最优控制

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1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。钱学森1954年所着的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展和形成。

最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。

从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。

例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等，都是一些典型的最优控制问题。最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。

最优控制理论-主要方法

解决最优控制问题的主要方法

解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程

为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。因此，从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。

最优控制理论是现在控制理论的一个重要组成部分。控制理论发展到今天，经历了古典控制理论和现代控制理论两个重要发展阶段，现已进入了以大系统理论和智能控制理论为核心的第三个阶段。对于确定性系统的最优控制理论，实际是从20世纪50年代才开始真正发展起来的，它以1956年原苏联数学家庞特里亚金（Pontryagin ）提出的极大值原理和1957年贝尔曼提出的动态规划法为标志。这些理论一开始被应用于航空航天领域，这是由于导弹、卫星等都是复杂的MIMO 非线性系统，而且在性能上有极其严格的要求。时至今日，随着数字技术和电子计算机的快速发展，最优控制的应用已不仅仅局限于高端的航空航天领域，而更加渗入到生产过程、军事行动、经济活动以及人类的其他有目的的活动中。最优控制的发展成果主要包括分布式参数的最优控制、随机最优控制、自适应控制、大系统最优控制、微分对策等，可以这样讲，最有控制理论对于国民经济和国防事业起着非常重要的作用。

这个学期开设的最优控制课程，主要介绍的是静态优化，经典变分法以及极小值原理。对于静态优化的方法，解决的主要是如何求解函数的极值问题；变分法则被用来求解泛函的极值问题；极小值原理的方法，适用于类似最短时间控制、最少燃料控制的问题。另外，在这些的基础上，我们还学习研究了线性系统二次型指标的最优控制，即线性二次型问题（LQR ）。

类似其他的控制理论与控制工程的专业课程，最优控制的基础不但是有关自动化、控制方面的内容，很大一部分可以说是高等数学，以及更加深刻的数学知识和理论。就这门课程而言，遇到的第一个比较重要的数学命题，就是关于泛函的问题。在学习泛函之前，我们都对于函数的定义非常清楚，简而言之，泛函就是“函数的函数”。在动态系统最优控制问题中，其性能指标就是一个泛函，而性能指标最优即泛函达到极值。

以如下方式表示泛函，

[()]J J X t =

那么求解泛函极值的问题，就是让()J X 在*

X X =处有极值的必要条件是对于所有容许的增量函数X δ（自变量的变分），泛函()J X 在*X 处的变分为0： *(,)0J X X δδ=

为了判别其为极大还是极小，就需要计算其二阶变分2J δ。

具体的泛函极值问题又可以分为两类，无约束条件与有约束条件。对于泛函0,,f t t J F X X t dt ⎡⎤=⎣⎦⎰ （,X X 为向量）取无约束极值的必要条件为()0F d F X dt X

∂∂-=∂∂ （欧拉-拉格朗日方程），当0()X t ()f X t 自由时，还需要横截条件0F X

∂=∂ （当0t t =和f t t =时）。 对于状态方程为[]

(),(),X

f X t U t t = 的系统，其性能指标[]0(),(),(),f t f f t J X t t F X t U t t dt φ⎡⎤=+⎣⎦⎰，初始状态给定，终端状态满足向量约束方程，给出其取极值时的必要条件为：()()H

X

H X λλ∂⎫=-⎪⎪∂⎬∂⎪=⎪∂⎭

协态方程正则方程状态方程

0H U

∂=∂ （控制方程） ()()()

T

f f f G t v X t X t φλ∂∂=+∂∂ （横截条件） 其中，(,,,)(,,)(,,)T H X U t F X U t f X U t λλ=+⋅称作哈密顿函数。

在经典变分法中，U δ为任意，如果不满足这种情况，就需要利用极小值原理来求解。极小值原理是对经典变分法的扩展，可以解决经典变分法无法解决的最优控制问题。也就是当控制有约束，哈密顿函数H 对U 不可微时，要用极小值原理。所得出的最优控制必要条件与变分法所得的条件的差别，仅在于用哈密顿函数在最优控制上取值的条件*****(,,,)min (,,,)U H X U t H X U t λλ∈Ω=代替0H U

∂=∂，可以看出，后者可以作为前者的特殊情况。其他条件包括正则方程，横截条件，边界条件等都一样。需要注意的是，极小值原理解决最短时间控制问题时，最短时间的控制量只能取约束的边界值+1或-1；而最少燃料控制的控制量可取边界值+1、-1、0。

用极小值原理解非线性系统的最优控制将导致非线性两点边值问题，这类问题求解是很困难的。即使系统是线性的，但当指标函数是最短时间、最少燃料这种形式，要求得到最优控制的解析表达式，并构成反馈控制（即把U(t)表示为X(t)的函数）也是非常困难的。线性二次型问题的实用意义在于：把它所得到的最优反馈控制与非线性系统的开环最优控制结合起来，可减少开环控制的误差，达到更精确的控制的目的。

与经典控制问题相比，线性二次型问题有两个显著的特点：第一，它研究的是多输入多输出动态系统的控制问题，其中包括了作为特例的单输入单输出情形；第二，它的性能指标是综合性的，既包含有误差的成分，又包含有控制能量的成分。根据线性的最优反馈控制律，即控制量正比与状态变量，可写成()()()u t G t X t =-或()()()u k L k X k =-。把这种线性二次型问题的最优控制与非线性系统的开环控制结合起来，还可减少开环控制的误差。线性二次型问题的最优控制一般可分状态调节器问题和伺服跟踪问题两大类。

对于终端时刻t f 有限的连续系统状态调节器问题，要求加权阵P 、Q 为对称半正定，R 为对称正定，但并不要求系统完全可控。

将最优控制写成1()()()()()()()T

U t R t B t K t X t G t X t -=-=-，()K t 满足黎卡提矩阵微分方程1()()()()()()()()()()()T T

K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+- 从t f 到t 0逆向积分建议采用变步长四阶龙格-库塔法。

近一段时间看了一些相关与最优控制方法的论文，同时通过控制系统实验，进一步加强了对最优化控制理论的了解和认识。在对单级倒立摆的控制中，采用了线性二次最优LQR

控制，根据系统方程Bu AX X

+= 确定最佳控制向量K ，使得性能指标dt Ru u QX X J )(0**⎰∞

+=达到最小值，其控制原理图如下