立体几何单元测试
立体几何单元测试题
立体几何单元测试题 姓名一、选择题 (每题6分)1、下列命题正确的是 （ ）A 经过三点确定一个平面 ；B 经过一条直线和直线外一点确定一个平面C 四边形确定一个平面；D 两两相交的三条直线确定一个平面。
2、直线l 垂直于平面α ，直线α⊂m ，下列关于直线l 、m 的位置关系不存在的是 （ ） A 相交 ；B 垂直； C 平行； D 异面。
3、已知βα、是两个平面，a 、b 是两条直线，以下四个命题中正确的个数是（ ） （1）α若//β,b a b a //.则，βα⊂⊂(2) 若a//b,a 、b 都平行于α，a 、b 都平行于β。
则α//β (3) α若//β，α⊂a ，则a//β （4）若a//α,a//β.则α//β.A 1;B 2;C 3;D 4. 二、填空题（每题6分）1、已知两条相交直线a 、b ，a 平行于平面α，则b 与α的位置关系是______2、直线α⊄a ，直线α⊂b ，a//b.则a 和α的位置关系是______3、过三角形ABC 所在的平面α外一点P 作PO ⊥α，垂足为O ，连接PA 、PB 、PC 。
若PA ⊥PB 、PB ⊥PC 、PA ⊥ PC 。
则点O 是三角形ABC 的________心。
4某几何体的三视图如图所示，则其体积是___________C 1A 1CA4题 5题5、已知长方体ABCD---A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=23,AA 1=2，则异面直线,AA 1和BC 1所成的角是______6、在正方体ABCD---A 1B 1C 1D 1中AB 1与平面A 1B 1CD 所成的角是__________C1A1CAA C6题7题7、三棱锥V---ABC中，V A=VB=AC=BC=2,AB=23,VC=1,则二面角V—AB—C的平面角是________三、解答题（每题20分）1、四棱锥V—ABCD中，四边形ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD.求证：（1）BC⊥平面VDC(2) AB⊥VAAC三、1题2、如图、四棱锥P—ABCD的底面是矩形，E、F分别是AB、PC的中点。
空间向量与立体几何 单元测试-2022-2023学年高二上学期数学
空间向量与立体几何测试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1—→－D 1C 1—→等于( ) A.AD 1—→ B.AC 1—→ C.AD → D.AB →2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1) D ．a ＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)3．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1—→·AC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．55．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( )A ．16B ．14C ．16-D ．14-6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A ．23B ．33C ．23D ．137．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A 3λB ．22C 2λD 5 8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学立体几何初步单元测
第八章 立体几何初步 （单元测）第八章 立体几何初步（单元测试）_一、单选题1．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（ ）A．B．C．D．42．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形中的长度为（ ）A．B．C．2D．3．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．记图中圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果，，，，那么；②如果，，那么；③如果，，，那么；④如果，，，那么.其中正确命题的个数有（ ）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个5．梯形ABCD中，，∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝2，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB以l所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的表面积为（ ）A．B．C．D．6．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为所在棱的中点，则下列结论中正确的序号是（ ）①三棱锥D1﹣EFG的体积为；②BD1∥平面EFG；③BD1∥EG；④AB1⊥EG. A．③④B．①②④C．②③④D．①③7．直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（ ）A．B．C．D．8．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则P A1的最小值是（ ）A．1B．C．D．二、多选题9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线与直线共面B．直线与直线异面C ．直线与直线共面D．直线与直线异面10．高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线（ ）A．垂直B．相交C．异面D．平行11．在长方体中，O为与的交点，若，则（ ）A．B．C．三棱锥的体积为D．二面角的大小为12．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（ ）A．底面边长为6米B．侧棱与底面所成角的余弦值为C．侧面积为平方米D．体积为立方米三、填空题13．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为______．14．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为___________15．在正四面体ABCD中，E为BC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为_ __________.16．如图，在正方体中，E为的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线平面的点F的个数是___________.四、解答题17．如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点．(1)求证：∥平面；(2)若三棱锥的体积为，求的长．18．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.(1)若为侧棱的中点，求证：平面；(2)求三棱锥的体积.19．如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点．(1)证明：平面平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．20．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．21．在等腰梯形（图1）中，，是底边上的两个点，且.将和分别沿折起，使点重合于点，得到四棱锥（图2）.已知分别是的中点.(1)证明：平面.(2)证明：平面.(3)求二面角的正切值.22．如图，垂直于⊙所在的平面，为⊙的直径，，，，，点为线段上一动点．(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；(2)当点F与C点重合，求 PB与平面AEF所成角的正弦值．一、单选题23．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）A．B．C．D．24．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A．B．C．D．25．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）A．B．C．D．26．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、多选题27．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）A．B．C．D．28．已知正方体，则（ ）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为三、填空题29．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 30．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．31．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.四、解答题32．如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．参考答案：1．C【分析】由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高.【详解】因为底面半径，所以母线长，所以圆锥的高.故选：C2．B【分析】过点作,垂足为，求出直观图中的长度即得解.【详解】解：过点作,垂足为.因为，，，；，所以原四边形中的长度为2.故选：B3．B【分析】根据已知条件得出球的直径恰好与圆柱的高相等，设球的半径为r，进而分别表示出圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，进而求出.【详解】由已知条件，设球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则圆柱的表面积，体积，球表面积，答案第1页，共2页体积，．故选：B.4．D【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】解：对于①如果，，，，那么或与相交，故①错误；对于②如果，，由线面垂直的性质可知，故②正确；对于③如果，，，那么或或与相交（不垂直）或与异面（不垂直），故③错误；对于④如果，，，那么或与相交（不垂直），当且仅当，，，，那么，故④错误.故选：D5．B【分析】旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，计算圆柱的高和圆锥的底面半径和母线长，分别计算各面的面积，得出表面积．【详解】解：旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，过作于，则，，，，圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，圆柱和圆锥的高均为，圆锥的母线为，几何体的表面积为．故选：B.6．B【分析】利用等积法处理①，用面面平行得到线面平行处理②，用平行的传递性处理③，利用线面垂直得到线线垂直处理④.【详解】对于①，由等体积法可得：，故正确；对于②，连接，由面面平行的判定易得平面平面，由平面与平面平行的性质可得平面，故正确；对于③，如下图，连接，取的中点，连接，则，若，则，矛盾，故错误；对于④，由题意，，，可得平面，又平面，可得，故正确．故选：B．7．A【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小.【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，所以，而面，面，故，又，面，故面，则与平面所成角为，若，所以，，则，故.故选：A8．C【分析】由平面，可以找到点在右侧面的运动轨迹，从而求出的最小值【详解】如图所示，取的中点,的中点，连接，因为分别是棱 的中点，所以，，又因为,,，所以平面平面，平面，且点在右侧面，所以点的轨迹是，且，，所以当点位于中点处时，最小，此时，.故选：C9．ACD【分析】作出正方体的直观图，逐项判断可得出合适的选项.【详解】如图，点与点重合，则与相交，故A正确；在正方体中，且，故四边形为平行四边形，，则、共面，故B错误；因为，故、共面，故C正确；由图可知，、不在同一个平面，且、既不平行也不相交，、为异面直线，故D正确.故选：ACD.10．AC【分析】对直线l与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线l垂直；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面；理解判断．【详解】根据题意可得：对直线l与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线l垂直，A正确；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面C正确；B、D错误；故选：AC．11．BCD【分析】由题意，根据长方体的结合性质，结合线面垂直判定定理以及二面角的平面角定义和三棱锥的体积公式，可得答案.【详解】连接．因为，所以，又易证平面，所以，所以，所以为二面角的一个平面角．在中，，因为在中，，，所以，所以二面角的大小为．．故选：BCD．12．AD【分析】画出几何体的直观图，结合已知条件求得棱锥的底面边长，逐项求解，即可得到答案.【详解】对A，如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，所以，则，在直角中，可得，即，解得，所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确；对B，因为平面，所以为侧棱与底面所成的角，在直角中，可得，所以B错误；对C，正四棱锥的侧面积为平方米，所以C错误；对D，正四棱锥的体积为立方米，所以D正确.故选：AD.13．【分析】根据题意画出该几何体的轴截面，如图，设是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，求出球的半径，从而可求出，进而可求得圆锥的侧面积.【详解】其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，由题意可知，解得，由于圆柱的高为2，，，，母线，∴圆锥的侧面积为．故答案为：14．【分析】根据题意，得到为球的直径，求得的长，得到球的半径，进而求得球的体积，得到答案.【详解】如图所示，取的中点，根据直角三角形的性质，可得，所以为球的直径，且，可得球的半径为，所以球的体积为.故答案为：.15．##【分析】取BD的中点F，作出异面直线AE与CD所成的角，再利用三角形计算作答.【详解】在正四面体ABCD中，取BD的中点F，连接，如图，设，因E为BC的中点，则，，即有是异面直线AE与CD所成的角或其补角，而，在等腰中，，所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为.故答案为：16．【分析】为了得到直线平面，只需求得平面平面，即平面内的任意一条直线都与平面平行，进而求得点的个数.【详解】分别取的中点，连接，，在正方体中，，，四边形是平行四边形，，，又平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面，平面平面，平面内的任意一条直线都与平面平行，则满足条件直线平面的点可以是的任何一个，点F的个数是个.故答案为：.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由中位线证得，即可证得∥平面；（2）取中点F，证得平面，再由结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）证明：连接．∵点O，E分别为的中点，∴，∵平面平面，∴∥平面；（2）取中点F，连接．∵E为中点，∴为的中位线，∴，且．由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形．又平面，∴平面，，点E是的中点，∴，∴．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，通过，即可证明平面；（2）利用等积法，即求解即可【详解】（1）取的中点，连接，，在中，，在梯形中，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面；（2）∵，，而∴平面，即为三棱锥的高，因为，，所以，又，所以19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出的三边边长，利用余弦定理可求得结果.【详解】（1）证明：连接，因为四边形为平行四边形，则且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则且，因为且，且，故四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，同理可证且，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，，所以，平面平面.（2）解：，所以，异面直线与所成角为或其补角，在中，，，由余弦定理可得，所以，异面直线与所成角的余弦值为.20．(1)到平面的距离为(2)线段BC的长为2【分析】（1）利用体积法可求点到平面的距离；（2）利用面面垂直，线面垂直得线线垂直，最后利用的面积为即可求得线段BC的长．【详解】（1）解：由直三棱柱的体积为4，可得，设到平面的距离为，由，，，解得．即到平面的距离为；（2）解：连接交于点由直三棱柱，故四边形为正方形，，又平面平面，平面平面，平面，，由直三棱柱知平面，，又，平面，，，，又，解得，则线段BC的长为2.21．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）由题可得四边形是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即得；（2）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；（3）过点作，由题可得是二面角的平面角，结合条件即得.【详解】（1）由题意可得，在等腰梯形中，，在中，因为，所以，四边形为正方形.在四棱锥中，连接，因为分别是的中点，所以，且，在正方形中，因为是的中点，所以，且，所以，且，∴四边形是平行四边形，，因为平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，在中，，因为为的中点，所以，在等腰梯形中，，所以在四棱锥中，，因为， 平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面；（3）在中，过点作，垂足为，连接，由（2）知平面，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，平面，∴，故是二面角的平面角，由（1）知，在四棱锥中，，设，则，在中，，所以，在中，，故二面角的正切值为.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由垂直于⊙所在的平面，可得，再由圆的性质可得，则由线面垂直的判定可得平面，则，从而平面，进而由面面垂直的判定可证得结论，（2）过点作∥交于点，则，设点到平面的距离为，利用可求出，然后由可求得结果.【详解】（1）证明：因为垂直于⊙所在的平面，即平面，平面，所以，又为⊙的直径，所以，因为，所以平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）因为，，所以，又，所以，由，得,如图，过点作∥交于点，则，可得，又，所以，所以，设点到平面的距离为，由，可得，所以解得，所以当点移动到点时，与平面所成角的正弦值为．23．C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．24．A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．25．C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.26．C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是27．CD【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.【详解】设，因为平面，，则，，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.28．ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD29．【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵∴∴∴.故答案为：.30．.【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.31．【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为故答案为：【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 32．(1)证明详见解析(2)【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.【详解】（1）由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）[方法一]：判别几何关系依题意，，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小过作，垂足为，在中，，解得，所以，所以过作，垂足为，则，所以平面，且，所以，所以.[方法二]：等体积转换，，是边长为2的等边三角形，连接。
