正切函数的性质与图象课后反思.docx
高中数学_正切函数的图象和性质教学设计学情分析教材分析课后反思
《正切函数的图象与性质》教学设计【课标解读】高中数学课程标准在本部分内容的要求和解读：1.数学教材要自然、生动、活泼，不强加于人；要激发学生的兴趣和美感，引发学生的学习激情；要引导学生提问，使学生“看过问题三百个，不会解题也会问”；要强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用.2.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度.3.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观.4.关注三角函数本质(起源于圆周运动的周期函数），使学生获得研究周期函数的基本思想方法.5.关注数学内容的内在联系(数形结合)：三角函数——关于圆与三角形的解析几何6.关注研究方法——类比、推广、特殊化（化归）；【教学内容解析】(一）本节教材的地位和作用：《正切函数的图象和性质》是高一数学的必修4第1.3.2节的内容，它是紧接着正弦和余弦函数的图象和性质后的又一通过图象来研究性质的课题。
正切函数的图象和性质也是三角函数的重要内容之一，本节课既是对前面正余弦函数知识的延展，也是为学习后续知识作了铺垫。
因此掌握好正切函数的图象和性质，意义非常重要。
同时，这节课也是进一步培养高一学生的类比、观察和数形结合能力的重要内容.(二)教材分析处理1.本节课是在学习了正余弦函数的基础上，利用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，通过图象系统的研究正切函数的性质。
三角函数的图象和性质贯穿了全章教材，它不仅是继续学习三角知识不可缺少的基本知识和基本工具，也是科学研究、生产实践中的重要工具之一，通过学习本节课，培养学生的数形结合能力，形象思维能力和想象能力；同时培养学生观察、发现、独立思考、总结归纳的能力.2.三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性、奇偶性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。
高中数学_正切函数的图象与性质教学设计学情分析教材分析课后反思
《正切函数的图象与性质》——教学设计课标分析《课标》要求：1、掌握正切函数的图象与性质2、积极参与，师生交流讨论，加深学生对正切函数的图象与性质的理解与应用3、将函数的思想方法贯穿在整个高中数学的学习中，不断加深对函数概念本质的认识和理解。
教学目标:知识和技能目标：1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，2、准确写出正切函数的性质，并应用．过程与方法目标：1、通过学生自己动手作图，培养学生数形结合思想方法；2、培养学生类比、归纳的数学思想；3、培养学生发现数学规律，增强学习数学的兴趣。
情感态度价值观:通过本节课的学习，培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学生学习数学的兴趣。
教学重点:正切函数的图象及其主要性质教学难点:正切函数性质的理解和应用教材分析1、教材的地位和作用《正切函数的性质与图像》选自人教A版高中数学必修四第一章第三节。
它是继正余弦函数之后的又一种三角函数，其研究方法与前面正余弦函数图象与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和应用，也是学生对学习函数规律的总结和探究。
正确理解和熟练掌握正切函数的图象和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键；这也为后面学习解析几何中，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系等内容做好知识储备．2、教材处理正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用类比的方式，先让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
首先让学生探讨正切函数的周期性，让学生自己画图象，发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。
然后使用几何画板作图，使正切曲线变的形象、直观。
在得到图象后，单调性是一个难点，为此设计了思考题，帮助学生理解性质，并用比较大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。
然后让学生通过整体思想解决了正切型函数的性质。
本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生。
高中数学_1.4.3正切函数的性质与图象教学设计学情分析教材分析课后反思
《正切函数的性质与图象》的教学设计一.教材分析1.地位与作用《正切函数的性质与图象》是高中数学必修4第一章第四节内容(人教版)。
在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质之后，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。
2.教材处理教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问、设计问题探究的方式，让学生回忆如何有前面学习的知识得到正切函数的性质。
数的研究缺乏形象、直观的特点，进而引导学生由正弦线得到正切曲线的作图过程与方法，设计一系列问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。
我把空间、时间留给学生，让他们自主探究，不仅发挥了学生的能动性，而且增强了动脑、动手绘图的能力。
二．学情分析通过前面正切线，诱导公式的学习，学生已经能解决部分问题，尤其对正弦函数图象与性质的研究，让学生有了思考的方向，且具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。
但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。
这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。
三．教学目标确定正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。
本着新课程标准的理念，养成学生对知识的生成过程的体验，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.知识目标：1).掌握正切函数的性质.2).能借助单位圆中的正切线画出正切函数的图像.3).能够利用正切函数的图像与性质解决问题.2. 过程与方法：1）通过类比，联想正弦函数图象的作法作正切函数的图象.2）能学以致用，结合图象分析得到正切函数的性质,并能解决问题。
3.情感态度与价值观：通过一系列问题的设置，培养学生用联系发展的观点思考问题，充分体验数形结合的思想优势，激发学生学习的积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生学好数学的自信心. 4.重点与难点重点：正切函数的图象及其主要性质。
《正切函数的性质与图象》教学反思
《正切函数的性质与图象》教学反思《正切函数的性质与图象》教学反思必修四第一章第四节《正切函数的图象与性质》一课，是在讲完正、余弦函数的图象与性质之后进行的一堂新课，学生在学习了正、余弦函数的图象与其的五个性质：定义域、周期性、单调性、奇偶性、值域的基础上，对正切函数派生学习的一堂课。
因此这节课，我将重点放在通过回顾正、余弦函数的图象与性质来对这节课进行教学。
在讲课之前，我把课件准备了将近五天，大型变动三遍。
第一次，我将课件设计的正切函数的五个性质在前，正切函数的图象在后，发现，如果这样的话，在讲正切函数的单调性和值域的地方非常吃力，因为正切函数的单调性和值域通过观察图象比较直观易懂。
