分治算法试题

分治算法
当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。

对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。

如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。

这就是分治策略的基本思想。

下面通过实例加以说明。

【例3】在n个元素中找出最大元素和最小元素。

我们可以把这n个元素放在一个数组中，用直接比较法求出。

算法如下：
BEGIN
MIN:=A[1]：MAX:=A[1]；
FOR I:=2 TO N DO
BEGIN
IF A[I] > MAX THEN MAX:=A[I];
IF A[I] < MIN THEN MIN:=A[I];
END．
上面这个算法需比较2(N-1)次，即时间复杂度是2(N-1）。

能否找到更好的算法呢？我们用分治策略来讨论。

我们把n个元素分成
A1={A[1],...,A[int(n/2)]}
和
A2={A[INT(N/2)+1],...,A[N]}
两组，分别求这两组的最大值和最小值，然后分别将这两组的最大值和最小值相比较，求出全部元素的最大值和最小值。

如果A1和A2中的元素多于两个，则再用上述方法各分为两个子集。

直至子集中元素至多两个元素为止。

例如有下面一组元素：
-13，13，9，-5，7，23，0，15。

用分治策略比较的过程如下：
图中每个方框中，左边是最小值，右边是最大值。

从图中看出，用这种方法一共比较了10次，比直接比较法的14次减少4次，即约减少了1/3。

算法如下：
procedure maxmin(i，j，max，min)；
BEGIN
CASE J-I OF
0：MAX:=A[I]；MIN:=A[I];
1：IF A[I] < A[J] THEN MIN:=A[I];MAX:A[J];
ELSE MAX:=A[I];MIN:=A[J];
ELSE MID:=(I+J) DIV 2
MAXMIN(I，MID，MAX1，MIN1)；
MAXMIN(MID+1，J，MAX2，MIN2)；
MAX:=MAX(MAX1，MAX2);
MIN:=MIN(MINI，MIN2)；
END;
这种算法在比较数组元素所用时间比比较整数i、j所用的时间多得多时，是一种较优的算法，否则并不是优化的算法。

这种算法的程序同学们自己完成。

分治策略在计算机算法中经常应用，而且大多数分为2个子问题，因此也叫做二分法。

例如二分法检索、牛顿迭代法求方程的根等。

从上述的分治思想来看，运用分治策略解决的问题一般来说具有以下特点：
1、原问题可以分解为多个子问题，这些子问题与原问题相比，只是问题的规模有所降低，其结构和求解方法与原问题相同或相似。

2、原问题在分解过程中，递归地求解子问题，由于递归都必须有一个终止条件，因此，当分解后的子问题规模足够小时，应能够直接求解。

3、在求解并得到各个子问题的解后，应能够采用某种方式、方法合并或构造出原问题的解。

利于分治策略求解时，所需时间取决于分解后子问题的个数、子问题的规模大小等因素，而二分法，由于其划分的简单和均匀的特点，是经常采用的一种有效的方法。

不难发现，在分治策略中，由于子问题与原问题在结构和解法是的相似性，用分治方法解决的问题，大都采用了递归的形式。

在各种时间复杂度为nlog2n的排序方法中，如分治合并排序、堆排序、快速排序等，都存在有分治的思想。

实际上，进行分治处理的过程，从数据结构的角度看，其本质就是一个建树的过程。

思考与练习：完成并提交作业
1、在n个不同元素中找出第k个最小元素。

2、写出本节例题的Pascal程序。

3、赛程问题。

有n个编号为1到n的运动员参加某项运动的单循环比赛，即每个运动员要和所有其他运动员进行一次比赛。

试为这n个运动员安排一个比赛日程，使得每个运动员每天只进行一场比赛，且整个比赛在n-1天内结束。

输入运动员人数n(n<=10000)，输出一个n阶方阵A[1..N,0..N-1]，当J>0时，A[1，J]表示第1名运动员在第J天的比赛对手。

【分析提示】由于N个运动员要进行单循环比赛，且在N-1天内要结束全部比赛，经过分析，当且仅当N为2的整次幂时，问题才有解，当然解是不惟一的。

这样可以将运动员分成两组：1，2，…，N/2和N/2+1，N/2+2，…，N。

给第一组运动员安排一个比赛日程，得到一个N/2阶的方阵A1；同时给第二组的运动员安排一个比赛日程，同样会得到一个N/2阶的一个方阵A2。

考虑到比赛的性质，设定第1个运动员在某一天的比赛对手为第K个运动员，则第K个运动员在同一天的比赛对手必然是第1个运动员，即若有A[1，J]=K，则A[1，K]=I。

因此原问题的解(一个N阶方阵)可以由分解后的两个子问题的解，按下图所示形式合并起来。

同时每一个子问题又可以按照上述的二分法分解下去，直至每个组中仅有2个运动员时为止。

┌─┬─┐
│A1│A2│
├─┼─┤数字矩阵方块
│A2│A1│
└─┴─┘
procedure arrangment (K, N: integer); begin
if n=2 then {处理只有2名运动员的情况,递归终止条件}
begin
A [K, 0]: =K; A [K, 1]: =K+I;
A [K+I, 0]: =K+I; A [K+I, 1]: =K;
end
else
begin
arrangment (K, N div 2);
arrangment (K + N div 2, N div 2); {递归分解原问题与求解子问题}
for I: =K to K + (N div 2) -1 do {合并子问题, 构造原问题的解 A[I,J]} for J: = (N div 2) to N-1 do
A [I, J]:=A [I+(N div 2), J-(N div 2)];
for I:=K+(N div 2) to K+N-1 do
for J:= (N div 2) to N-1 do
A [I, j]:=A [I-(N div 2), J-(N div 2)];
end; end;。