高一数学(必修二)立体几何初步单元测试卷及答案
高一数学（必修二）立体几何初步单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，己知正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为( )A.8B.22C.4D.223+2.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面B.圆心和圆上两个点确定一个平面C.如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点D.如果两条直线没有交点，则这两条直线平行3.正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体中过P ，Q ，R 的截面图形是( ) A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形4.某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ，B ，D ，F ，C 在正视图中分别对应点A ，B ，E ，F ，C ，且3AE EF =，2BF BC =，异面直线AB ，CD 所成角的正弦值为45，则该圆柱的外接球的表面积为( )A.20πB.16πC.12πD.10π5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为122( ) 282B.283142D.1436.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11B C 的中点，则与直线CF 互为异面直线的是( )A.1CCB.11B CC.DED.AE8.下列说法中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
立体几何第一章空间几何体单元测试题(含详细标准答案解析)
第一章综合素能检测时间1２0分钟，满分1５0分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共６0分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.(２０16·菏泽市高一检测)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于错误!（)A.２πﻩB.πＣ.２ﻩD．1[答案] A［解析］所得旋转体是底面半径为1，高为1的圆柱,其侧面积S侧＝2πRh＝２π×1×1=2π．２.(2０16·全国卷Ⅲ，文)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为＼ｘ(导学号)（)A．1８+３６＼r（5) Ｂ．5４+18错误!C.90 Ｄ．８1［答案] B[解析］由三视图,知该几何体是一个斜四棱柱，所以该几何体的表面积S＝2×3×6＋2×3×３＋2×3×35＝54+1８错误!,故选B．3.已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱,侧棱长为5,菱形的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是导学号()A．3034 Ｂ．60＼ｒ(３4)C.30错误!＋１３5ﻩD．13５[答案] A［解析]由菱形的对角线长分别是9和15,得菱形的边长为错误!=错误!错误!,则这个菱柱的侧面积为４×错误!错误!×5＝30错误!.4.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V１和Ｖ2，则V１:Ｖ2＝错误!（)A.1:3ﻩＢ.1:1Ｃ．2:1ﻩＤ.3：1[答案]Ｄ[解析]Ｖ１:Ｖ２=(Sｈ):(错误!Ｓｈ)=３：1．5．(2016·寿光现代中学高一月考)若两个球的表面积之比为1:４，则这两个球的体积之比为导学号( )A．1：2ﻩＢ.１:4Ｃ.1:8 Ｄ.1:16[答案]C［解析]设两个球的半径分别为r1、r2,∴Ｓ１=4πr２，1,S2=4πｒ错误!.∴＼f(S1,Ｓ２）＝错误!=错误!,∴错误!＝错误!．∴错误!=错误!=(错误!）3=错误!.6.如图，△O′A′B′是水平放置的△OＡB的直观图,则△OAＢ的面积为错误!()A．6ﻩB.３ 2C．6＼r（2) D.１２［答案] D[解析]△OＡB是直角三角形,ＯA＝6,OB＝4，∠AOB＝90°，∴Ｓ△ＯAB＝＼f(１,2）×6×4=1２.７.（2015·北京文）某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为导学号( ）A.1B ．＼r(2)C ．＼r(3)ﻩD ．２［答案］ C[解析] 根据三视图,可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V -ABCD ,其中ＶB ⊥平面ＡB ＣD ,且底面AB ＣD 是边长为1的正方形，VB =1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接ＢD ，易知BD =＼ｒ(2),在Rt △ＶＢD 中，VD =错误!=错误!.8.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为错误!（ )A ．1 ﻩB ．＼f （1,２)C ．＼f(＼r （３),２）D.34 [答案] D[解析］ 设圆柱与圆锥的底半径分别为Ｒ,r ,高都是h ,由题设，2R ·ｈ=＼f （1,2)×２r ·h , ∴ｒ=2R ，V 柱＝πR ２h ，Ｖ锥=1３πr 2h =错误!πR ２h , ∴错误!=错误!，选D ．9.半径为R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为错误!( )D ．错误!πR 3 ﻩB.错误!πＲ3C.错误!πR 3 ﻩD ．错误!πR 3[答案] A［解析] 依题意,得圆锥的底面周长为πR ,母线长为R ,则底面半径为错误!,高为错误!R ,所以圆锥的体积为＼ｆ（1,3)×π×(错误!)2×错误!R ＝错误!πR 3．10．（20１5·全国卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问。
必修第8章 立体几何初步单元测试(考试版)
…○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________绝密★启用前第八单元 立体几何初步单元测试卷高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修二2019第八单元 立体几何初步。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）若m ，n ，l 为空间三条不同的直线，,,αβγ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m l n l ⊥⊥，则m n ∥ B ．若,m m αβ∥∥，则αβ∥C ．若,αγβγ⊥⊥，则αβ∥D ．若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ∥2．（2022·河北张家口·一模）下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm ､底面边长为1cm 的正三棱锥，后段是高为0.6cm 的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（ ）A ．30.25cmB ．30.65cmC ．30.15cmD ．30.45cm3．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AD ==，点E 为棱1BB 的中点，过A ，E ，1C 三点的平面截正四棱柱1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（ ）A ．2B ．22C ．23D 34．（2022·北京市第一六一中学高三阶段练习）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则该球的半径为( )A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm5．（2021·江苏苏州·高三阶段练习）用一平面截圆柱，得到如图所示的几何体，截面椭圆的长轴两端点到底面的距离分别为3和5，圆柱的底面直径为4，则该几何体的体积为（ ）A ．16πB ．32πC ．8πD ．64π6．（2022·云南昭通·高三阶段练习（文））如图所示，在正方体1111-ABCD A B C D 中，点F 是棱1AA 上的一个…○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________动点，平面1BFD 交棱1CC 于点E ，则下列命题中假命题是（ ）A ．存在点F ，使得11A C ∥平面1BED FB ．存在点F ，使得1B D ∥平面1BED FC ．对于任意的点F ，四边形1BED F 均为平行四边形 D ．对于任意的点F ，三棱锥11F BB D -的体积均不变7．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））如图，在矩形ABCD 中，2,2AB BC ==，E 为BC 中点，把ABE △和CDE △分别沿,AE DE 折起，使点B 与点C 重合于点P ，若三棱锥P ADE -的四个顶点都在球O的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．9π8．（2022·河南·模拟预测（理））已知球面被平面所截得的部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，若球的半径是R ，球冠的高是h ，则球冠的面积为2πRh ．某机械零件的结构是在一个圆台的底部嵌入一颗小球，其正视图和侧视图均如图所示，已知圆台的任意母线均与小球的表面相切，则小球突出圆台部分的球冠面积为（ ）A ．25πB ．253πC 253D ．1003π 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学立体几何单元测试及答案
立体几何综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题，其中是真命题的为()(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；(2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；(3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；(4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(4) D．(3)(4)A[(1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，所以(1)正确．(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行．综上：(1)(2)为真命题．]2．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3B[①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确．因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A．4 B．5C．6 D．7C[如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C.]4．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB[对于A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；对于C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，lβ，故错误．故选B.] 5．如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对D[∵DA⊥AB，DA⊥P A，∴DA⊥平面P AB.同理BC⊥平面P AB，又AB⊥平面P AD，∴DC⊥平面P AD，∴平面P AD⊥平面AC，平面P AB⊥平面AC，平面PBC⊥平面P AB，平面P AB⊥平面P AD，平面PDC⊥平面P AD，共5对．]6．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定C[∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴l⊥AC.]7．下列命题中正确的是()A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线C[将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.] 8．如图所示的组合体，其构成形式是()A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体D[根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．]9．设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为() A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2B[由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R＝4a2＋a2＋a2，解得R＝62a，所求球的表面积S＝4πR2＝6πa2.]10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2 B.73πa2C.113πa2D．5πa2B[由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝23×32a＝33a，OP＝12a，所以球的半径R＝OA满足R2＝⎝⎛⎭⎪⎫33a2＋⎝⎛⎭⎪⎫12a2＝7 12a 2，故S球＝4πR2＝73πa2.]11．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310C[如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径为R ＝OA ＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝132.]12．已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ⊥α，m α，则l ⊥mB ．若l ⊥m ，m α，则l ⊥αC ．若l ∥m ，m α，则l ∥αD ．若l ∥α，m α，则l ∥m A [对于A ，若l ⊥α，m α，则根据直线与平面垂直的性质，知l ⊥m ，故A 正确；对于B ，若l ⊥m ，m α，则l 可能在α内，故B 不正确；对于C ，若l ∥m ，m α，则l ∥α或l α，故C 不正确；对于D ，若l ∥α，m α，则l 与m 可能平行，也可能异面，故D 不正确．故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知正六棱柱的侧面积为72 cm 2，高为6 cm ，那么它的体积为__________cm 3. 363 [设正六棱柱的底面边长为x cm ，由题意得6x ·6＝72，所以x ＝2 cm ， 于是其体积V ＝34×22×6×6＝36 3 cm 3.]14．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________． 180° [S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l . 设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，∴θ＝180°.]15．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C1MN等于________．90°[∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN.又∠B1MN为直角，∴B1M⊥MN.而B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面MB1C1.又MC1平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.]16．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．63 [设四面体的高为h ，则h ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×12＝63，13Sh ＝13S (d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，∴d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝h ＝63.]B三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连结A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′BC ′D 的体积．[解] (1)∵ABCD -A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴六个面是互相全等的正方形，∴A ′C ′＝A ′B ＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2， ∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′ABD ，C ′BCD ，D A ′D ′C ′， B A ′B ′C ′是完全一样的， ∴V 三棱锥A ′BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝13a 3.18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 所以EF ∥AB .又因为EF 平面ABC ，AB 平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， BC 平面BCD ，BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD .因为AD 平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB 平面ABC ，BC 平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC . 又因为AC 平面ABC ， 所以AD ⊥AC .19.(本小题满分12分)如图，圆锥的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q 为底面圆周上一点．(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；(2)若∠AOQ＝120°，QB＝3，求圆锥的表面积．[解](1)证明：∵SQ＝SB，OQ＝OB，C为QB的中点，∴QB⊥SC，QB⊥OC.