然后我改变策略，先讲图象后讲性质，可是图象要通过性质中的定义域，周期性等来画出来，这样也为讲课加大了难度。
最后，我采取了先探究正切函数的三个性质：定义域、周期性、奇偶性，接着探究正切函数的图象，最后探究正切函数的另外两个性质：单调性和值域。
这样做，虽然把性质分开，插入图象的讲解，但是形散意不散，这样做，即让学生很好的学习了图象与性质，也有利于对这节课的记忆。
讲完理论知识之后，我设计了三道例题，一道巩固了定义域，一道巩固了单调性和周期性，一道巩固了值域和周期性。
然后我将这节课的内容链接高考，找了一道高考真题让学生自己理解。
最后，对这堂课进行了小结。
让学生对这堂课又进行了一次复习与巩固。
在实施这堂课的时候，是周一上午第三节课，学生们的状况处于最佳状况，精神饱满。
然后学生注意力维持时间比较长，我在前二十五分钟讲了新课内容，期间，都是让学生共同回答问题，这是一个缺陷，这一点我在课堂上就有意识到，可是时间不够，只有减少让学生自主探究的时间。
在中间的十五分钟讲了例题，这时候，我采用先让学生自己做，然后我再讲我的思路，让学生了解自己答题的缺陷。
最后留五分钟的时间让学生巩固这节课的内容。
在课堂上，学生积极回答问题，总的课堂效果不错，板书我采用左边为主板，右边为副板的版式，主板写的这节课的主要内容，副板是演算内容，主板不擦，副板可以重复擦。
高中数学_1.4.3正切函数的性质与图象教学设计学情分析教材分析课后反思
人教版数学学科必修4第一章节导学案知识探究（二）：正切函数的图象（15分钟）1.你能根据我们得到的正切函数的性质，类比着正弦函数图象的作法作出它的图像吗？第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点O',以O'为圆心做单位圆，从正圆的右半圆分成___等份.把x轴上从)22-(ππ，这一段分成___等份.第二步：在单位圆中画出对应于角___,___,___,___,___,___,__,__,的正切线.把角x的正切线向右平行移动，使得正切线的起点与x轴上相应的点x重合，则正切线的终点就是正切函数图像上的点.第三步：连线.用光滑曲线把这些正切线的终点连接起来，就得到正切函数xy tan=)22-(ππ，∈x的图象.2.根据正切函数的周期性，只要把上述图象____________________, 就得到正切函数xy tan=),2(zkkx∈+≠ππ的图象，我们把它叫做__________________【学生学情分析】课堂学生为高一年级的的学生，学生基础普遍比较差.有利因素是学生已经学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质，对三角函数的有了初步的认识．通过正弦函数的学习已经对三角函数的学习有了一定的了解．不利因素是对学生来说重新认识正切函数是一个难点；教师通过几何画板来让学生直观的观察正切线的变化情况，以便得出正切函数在)2,2(ππ-内的单调性，结合周期性推广到整个定义域。
并且组织小组交流活动，展现了利用正切线推导出正切函数图象的思维过程，相互评价，相互启发，促进反思，以此突破难点.根据新课标的建议，本节课的效果分析分以下1.相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。
在学生探究过程中，关注其思维过程，鼓励其大胆猜想，让学生在发现知识的过程中体验成功的快乐，并在此基础上纠正偏差.2.通过练习，让学生相互发现存在的问题，在讲评中给予及时指正，关注学生是否积极主动地参与数学学习、是否愿意与同伴交流数学学习体会、与他人合作探究数学问题. 【教材分析】 教材的地位与作用本节是人教A 版必修四的第一章第四节，它是继正余弦函数之后的又一三角函数，其研究方法与前面正余弦函数图象与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通与应用，也是学生对学习函数规律的总结和探究；正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《函数)sin(ϕ+=wx A y 的图象》的关键本节对正切函数的研究，与前阶段正切线遥相呼应，体现了数学的和谐之美.教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则. 设计思想为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“正切函数的性质”和“正切函数图象的形成”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦.课后练习1.tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数2.下列各式正确的是（ ）.A ．1317tan()tan()45ππ-<- B ．1317tan()tan()45ππ->- C ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定3. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是( )A.32π B. 2π C. 3π D. 6π4. 函数)82tan(π-=x y 的定义域为 _ , 5.求函数)32tan(π+=x y 的单调区间课后反思1. 本节课的亮点：（1）广告故事开始，引入好； （2）通过几何画板，展示好； （3）课堂中反馈及时，调控恰当； （4）小结好，用诗总结的好.2.不足之处： 由于学生的基础不好，教学引入时间较长，教师讲的比较多，学生参与的比较少3.改进的思路：① 在引导学生提问时，问题要简明扼要② 多进行公开课，锻炼自己的胆量和语言表达能力.【课标分析】 教学目标1.知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；2.能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法.3.营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学.引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意会数学的简捷美、和谐美。
正弦函数的图象及性质教学反思范文
正弦函数的图象及性质教学反思正弦函数的图象及性质教学反思范文身为一位到岗不久的教师，我们要在课堂教学中快速成长，教学反思能很好的记录下我们的课堂经验，那么你有了解过教学反思吗？下面是小编为大家收集的正弦函数的图象及性质教学反思，仅供参考，希望能够帮助到大家。
本节课分为“正弦函数的图象”和“性质（一）”两部分，在教学中充分发挥学生的主体性，循序渐进地引导学生发现问题——探索问题——解决问题。
职高学生的数学基础差，理解能力不强，因此对教师提出了新的要求，要达到良好的教学效果，就必须采取更形象、更具体的教学模式，引导学生积极地投入到课堂学习中去，真正体会到学习数学的乐趣。
本节课利用FLASH课件更能体现出直观、形象、生动的特点。
具体情况如下：一、对教学设计的反思。
教学设计过程中真正考虑学生的实际情况，对教材的内容及教学顺序进行了大胆地调整，真正做到因材施教。
同时征求科组老师的意见，探讨教学设计的合理性以及实用性。
但通过实际的教学发现自己对教材知识整体感知把握不够，设计上存在一些不足，比如：知识的有效性建构方面有待提高；设计中，没有考虑对学生知识的实际应用和学生口语交际能力的培养，在以后的教学设计中应渗入“小组合作学习”的模式，注重课堂知识的生成和学生表达能力的培养，与新课标接轨。
二、对教学过程的反思。
1、课堂导入中，教师与学生共同探讨生活中的波浪现象，让学生对正弦曲线产生感性上的认识，体现出数学来源于生活，服务于生活的理念。
基于学生的生活经验不足，自信心不足，导致在导入时占用较长的时间，教师没有能真正与学生互动起来，因此，日后应多培养学生用数学语言表达的能力。
2、概念、图象部分。
学生通过自学概念后，教师列举几种函数模型，检查学生是否对概念有正确地理解，如：xx ，xx ，xx 等。
这样通过反例，学生的`思维受到一定冲击，激发他们去探索、思考。
另外，教师引导学生观察正弦函数的特征，让他们理解得更深入。
