正确，其理由如下： 连接BP,延长DP 交EF 于Q. （1）∵四边形ABCD 是正方形 ∴CB=CD,∠BCP=∠DCP=45° ∴△BCP ≌△DCP ，∴PD=PB 又∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，∴∠BEP=∠BFP=∠EBF=90°，∴四边形BEPF 是矩形AB C D 第28题图 FE∴PB=EF,∴PD=EF（2）∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，∴△AEP 和△CFP 均为等腰直角三角形 ∴AE=PE,CF=PF∴矩形PEBF 的周长=AB+BC=2AB （为定值） （3）∵PF ∥CD ，∴∠FPQ=∠PDC ∵△BCP ≌△DCP ，∴∠PDC=∠PBF ∵四边形PEBF 是矩形,∴∠PBF=∠PEF ∴∠PEF=∠FPQ又∵∠PEF+∠PFE=90°，∴∠FPQ+∠PFE=90° ∴∠PQF=90°，∴PD ⊥EF.【另证】延长EP 交CD 于点R,则CFPR 为正方形∴可证△PEF ≌△RDF ∴∠PEF=∠PDR 又∵∠DPR=∠EPQ而∠PDR+∠DPR=90°，∴∠PEF+∠EPQ=90° ∴∠EQP=90°，∴PD ⊥EF.课堂练习1 如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =（1）如图2，延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点，试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（2）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．梯形图1ADCBE 图2BCE DAF P F回顾梯形性质及判断定理梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．底：平行的一组对边叫做梯形的底.（较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰.高：两底间的距离叫做梯形的高.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．结论：①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．②等腰梯形同一底上的两个角相等．③等腰梯形的两条对角线相等．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5 综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．例1．如图，梯形ABC D中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD的长．分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．解（略）．例2 （补充）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB ＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝C D．分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．证明（略）另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．例3：如图 4.9-4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm,求CD的长.练习1已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.练习2 已知：如图4.9-5，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC.练习3：1、填空（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= .（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和 .（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= .4，（1）求梯形2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，A B＝3的各角.（2）求梯形的面积.3、（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，A B∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8）课堂小结1、梯形的定义及分类2、等腰梯形的性质：（1）具有一般梯形的性质：AD∥BC.（2）两腰相等：AB=CD.（3）两底角相等：∠B=∠C，∠A=∠D.（4）是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线.（5）两条对角线相等：AC=BD.两条对角线的交点在对称轴上.两腰延长线的交点在对称轴上.等腰梯形的判断例2（补充）证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC ．∵ AC=BD ，∴ DE=BD ∴∠1=∠E∵∠2=∠E ，∴∠1=∠2又 AC=DB，BC=CE，∴ΔABC≌ΔDCB．∴ AB=CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．例3（补充）已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD 于G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．分析：先证明OE ＝OG ，从而说明∠OEG ＝45°，得出EG ∥AB ，由AE ，BG 延长交于O ，显然EG ≠AB ．得出四边形ABGE 是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形．例4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm 、12cm ，高为3cm ，并计算这个等腰梯形的周长和面积．分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形． 如图，先算出AB 长，可画等腰三角形ABE ，然后完成AECD 的画图．画法：①画ΔABE ，使BE=12—4=8cm ．.②延长BE 到C 使EC=4cm.③分别过A 、C 作AD ∥BC ，CD ∥AE ，AD 、CD 交于点D ．四边形ABCD 就是所求的等腰梯形．解：梯形ABCD 周长＝4＋12＋5×2＝26cm ．．）（梯形224312421cm S ABCD =⨯+⨯=cm．答：梯形周长为26cm，面积为242例5：.如图4.9-4，已知等腰梯形ABCD的腰长为5cm，上、下底长分别是6cm和12cm，求梯形的面积. （方法一，过点C作CE∥AD，再作等腰三角形BCE的高CF，可知CF=4cm.然后用梯形面积公式求解；方法二，过点C和D分别作高CF、DG，可知，从而在Rt△AGD中求出高DG=4cm. ）课后练习1、填空（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= .（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和 .（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= .4，（1）求梯形2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，A B＝3的各角.（2）求梯形的面积.3、（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，A B∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8）。