∵SC∩OC＝C，∴QB⊥平面SOC.又∵QB平面SBQ，∴平面SOC⊥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝3，∴∠BOQ＝60°，即△OBQ为等边三角形，∴OB＝ 3.∵△SAB为等腰直角三角形，∴SB＝6，∴S侧＝3·6π＝32π，∴S表＝S侧＋S底＝32π＋3π＝(3＋32)π.20．(本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：P A∥平面BDE；(2)求证：平面P AC⊥平面BDE；(3)若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．[解](1)证明：连结OE，如图所示．∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥P A.∵OE平面BDE，P A平面BDE，∴P A∥平面BDE. (2)证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC.又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面P AC.又∵BD平面BDE，∴平面P AC⊥平面BDE.(3)取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥BD .∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFO ，∴OE ⊥BD ，∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a .∴V P ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.21.(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC 的值．[解] (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高．又P A ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM . 由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN .又BM 平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.22．(本小题满分12分)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．(1) (2)(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.说明理由．这样的设问该怎么回答？[解](1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE平面A1CB，BC平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC，而A1F平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，∵BE平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(A1B的中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。
第八章 立体几何初步 单元测试-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2022-2023学年高一第二学期第八章《立体几何初步》单元测试（新人教A 版必修第二册）一、单项选择题（每小题5分，共40分）1、下列说法中正确的是 A ．若一个平面内有3个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行B ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱D ．过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行2、已知正三角形的边长为2，那么的直观图△的面积为 ABCD3、已知S 为圆锥的顶点，O为底面圆心，圆锥的体积为 ABCD4、如图：已知正四面体中E 在棱上，，G 为的重心，则异面直线与所成角为（ ）A. B. C. D. 5．已知直线，与平面，，，则能使成立的充分条件是 A ．，B ．，C ．，D ．，，6、如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题错误的是 ()ABC ABC ∆A B C '''()SO =()ABCD CD 2EC DE =ABC V EG BD 30°45︒60︒90︒m n αβγαβ⊥()αγ⊥βγ⊥//m α//m β//m αm β⊥m n ⊥m αβ= n β⊂1111ABCD A B C D -()A ．直线与平面所成的角等于B ．点到面C ．两条异面直线和所成的角为D ．三棱柱7、端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗. 粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明, 且形状各异. 裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子, 是用当地特有的冬叶、水草包裹糯米、绿豆、猪肉、咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子. 现将裹蒸粽看作一个正四面体, 其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为时，该裹蒸粽的高的最小值为A. B. C. D. 8、已知三棱锥中，，，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的半径为 A ．2B．5C ．13D 二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9、高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线 A ．垂直B ．相交C ．异面D ．平行10、设，，表示不同的点，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法错误的是 A ．若，，，则B ．若，，，，则C ．若，，，，，，则D ．若，，，则11、如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下命题中正确的是 BC 11ABC D 4πC 11ABCD 1D C 1BC 4π1111AA D BB C -43π46810O ABC -A B C O 2AB BC ==120ABC ∠=︒O ABC -O ()()A B C n l αβ()l αβ= //n α//n β//n l A B l ∈A B α∉//l αA B α∈A B C β∈l αβ= C l ∈//αβl α⊂n β⊂//l n ABCD 2AB =3BAD π∠=ABD ∆BD A A 'A 'BCD M A C 'ABD ∆()A ．四面体的体积的最大值为1B ．存在某一位置，使得C ．异面直线，所成的角为定值D ．当二面角的余弦值为时，四面体12、四面体的四个顶点都在球的球面上，，，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是 A ．过点，，做四面体的截面，则该截面的面积为2B ．四面体C ．与的公垂线段的长为D ．过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为二、填空题（每小题5分，共20分）13、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ．14、在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 ．15、某校高一级学生进行创客活动，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去正四棱台后所得的几何体，其中，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属，不考虑损耗，所需金属膜的质量为____________．A BCD '-BM CD ⊥BM A D 'A BD C '--13A BCD '-ABCD O 4AB BC CD DA ====AC BD ==EFG BC CD AD ()E F G ABCD ABCD AC BD E O 5:41111ABCD A B C D -P 11B D PB 1AD 1111ABCD A B C D -ABCD EFGH -122,6cm,4cm AB EF BF AB BC AA =====2mg mg16、如图，在长方体中，四边形是边长为4的正方形，，为棱的中点，为棱（包括端点）上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值是 ．三 解答题（共6小题，共计70分）17、（10分）如图，在三棱锥中，平面，是直角三角形，，．，分别是棱，的中点．（1）证明：平面平面．（2）求三棱锥的体积．18．（12分）如图，在三棱锥中，，底面．1111ABCD A B C D -ABCD 13AA =E CD F 11C D A DEF -P ABC -PA ⊥ABC ABC ∆AC BC =6PA AB ==D E PB PC PAC ⊥ADE P ADE -P ABC -90ACB ∠=︒PA ⊥ABC（1）求证：平面平面；（2）若，，求与平面所成角的正弦值．19．（12分）如图，在直四棱柱中，四边形是平行四边形，是的中点，点是线段上，且．（1）证明：直线平面．（2）若，，，求点到平面的距离．20、（12分）如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点底面四边形是边长为2的菱形，且，交于点．（1）求证：平面；（2）二面角的平面角为，若．①求与底面所成角的大小；②求点到平面的距离．21、（12分）如图在直三棱柱中，，，，是上的一点，且，、、分别是、、的中点，与相交于．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；PAC ⊥PBC 2AC PA ==3BC =AB PBC 1111ABCD A B C D -ABCD F 1BD E 1CD 12D E CE =//AF BDE 13AA AB ==2AD =60BAD ∠=︒F BDE P ABCD -PB PD =PA PC ⊥M N PA BC ABCD 60DAB ∠=︒AC BD O //MN PCD B PC D --θ1cos 7θ=-PA ABCD N CDP 111ABC A B C -90ABC ∠=︒2BC =14CC =E 1BB 11EB =D F G 1CC 11B C 11A C EF 1B D H 1B D ⊥ABD //EFG ABD（Ⅲ）求平面与平面的距离．22、（12分）如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，．（1）求证：平面；（2）若直线与平面，求二面角的余弦值．参考答案1、D2、D3、B4、A5、C6、C7、A8、D 8、【解析】设的外接圆的圆心为，半径为,在中，，，由余弦定理可得，由正弦定理可得，解得，所以又三棱锥所以EGF ABD P ABCD -ABCD 12BC AD =//BC AD PCD ABCD BC PD ⊥BC ⊥PCD PB ABCD P AB D --ABC ∆1O r ABC ∆2AB BC ==120ABC ∠=︒222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=24sin AC r ABC ===∠2r =11sin 2222ABC S AB BC ABC ∆=⋅⋅⋅∠=⨯⨯=O ABC -111133O ABC ABC V S OO OO -∆=⋅⋅==故三棱锥的高，所以球．9、AC10、BCD 11、ABD 12、ACD9、【解析】根据题意可得：对直线与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线垂直，A 正确；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面，若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面，C 正确，B 、D 错误；【答案】AC11、【解析】连接交于，连接，取的中点，连接，，对于A ，当平面平面时，四面体的体积最大，点到平面的距离最大，此时在菱形中，，则，都是等边三角形，则，此时四面体的体积为，所以四面体的体积的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为，分别为，的中点，所以，且，由题意，则，当时，，因为，O ABC -13OO =O =l l AC BD O OA 'CD N MN BN A BD '⊥BCD A BCD '-A 'BCD ABCD 2AB =3BAD π∠=ABD ∆BCD ∆OA OA OC '===A BCD '-112132⨯⨯=A BCD '-M N C 'CD BN CD ⊥//MN A D '112MN A D ='=2(0,)3A DC π∠'∈2(0,3MNC π∠∈2MNC π∠=MN CD ⊥MN BN N =所以当时，平面，又平面，所以，所以存在某一位置，使得，故B正确；对于C，因为，所以异面直线，所成的角即为或其补角，，因为不为定值，所以不为定值，即异面直线，，所成的角不为定值，故C错误；对于D，因为，，所以即为二面角的平面角，则，所以，所以四面体为正四面体，如图，补全正四面体，即四面体的D正确．【答案】ABD12、【解析】如图所示：取中点，连结、，则有：，且，同理可得，且所以，且为平行四边形，2MNCπ∠=CD⊥BMNBM⊂BMN CD BM⊥BM CD⊥//MN A D'BM A D'BMN∠2131cos22BM BMBMNBM BM+-∠==-BM cos BMN∠BM A D'OC BD⊥OA BD'⊥A OC∠'A BD C'--26163A CA OC-'∠'==2A C'=A BCD'-A BCD'-=A BCD'-AB H EH HG//HG BD12GH BD==//EF BD12EF BD== //HG EF HG EF==EFGH同理可得，且，所以平行四边形的菱形；取中点，连结、，因为，所以，同理，所以平面，所以，又因为，，所以，所以菱形的正方形，所以，故A 正确；因为，，，所以，同理可得，在中，，所以边上的高，又因为平面，为中点，所以，故B 错；因为平面，平面，所以，又因为，所以是与的公垂线，由选项可知，故C 正确；取中点，则为球心，理由如下：因为平面，，所以，同理，，所以，所以即为球心，所以，又因为，所以过所作的面积最小的截面是以为圆心，为半径的圆；面积最大的截面是过，的大圆，//HE GF HE GF ==EFGH BD Q AQ CQ AB AD =AQ BD ⊥CQ BD ⊥BD ⊥ACQ BD AC ⊥//HG BD //HE AC HG HE ⊥EFGH 2EFGH S =4AB AD ==BD =AQ BD ⊥BQ DQ ==AQ =CQ =ACQ ∆AQ CQ ==AC =AC QM ==12ACQ S AC QM ∆=⋅⋅=BD ⊥ACQ Q BD 1122233A BCD B ACQ ACQ V V S BQ --∆==⨯⨯=⨯⨯=BD ⊥ACQ QM ⊆ACQ BD QM ⊥QM AC ⊥QM AC BD B QM =QM S S O BD ⊥ACQ BQ DQ =12QS QM ==225SB SD ==12MS QM ==225SA SC ==SA SB SC SD ====S O R =OE BC ⊥E E 2BE =O E所以，故D 正确．13、 14、15、16、15、【详解】由题意，该几何体侧面4个面的面积和为，底面积，正方形面积.考虑梯形，高为，故正四棱台的侧面积为，故该模型表面积为，故所需金属膜的质量为16、【解析】如图，取的中点，过作平面的垂线，与平面交于点，过作的垂线，垂足为，则三棱锥外接球的球心在上，设，，则，设球的半径为，则，即，所以．因为，所以，则．()()22::5:4S S R BE ππ==大小2π6π282+2449π244696cm ⨯⨯=26636cm ⨯=EFGH 2339cm ⨯=ABFE =()214362⨯+=(296369141cm +++=+((2141282mg⨯+=+AE 1O 1O ABCD 1111A B C D M M 11C D N E ADF -O 1MO 1OO m =NF n =03n ……O R 222R OE OF ==22222225(3)4R m OM MN NF m n =+=++=-++286n m +=03n ......41736m (2261)59R m =+…故三棱锥外接球的表面积．17、（1）证明：因为是直角三角形，且，所以．因为平面，且平面，所以．因为平面，平面，且，所以平面．因为，分别是棱，的中点，所以，，因为平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解：因为，所以因为平面，且，所以三棱锥的体积．连接，因为是棱的中点，所以三棱锥的体积．因为是棱的中点，所以三棱锥的体积．因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，所以的体积为．18．（1）证明：底面．，又，，又，平面，又平面，平面平面；（2）解：取的中点，连接、，，，又平面平面且交线为，平面，A DEF -224449S R ππ=…ABC ∆AC BC =AC BC ⊥PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA BC ⊥PA ⊂PAC AC ⊂PAC PA AC A = BC ⊥PAC D E PB PC 12DE BC =//DE BC BC ⊥PAC DE ⊥PAC DE ⊂ADE PAC ⊥ADE 6AB =AC BC ==PA ⊥ABC 6PA =P ABC -1161832V =⨯⨯=CD D PB D PAC -11118922V ==⨯=E PC D PAE -211199222V V ==⨯=P ADE -D PAE -P ADE -92PA ⊥ ABC PA BC ∴⊥90ACB ∠=︒ AC BC ∴⊥PA AC A = BC ∴⊥PAC BC ⊂PBC ∴PBC ⊥PAC PC O AO BO PA AC = AO PC ∴⊥ PBC ⊥PAC PC AO ∴⊥PBC直线在平面中的射影为，为与平面所成的角，在直角中，，，．19．（1）证明：连接，记，连接．取线段的中点，连接，．因为四边形是平行四边形，所以是的中点．因为是的中点，且，所以是的中点，因为，分别是，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，分别是，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面，且，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）解：由（1）可知平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离．因为，，，所以的面积为作，垂足为，连接，则平面．因为，所以，，则．因为，，，所以AB PBC OB ABO ∴∠AB PBC AOB ∆AB =AO =∴sin ABO ∠=AC AC BD O = OE 1D E H AH HF ABCD O AC H 1D E 12D E CE =E HC O E AC HC //OE AH OE ⊂BDE AH ⊂/BDE //AH BDE H F 1D E 1BD //HF BE BE ⊂BDE HF ⊂/BDE //HF BDE AH ⊂AHF HF ⊂AHF AH HF H = //AHF BDE AF ⊂AHF //AF BDE //AF BDE F BDE A BDE 2AD =3AB =60BAD ∠=︒ABD ∆1sin 2AD AB BAD ⋅∠=EG CD ⊥G BG EG ⊥ABCD 12D E CE =1113EG DD ==22DG GC ==DE =3AB =2AD =60BAD ∠=︒BD因为，，，所以，则．在中，由余弦定理可得．故的面积为．