当学生理解完概念后，教师暗示学生本节课的重难点，认识函数的图象和能根据图象归纳出其性质，考虑到学生的数学基础薄弱，对于作出的图象利用正弦线法和五个关键点作图，教师选择了五个关键点作图法，这样学生理解起来更容易，（强调学生一定要用圆滑的曲线把5个关键点连接起来）。
高中数学_正切函数的性质与图像教学设计学情分析教材分析课后反思
必修4《1.3.2 正切函数的图像与性质》教学设计 教学背景分析三角函数是基本初等函数之一，而正切函数是三角函数中继正弦、余弦函数的图象与性质后又一具体的三角函数，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。
学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质、体会研究函数方法的课，作为正切函数除了一般函数的研究内容外，还要针对其图象的特点，特殊地研究其渐近线。
在此也向学生进一步说明了“数缺形时少直观，形少数时难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。
教学目标(内容框架) 知识与技能目标：1.在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质。
2.通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的图像，得到正切曲线。
3.根据正切曲线，完善正切函数的性质。
过程与方法目标：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． 情感态度价值观目标在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．正切函数的性质提问2：类比我们已经学习的正弦函数、余弦函数的图像与性质，我们可以从哪些方面研究正切函数的性质？让学生完成表格中正弦、余弦函数的内容。
提问3：我们对正切函数也已经有了初步的了解，譬如：正切线，与正切有关的诱导公式等，就已有的知识，下面请同学具体说明正切函数的性质？1．定义域：2．值域： R【利用课件演示正切线的变化，让学生直观感受】3．奇偶性：奇函数()tan tanx x-≠不是偶函数4．周期性：最小正周期是5．单调性：利用函数的奇偶性和周期性，可将问题转化到利用已有的认知结构，探究未知的问题类比，是研究问题最重要的方法之一说明图象的分界线0,2⎪⎭正切函数的图提问4：我们已知了正切函数的部分性质，如何利用已有的性质画出正切函数的图像？由于正切函数的是最小正周期是的周期函数，所以我们只需要画出他在一个周期内的图像，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图像。
《正切函数的性质与图象》教学反思-参考模板
《正切函数的性质与图象》教学反思林秋林 2009.12.08一、设计背景本节课的主要内容是讲解“正切函数的性质与图象”。
在这之前我们已经用了四节课的时间学习了“正弦函数和余弦函数的图象与性质”。
函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式，我希望通过教案的设计、课件的运用，能使学生顺利掌握本节课的重点与难点。
二、设计思路为了强调数形结合，我在设计课堂过程的时候有意识的对教材进行了调整，先从画正切函数的图象入学，结合图象研究正切函数的性质。
由于学生刚学过正弦曲线的画法，对于正切函数的图象，我注意循序渐进，首先从复习研究正弦函数的图象入手，很自然的将本节课要研究的问题显现了出来，其次我将正切函数的图象由“几何画板”画出，而学生则根据画出的图象，总结出相应的性质，然后运用这些重要的性质来解决一些简单的问题。
三、教学任务1.教学目标：通过对于“正切函数的性质”的研究，注重培养学生“类比思想”的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力。
学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力。
2．教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质。
3．教学难点：正确作出正切函数的图象，认识正切函数的性质和图象特点。
4．教学手段：多媒体、网上资料与课件。
四、教学过程(一)复习与引入在单位圆中复习正切线（AT）的定义；1、回忆正弦函数图象的作法（几何法）；2、由前面的知识可知：一个周期函数的作图问题，只需作出它在一个周期内的函数图象，然后通过左右扩展即可得到它在整个定义域内的图象。
如果正切函数也是周期函数的话，我们就可以这么做，那么正切函数是周期函数吗？如果是，最小正周期又是多少呢？（二）新课1、正切函数的图象①.由诱导公式，sin()sin tan()tan cos()cos x x x x x xπππ+-+===+-，这说明正切函数是周期函数，π是它的一个周期，我们还可以证明，π就是它的最小正周期。
“正切函数的图像和性质”教学设计与反思
“正切函数的图像和性质”教学设计与反思第一篇：“正切函数的图像和性质”教学设计与反思“正切函数的图象和性质”的教学设计若羌县中学高一年级数学同课异构葛淑萍“正切函数的图像和性质”是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下）第四章第十节的内容，也是普通高中课程标准试验教科书（必修）数学 4 1.4.3的内容。
正切函数的图像和性质的学习是正弦、余弦函数的图象和性质知识的延续和深化，也是数形结合等重要数学思想方法的基础。
本节课的教学不但能使学生在原有知识和经验的基础上进一步体会数形结合思想，而且可以提高观察、比较、概括等能力的发展。
但对图象的认识学生始终有些难以理解，因此，本节课力争使用多媒体教学，使学生从理性和感性两方面去认识，从而达到预期的效果。
1.教学目标知识目标通过本节的学习能理解并掌握作正切函数图象的方法,能用正切函数的图象解决有关问题。
能力目标经历正切函数图象的作法过程，发展学生运用类比的方法分析问题和解决问题的能力，并让学生进一步体会数形结合思想方法的重要性。
情感目标培养学生积极参与、合作交流的主体意识和主动探索、勇于发现的科学精神。
在知识的探索和发现的过程中，使学生感到数学学习的意义，从而产生良好的数学学习态度。
重点和难点重点:正切函数的图象形状及其主要性质。
π难点:利用正切线画出正切函数y=tanx,x∈(-π的图象。
2,2)为了突出重点、突破难点，在教学中采取以下措施:(1)采用类比的方法，让学生在正弦函数图象画法的基础上研究正切函数图象的画法。
(2)从学生已有的知识出发，利用数形结合的思想，逐步引导学生通过自主探索、合作交流的形式，观察、归纳出正切函数的主要性质。
教法探索2.1 教法分析针对高一年级学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认知水平，在遵循启发式教学原则的基础上，本节课我主要采用以“情境——问题”教学法为主，以类比法、讨论法、练习法为辅的教学方法，意在通过教师的引导，调动学生的积极性，让学生多交流、多讨论，主动参与到教学活动中来。
新课程视野下《正切函数的性质与图象》教学设计和实施策略反思
