2020年天津市河东区高三一模数学试题

数学试卷

第I 卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 2．本卷共9个小题，每小题5分，共45分.

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知,a b ∈R ，若i

2i i

b a +-=（i 是虚数单位），则复数i a b +是 A.12i -

B ．12i +

C ．2i -

D ．2i +

2．设∈θR ，则“2

2

π

π

θ-

<

”是“sin 0θ>”的

A ．充分不必要条件

B ．充要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分又不必要条件

3．已知函数

()2ln =+-f x x x ax .若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线

y =2x 平行，则实数=a

A ．

72

B ．2

C ．

32

D ．1

4．在?ABC 中，90∠=?B ，3=AB ，4=BC ，以边BC 所在的直线为轴，将?ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为 A ．36π

B ．12π

C ．36

D ．12

频率5．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分） 的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组 依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.

若分数在区间[)20,40的频数为5，则大于等于60分的人数为 A ．15

B ．20

C ．35

D ．45

6．已知函数

()25=+x f x x .若131log 2a f ??

= ???

，(3log b f =，()0.26c f =，则a ，

b ，

c 的大小关系为

A ．>>a b c

B ．>>a c b

C ．>>c a b

D ．>>c b a

7．已知函数

()()sin =+f x x ω?（0,2

><

π

ω?）的最小正周期为π，其图象关于直线

6

=

x π

对称.给出下面四个结论：①将

()f x 的图象向右平移

6

π

个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；②点5012??

???

，π为()f x 图象的一个对称中心；③142

??= ???f π；④

()f x 在区间06??

????

，π上单调递增.其中正确的结论为

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．①④

8．设双曲线22

221-=x y a b

()0>>a b

的两条渐近线与圆22

10+=x y 相交于A ，B ，C ，

D 四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是

3

D ．9．在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，60∠=?BAD ，8=AB ，4=CD .若M 为线段

BC 的中点，E 为线段CD 上一点，且27?=u u u u r u u u r

AM AE ，则?=u u u u r u u u r DM DE

A.15

B ．10

C ．

203

D ．5

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定位置上. 2．本卷共11个小题，共105分.

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分, 共30分；答题直接填写结果，不必写计算或

推证过程.

10．已知集合{}

2,2=m A ，{},=B m n （,m n ∈R ），且14??

=????

I A B ，则=U A B ▲ .

11．在5

22?-?

?

x 的展开式中，5x 项的系数为 ▲ （用数字作答）.

12．设0,0>>a b ，若a 与2

b 的等差中项是2，则22log 2log +a b 的最大值是 ▲ . 13．已知圆:C ()()2

2

1116x y ++-=，过点()2,3P -的直线l 与C 相交于A ，B 两点，

且AB =，则的方程为 ▲ .

14．天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为:每位参赛教师都要回答3个

问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为

31

,,42

p .若教师甲恰好答对3个问题

的概率是

1

4

，则p = ▲ ；在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为 ▲ .

15．已知函数(

)20,

0.

x x x f x x ?-≤?=?>??，若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成

立，则实数a 的取值范围是 ▲ .

三、解答题:本大题共5个小题,共75分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算

步骤.

16.（本小题满分14分）

在?ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin

sin 2

+=A B

a c A

，=c 23=a b .

（1）求角C 的大小； （2）求()sin -C B 的值. 17．（本小题满分15分）

如图，在三棱柱111-ABC A B C 中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且

1111⊥A B B C ，M 为1CC 的中点， N 为1A B 的中点.

（1）求证：MN //平面ABC ； （2）求二面角1--B MN B 的正弦值； （3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面

1MNB 所成角的正弦值为

2

15

，求111B P B C 的值.

18．（本小题满分15分）

已知抛物线:

C 2

=y 的焦点为椭圆:E 22

221+=x y a b

（0>>a b ）的右焦点，C

的准线与E 交于P ，Q 两点，且2=PQ .

（1）求E 的方程；

（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于

点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程.

19.（本小题满分15分）

设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列.已知48a =，322a a =+，

12b a =，265b b a +=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设2121221,+12,

m m n m a b n m c b n m --=-?=?=?，，其中m ∈N *

，求数列{}n c 的前2n 项和.

20.（本小题满分16分）

已知函数

()ln 1()f x x m x m =--∈R 在1x =处取得极值A ，函数

()()g x f x =+1x e x --，其中 2.71828e =L 是自然对数的底数.

（1）求m 的值，并判断A 是()f x 的最大值还是最小值；

（2）求()g

x 的单调区间；

（3）证明：对于任意正整数n ，不等式2111111222n e ????

?

?+

++< ??? ??

???

??

L 成立.