设点到平面的距离为，因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以，解得到平面20、（1）证明：取得中点，连接，，如图，为的中点，，为的中点且四边形为菱形，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2）解：①连接，过作于，连接，，由，是的中点，，由菱形知，又，平面，平面，平面平面，且交线为，直线在平面上的射影为，即与底面所成角为，平面，，且在平面上的射影为，，又，，是的中点，是的中点，，由知，，，为二面角的平面角，，1CG =2BC =60BCG ∠=︒BG =2BE =BDE ∆cos BED ∠==sin BED ∠=BDE ∆11sin 222BE DE BED ⋅∠=⨯=F BDE h E ABD -A BDE -11133=h =F BDE PD E ME CE M PA ∴1,//2ME AD ME AD =N BC ABCD ∴1//,2NC AD NC AD =//NC ME ∴NC ME =∴MNCE //MN EC ∴MN ⊂/PCD CE ⊂PCD //MN ∴PCD PO B BF PC ⊥F DF OF PB PD =O BD PO BD ∴⊥ABCD AC BD ⊥PO AC O = BD ∴⊥PAC BD ⊂ ABCD ∴PAC ⊥ABCD AC ∴PA ABCD AC PA ABCD PAC ∠BD ⊥ PAC BF PC ⊥BF PAC OF OF PC ∴⊥PA PC ⊥//OF PA ∴O BD F ∴PC 2PB BC ∴==BPC DPC ∆≅∆DF PC ⊥BF DF =BFD ∴∠B PC D --∴2222222162cos 277BD BF DF BF DF BFD BF BF BF =+-⋅∠=+=即，解得，，，，，即与底面所成角的大小为；②连接，过作于，由，平面，平面，平面，点到平面的距离即点到平面的距离，，，，平面，平面平面，且是交线，，平面，在中，，由等积法可得，即，即点到平面．21、（12分）（Ⅰ）证明：由直三棱柱的性质，得平面平面，又，平面，又平面，，，在和△中，，，即，又，平面．（Ⅱ）证明：由题意知，在△中，，又，，平面，不包含于平面，平面，、分别为、的中点，，又，，，不包含平面，平面，平面，平面，，平面平面．（Ⅲ）解：平面，平面平面，平面，为平行平面与之间的距离，21647BF =274BF =∴23PC FC ===∴sin 2PC PC PAC AC AO ∠====090PAC ︒∠︒ ……60PAC ∴∠=︒PA ABCD 60︒ON O OG FD ⊥G //ON CD ON ⊂/PCD CD ⊂PCD //ON ∴PCD ∴N CDP O CDP BF PC ⊥ DF PC ⊥BF DF F = PC ∴⊥BFD ∴PCD ⊥BDF DF OG FD ⊥ OG ∴⊥PCD Rt OFD ∆1,OF OD DF ===OF OD FD OG ⋅=⋅OG =N CDP ABC ⊥11BB C C AB BC ⊥AB ∴⊥11BB C C 1B D ⊂11BB C C 1AB B D ∴⊥1112BC CD DC B C ==== ∴Rt BCD ∆Rt 11DC B 1145BDC B DC ∠=∠=︒190BDB ∴∠=︒1B D BD ⊥AB BD B = 1B D ∴⊥ABD 111EB B F ==∴Rt 1EB F 145FEB ∠=︒145DBB ∠=︒//EF BD ∴BD ⊂ ABD EF ABD //EF ∴ABD G F 11A C 11B C 11//GF A B ∴11//A B AB //GF AB ∴\AB ABD ⊂ 平面GF ABD //GF ∴ABD EF ⊂ EFG GF ⊂EFG EF GF F = ∴//EFG ABD 1B D ⊥ ABD //EGF ABD 1B D ∴⊥EGF HD ∴EFG ABD．22、证明：（1）如图所示，取中点，连接，是正三角形，又平面平面，且平面平面，平面，平面，，，且，平面；如图所示，连接，，过点，作，，分别与交于点，，过点作，交于点，连接，设，，，则，由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角，平面，，则，解得：，故，，解得又，所以平面，，，，解得所以点为线段的中点，故点也为线段中点，11HD B D B H ∴=-==CD O PO PCD ∆ PO CD∴⊥PCD ⊥ABCD PCD ⋂ABCD CD =PO ∴⊥ABCD BC ⊂ABCD PO BC ∴⊥BC PD ⊥ PO PD P = BC ∴⊥PCD OB BD D P DM AB ⊥PN AB ⊥AB M N M //MQ NP AP Q DQ 22AD BC ==2CD a =0a >OP =OP ⊥ABCD OBP ∴∠PB ABCD BC ⊥PCD BC CP ∴⊥OP PB OBP BP =∠===1a =BD AB ====BM AM =DM //BC AD AD ⊥PCD AD PD ⊥PA ===BN AN PN ===M AN Q AP所以，所以即为二面角的平面角，．12QM PN DQ ===DMQ ∠P AB D --222cos 2DM QM DQ DMQ DM QM +-∠===⋅。
人教A版数学必修第2册单元测试第八章 立体几何初步(原卷版)
第八章 立体几何初步 综合测试(原卷版)考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱柱有a 个顶点，b 条棱，则a －b ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．4D ．－42．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有面对角线中，所在直线与直线A 1B 互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为( )A ．2B ．4C ．6D ．83．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为( )A ．49π2B ．49πC ．81π2D ．81π4．空间四点A ，B ，C ，D 共面而不共线，那么这四点中( ) A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线D ．不可能有三点共线5．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件可以是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β垂直于同一条直线 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一个平面6．E ，F ，G 分别是空间四边形ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面P AD交于EF，E在线段PD上且异于P、D，则四边形EFBC是()A．空间四边形B．矩形C．梯形D．平行四边形8．(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(7≈2.65)() A．1.0×109 m3B．1.2×109 m3C．1.4×109 m3D．1.6×109 m3二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．以下关于空间几何体特征性质的描述，错误的是()A．以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥B．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D．两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台10．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，一定正确的为()A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°11．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是()A．A1M∥D1P B．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB112．如图，在棱长均相等的正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为侧棱P A、PB的中点，O是底面四边形ABCD对角线的交点，下列结论正确的有()A．PC∥平面OMN B．平面PCD∥平面OMNC．OM⊥P A D．PD⊥平面OMN三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是____．14．将长为3，宽为2的长方形，绕其一边旋转成的几何体的表面积为____．15．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为___厘米．16．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为____．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，圆锥底面半径为1，高为3．(1)求圆锥内接圆柱(一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面)侧面积的最大值；(2)圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．18．(本小题满分12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，侧棱P A⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD．20．(本小题满分12分)(2020·江苏卷)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．21．(本小题满分12分)(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A－PM－B的正弦值．22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1．(1)求证：DC1∥平面A1ABB1；(2)若二面角A1－DC－A为45°．①求证：平面A1C1D⊥平面A1AD；②求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值．。
空间向量与立体几何单元测试
第3章 空间向量与立体几何单元测试（总分150分，测试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂其中为假命题的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④2．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125 B ．π6125 C ．π9125D ．π31253．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题： ①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知集合M={直线的倾斜角}，集合N={两条异面直线所成的角}，集合P={直线与平面所成的角}，则下面结论中正确的个数为 （ ）①]2,0(π=⋂⋂P N M②],0[π=⋃⋃P N M ③]2,0[)(π=⋃⋂P N M④)2,0()(π=⋂⋃P N MA ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD 1与DM 所成的角为 （ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°6．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，CC 1=2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为（ ）A ．23 B ．25 C ．510 D ．10107．已知2(,2,0),(3,,)a x b x x ==-，且a b 与的夹角为钝角，则x 的取值范围是 （ ）A ．4x <B ．40x -<<C ．04x <<D ．4x >8．正方形ABCD ，沿对角线BD 折成直二面角后不会成立的结论是 （ ）A ．AC ⊥BDB ．△ADC 为等边三角形 C ．AB 、CD 所成角为60°D ．AB 与平面BCD 所成角为60°9．在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 （ ）A ．若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α.B ．若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.C ．若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α.D ．若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.10．．长方体1111ABC D A B C D -中，12,1,AA AB AD ===点E 、F 、G 分别是1DD １、ＡＢ、ＣＣ的中点，则异面直线１ＡＤ与ＧＦ所成的角是 （ ）A ．arccos5B ．4πC ．arccos5D ．2π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论：①若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，βn//，则//αβ；②若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥；③若n α⊥，//m α，则n m ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则βn//.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③ 2．球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（ ）A ．803πB ．32πC ．42πD ．48π3．如图,P 是正方体1111ABCD A B C D -中1BC 上的动点，下列命题：①1AP B C ⊥；②BP 与1CD 所成的角是60°；③1P AD C V -为定值；④1//B P 平面1D AC ；⑤二面角PAB C 的平面角为45°． 其中正确命题的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直于⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．MN //ABB ．MN 与BC 所成的角为45° C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）A ．[3,17]B ．[2,3]C ．[6,22]D ．[17,5] 6．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为219，球1O 为该三棱锥的内切球.若球2O 与球1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球2O 与球1O 的表面积之比为（ ）A ．49B ．19C ．925D ．1257．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是（ ）A ．aB ．2aC 2aD ．22a 8．菱形ABCD 的边长为3，60B ∠=，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）A ．15πB ．12πC ．8πD ．6π9．鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm ），则此构件的表面积为（ ）A ．27600mmB ．28400mmC ．29200mmD ．210000mm 10．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题；①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥.②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥.③如果//αβ，m α⊂，那么//m β.④如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．如图为水平放置的ΔOAB 的直观图，则原三角形的面积为（ ）A ．3B ．32C ．6D ．1212．已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a α⊥，b β//，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，b β//，αβ⊥13．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）A ．13cmB ．61cmC 61cmD ．234cm14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台的母线长是（ ）A ．9cmB ．10cmC ．12cmD ．15cm二、解答题15．如图三棱柱111ABC A B C －中，11,,60CA CB AB AA BAA ∠︒＝＝＝，（1）证明1AB A C ⊥；（2）若16AC ＝，2AB CB ＝＝，求三棱柱111ABC A B C －的体积S . 16．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 是底面圆周上异于,A B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离. 17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面PAC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===.（1）求证：//EF 平面11BB C C ；（2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//DF 平面PEB ；（2）求直线EF 与平面PDC 所成角的正弦值.20．如图，在空间几何体A -BCDE 中，底面BCDE 是梯形，且CD //BE ，CD =2BE =4，∠CDE =60°，△ADE 是边长为2的等边三角形.（1）若F 为AC 的中点，求证：BF //平面ADE ；（2）若AC =4，求证：平面ADE ⊥平面BCDE .21．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 22．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .（I ）证明：平面AMD ⊥平面CDE ；（II ）求二面角A ﹣CD ﹣E 的余弦值.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，1AD =，60DAB ∠=︒，PD BD =，且PD ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若Q 为PC 的中点，求三棱锥D PBQ -的体积．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PB PA ⊥，PB PA =，90DAB ABC ∠=∠=，435AB BC CD ===，，，M 是PA 的中点.（1）求证：BM //平面PCD ；（2）求三棱锥B CDM -的体积.25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点．（1）求证:平面11BDD B ⊥平面1C OC ；（2）求二面角1C BD C --的正切值．26．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形,,60,PA PD BAD E =∠=是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（1）求证：AD ⊥平面PBE ；（2）若Q 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDQ ；（3）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求CP CQ的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解．