新课程视野下《正切函数的性质与图象》教学设计和实施策略反思摘要：《新课程标准》的实施给数学课堂带来了前所未有的生机和活力，为数学课堂教学开辟了广阔的空间．本文结合《正切函数的性质与图象》的教学设计与教学实践的反思，从教学设计应处理好的几个基本问题和教学实施策略反思两大方面进行了阐述，以此来实现有效教学．关键词：正切函数；性质与图象；教学设计；课堂实践；实施策略反思教师在一定的课程观和教学理论指导下，基于学生的身心发展特点、学习特点与需求，以新课程标准和教材为主要依据，结合自身的教学理念，对教学过程的目标内容、组织形式、教学方式、学习情境、评价指导及整个教学过程进行系统思考、策划和具体安排，这就是教学设计．本文立足于对《正切函数的性质与图象》的教学设计与教学实践的反思，探讨了教学设计时应该处理好的几个基本问题，并进一步结合课堂实践进行反思．■数学教学设计应处理好的几个基本问题教学设计除了需要考虑教学的内容与方法外，还应遵循一些基本的教育教学理念，这种理念形成了教学设计的一个理论支撑，承载着教师个人对教材的理解、教学经验以及对问题的认知风格．笔者结合《正切函数的性质与图象》的教学设计，就这一问题谈几点认识．1. 明确教学背景建构主义学习理论认为：知识不是从外界搬到记忆中的，而是以已有经验为基础，通过与外界的相互作用及意义建构的方式而获得的．人的认知发展有一个最佳区域，被称为最近发展区．准确确定学生的最近发展区，学生的主动性将明显改善，成为学生对新知进行探究的动能，更有积极性去对新知进行自主建构．本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质后，又一具体的三角函数．此时学生已具有以下知识背景：1．学生已经有了学习正弦函数和余弦函数的图象与性质的经验，因此可以应用对比、类比的方法进行研究，将已有经验迁移到对正切函数性质与图象的研究中；2．学生已经掌握了正切函数的定义、正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质和图象，体会研究函数方法，也是为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备．2. 明确教学目标和框架美国著名的教学设计研究专家马杰（r.mager）指出，教学设计首先要解决的是“去哪里”即“教什么”的问题，也就是教学目标的定位．本节课的教学目标的基本要求：1．尝试通过正切函数的性质探究正切函数的图象；2．掌握正切函数的性质与图象及其应用；3．体会类比、换元、数形结合等思想方法；4．了解用正切线作正切函数图象的方法．其次要解决的是“如何去那里”，包括学习者起始状态的分析、教学内容的分析与组织、教学方法与媒介的选择．我们知道研究函数常见两种方式：一、先根据函数解析式作出图象，再借助图示直观研究性质．由于对函数的性质了解甚少，所以要通过描很多的点得到函数图象，再通过观察图象获得对函数性质的直观认识，接着从代数的角度对性质做出严格表述；二、先研究函数的部分性质，再根据性质画出函数的图象，此时特别要关注函数的定义域对图象的影响．究其人教a版《1.4.3正切函数的性质与图象》这一课题，教科书采用了研究函数的方式二．这样做的好处是：1．给学生提供了研究函数的另一个视角，研究函数不但可以根据图象猜测性质，也可以利用性质研究图象，且在性质的指导下能更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，使数形结合思想体现得更全面；2．学生通过正切函数的部分性质研究其图象，作草图，再结合正切线，利用几何画板动态展示正切线变化过程以及利用正切线画正切函数图象的过程，使学生对知识点的理解更加形象、直观，肯定学生思维，增加了学习兴趣，同时利用展台展示学生自主学习过程中出现的问题，予以提示和纠正，加深对已知性质的认识．以此确立了本节课教学目标的发展要求：在探究正切函数基本性质和图象的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．确立了本节课的教学框架：探究一：从正切函数的性质探究正切函数的图象；探究二：从正切函数的图象探究正切函数的性质；探究三：正切函数图象与性质的应用．3. 设置“有效问题链”建构主义认为，学生对每一个问题几乎都有自己的一些看法．即使面对以前没有接触过的问题，也能够基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释（假设）．这种从已有知识经验出发的“合乎逻辑的假设”正是新知识的生长点．所以在教学设计和课堂教学的过程中，要为学生创建一个去探索、挖掘和呈现数学概念和思想方法“本质”的平台，给学生足够的时间去体验和感悟，拓展学生的“学术学习时间”，理清知识发生的本原．新授课教师往往可以通过有效的设问为“主线”，给学生在获取知识上设置一个个”梯子”，使学生从“思维的源地”去“发现”、“创造”，进而得到教学设想的目标．它符合《新课程标准》的理念：“数学教学活动必须建立在学生的认知水平和已有的知识经验基础之上．教师应激发学生的学习积极性，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法．”本节课是一个探究型课，根据学生已有的知识背景，为配合完成探究一和探究二，教师设置了以下问题串：问题1：完成填空，从以下练习中找出正切函数的性质．练习：1．正切函数的定义域______；2．完成诱导公式：tan（x+π）=_____（x∈r且x≠kπ+■，k∈z）；tan（－x）=_____（x∈r且x≠kπ+■，k∈z）．设计意图：通过练习复习了旧知识，也给学生指明寻找已有的正切函数性质的方向．问题2：正、余弦函数作图是先作一个周期［0，2π）内的图象，通过类比，选择怎样的区间作一个周期的正切函数？设计意图：考查学生对正切函数定义域、周期性、奇函数这三个性质综合应用的能力．问题3：结合以上性质尝试在一个周期中作出正切函数的大致图象．设计意图：对学生已有作图知识的检查：利用特殊角的正切值列表、描点、连线作图象．教师通过前3问，结合正、余弦函数的知识，尝试作了以π为一个周期的正切函数大致图象．这里采用小组讨论的方式进行，有小组提出通过类比正、余弦函数周期的影响，选作［0，π］的图象，在找几个特殊点，作出正切函数的大致图象，但因在x=■处找不到函数值，x=■附近无从作图；部分学生通过小组讨论选择－■，■区间作正切函数的一个周期图象，尽管图象有了连贯性，但对x →■和x→－■的处理仍然比较迷茫．问题4：类比y=sinx图象的由来，你能通过单位圆的正切线作y=tanx，x∈－■，■的图象吗？设计意图：1．通过类比思想，引导学生在－■，■上作一些角的正切线，以此作出正切函数图象；2．正切线的复习，也使学生意识到x→■和x→－■时，y=tanx的变化情况；3．用几何画板动态地展示正切函数图象作图过程，肯定学生的分析，加深学生对正切函数图象的认识及对前面所作的草图的不足的理解．问题5：类比正、余弦函数，如何作y=tanx在定义域上的图象？这一个问题学生自然而然会回答：将一个周期内函数的图象左右平移得出整个定义域上正切函数的图象．但学生易对x=kπ+■（k ∈z）忽略，对此，教师强调正切函数图象由互相平行的直线x=k π+■（k∈z）所隔开，且y=tanx在x=kπ+■（k∈z）上无意义，这些直线称为“渐近线”．同时，学生也从图象中验证了正切函数的定义域、奇偶性和周期性，明确了正切函数的最小正周期为π．问题6：类比正弦函数“五点法”作图，如何快速作出y=tanx，x∈－■，■的简图？应该抓住哪些特点？设计意图：运用类比，使学生寻找出画正切函数简图的方法：两线：x=■和x=－■；三点：（0，0）、■，1和－■，－1．？摇？摇通过以上6个问题的引领，引导学生运用类比思想探究出正切函数的图象，不光完成了探究一，为探究二的开展铺平了道路，也培养学生主动思考探究的习惯．问题7：请你认真观察正切函数的图象特征，类比正、余弦函数的性质，你还有哪些新的发现？设计意图：引导学生利用正切函数图象，运用数形结合和类比的思想，从值域、单调区间、对称轴、对称点等性质考虑问题，加深学生对数形结合思想的认识，通过图象和性质的结合加强学生对正切函数性质的理解和对正切曲线的认识．学生会出现以下两个问题：1．类比正、余弦函数探究函数单调性的经验，学生可以得出先讨论一个周期上函数的单调性，但y=tanx在定义域内单调性如何就不明确；2．类比正、余弦函数探究函数对称点的经验，学生发现图象具有中心对称的特点，并找到对称中心，对称点（kπ，0），遗漏对称点kπ+■，0，教师要强调．毫无疑问，相对正切函数的性质和图象的结论而言，它的形成过程才是最重要的．如上，在“图象和新性质”出现之前，设置“问题链”，给学生提供思考的阶梯，让他们先感知正切函数图象”触手可及”，自己去探索、去验证、去发现，从自己的体验和感受中获取知识和技能．就本节课内容而言，通过这些问题的铺垫，看似只需教给学生的“数学知识”，却有着内在的“逻辑”联系，蕴涵着研究问题的思想和获取知识的方法．4. 选配“合身”例题教学设计要有一个基本原则：立足教材，用好教材．《新课标》指出：“教材为学生的学习活动提供了基本线索，是实现课程目标、实施教学的重要资源”．新课改提倡：“不是教教材，而是用教材教”，要“创造性地使用教材”．这种资源的价值只有在使用者透彻领悟教材“精髓”的基础上，才能够充分体现．