第六章自旋与全同粒子案例
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I。氢原子有磁矩 因而在非均匀磁场中发生偏转 II。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
处于 S 态的 氢原子
（3）讨论
设原子磁矩为 M，外磁场为 B， 则原子在 Z 向外场 B 中的势能为：
磁矩与磁 场之夹角
U M B MB z cos
原子 Z 向受力
3p3/2 3p1/2 D2
58 90 Å
58 93 Å
3s
3s1/2
（三）电子自旋假设
乌伦贝克 和 高斯密特1925年根据上述现象提出 了电子自旋假设
（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方 向上的投影只能取两个数值：
S
Sz 2
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的 关系为： e
ˆ 1 1 S z 2
2
2
矩阵形式
a b 2c d
1 ( r , t ) 1 ( r , t ) 0 2 0
a 1 1 0 c 1
( x , y, z , S z , t )
由于 SZ 只取 ±/2 两个值， 所以上式可写为两个分量：
1 ( r , t ) ( x , y , z , 2 ,t) ( r , t ) ( x , y , z , 2 ,t) 2
规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = -/2。
写成列矩阵
1 ( r , t ) ( r , t ) 2
若已知电子处于Sz = /2或Sz = -/2的自旋态，则波函 数可分别写为：
1 ( r , t ) 1 2 0 1
2
0 ( r , t ) 2
第六章 自旋与全同粒子
§1 电子自旋的实验证据
（一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设 （四）回转磁比率
赣南师范学院物理系
（一）Stern-Gerlach 实验
（1）实验描述 基态的氢原子束流，经非 均匀磁场发生偏转，在感光板 上呈现两条分立线。
Z
N
S
（2）结论
B z U Fz M cos z z
分析
若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在 （-1，+1） 之间连续变化，感光板将呈现连续带 但是实验结果是：出现的两条分立线对应 cos = -1 和 +1 ，处于 基态的氢原子 =0，没有轨 道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即 自旋磁矩。
MS
S
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数 值：
MSz e M B 2
Bohr 磁子
（四）回转磁比率
（1）电子自旋回转磁比率
MSz e Sz
（2）轨道回转磁比率
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ML
e 则，轨道回转磁比率为： 2
e L 2
可见电子自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的二 倍
ˆ 2 算符的本征值是 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ 2 3 2 S x y z 4
仿照 L2 l (l 1) 2
S = s ( s + 1)h = h ? s
3 4
2
2
2
1 2
自旋量子数s 只有一个数值
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
（1） SZ的矩阵形式
Baidu Nhomakorabea
§2
自旋算符和自旋波函数
（一）含自旋的状态波函数 （二）自旋算符 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数
（六）力学量平均值
（一）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动 除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变 量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：
ˆ S z a 2c b d
电子自旋算符（如SZ）是 作用于电子自旋波函数上 的，既然电子波函数表示 成了2×1 的列矩阵，那 么，电子自旋算符的矩阵 表示应该是 2×2 矩阵。
因为Φ1/2 描写的态，SZ有确定值 /2，所以Φ1/2 是 SZ 的本征态，本征值为 /2，即有：
自旋角动量 轨道角动量 异同点:
ˆ 不适用 与坐标、动量无关 r p
同是角动量 满足同样的角动量对易关系
轨道角动量 ˆ L ˆ ˆ ˆ L L i L ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L x y z ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L y z x ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L z x y
（二）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学 来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学 量有着根本的差别
通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数:
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电 子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由 度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描 ˆ 写，记为 S
（二）光谱线精细结构
钠原子光谱中的一条亮 黄线 5893Å，用高分辨率 的光谱仪观测，可以看到该 谱线其实是由靠的很近的两 条谱线组成。
其他原子光谱中也可以 发现这种谱线由更细的一些 线组成的现象，称之为光谱 线的精细结构。该现象只有 考虑了电子的自旋才能得到 解释
3p D1
58 96 Å
自旋角动量 ˆ S ˆ ˆ ˆ S S iS ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S x y z ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S y z x ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S z x y