【详解】解：对于①，由面面平行的判定定理可得，若m 、n 互为异面直线，//m α，//n β，则//αβ或相交，又因为//m β，//n α，则//αβ，故①正确；对于②，若m n ⊥，m α⊥，//n β，则//αβ或α，β相交，故②错误， 对于③，若n α⊥，//m α，则n m ⊥；故③正确，对于④，若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β或n β⊂，故④错误，综上可得：正确的是①③，故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．2．D解析：D【分析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R ，由题意可得：()22222444R =++,据此可得：212R =，外接球的表面积为：2441248S R πππ==⨯=.本题选择D 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 3．C解析：C【详解】①在正方体中，1111,,AB B C BC B C AB BC B ⊥⊥=，所以1B C ⊥平面11,ABC D AP ⊂平面11ABC D ，从而1AP B C ⊥正确；②由于11//CD A B ,并且11,BC A B 的夹角是60°，故1BP CD 与所成的角是60°正确；③虽然点P 变化，但P 到1AD 的距离始终不变，故1P AD C V -为定值正确；④若1//B P 平面1D AC ，而1//BC 平面1D AC ，1111,,B P BC P B P BC =⊂平面11BB C C ，所以平面1//D AC 平面11BB C C ，这与平面1D AC 与平面11BB C C 相交矛盾，所以不正确；⑤P 点变化，但二面角PAB C 都是面11ABC D 与面ABCD 所成的角, 故二面角PAB C 的平面角为45°正确；故选：C. 4．D解析：D【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN 不与AB 平行，根据异面直线平面角知MN 与BC 所成的角为90°，应用反证知OC 不与平面VAC 垂直，由面面垂直的判定知面VAC ⊥面VBC ，即可知正确选项.【详解】M ，N 分别为VA ，VC 的中点，在△VAC 中有//MN AC ，在面ABC 中AB AC A =，MN 不与AB 平行；AC BC C =，知：MN 与BC 所成的角为90BCA ∠=︒；因为OC ⋂面VAC C =，OC 与平面内交线,AC VC 都不垂直，OC 不与平面VAC 垂直； 由VA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC 即VA BC ⊥，而90BCA ∠=︒知AC BC ⊥，AC VA A ⋂=有BC ⊥面VAC ，又BC ⊂面VBC ，所以面VAC ⊥面VBC ； 故选：D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.5．C解析：C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】 如图所示：，取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．在1H C G 中，2212222C G =+=2212222C H =+=22GH =， 所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，1226C O ==故线段1C P 长度的取值范围是6,22]．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．6．C解析：C【分析】先证明PO ⊥平面ABC ，接着求出19cos 19PAO =∠，再得到214r PO =和114R PO =，从而得到35rR=，最后求出球2O与球1O的表面积之比即可.【详解】如图，取ABC的外心O，连接PO，AO，则PO必过1O，2O，且PO⊥平面ABC，可知PAO∠为侧棱与底面所成的角，即219cos19PAO=∠.取AB的中点M，连接PM，MC.设圆1O，2O的半径分别为R，r，令2OA=，则19PA=，23AB=，3AM=，1OM=，所以214r OMPO PM==，即24PO r=，从而145PO r r R r R=++=+，所以1154R RPO r R==+，则35rR=，所以球2O与球1O的表面积之比为925.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.7．D解析：D【分析】解：设G，H，I分别为CD、1CC、11C D边上的中点，证明平面1//A BGE平面1B HI，得到1//B F面1A BE，则F落在线段HI上，求出1122HI CD==【详解】解：设G，H，I分别为CD、1CC、11C D边上的中点，1//A B EG,则1A BEG四点共面，11//,//EG HI B H A E , 平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，11222HI CD a ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选：D ．【点睛】本题考查利用线面平行求线段长度，找到动点的运动轨迹是解题的关键，属于基础题. 8．A解析：A【分析】首先根据已知条件找到四面体外接球的球心，再求出半径，即可得到球体的表面积.【详解】如图所示，1O ，2O 分别为ABC 和DAC △的外接圆圆心，因为菱形ABCD ，60B ∠=，所以ABC 和DAC △为等边三角形.设E 为AC 的中点，连接DE ，BE ，则DE AC ⊥，BE AC ⊥，又因为平面ACD ⊥平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC .分别过1O ，2O 作垂直平面ABC 和平面ACD 的直线，则交点O 为四面体ABCD 外接球的球心.因为2233332⎛⎫==-= ⎪⎝⎭EB DE ，四边形12OO EO 为矩形， 所以123==O B DO ，1213===O E O E OO . 所以外接圆半径为()223153=22⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，表面积为15π. 故选：A【点睛】 本题主要考查四面体外接球的表面积，根据题意确定外接球的球心为解题关键，属于中档题.9．B解析：B【分析】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，进而求出表面积即可.【详解】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，如下图所示，其表面积为：()210020220202100204010210202840m 0m S =⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查三视图，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.10．C解析：C【分析】对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断；对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断；对③，运用面面平行的性质定理，即可判断；对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④．【详解】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ，ABCD 所在的平面为α，ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则//l n ，由m α⊥知m l ⊥，从而m n ⊥，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果//αβ，m α⊂，那么//m β.③正确；由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，④正确.故选：C .【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题．11．C解析：C【分析】根据直观图的画法，可以得到直角坐标系下3014A B (,),(,)，还原三角形的图象，求得面积.【详解】根据直观图的画法，可以得到直角坐标系下3014A B (,),(,)，如图所示：故原三角形面积为：13462S =⨯⨯= 故选：C【点睛】 本题考查了还原直观图为直角坐标系的图像问题，考查了学生概念理解，直观想象，数学运算的能力，属于基础题.12．C解析：C【分析】在A 中，a 与b 可以成任意角；在B 中a 与b 是平行的；在C 中，可得b α⊥，从而得到a b ⊥；在D 中，可得a 与b 可以成任意角，从而得到正确结果.【详解】由a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，在A 中，a α⊥，b β//，αβ⊥，因为b 的方向不确定，则a 与b 可以成任意角，故A 错误；在B 中，a α⊥，b β⊥，//αβ，根据对应的性质可知，可知a 与b 是平行的，故B 错误；在C 中，由a α⊂，b β⊥，//αβ，可知b α⊥，由线面垂直的性质可知a b ⊥，故C 正确；在D 中，a α⊂，b β//，αβ⊥，可得a 与b 可以成任意角，故D 错误．故选：C.【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目．13．A解析：A【分析】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，计算得到答案.【详解】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，易知5BC =，'12A C =，故'13A B =.故选：A .【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 14．A解析：A【分析】计算得到12:1:4r r =，根据相似得到3134l =+，计算得到答案. 【详解】圆台上、下底面的面积之比为1:16，则12:1:4r r =.设圆台母线长为l ，根据相似得到：3134l =+，故9l =. 故选：A .【点睛】本题考查了圆台的母线长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 二、解答题15．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，根据已知条件，利用等腰三角形的性质得到1A E AB ⊥，,CE AB ⊥利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥面1,CEA 即可得到1AB A C ⊥ ；（2） 在1CEA 中可以证明1A E CE ⊥，结合1A E AB ⊥，利用线面垂直判定定理得到1A E ⊥平面ABC ,作为三棱柱的高，进而计算体积.【详解】(1)取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，11,60AB AA BAA ∠︒＝＝，1BAA ∴是等边三角形，1A E AB ∴⊥，CA CB ＝，,CE AB ∴⊥1,CE A E E ⋂＝AB ∴⊥面1,CEA1AB A C ∴⊥.(2)由于CAB ∆为等边三角形，CE ∴11222S AB CE ⨯⨯⨯=底面积＝＝1CEA 中，CE 1EA 1AC =1A E CE ∴⊥，结合1A E AB ⊥，又,,AB CE E AB CE ⋂=⊂平面ABC ,1A E ∴⊥平面ABC ,1h A E ∴＝3V Sh =＝.【点睛】本题考查线面垂直的判定与证明，考查棱柱的体积计算，属基础题，为证明线线垂直，常常先证线面垂直，为证明线面垂直，又常常需要先证明线线垂直，这是线面垂直关系常用的证明与判定方式，要熟练掌握.16．（1）详见解析；（2【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明AF ⊥平面DEB ；（2）首先确定点E 的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）由圆柱性质可知，DA ⊥平面ABE ，EB ⊂平面AEB ，DA EB ∴⊥， AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，AE EB ∴⊥，又AE DA A ⋂=，BE ∴⊥平面DAE ，AF ⊂平面DAE ，EB AF ∴⊥，又AF DE ⊥，且EB DE E =，AF ∴⊥平面DEB ，DB ⊂平面DEB ，AF DB ∴⊥；（2）13D AEB AEB V S DA -=⨯⨯，3DA =， 当D AEB V -最大时，即AEB S 最大，即AEB △是等腰直角三角形时，2DA AB ==∵，BE ∴=DE ==，并且点E 到平面ABCD 的距离就是点E 到直线AB 的距离112AB =, 设点C 到平面EBD 的距离为h ，则1111262213232C DBE E CBD V V h --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 解得：233h = 【点睛】方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.17．（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出1//PO BD ．由此能证明直线1//BD 平面PAC ；（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【详解】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点.连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD .又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC所以直线1//BD 平面PAC.（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==212AO AC ==且PO AO ⊥， 所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦，所以30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30.【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形） 方法二：（向量法）cos m n m n α=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.18．（1）证明见解析；（2）217. 【分析】（1）由题意可得11//OE B C ，1//OF C C ，利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ，由面面平行的性质定理即可证明. （2）利用等体法111112A A B C C AA B V V --=，求出点1C 到平面11AA B 的距离2217d =，由11sin d A C θ=即可求解. 【详解】证明：（1）∵O ，E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，∴11//OE B C ，1//OF C C ，1111B C C C C ⋂=，//OE ∴平面11B C C ，//OF ∴平面11B C C ，又OE OF O ⋂=，∴平面//OEF 平面11BB C C ，∵EF ⊂平面OEF ，∴//EF 平面11BB C C .（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111112A A B C C AA B V V --=， ∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，AO ==1OB ==1AB ==，∵11AA B中，111A B AB ==，12AA =，∴11AA B S =∴11122323d ⨯⨯⨯=，解得7d =， 设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∴11A C 与平面11AA B所成角的正弦值为：11sin 7d AC θ==. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理.（3）利用面面平行的性质.19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）取PB 中点G ，推出//FG BC ，证明四边形DEGF 是平行四边形，得到//DF EG ，然后证明//DF 平面PEB .（2）以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PDC 的法向量，求出EF ，利用空间向量的数量积求解EF 与平面PDC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取PB 中点G ，因为F 是PC 中点，//FG BC ∴，且12FG BC =， E 是AD 的中点，则//DE BC ，且12DE BC =， //FG DE ∴，且FG DE =，∴四边形DEGF 是平行四边形，//DF EG ∴，又DF ⊂/平面PEB ，EG ⊂平面PEB ，//DF ∴平面PEB .（2）因为E 是正三角形PAD 边为AD 的中点，则PE AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ，PE ∴⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，∴正三角形BAD 中，BE AD ⊥，以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设菱形ABCD 的边长为2，则1AE ED ==，2PA =，3PE =，223BE AB AE =-=则点33(0,0,0),(1,0,0),(3,0),3),(E D C P F ---， ∴(1DC =-30)，(1DP =，03)，设平面PDC 的法向量为(n x =，y ，)z ，则·0·0n DC n DP ⎧=⎨=⎩，即3030x z x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得33x x z⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1z =，得(3n =-，1-，1)； 又33(1,2EF =-， 设EF 与平面PDC 所成角为θ，∴36sin |cos |555?2EF n θ=<>=⋅=，.所以EF 与平面PDC 6. 【点睛】对于线面角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角运算，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）取DA 的中点G ，连接FG ，GE ，推导出四边形BFGE 为平行四边形，从而BF //EG ，由此能证明BF //平面ADE.（2）取DE 的中点H ，连AH ，CH ，推导出AH ⊥DE ，AH ⊥HC ，从而AH ⊥平面BCDE ，由此能证明平面ADE ⊥BCDE . 【详解】（1）如图所示，取DA 的中点G ，连接FG ，GE.∵F 为AC 的中点， ∴GF //DC ，且GF =12DC .又DC //BE ，CD =2BE =4， ∴EB //GF ，且EB =GF ∴四边形BFGE 是平行四边形， ∴BF //EG .∵EG ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ， ∴BF //平面ADE .（2）取DE 的中点H ，连接AH ，CH . ∵△ADE 是边长为2的等边三角形， ∴AH ⊥DE ，且AH 3.在△DHC 中，DH =1，DC =4，∠HDC =60°根据余弦定理可得HC 2=DH 2+DC 2-2DH ·DCcos 60°=12+42-2×1×4×12=13，即HC 13 在△AHC 中，AH 3HC 13AC =4. 所以AC 2=AH 2+HC 2，即AH ⊥HC .因为AH DE ⊥，AH HC ⊥，DE HC H ⋂=AH ∴⊥平面BCDE ∵AH ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCDE . 【点睛】方法点睛：要证线面平行，一般需要证明（1）线线平行（2）面面平行两种方法，在平行的证明中，线线平行一般需要考虑中位线、平行四边形，平行线分线段成比例的逆定理.21．（1）答案见解析；（2）11. 