所以，进行例题选择时，首先要读懂、领悟，准确而深刻地把握教材的本质，理解编写者安排的问题或思考的用意；然后才是用好、用活，创造性地使用教材，把教材中的问题变得可行、有效，挖掘其内在的教学作用和教育价值，并进行有效的拓展，使教材变得“鲜活”，让课堂“出彩”．对此，笔者分析教材《正切函数的性质与图象》的内容和教学大纲，围绕本节课教学目标，选配了以下例题，来达到教学预设目标．【例1】比较下列各组正切函数值的大小1．tan（－24°）与tan75°；？摇？摇2．tan■与tan■；3．tan■与tan■．设计意图：这一题型是对函数单调性的简单应用，是容易题．题1考查了同一单调区间中两正切函数值大小的判断；题2是在题1的基础上增加了正切函数周期性的考查；题3是对函数单调性的灵活应用，即当两个自变量经过化简后没有处在同一个单调区间时，通过寻找中间媒介（如“0”、“1”等）来实现两个函数值大小的判断．【例2】观察正切函数图象，写出满足下列条件的x的取值范围1．tanx≥■-■0）的最小正周期是什么？练习：画出函数y=tanx的图象，探究该函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性、单调区间和对称性．设计意图：1．考查学生对正切函数图象与性质的认识及综合运用知识的能力；2．表述了已知函数解析式作图再研究函数性质这一与本节课不同的另一种探究函数图象与性质的方法，完备了开课时教师提到的研究函数的两种方法，拓宽学生的视野．当然，随着每个例题的进行，教师应对解题思路进行适当的评价或留一定的时间让学生进行该例题的求解反思．现代心理学告诉我们，认知结构中如果没有适当起固定作用的观念，那么知识的同化和顺应是难以实现的，而教师的解题评价或学生解题反思实际上就是一个解题学习的强化过程，一个增加解题的可供联想储备信息的过程，一个不断调整、修正学生对知识的理解和巩固的过程．■教学实施策略反思1. 结论的“形成过程”比结论本身重要平时，总是听到其他教师在说：“讲了很多的知识和方法，学生怎么没几句能记牢．”为什么会这样？笔者认为原因在于：1．在传统的课堂教学活动中，“一个定义、三项注意”式的概念教学方式比较普遍；2．一次次的课改，改变不了高中数学课时紧张的现状，这是一个不争的事实．而教师为了赶进度，课堂上留给学生探究数学知识时间非常有限，有些教师甚至只给一个结论或公式，概念被当成解题的工具抛给学生，学生知其然，却不知其所以然．在学生没有对概念的发生、发展、内涵与外延有一个基本的了解的情况下，通过学生不断地做练习达到对公式或结论的记忆，教学效果却不理想．这样死记硬背产生的后果是：记得快，忘得更快，课堂也没什么乐趣，学生对数学的兴趣越来越低，日益累积，才有了教师们如上的抱怨．俗话说得好：“结果很美好，过程更重要”，也就是说：“从培养学生思维能力、创新意识的要求来看，数学概念的形成过程，其内涵、外延的揭示过程，比数学概念的定义本身更重要．”在新课程中，“经历……过程”已成为非常重要的、实实在在的目标，使数学教育的价值得到了提升和拓展．如在教学《正切函数的性质与图象》时，若直接告诉学生正切函数的图象和性质，学生会疑惑，为什么是这样的，能否是其他形式？在性质和图象的记忆上薄弱，在应用时，会很生疏．为了达到教学目标，在这节课的教学设计和课堂教学的过程中，教师重视性质和图象的“形成过程”，引导学生通过已有的有关正切函数的知识寻找对应性质，并结合已知性质研究其图象，作草图，再结合正切线，利用几何画板动态展示正切线变化过程以及利用正切线画正切函数图象的过程，通过有效的设问链，特别是问题3与问题4的处理，为学生创建一个去探索、挖掘和呈现正切函数概念的平台，给学生足够的时间去体验和感悟，拓展学生的“学术学习时间”，理清知识发生的本原，循序渐进地使学生掌握正切函数的性质和图象，并使学生相应的与正、余弦函数图象和性质进行潜意识的分析比较，既掌握了正切函数，又复习了其他知识，“一箭多雕”，再利用“合身”的例题进行正切函数性质与图象等知识的巩固、验证、拓展，使课堂生动，学生满意且教学目标得到很好的完成，这样培养出来的学生对问题的看法会越来越清晰，掌握的知识会更牢固，不易忘．2. 课堂提问有效性原则？摇？摇课堂提问是数学课堂教学活动中的一个重要组成部分，是师生为了顺利完成课堂教学任务而共同合作的教学行为；是教师成功完成教学任务的手段与基本功．在课堂教学中，每一位教师在课堂教学中都会通过提问去调动学生学习的主动性和积极性，对所学知识温故而知新、查漏补缺；通过提问突出重点、突破难点，同时加深学生对知识的理解，从而完成教学目标，那么如何进行课堂教学的有效提问？笔者认为，应遵循以下三个基本原则：1．目的性原则：课堂提问要有目的性，通常往往在突破教学难点处、完成教学重点处、新旧知识连接处和概念容易混淆处设计问题并进行具体实施．不要提与本节内容无关或让学生不知所云的问题．2．“就近”原则：学习活动是一个由易到难、由简单到复杂的过程，提问要提在学生的“最近发展区”，即问题设计在学生能根据现有水平和经过思考可以达到的区域，问题超越了学生的智力范围太远，会使学生迷失寻找线索的方向、丧失信心和减低学习兴趣．3．“留白”原则：教师提问后要给学生留下思考、探索、交流的时间，根据问题的性质耐心等待适当的时间，不要马上重复问题或指定一个学生来回答问题．3. 教学要体现人文关怀“教师很辛苦，学生很痛苦”是目前中学教学的一个非常突出的问题．新课改指出：教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量；教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者．因此，一堂成功的课堂可以看做是由五谷杂粮组成的，可以是很纯粹的学科知识，同时也需要多元化的教学目标来支撑，以学生发展为本，更不能没有对学生的人文关怀．笔者认为在数学教学中对学生的人文关怀主要分三方面．1．一堂课的教学设计应是教师在对《新课程标准》、课本充分感悟和学生学情分析后的体现．这堂课有几个知识点，这几个知识点之间有什么联系，怎样在一节课中落实这几个知识点，学生很好地掌握并进行应用，这需要教师对学生的人文关怀．如在学习《正切函数的性质与图象》前，教师明确：（1）学生已经较好地掌握了正弦、余弦函数的图象与性质；（2）学生已经掌握了角的正切、正切线和与正切有关的诱导公式．这些为学生学习本节课提供了知识的保障，为教师提供了进行教学设计的平台．因此，引导学生进一步研究正切函数性质和图象、体会研究函数的方法，为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备，教师预设一些“有效问题”，关注学生对知识认知的从“无”到“有”、从“浅”到“深”的思维发展方式．预设从“简”到“难”的“合身”的例题，希望能巩固学生对正切函数的性质和图象的掌握，并且为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，预设“问题链”引导学生探究正切函数的图象和性质；再通过采用《几何画板》自制课件进行正切函数图象的演示，以此检验学生所作图象的正确性，希望提高学生的学习兴趣，达到良好的教学效果．这样的教学预设体现了教师对学生的人文关怀．2．尽管有了较全面的教学设计预设，但在实际教学过程中，同一班级中的学生的基础存在差异，对于同一内容的学习，学生所需的学习时间也不同，并且在具体的课堂中，还会发生各种各样的突发问题．如何在课堂教学中让绝大多数学生甚至于全体学生有效地进行《正切函数的性质与图象》学习？德国的教育学家第斯多惠说：“教学的艺术不在于传授知识本领，而在于激励、唤醒和鼓舞．”课堂教学是在知识与情感两条主线的相互作用、相互影响下完成的．教师的一句话、一个眼神或一个动作都可能影响学生探究问题的意愿，所以教师作为学生与数学知识结构之间的中介，在课堂上要对学生进行人文关怀，重视学生亲身感受、实践操作、合作交流，给学生提供探索与交流的空间和时间，当学生遇到困难时或突发问题时，教师及时“扶一把”、“送一程”、“收一收”，使问题更贴近学生的最近发展区，让学生具备进一步探究问题的能力和意愿，并保持良好的学习情绪，使数学学习过程真正成为学生在已有经验基础上的主动建构过程，在知识的形成与应用过程中认识和掌握双基，在经历过程中感悟数学的思想和方法．3．要真正掌握知识、培养能力，必须通过学生自身的实践，使学生从“做”中去体会，从“做”中去巩固、掌握知识和灵活应用知识解决新问题的能力．