应力应变概念讲解

（1）正应变
应变为： u/x ， 用偏微分表示 ： ?u/ ?x 在O点 处沿x方向的正应变 是： ?xx = ?u/ ?x 同理： ?yy= ?v/?y
?zz= ?w/?z.
x
u ?u
O A O′A′
?x
（2）剪切应变
A点在x方向的位移是： u+(?u/?x)dx ， OA 的长 度增加 (? u/ ? x)dx. O点在 y方向的应变： ?v/?x, A点在y方向的位 移v +(?v/?x)dx, A点在y方向相对O点的位移为： (?v/?x)dx, 同理： B点在 x方向相对 O 点的位移为：
L
?L
b
长方体在轴向的相对伸长为： ?x=? x/E
x 应力与应变之间为线性关系， E------ 弹性
模量，
对各向同性体，弹性模量为一常数。
当长方体伸长时，横向收缩：
?y=－? c/c
?z= －? b/b
横向变形系数（泊松比）： ? =| ?y / ?x| =| ?z / ?x |
则
?y =－ ? ?x= －? ? x/E ?z= －? ? x/E
对于剪切应变，则有如下虎克定律： ?xy=?xy/G ?yz=?yz/G ?zx=?zx/G
G ------ 剪切模量或刚性模量。 G, E, ? 参数的关系： G=E/2(1+ ? ) 如果 ? x = ? y = ? z ，材料的体积模量 K------ 各向同等 的压力与其引起的体积变化率之比。
K= －p/(? V/V)=E/[3(1 －2 ? )]
(2) 各向异性
作用力对不同方向正应变的影响
各种弹性常数随方向而不同，
即： Ex? Ey ? Ez ,
? xy ? ? yz ?? zx
在单向受力 ? x时，在y, z方向的应变为：
?yy =－ ? yx ?x= －? yx ? x/Ex=（ －? yx /Ex ） ? x =S21 ? x
(? u/ ? y)dy
线段 OA 及 OB 之间的夹角变化 OA与OA?间的夹角? =(?v/?x)dx/dx= ?v/?x OB与OB?间的夹角? = (?u/?y)dy/dy= ?u/?y 线段OA及OB之间的夹角减少了 ?v/?x +?u/?y， xz平面的剪应变为 :
?xy= ?v/?x +?u/?y （?xy与?yx)
U
A A?
D
P
L
B
? B?
C
E
F
负荷作用在面积为 S的ABCD 面上，
Fra Baidu bibliotek剪切应力： ?=P/S; 剪切应变： ?=U/L=tg ??? .
正应力引起材料的伸长或缩短，剪应力引起材料的 畸变，并使材料发生转动。
2.1.2 任意的力在任意方向上作用于物体
1. 应力
z
围绕材料内部一点 P， 取一体积单元
? zz
2.1 应力、应变及弹性形变
2.1.1 基本概念
1. 正应力和正应变
正应变? ：单位长度的伸长。
So Lo
（L－Lo)/Lo= ?（名义应变）
S
L 真实应变 =? LLdo1 L/L=ln(L/Lo)
伸长
正应力? ：作用于单位面积
上的力。 P/So= ? （公称应力
或名义应力）
P
真实应力 =P/S
2. 剪切应力和剪切应变
负剪应力
体积元上任意面上的法向应力与坐标轴的正方向相 同，则该面上的剪应力指向坐标轴的正方向者为正；
如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪 应力指向坐标轴的正方向者为负。
应力间存在以下关系：
根据平衡条件，体积元上相对的两个平行平面上的 法向应力大小相等，方向相反；
剪应力作用在物体上的总力矩等于零。
同理可以得出其他两个剪切应变：
?yz= ?v/?z+?w/?y ?zx= ?w/?x +?u/?z 结论：
一点的应变状态可以用六个应变分量来决定，即 三个剪应变分量及三个正应变分量。
2.1.3 弹性形变 1. 广义虎克定律（应力与应变的关系）
（1）各向同性体的虎克定律
?x
y z
?x b?c? c
?zy
?zx
?yz
?xz
?xy ?yx
? yy
S
? xx
y
应力分量
x
说明：
下脚标的意义：
每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标：
第一个字母表示应力作用面的法线方向；
第二个字母表示应力的作用方向。
方向的规定
正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力 为负。
剪应力的正负号规定：
正剪应力
结论：一点的应力状态有六个分量决定
应力 T1 T2 T3 T4 T5 T6
张量 ? xx
? yy
? zz
? yz
? zx
? xy
2. 应变
(? u/ ? y)dy y
(?v/?y)dy
B?
B
dy ?
?yx
C
C?
?xy
A?
?
(?v/?x)dx
0
A
x
dx
(?u/?x)dx
XY面上的剪应变
已知：O点沿x,y,z方向的位移分量分别为 u,v,w
正应力对剪应变有影响，剪应力对正应变也有影响，通 式为：
?xx= S11? xx+S12 ? yy +S13 ? zz+S14 ?yz+S15?zx+S16?xy ?yy= S22? yy+S21 ? xx +S23 ? zzS24 ?yz +S25?zx+S26 ?xy ?zz= S33? zz+S31 ? yy +S32 ? zzS34 ?yz +S35 ?zx+S36 ?xy ?yz= S41? xx+S42 ? yy +S43 ? zz+S44 ?yz +S45?zx+S46 ?xy ?zx=S51? xx+S52 ? yy +S53 ? zz+S54 ?yz +S55?zx+S56 ?xy ?xy=S61? xx+S62 ? yy +S63 ? zz+S64 ?yz +S65?zx+S66 ?xy
?zz =－ ? zx ?x= －? zx ? x/Ex=S31 ? x
S21, S31为弹性柔顺系数。 1, 2,3分别表示 x,y,z
同时受三个方向的正应力，在 x, y, z方向 的应变为：
?xx= ? xx/Ex+S12 ? yy +S13 ? zz ?yy= ? yy/E y+S21 ? yy +S23 ? zz ?zz= ? zz/E z+S31 ? yy +S32 ? zz
如果长方体在 ? x ? y ? z的正应力作用下，虎克定律表 示为：
?x=? x/E－? ? y/E －? ? z/E= [? x－? （? y＋? z ）] /E ?y=? y/E－? ? x/E －? ? y/E= [? y－? （? x＋? z ）] /E ?z=? z/E－? ? x/E －? ? y/E= [? z－? （? x＋? y ）] /E