【分析】（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ；（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案； 【详解】解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA . ∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥， 又二面角E GH B --的大小为90°， ∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD ， ∴EO BD ⊥，又AB BC =，∴AO BD ⊥，AO EO O =，∴BD ⊥平面EOA .（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =设CO x =，OM x =，222216OB OM MB x =+=-+，2222216EB EO OB x =+=-+，当x =min EB =连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ， 由（1）知BD ⊥平面EOA ， ∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ， ∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB 中，EB =2BM =，EM =AE =，由()2222(2)2QB AE AB BE QB +=+⇒=，2QF =∴sin QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD .【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可. 22．(I)证明见解析；(II)3 . 【分析】（I ）取AD 的中点P ，连结EP PC ，，MP ，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直，从而可证明EC 与,MP MD 垂直，然后可得线面垂直，面面垂直；（II ）取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角，在Rt EPQ △中求得其余弦值．【详解】（Ⅰ）证明：取AD 的中点P ，连结EP PC ，．则EF AP =，∵//FE AP =，∴四边形FAPE 是平行四边形， ∴//FA EP =，同理，//AB PC =.又∵FA ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥平面ABCD ，而PC AD ，都在平面ABCD 内，∴.EP PC EP AD ⊥⊥， 由AB AD ⊥，可得PC AD ⊥， 设FA a =，则2.EP PC PD a CD DE EC a ======，所以△ECD 为正三角形.∵DC DE =且M 为CE 的中点，∴DM CE ⊥.连结MP ，则.MP CE ⊥PM ∩MD =M ，而PM ，MD 在平面AMD 内 ， ∴CE ⊥平面AMD而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥CDE . （Ⅱ）解：取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ， ∵CE DE =，∴.EQ CD ⊥ ∵PC PD =，∴PQ CD ⊥∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角.由(Ⅰ)可得， EP PQ EQ a PQ ==⊥，，．于是在Rt EPQ △中，cos 3PQ EQP EQ ∠==．∴二面角A CD E --. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算，一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作的角是二面角的平面角；三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）． 23．（1）证明见解析；（2）14【分析】（1）由余弦定理可得23BD =，证得AD BD ⊥，则BC BD ⊥由PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，证得PD BC ⊥，得证．（2）Q 为PC 的中点，利用等积法12D PBQ D BCQ Q BCD P BCD V V V V ----=== ，即可求出结果. 【详解】(1) 在ABD △中，由余弦定理得2222cos 3BD BA AD BA AD DAB =+-⋅∠=， ∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥，∵//AD BC ，∴BC BD ⊥.又∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴PD BC ⊥.∵PD BD D ⋂=，∴BC ⊥平面PBD .（2）因为Q 为PC 的中点,所以三棱锥D PBQ -的体积A PBQ V -, 与三棱锥D QBC -的体积相等，即11111232412D PBQ D BCQ Q BCD P BCD V V V V ----=⨯⨯====. 所以三棱锥A PBQ -的体积14D PBQ V -=.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，在含有长度时需要解三角形来证垂直，并且不要忘记线面垂直的性质运用，在求三棱锥的体积时注意等体积法的使用 24．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）取PD 中点N ，证明BMNC 为平行四边形，得到//BM NC ，从而得到//BM 平面PCD ．（2）对三棱锥B CDM -进行等体积转化，转化为求P BCD -的体积的一半．取AB 中点O ，连PO ，可证PO 为三棱锥P BCD -的高并求出其长度，求出BCD △的面积，得到三棱锥P BCD -的体积，即可求出三棱锥B CDM -的体积． 【详解】证明：（1）取PD 中点N ，连接MN ，NC , MN 为PAD △的中位线，//MN AD ∴，且12MN AD =， 又//BC AD ，且12BC AD =，//MN BC ∴，且MN BC =， 则BMNC 为平行四边形，//BM NC ∴，又NC ⊂平面PCD ，MB ⊂/平面PCD ， //BM ∴平面PCD ．（2）取AB 中点O ，连PO ，,PB PA PO AB =∴⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，PO ∴⊥平面ABCD ． PO ∴为三棱锥P BCD -的高， PA PB =，4AB =，PB PA ⊥， PAB ∴为等腰直角三角形，2PO =， 90DAB ABC ，//AD BC ，1134622BCDSBC AB =⨯⨯=⨯⨯=， M 是PA 的中点，∴三棱锥B CDM -的体积为：11162223126P B CDM M BCD BCD BCDV V V SPO ---==⨯=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，通过面面垂直证明线面垂直，变换顶点和底面进行等体积转化，求三棱锥的体积，属于中档题． 25．（1）证明见解析；（22. 【分析】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，易证1,C O BD CO BD ⊥⊥，由线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面1C OC ，然后再利用面面垂直的判定定理证明.（2）由（1）知BD ⊥平面1C OC ，且平面1C BD ⋂平面CBD BD =，得到1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角 ，然后在1Rt C OC ∆中求解. 【详解】（1）∵在正方体1111ABCD A B C D -中， 点O 是BD 中点 ， 又11BC DC = ， BC DC = ，∴ 1,C O BD CO BD ⊥⊥11,C O CO O C O =⊂平面1,C OC CO ⊂平面1C OC ，BD ∴⊥平面1C OC ，又∵BD ⊂平面11BDD B ， ∴平面11BDD B ⊥平面1C OC ．… （2）由（1）知：平面1C BD ⋂平面CBD BD =，11,C O BD C O ⊥⊂半平面1;,C BD CO BD CO ⊥⊂ 半平面;CBD所以1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角 则在正方体1111ABCD A B C D -中121,C C OC == ∴在1Rt C OC ∆中，11tan 2C CC OC OC∠== 故二面角1C BD C --2 ． 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理以及二面角的求法，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）8 3 .【分析】（1）由线面垂直判定定理，要证线面垂直，需证AD垂直平面PBE内两条相交直线，由，E是AD的中点，易得AD垂直于，再由底面是菱形，得三角形为正三角形，所以AD垂直于PA，（2）由线面平行判定定理，要证线面平行，需证PC平行于平面内一条直线，根据1h是的中点，联想到取AC中点O所以OQ为△PAC中位线．所以OQ // PA注意在写定理条件时，不能省，要全面.例如，线面垂直判定定理中有五个条件，线线垂直两个，相交一个，线在面内两个；线面平行判定定理中有三个条件，平行一个，线在面内一个，线在面外一个，（3）研究体积问题关键在于确定高，由于两个底面共面，所以求的值就转化为求对应高的长度比.【详解】（1）因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．因为底面ABCD是菱形，∠BAD=，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE．因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．（2）连接AC交BD于点O，连结OQ．因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ//PA．因为PA 平面BDQ，OQ平面BDQ．所以PA//平面BDQ．（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为2h，1h，所以V P-BCDE=13S BCDE2h，V Q-ABCD=13S ABCD1h．因为V P-BCDE=2V Q-ABCD，且底面积S BCDE=S ABCD．所以，因为，所以．。
高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）
高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）高一数学必修2立体几何初步单元测试题班级：姓名：学号：一、选择题：1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（）A 、AB α? B 、AB α?C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定（）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是（）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1BC成60角 5、若直线l ∥平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是（）A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行。
其中正确的个数有（）A 、1B 、2C 、3D 、47、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b íM ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（）A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V二、填空题：9、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).10、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BCD 的位置关系为QC'B'A'CBAB1C 1A 1D 1BAC D11、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是 .12、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)三、解答题：13、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.14、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD .15、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．H G FE D B A CSDBA16、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.,求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)面1BDC //面11AB D ．17、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且ADAFAC AE = 求证：平面BEF ⊥平面ABC .D 1ODB AC 1B 1A 1CFEDBAC高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题 ACDDD BBB 二、填空题11、小于 12、平行 13、菱形 14、对角线A 1C 1与B 1D 1互相垂直三、解答题15、解:设圆台的母线长为l ,则圆台的上底面面积为224S ππ=?=上圆台的上底面面积为2525S ππ=?=下，所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧于是725l ππ= 即297l =为所求. 16、证明：,EH FG EH ? 面BCD ，FG ?面BCD∴EH ∥面BCD又EH ? 面BCD ，面BCD 面ABD BD =，∴EH ∥BD17、证明：90ACB ∠=BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥=AD ∴⊥面SBC19、证明：（1）连结11AC ，设11111ACB D O = 连结1AO ， 1111ABCD A BCD -是正方体11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11OC AO = 11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴? 面11ABD ，1C O ?面11AB D∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥ 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又1111AC B D ⊥ ，1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即同理可证11AC AB ⊥，又1111D B AB B =∴1AC ⊥面11AB D 20、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.又ADAFAC AE = ∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ?平面BEF,∴平面BEF ⊥平面ABC.。
全国100所名校单元测试示范卷高二(空间向量与立体几何)第一次综合测试(数学)+答案解析(附后)
全国100所名校单元测试示范卷高二(空间向量与立体几何)第一次综合测试(数学)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l ：的倾斜角为A.B.C.D.2.若不重合的直线，的方向向量分别为，，则与的位置关系是( )A. B. C.，相交不垂直D. 不能确定3.若直线与圆O ：交于A ，B 两点，则A.B. 2C.D. 44.在正四棱锥中，已知，，，则A.B.C.D.5.与直线l ：关于y 轴对称的直线的方程为A.B.C.D.6.如图所示，在三棱柱中，底面ABC ，，，点E ，F分别是棱AB ，的中点，则EF 与所成角的大小为A. B. C. D. 7.已知四边形ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，，，二面角的大小为，则点A 到平面PBD 的距离是A. B.C.D. 18.已知点是直线l ：上的动点，过点P 作圆C ：的切线PA ，A为切点，的最小值为2，圆M ：与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为A. B. C. 4 D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线：，直线：，则A. 直线可以与x轴平行B. 直线可以与y轴平行C. 当时，D. 当时，10.以下命题正确的是A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则B. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则C. 已知，，若与垂直，则实数D. 已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面11.如图，平面ABCD，，，，，，，则A. B. 平面ADEC. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为12.已知圆：，圆：，则.( )A. 若圆与圆无公共点，则B. 当时，两圆公共弦所在直线方程为C. 当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为D. 当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
空间向量与立体几何单元测试有答案