课堂教学活动的时间是有限的，学生除在课堂活动中的“做”知识外，更多的是通过“做”课后作业来完善对知识的把握与理解．因此，教师要结合学生学习的实际情况和个体差异，有针对性地布置作业．在批改完作业后，教师分析错误，追溯错误缘由，并对普遍错误问题集中讲解，对个案问题进行面批，对学生常见错误问题归类，并在周末练习、检测等各类综合试卷上适当加强练习，这些行为都体现教师对学生的人文关怀，使学生更好地为后续学习做好知识和思想的准备．4. 探究式教学在课堂中的应用《新课程标准》指出：“要培养学生主动探究的意识，使学生在探究过程中获取探究的体验，促进学生在探索中发现，在发现中体验，在体验中发展，使数学课堂充满生命活力．”探究式教学正符合了这一目标．当然对于高中生来讲，学生的年龄特点、知识背景和思维能力决定了并不是所有的数学教学内容都适合在课堂上进行探究式学习，因此开展探究式课堂教学，必须以学生为“主体”，有教师的有效引领，有教师完善的“后勤”工作，为学生铺设活动舞台，否则探究活动将会成为没有目标的盲目探索或在规定课堂时间无法完成的任务．在数学课堂教学中增加学生探究的成分，并不意味减弱了教师的主导作用，相反，在学生进行自主探究时，教师的启发、临场指导都大大增加了．探究式课堂活动中，教师是“主持人”，往往会先通过预设性问题，引领学生进行探究知识，当然，在探究有些预设性问题时，学生受阻，产生生成性问题，“冷场”时，教师要会铺设“梯子”，正确引导学生继续进行探究．探究重要的不是结果，而是探究过程本身，学会如何对已有的数学知识进行迁移，并进一步对未知数学问题的探究．如在《正切函数的性质与图象》中，教师始终抓住类比正弦函数这条主线，尊重学生的先前的数学经验，注意“将新知泊于旧知的锚上”，引领学生对新知识进行猜想、分析、探究、证明，使新旧知识点有机地结合在一起．在具体教学实践过程中，发现学生能够较好地运用类比思想探究正切函数的性质，但在由部分性质确定正切函数在区间－■，■上的图象时出现困难，教师引导学生考虑正切线与正切函数值的关系，并进行几何画板演示来落实图象．高水平的教学设计是进行有效教学的一个重要前提，然而，教学设计是“预设”的，课堂教学是“生成”的，这两者之间一定存有落差，只有加强教学设计的预见性，进行合理的实施策略构建，才能提高课堂教学的有效性，才会有精彩的课堂教学“生成”．当。
正切函数的性质与图象课后反思.docx
《正切函数的性质与图象》课后反思三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质一一定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。
在此也向学生进一步说明“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。
在本节课中我采用“类比一一探究一一讨论”教学法。
在学习了正弦函数图像与性质，平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图象。
设计问题让学生进一步探究正切函数的性质与图象，学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对止切函数的感性认识和形成止切函数图象的了解。
通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神.通过多媒体显示得出函数图像。
引导学生在有限的时间内完成正切函数性质的归纳和总结，让学生思考、动手画图、课堂交流、亲身实践。
通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对正切函数图像与性质的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。
这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。
”的学习方法。
这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。
使学生真正成为教学的主体。
学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。
在课堂教学屮注重学生的学，让学生自己思考得到问题的答案，以至于后半段课堂吋间仓促，课堂练习只能变成课后练习。
在以后的教学中会注意调节好学牛的研究时间。
一、指导思想与理论依据贝塔朗菲强调，任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加, 而是系统的整体观念。
数学知识更是一个有机整体，在平时的教学屮，我习惯从系统的观点对所教内容进行整合，以优化其结构及知识、能力与方法。
正切函数的图象与性质
1.4.3正切函数的图象与性质【自主学习】【学习目标】1、理解并掌握利用正切线作正切函数图象的方法2、掌握正切函数定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性和对称性3、掌握正切函数性质的简单应用【教材导析】一、情景导入回顾单位圆中的在切线，如下图，角x 分别在第一、二、三、四象限时，其正切值用用有向线段AT （即角x 的正切线）表示：tan x AT =.二、教材导读由于我们前面已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，我们完全可以把它迁移到对正切函数的研究之中.因此，我们对本节课的学习就变得很容易了.我们将教材顺序调整一下，先认识正切函数的图象，再看图说话认识正切函数的性质. 1.正切函数的图象 （1）x y tan =)2,2((ππ-∈x ）的图像 我们可仿照正弦曲线的平移法获得: 利用单位圆中的正切线进行平移：把角度为α的正切线平移至坐标平面内直线α=x 上，保持正切线的起点在x 轴上，则正切线终点的轨迹图像就是x y t an =)2,2((ππ-∈x 的图像（如右图）.（2）正切函数x y tan =2,(ππ+≠∈k x R x ，)Z k ∈的图像：由诱导公式x x tan )tan(=+π知，只需将x y tan =)2,2((ππ-∈x 的图像向左、右扩展（每次向左、右平移π个单位），就得到正切函数x y tan =2,(ππ+≠∈k x R x ，)Z k ∈的图像——正切曲线(如图).2.正切函数的性质观察正切函数x y tan =的图象，我们根据数形结合思想“看图说话”，归纳正切函数x y tan =以下性质： （1）定义域：{|,}2x R x k k Z ππ∈≠+∈.其中,2x k k Z ππ=+∈是正切曲线的渐近线，可以无限接近但不能到达.（2）值域:R.x y tan =在定义域上既无最大值也无最小值. （3）奇偶性与对称性：图象关于原点对称，是奇函数.事实上，根据诱导公式：tan()tan x x -=-正切函数x y tan =奇函数.从图象可知，正切函数x y tan =的图象无对称轴，但是中心对称图象，对称中心有点(0,0),(,0),(,0)2ππ……，等，所以，其对称中心为(,0)()2k k Z π∈ （4）单调性：在每一个区间()(,)22k k k Z ππππ-++∈内都是增函数.（5）周期性：最小正周期T π=.事实上，由诱导公式tan()tan x x π+=知正切函数x y tan =是以(,0)k k Z k π∈≠为周期的周期函数，最小正周期π.（6）零点：x y tan =的零点为()x k k Z π=∈.3.正切函数图象与性质的应用教材例6中，采用了与正、余弦函数的图象与性质的应用中类似的换元法，这种方法在解决三种类型的函数sin()y A x ωϕ=+、cos()y A x ωϕ=+或tan()y A x ωϕ=+ （其中,,A ωϕ均为常数）的定义域、值域、单调性等问题时均有非常重要的作用，我们要熟练的掌握和运用这种方法.【课堂点金】【重难点突破】1.利用正切函数的图象求解零点问题与不等式问题例1. （教材45P 《习题1.4》第9题（1）改编）设()tan 1f x x =+. （1）求()f x 的零点.（2）根据正切函数图象，写出满足()0f x ≥的x 的集合.【解析】（1）()f x 的零点就是方程()tan 10f x x =+=即tan 1x =-的根. 