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 的本征值都是±/2，其平方 ˆ ˆ ˆ 所以 S x Sy Sz 为[/2]2
处于 S 态的 氢原子
（3）讨论
设原子磁矩为 M，外磁场为 B， 则原子在 Z 向外场 B 中的势能为：
磁矩与磁 场之夹角
U M B MB z cos
原子 Z 向受力
3p3/2 3p1/2 D2
58 90 Å
58 93 Å
3s
3s1/2
（三）电子自旋假设
乌伦贝克 和 高斯密特1925年根据上述现象提出 了电子自旋假设
（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方 向上的投影只能取两个数值：
S
Sz 2
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的 关系为： e
ˆ 1 1 S z 2
2
2
矩阵形式
a b 2c d
1 ( r , t ) 1 ( r , t ) 0 2 0
a 1 1 0 c 1
( x , y, z , S z , t )
由于 SZ 只取 ±/2 两个值， 所以上式可写为两个分量：
1 ( r , t ) ( x , y , z , 2 ,t) ( r , t ) ( x , y , z , 2 ,t) 2
规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = -/2。
写成列矩阵
1 ( r , t ) ( r , t ) 2
若已知电子处于Sz = /2或Sz = -/2的自旋态，则波函 数可分别写为：
1 ( r , t ) 1 2 0 1
2
0 ( r , t ) 2
第六章 自旋与全同粒子
§1 电子自旋的实验证据
（一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设 （四）回转磁比率
赣南师范学院物理系
（一）Stern-Gerlach 实验
（1）实验描述 基态的氢原子束流，经非 均匀磁场发生偏转，在感光板 上呈现两条分立线。
Z
N
S
（2）结论
B z U Fz M cos z z
分析
若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在 （-1，+1） 之间连续变化，感光板将呈现连续带 但是实验结果是：出现的两条分立线对应 cos = -1 和 +1 ，处于 基态的氢原子 =0，没有轨 道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即 自旋磁矩。
MS
S
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数 值：
MSz e M B 2
Bohr 磁子
（四）回转磁比率
（1）电子自旋回转磁比率
MSz e Sz
（2）轨道回转磁比率
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ML
e 则，轨道回转磁比率为： 2
e L 2
可见电子自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的二 倍
ˆ 2 算符的本征值是 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ 2 3 2 S x y z 4
仿照 L2 l (l 1) 2
S = s ( s + 1)h = h ? s
3 4
2
2
2
1 2
自旋量子数s 只有一个数值
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
（1） SZ的矩阵形式
Baidu Nhomakorabea
§2
自旋算符和自旋波函数
（一）含自旋的状态波函数 （二）自旋算符 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数
（六）力学量平均值
（一）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动 除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变 量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：
ˆ S z a 2c b d
电子自旋算符（如SZ）是 作用于电子自旋波函数上 的，既然电子波函数表示 成了2×1 的列矩阵，那 么，电子自旋算符的矩阵 表示应该是 2×2 矩阵。
因为Φ1/2 描写的态，SZ有确定值 /2，所以Φ1/2 是 SZ 的本征态，本征值为 /2，即有：
自旋角动量 轨道角动量 异同点:
ˆ 不适用 与坐标、动量无关 r p
同是角动量 满足同样的角动量对易关系
轨道角动量 ˆ L ˆ ˆ ˆ L L i L ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L x y z ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L y z x ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L z x y
（二）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学 来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学 量有着根本的差别
通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数:
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电 子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由 度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描 ˆ 写，记为 S
（二）光谱线精细结构
钠原子光谱中的一条亮 黄线 5893Å，用高分辨率 的光谱仪观测，可以看到该 谱线其实是由靠的很近的两 条谱线组成。
其他原子光谱中也可以 发现这种谱线由更细的一些 线组成的现象，称之为光谱 线的精细结构。该现象只有 考虑了电子的自旋才能得到 解释
3p D1
58 96 Å
自旋角动量 ˆ S ˆ ˆ ˆ S S iS ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S x y z ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S y z x ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S z x y
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 的本征值都是±/2，其平方 ˆ ˆ ˆ 所以 S x Sy Sz 为[/2]2