第三章 空间向量与立体几何 单元测试(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．以下四组向量中，互相平行的组数为( )①a ＝(2,2,1)，b ＝(3，－2，－2)；②a ＝(8,4，－6)，b ＝(4,2，－3)；③a ＝(0，－1,1)，b ＝(0,3，－3)；④a ＝(－3,2,0)，b ＝(4，－3,3)A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解析：∵②中a ＝2b ，∴a ∥b ；③中a ＝－13b ，∴a ∥b ；而①④中的向量不平行． 答案：B2．在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C3．如图，已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )与BD → 与PB → 与AB → 与CD →解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设矩形ABCD 的长、宽分别为a ，b ，PA 长为c ，则A (0,0,0)，B (b,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，P (0,0，c )．则PC →＝(b ，a ，－c )，BD →＝(－b ，a,0)，DA →＝(0，－a ，0)，PB →＝(b,0，－c )，PD →＝(0，a ，－c )，AB →＝(b,0,0)，PA →＝(0,0，－c )，CD →＝(－b,0,0)．∴PC →·BD →＝－b 2＋a 2不一定为0. DA →·PB →＝0，PD →·AB →＝0，PA →·CD →＝0. 答案：A4．已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2－e 3，b＝e 1＋2e 3，则(6a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 等于( )A ．15B ．3C ．－3D ．5解析：(6a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝3a·b ＝3(3e 1＋2e 2－e 3)·(e 1＋2e 3)＝9|e 1|2－6|e 3|2＝3.答案：B5．如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面α，AC ⊥面α，BD ⊥AB ，BD 与面α成30°角，则C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2解析：|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD →|＝2. 答案：C6．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( )A ．(－2,2,0)B ．(2，－2,0)解析：由OA →＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH →＝(－λ，λ－1，－1)．又BH ⊥OA ，∴BH →·OA →＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0.答案：C7．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝(cos 2α＋sin 2α＋1)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．答案：A8．已知E 、F 分别是棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( )解析：以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，D 1(0,0,1)，l 所以AD 1→＝(－1,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0.设平面AEFD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1→＝0，n·AE →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x2＋y ＝0.∴x ＝2y ＝z .取y ＝1，则n ＝(2,1,2)，而平面ABCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，∵cos 〈n ，u 〉＝23，∴sin 〈n ，u 〉＝53.答案：C9．在三棱锥P ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A PB C 的平面角的正切值为( )解析：设PA ＝AB ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系． 则B (0,2,0)，C (3，1,0)，P (0,0,2)， ∴BP →＝(0，－2,2)， BC →＝(3，－1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的一个法向量． 则⎩⎪⎨⎪⎧BP →·n ＝0，BC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2z ＝0，3x －y ＝0.令y ＝1，则x ＝33，z ＝1.即n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，1，1. 易知m ＝(1,0,0)是平面PAB 的一个法向量．则cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝331×213＝77. ∴正切值tan 〈m ，n 〉＝ 6. 答案：A10．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )解析：∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则QA →＝(1－x,2－x,3－2x )， QB →＝(2－x,1－x,2－2x )． ∴QA →·QB →＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，QA →·QB →最小，这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是__________．解析：因为a 与b 的夹角为钝角，于是－1＜cos 〈a ，b 〉＜0，因此a·b ＜0，且a 与b 的夹角不为π，即cos 〈a ，b 〉≠－1.解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞12．如图所示，已知正四面体ABCD中，AE＝14AB，CF＝14CD，则直线DE和BF所成的角的余弦值为__________．解析：ED→＝EA→＋AD→＝14BA→＋AD→，BF→＝BC→＋CF→＝BC→＋14CD→，cos〈ED→，BF→〉＝ED→·BF→|ED→|·|BF→|＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫14BA→＋AD→·⎝⎛⎭⎪⎪⎫BC→＋14CD→⎝⎛⎭⎪⎪⎫14BA→＋AD→2·⎝⎛⎭⎪⎪⎫BC→＋14CD→2＝413.答案：41313．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝__________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0，解得x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 答案：(－64，－26，－17)14．已知空间四边形OABC ，如图所示，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝3GN →，现用基向量OA →、OB →、OC →表示向量OG →，并设OG →＝x ·OA →＋y ·OB →＋z ·OC →，则x 、y 、z 的和为__________．解析：OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋34MN →＝12OA →＋34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12OA →＋OC →＋12CB →＝12OA →－38OA →＋34OC →＋38OB →－38OC →＝18OA →＋38OB →＋38OC →， ∴x ＝18，y ＝38，z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝78.答案：78三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)已知a ＝(1,2，－2)． (1)求与a 共线的单位向量b ；(2)若a 与单位向量c ＝(0，m ，n )垂直，求m 、n 的值． 解：(1)设b ＝(λ，2λ，－2λ)，而b 为单位向量， ∴|b |＝1，即λ2＋4λ2＋4λ2＝9λ2＝1. ∴λ＝±13.(4分)∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，－23或b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－23，23.(6分)(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a·c ＝0，|c |＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1×0＋2m －2n ＝0，m 2＋n 2＋02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝22，n ＝22，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－22，n ＝－22.(12分)16．(12分)如下(左)图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别为AC 、AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE的位置，使A 1C ⊥CD ，如下(右)图．(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小． 解：(1)∵AC ⊥BC ，DE ∥BC ，∴DE ⊥AC . ∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，∴DE ⊥平面A 1DC . ∴DE ⊥A 1C . 又∵A 1C ⊥CD ，∴A 1C ⊥平面BCDE .(4分)(2)如图所示，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0. 又A 1B →＝(3,0，－23)， BE →＝(－1,2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3，∴n ＝(2,1，3)． 设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ. ∵CM →＝(0,1，3)，∴sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝|n ·CM →|n |·|CM →||＝48×4＝22.∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.(12分)17．(12分)如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM ∥平面BDE ；(2)试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与CD 所成的角是60°.解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系． 设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，则N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线． ∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(6分) (2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)． 又∵PF →与CD →所成的角为60°.|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)．故点P 为AC 的中点．(12分)18．(14分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C是AB ︵的中点，D 为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面PAC ； (2)求二面角B PA C 的余弦值．解： (1)证明：如图所示，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0.设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面POD 的一个法向量，则由n 1·OD →＝0，n 1·OP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 1＋12y 1＝0，2z 1＝0.(4分)∴z 1＝0，x 1＝y 1.取y 1＝1，得n 1＝(1,1,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面PAC 的一个法向量，则由n 2·PA →＝0，n 2·PC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2z 2＝0，y 2－2z 2＝0.∴x 2＝－2z 2，y 2＝2z 2， 取z 2＝1，得n 2＝(－2，2，1)． ∵n 1·n 2＝(1,1,0)·(－2，2，1)＝0，∴n1⊥n2.从而平面POD⊥平面PAC.(8分)(2)∵y轴⊥平面PAB.∴平面PAB的一个法向量为n3＝(0,1,0)．由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2＝(－2，2，1)．设向量n2和n3的夹角为θ，则cosθ＝n2·n3|n2|·|n3|＝25＝105.由图可知，二面角BPAC的平面角与θ相等，∴二面角BPAC的余弦值为105.(14分)。
立体几何测试
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答案
二、填空题（每小题5分，共25分）
13、_______________________ 14、____________________
15、_______________________ 16、____________________
17、________________________
A 12 B 12 C 6 D 6
5、正方形ABCD沿对角线BD折成直二面体后，下列不会成立的结论是( )
A AC BD B 为等边三角形
C AB与面BCD成600角D AB与CD所成的角为600
6.正六棱锥底边长为1，侧棱与底面所成的角为450，则它的斜高等于( )
A B C D
7.如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，
(3)求以AB1C与AB1B为半平面的二面角的正切值
20.如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点， ，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明 ⊥ ；
（Ⅱ）求面 与面 所成二面角的大小。
21．如图，在棱长为1的正方体 中， 是侧棱 上的一点， 。
（Ⅰ）试确定 ，使直线 与平面 所成角的正切值为 ；
A 1:4 B 1:( C 1:2 D 1:(
3、给出下列命题
1a∥b,a =>b ②a , b => a∥b
③a , b =>b∥ ④a∥ , b =>b 其中正确的是( )
A①②B①②③C②③④D①②④
4、正方形ABCD的边长为12，PA 平面ABCD，PA=12，那么P到对角线BD的距离为( )
立体几何单元测试卷
立体几何测试题（2）班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________ 一、选择题（每小题5分，共60分）1、以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面）其中正确命题的个数是（ ） ①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 2、下列说法正确的是（ ）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABC D A B C D -中，下列几种说法正确的是（ ）A 、11A C AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与D C 成45 角 D 、11A C 与1B C 成60 角 5、若直线l 平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是（ ）A 、l aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 7、在空间四边形A B C D 各边A B B C C D D A 、、、上分别取EFGH 、、、四点，如果与EF G H 、能相交于点P ，那么（ ） A 、点必P 在直线A C 上 B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：其中正确的是（ ） ①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ； ②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ； ③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ； ④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b . A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ）A 、23B 、76C 、45D 、5611、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于 （ ）A 、34B 、35C、7D、712、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（ ）A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V二、填空题（每小题5分，共２０分）13、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 所成角的大小是_______________．14、正方体1111ABC D A B C D -中，平面11A B D 和平面1B C D 的位置关系为 15、已知P A 垂直平行四边形A B C D 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形A B C D 一定是 . 16、如图PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ②EF ⊥PB ③AF ⊥BC④AE ⊥平面PBC ，其中真命题的序号是 。
必修二立体几何检测题
平邑二中高一第一学期数学立体几何初步单元测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）（A ）48 （B ）64 （C ）96 （D ）192 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A.3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 4、已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ）（A） （B）3（C）3D35、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m6、如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E F G H ，，，分别为1A A ，A B ，1B B ，11B C 的中点，则异面直线E F 与G H 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 7.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 8、如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（ ） Ａ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9、平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行 10、在空间四边形A B C D 各边A B B C C D D A 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果A BCDA 1B 1C 1D 1A FD BC GE 1BH1C1D 1AQPC'B'A'CBA与EF G H 、能相交于点P ，那么 A 、点必P 在直线A C 上 B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外11.若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 12、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧 棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).14.已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 15. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 。
南京一中实验学校必修第二册第三单元《立体几何初步》测试(包含答案解析)