在(,)22ππ-使tan 1x =-的4x π=-，故由t a n y x =的周期性知tan 1x =-的根为,4x k k Zππ=-+∈，故()f x 的零点为,4x k k Z ππ=-+∈.（2）()0tan 1f x x ≥⇔≥-，观察tan y x =在(,)22ππ-的图象的特解42x ππ-≤<，故满足tan 1x ≥-的{|,}42x x k x k k Z ππππ∈-+≤<+∈.【评析】充分把握正切函数的图象和性质是解决有关正切函数的零点问题、三角不等式问题的关键.【变式1】（教材45P 《练习》第2题）观察正切曲线，写出满足下列条件的x 的值： （1）tan 0x >；（2）tan 0x =；（3）tan 0x <.【解析】利用“先特解、后通解”思路，观察正切曲线知：先观察tan y x =在一个周期(,)22ππ-内，使tan 0x >的x 满足02x π<<，使tan 0x =的0x =，使tan 0x <的x 满足02x π-<<，由于tan y x =的周期为,k k Z π∈，故：（1）满足tan 0x >的x 的集合为{|,}2x k x k k Z πππ<<+∈；（2）满足tan 0x =的x 的集合为{|,}x x k k Z π=∈； （3）满足tan 0x <的x 的集合为{|,}2x k x k k Z πππ-+<<∈.2. 正切函数的定义域、单调性与周期性 例2.（教材P 44例1）求函数tan()23y x ππ=+的定义域、周期和单调区间.【解析】要使函数有意义，只需1,2,2323x k x k k z ππππ+≠+⇒≠+∈，所以函数的定义域为1{|2,}3x x k k z ≠+∈.由于()tan()tan()tan[(2)](2)232323f x x x x f x πππππππ=+=++=++=+， 因此函数的周期为2.由,2232k x k k Z ππππππ-+<+<+∈，解得：5122,33k x k k Z -+<<+∈.因此，函数的单调递增区间是51(2,2),33k k k Z -++∈.【评析】函数tan()(0,0)y A x B A ωωω=++≠≠的周期为||πω. 例3.（08天津）设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．c b a << B ．a c b << C ．a c b << D ．b a c <<【解析】因为52sin sin77a ππ==，如右图.在同一坐标系下画出(0,)2π正弦、余弦与正切函数的图象即可知选D ．【评析】掌握三角函数值的大小比较方法.同角异名时利用同一坐标系下的函数图象比较（如本例），同名异角时将所有角转化到对应函数的同一单调区间，再利用单调性进行比较（见变式3）.【变式3】比较6tan()5π-与12tan()5π-大小. 【解析】6tan()tan 55ππ-=-,12222tan()tan(2)tan()tan 5555πππππ-=--=-=-22612tantantan tan tan()tan()555555ππππππ<⇒->-⇒->- 3.正切函数的对称性例4.函数tan (0)y ax a =≠关于点(,0)4π对称，则实数a 的一个可能取值为（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、2【分析】根据正切函数的对称性，把ax 视为一个整体求解. 【解析】tan y ax =的对称中心为的横坐标为,,22k k ax x aππ== ,224k a k a ππ∴==,所以选D. 【评析】注意整体代换思想.【变式4】函数tan31y x =+的对称中心为 . 【解析】3,,26k k x x ππ==其对称中心为(,1)()6k k Z π∈. 【教材挖掘】利用单位圆中的三角函数线研究三角函数性质阅读教材4244P -，理解教材利用单位圆知的三角函数线研究正切函数的性质和图象的方法. 我们知道，单位圆中的三角函数线直观地表现了三角函数中主变量与函数值之间的关系，因而是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质.如图，在直角坐标系uOv 中，角x 的终边与单位圆交于点(,)P u v ，过P 作Ou 轴的垂线，垂足为M ，过(1,0)A 作Ou 轴的垂线与角x 的终边或其反向延长线交于点T ，于是我们分别得到角x 正弦线MP 、余弦线OM 和正切线TA.当角x 的终边绕原点从Ou 轴的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，想象正弦线、余弦线和正切线的变化规律性：正弦线MP 按照0→1→0→1-→0→…的规律周而复始地变化着； 正弦线OM 按照1→0→1-→0→1→…的规律周而复始地变化着；正切线AT 按照0→+∞,-∞→0→+∞,-∞→0→+∞,…的规律周而复始地变化着.根据上述变化规律，我们可以得到三种函数的诸多性质，尝试根据单位圆中的三角函数线的运动变化情况研究三角函数的性质，填写下表.【总结提升】本课主要利用研究正弦函数、余弦函数的方法来研究正切函数的图象和性质，会利用正切函数的图象和性质求解相关问题.【三阶评价】【基础测评】1．函数tan(3)13y x π=-++的定义域是 .【解析】{|,}318k x x k Z ππ≠+∈. 2.函数1cos 2sin 2(1tan 2)sin 2xy x x x-=+⋅周期为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【解析】sin 21cos 2sin 2(1)tan 2cos 2sin 2x xy x x x x-=+⋅=，选B.3．（教材45P 《练习》第5题）（1）正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？ （2）正切函数会不会在某个区间内是减函数？为什么？【解析】（1）根据单调性的概念知正切函数在整个定义域内不是增函数，如取14x π=，234x π=，虽然12x x <，但12tan tan x x >：这两个变量没有在同一单调区间.正确的说法是：正切函数在整个定义域内不具备单调性，但在每一个区间()(,)22k k k Z ππππ-++∈内都是增函数.（2）正切函数tan y x =不会在某个区间内是减函数，因为它在每一个区间()(,)22k k k Z ππππ-++∈内都是增函数. 4.（教材45P 《练习》第4题）求下列函数的周期： （1）tan 2y x =；（2）5tan 2xy =. 【解析】（1）2T ππω==；（2）2T ππω==. 5.比较13tan()4π-与17tan()5π-的大小.解析：13tan()tan 4π-=-4π，172tan()tan55ππ-=-， 又20,tan (0,)4522y x ππππ<<<=在内单调递增，22tan tan ,tan tan ,4545ππππ∴<∴->-即1317tan()tan()45ππ->-.6.（教材P 47《习题1.4》B 组第2题）求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间.【解析】由352()2422828k k k x k x k Z πππππππππ-<-<+⇒+<<+∈，所以3tan(2)4y x π=--在每一个区间5(,)()2828k k k Z ππππ++∈上递减，无递增区间.【能力提升】一、选择题 1. 函数tan()4y x π=+的定义域为（ ）A.{|}4x x π≠B. {|}4x x π≠-C. 3{|,}4x x k k Z ππ≠+∈D. {|,}4x x k k Z ππ≠+∈【解析】42x k πππ+≠+，解得,4x k k Z ππ≠+∈，选D. 2． 直线y=2与函数tan (0)y x ωω=>的相邻两支的交点间的距离为（ ）A ．πB ．πωC ．2πωD ．2πω【解析】“相邻两支的交点间的距离”刚好是tan (0)y x ωω=>的一个周期，选B.3.下列不等式成立的是（ ） Ａ．sin75π＞sin 74π Ｂ．cos(－53π)>cos(－49π) Ｃ．