一、选择题1．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，15AA =，则V 的最大值是（ ）A ．4πB ．92πC ．1256πD ．323π 2．已知直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，则异面直线1AB 和1BC 所成的角的大小是（ ）．A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．724．如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π5．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A ．[2,3]B ．5,2⎡⎤⎢⎥⎣C ．325,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．51,⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 6．如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V ，则求O 的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π7．已知,A B 是球O 的球面上两点，90AOB ︒∠=，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π 8．菱形ABCD 的边长为3，60B ∠=，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A ．15π B ．12π C ．8π D ．6π9．已知三棱锥A BCD -的所有棱长都为2，且球O 为三棱锥A BCD -的外接球，点M 是线段BD 上靠近D 的四等分点，过点M 作平面α截球O 得到的截面面积为Ω，则Ω的取值范围为（ ）A ．π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．在长方体1111ABCD A B C D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有（ ）A ．1PC 与1AA 异面B ．1PC 与1A C 垂直 C ．1PC 与平面11ABD 相交D ．1PC 与平面11AB D 平行 11．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则他们的表面积之比为（ ）A ．1：1B ．2：1C ．1：2D ．3：112．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥βB ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β13．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④ 14．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．A 、B 、C 均有可能 二、解答题15．如图所示的四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AE ＝EB ＝BC ＝2，AD ⊥平面ABE ，且CE 上的点F 满足BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ∥平面BFD ；（2）求三棱锥C -AEB 的体积.16．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，2AC =.（1）求证：//AE 平面PBC .（2）若四面体PABC 的体积为33，求PCD 的面积. 17．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，90,,60ADP PD AD PDC ∠==∠=，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ⊥平面PAD ．（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积．18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，233AB =，12A A =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,3,5PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；（2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求三棱锥-D PAC 的体积.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且PCD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是矩形，22BC =，M 为BC 的中点.（1）证明：AM PM ⊥；（2）求二面角P AM D --的大小；（3）求点D 到平面APM 的距离.21．如图，在三棱锥P ABC -中，1PA PC ==，AB BC =，60APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，AC PB =．（1）证明：AC PB ⊥；（2）求三棱锥A PBC -的体积．22．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，2AD PD ==，60DAB ∠=，F ，G 分别为PD ，BC 中点，AC BD O =.（Ⅰ）求证：FG ∥平面PAB ；（Ⅱ）求三棱锥A PFB -的体积；23．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：（1）//PA 平面EDB ；（2）PB ⊥平面EFD .24．如下图所示，四边形EFGH 所在平面为三棱锥A-BCD 的一个截面，四边形EFGH 为平行四边形．（1）求证：//AB 平面EFGH ；（2）若4AB =，6CD =，求四边形EFGH 周长的取值范围．25．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形,,60,PA PD BAD E =∠=是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（1）求证：AD ⊥平面PBE ；（2）若Q 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDQ ；（3）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求CP CQ的值． 26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD（2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先保证截面圆与ABC 内切，记圆O 的半径为r ，由等面积法得()68AC AB BC r ++=⨯，解得2r．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为2，由此能求出结果．【详解】 解：如图，由题意可知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．先保证截面圆与ABC 内切，记圆O 的半径为r ， 则由等面积法得1111 (682222)ABC S AC r AB r BC r =++=⨯⨯△， 所以()68AC AB BC r ++=⨯，又因为6AB =，8BC =，所以10AC =，所以2r．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，若r 增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，所以3344322333V r πππ==⋅=． 故选：D ．【点评】本题考查球的最大体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题.2．D解析：D【分析】连结1A B ，可证1A B ⊥平面11A BC ，从而可到异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角，故可得正确的选项.【详解】连结1A B ，1AA ⊥面,ABC 平面111//A B C 面ABC ,1AA ∴⊥平面111A B C11A C ⊂平面111111,A B C AA AC ∴⊥ ABC 与111A B C △是全等三角形，AB AC ⊥1111A B A C ∴⊥111111,A B AA A AC ⋂=∴⊥平面11AA B B又1AB ⊂平面11AA B B ,111AC AB ∴⊥矩形11AA B B 中，1AA AB =∴四边形11AA B B 为正方形，可得11A B AB ⊥11111A B AC A AB ⋂=∴⊥，平面11A BC 结合1BC ⊂平面11A BC ，可得11AB BC ⊥，即异面直线1AB 与1BC 所成角为2π 故选：D【点睛】在求异面直线所成角时可以将异面直线通过平行线转化到共面直线，然后构造三角形，求得直线夹角．本题通过补全图形，判定线面的垂直关系，得证线线垂直关系，求得异面直线夹角为2π. 3．C解析：C【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知AE =ED = 在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，SE =ED ==.所以12SED S SE ED ∆=⋅=.因为22108336x x +≥=，当且仅当x =2y =时等号成立，所以92SED S ∆≥=. 故选：C.【点睛】 本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.4．C解析：C【分析】根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴26R ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.5．C解析：C【分析】分别取111,BB B C 的中点,N M ,可得平面1//A MN 平面AEF ，从而点P 的轨迹为线段MN ，然后计算出线段1A P 的范围.【详解】分别取111,BB B C 的中点,N M ,则1//A M AE ,1A M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，则1//A M 平面AEF . //EF NM ,MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，则//MN 平面AEF又1MN A M M ⋂=,所以平面1//A MN 平面AEF又平面1A MN ⋂面11BCC B MN =所以点P 的轨迹为线段MN当P 为线段MN 的端点M （或N ）时，1A P 最长，此时1122111522P M A B A BB A ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭当P 为线段MN 的中点时，1A P 最短，此时22111322P A N MN A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 所以325,42AP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故选：C ．【点睛】本题考查利用向量法解决线面平面的探索问题，本题也可以构造面面平面得出动点的轨迹，从而求解，属于中档题.6．D解析：D【分析】根据正四棱锥P ABCD -的体积公式，列出方程，求得2R =，再利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，设外接球O 的半径为R ，则,2OP OA R AB R ===，则正四棱锥P ABCD -的体积为21116(2)333V Sh R R ==⨯⨯=，解得2R =， 所以球O 的表面积为2244216S R πππ==⨯=．【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。
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高一数学必修2立体几何测试题试卷满分：150分考试时间：120分钟班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1、下列说法正确的是A、三点确定一个平面B、四边形一定是平面图形C、梯形一定是平面图形D、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点２.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个(A、棱台B、棱锥C、棱柱D、都不对3、在正方体1111ABC D A B C D-中，下列几种说法正确的是A、11A C AD⊥B、11D C AB⊥C、1AC与D C成45 角D、11A C与1B C成60 角4、正三棱锥ABCS—的侧棱长和底面边长相等，如果E、F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角为（）A．090B．060C．045D．0305、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A、1B、2C、3D、46、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A. 2221+B. 22+ C. 21+ D. 221+７、设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若ba⊥，α⊥a，α⊄b，则α//b；②若α//a, βα⊥，则β⊥a；③若β⊥a，βα⊥，则α//a或α⊂a；④若ba⊥，α⊥a，β⊥b，则βα⊥其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．38、给出下列关于互不相同的直线,,m n l和平面,αβ的四个命题:（1）,,,mAAlm∉=⊂点αα 则l与m不共面；2）l、m是异面直线，ααα⊥⊥⊥nmnlnml则且,,,//,//；（3）若mlml//,//,//,//则βαβα；（4）若ββαα//,//,,,mlAmlml点=⊂⊂ ，则βα//，其中为错误的命题是（）个.Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个9、下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是PPRSSPRRSSP PPQRSSP PQRRSSA、B、C、D、10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是A、23B、76C、45D、5611、已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.512、如图:直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为QPC'B'A'CAB 1C 1A1D 1BACDA 、2V B 、3V C 、4V D 、5V二、填空题（每小题4分，共16分）13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).14、正方体1111ABC D A B C D -中，平面11A B D 和平面1B C D 的位置关系为 15、已知P A 垂直平行四边形A B C D 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形A B C D 一定是 .16、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)第Ⅱ卷13、 14、 15、 16、三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程)17、已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长. （10分）18、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且EH ∥FG 。
求证：EH ∥BD 。
（12分）19、已知△ABC 中∠ACB=90°，SA ⊥面ABC ，AD ⊥SC ，求证：AD ⊥面SBC 。
（12分）20 １２分 如图, 在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AC ＝3，BC ＝4，AA1＝4，AB=5,点D 是AB 的中点，（I ）求证：AC ⊥BC1；（II ）求证：AC 1//平面CDB1；H G FE DBAC SDCB AA21、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点。
求证：（1）C 1O ∥面AB 1D 1；（2）A 1C ⊥面AB 1D 1。
（14分）22、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域。
（14分）D 1ODBAC 1B 1A 1C高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）ACDDD BCBDD DB二、填空题（每小题4分，共16分）13、小于 14、平行 15、菱形 16、1111A C B D 对角线与互相垂直三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）17、解:设圆台的母线长为l ,则 1分圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上 3分圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下 5分 所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上 6分 又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧 8分于是725l ππ= 9分 即297l =为所求. 10分18、证明：,EH FG EH ⊄ 面BC D ，F G ⊂面BC DEH ∴ 面BC D 6分又E H ⊂ 面BC D ，面BC D 面ABD BD =，EH BD ∴ 12分19、证明：90ACB ∠=B C A C ∴⊥ 1分又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ 4分 BC ∴⊥面S A C 7分B C A D ∴⊥ 10分 又,SC AD SC BC C ⊥=A D ∴⊥面SBC 12分20、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm . 在R t E O F 中,15,2E F cm O F xcm ==, 3分所以EO = 6分于是13V x=10分依题意函数的定义域为{|010}x x << 12分21、证明：（1）连结11A C ，设11111A C B D O =连结1AO ， 1111ABC D A B C D -是正方体 11A AC C ∴是平行四边形11A C AC ∴ 且 11A C AC = 2分又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11O C AO ∴ 且11O C AO =11AO C O ∴是平行四边形 4分111,C O AO AO ∴⊂ 面11A B D ，1C O ⊄面11A B D∴1C O 面11A B D 6分 （2）1C C ⊥ 面1111A B C D 11!C C B D ∴⊥ 7分 又1111A C B D ⊥ ， 1111B D A C C ∴⊥面 9分111A C B D ⊥即 11分同理可证11A C AB ⊥， 12分 又1111D B AB B =∴1A C ⊥面11A B D 14分22、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ， ∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 3分 又),10(<<==λλADAF ACAE∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. 9分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===AB BD 11分,722=+=∴BC ABAC 由AB 2=AE ·AC 得,76,76==∴=AC AE AE λ 13分故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD. 14分。