tan1519°<tan1493° Ｄ． tan815π＞tan(－7π) 【解析】转化为同一单调区间即可.sin52sin 77ππ=， sin 43sin77ππ=，排除A ； cos(－53π)3cos 5π=， 9cos()4π-cos 4π=，排除B ；0000tan1519tan(436079)tan 79=⨯+=,同理00tan1493tan 53=,排除C. tan 15tan(2)tan()tan 8888πππππ=-=-=-，tan(－7π)=tan 7π-，由于tan tan 87ππ<，故D 成立.所以选D.4. 设α,β都是第二象限的角，且sin α＜sinβ，则（ ）A.tan α＜tan βB.cos α＜cos βC.tan2α＜tan 2β D.cos 2α＜cos 2β 【解析】取150,120αβ=︒=︒排除A ，C ，再取150,480αβ=︒=︒排除D ，选B.5.二、填空题5.函数1()tan 44y x x ππ=-<<的值域是 . 【解析】根据正弦函数的图象知：1tan 144x x ππ-<<⇒-<<，故(,1)(1,)y ∈-∞-+∞.6. 2tan(2)(0)6y ax a π=+>的最小正周期为3，则a = .【解析】326T a aππ==⇒=.7.（2010江苏）设定义在区间(0,)2π上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为1P ,直线1PP 与函数sin y x =的图像交于点2P ,则线段12P P 的长为_______【解析】设(,)P m n 作出示意图，知12sin PP m =，而且sin 6cos 5tan 5cos mm m m==⋅. 得2226cos 5sin 6sin 5sin 60sin 3m m m m m =⇒+-=⇒=，所以线段12P P 的长为23. 三、解答题8.（教材45P 《习题1.4》第9题（1）改编）设()3f x x =-. （1）求()f x 的零点.（2）根据正切函数图象，写出满足()0f x ≥的x 的集合.【解析】（1）()f x 的零点就是方程()30f x x =-=即tan x =.在(,)22ππ-使tan x =的3x π=，故由t a n y x =的周期性知t a n x =的根为,3x k k Z ππ=+∈，故()f x 的零点为,3x k k Z ππ=+∈.（2）()0tan f x x ≥⇔≥，观察tan y x =在(,)22ππ-的图象的特解32x ππ≤<，故满足tan 1x ≥-的{|,}32x x k x k k Z ππππ∈+≤<+∈.9.求函数tan(3)4y x π=-的周期、单调区间和对称中心的坐标.【解析】tan(3)tan(3)44y x x ππ=-=-- ，故周期3T ππω==.由3242k x k πππππ-<-<+解得()31234k k x k Z ππππ-<<+∈，即函数的单调减区间为(,)()31234k k k Z ππππ-+∈，无递增区间. 令3()42612k k x x k Z ππππ-=⇒=+∈，即其对称中心为(,0)()612k k Z ππ+∈【高考文津】若函数()2tan()()4f x kx k N π=+∈的最小正周期Ｔ满足3(,)42T ππ∈，则k 的取值集合是 . 【解析】332(,)442423T k k k ππππππ=∈⇒<<⇒<<,又k N ∈，故{1,2,3}k ∈.【课后反思】.。
正切函数的图像和性质教学反思_朱洪亮
江 苏 教 师 像和性质教学反思
朱洪亮 （常州市田家炳高级中学，江苏 常州２１３０００）
摘 要 ：课堂教学应该实现从教材中心到学生中心的转变以及从 教 到 学 的 转 变。面 对 课 堂 生 成 和 突 发 事 件，教 师 可 以 舍 得 既 定 方 案，尊
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文 章 编 号 ：１９９２－７７１１（２０１３）１３－０６３－１
笔者在进行正切函数的图像和性质教学准备时，依 据 教 材 安 排，希望学生通过类比正余弦函数的图像和性质的学习 去 探 究 正 切函数的图像和性 质。 该 课 为 对 外 公 开 课，听 课 教 师 人 数 较 多， 与平时教学相比，学生的发言较多，当时也比较尊重 课 堂 的 生 成。 实际课堂探究过程与笔者最初设想有较大出入，与教材 对 该 节 知 识的处理也有较大差异。但本节课对提高学生学习数学的兴趣、 激发学生学习数学的热情、确立起学生在学习中的主体 地 位 有 显 著效果。我认为在教学 过 程 中，要 尊 重 教 材，但 是 我 们 也 应 该 对 于教材的设计以及知 识 进 行 再 思 考，结 合 课 堂 的 实 际，让 我 们 的 教学、课堂探究更符合学生的发展，让课堂更加精彩，让 学 生 得 到 更好的发展。因此，我就自己在教学过程中的一些思 考 以 及 观 摩 的课堂进行了如下的分析与总结。
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《正切函数的性质与图象》课后反思三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质一一定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。
在此也向学生进一步说明“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。
在本节课中我采用“类比一一探究一一讨论”教学法。
在学习了正弦函数图像与性质，平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图象。
设计问题让学生进一步探究正切函数的性质与图象，学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对止切函数的感性认识和形成止切函数图象的了解。
通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神.通过多媒体显示得出函数图像。
引导学生在有限的时间内完成正切函数性质的归纳和总结，让学生思考、动手画图、课堂交流、亲身实践。
通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对正切函数图像与性质的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。
这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。
”的学习方法。
这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。
使学生真正成为教学的主体。
学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。
在课堂教学屮注重学生的学，让学生自己思考得到问题的答案，以至于后半段课堂吋间仓促，课堂练习只能变成课后练习。
在以后的教学中会注意调节好学牛的研究时间。
一、指导思想与理论依据贝塔朗菲强调，任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加, 而是系统的整体观念。
数学知识更是一个有机整体，在平时的教学屮，我习惯从系统的观点对所教内容进行整合，以优化其结构及知识、能力与方法。
二、教学背景分析本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质后，又一具体的三角函数。
学生已经掌握了角的正切值，正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障, 在此基础上，进一步研究其性质.为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
五、学习效果评价设计1.效果设计本节课的内容是正切函数的图像与性质。
若按照教材直接利用正切线画出正切函数的图像，然后研究其性质，我觉得不能使知识成为一个系统，缺乏已有知识和未知知识的联系, 不利于培养学生的能力。
知识的形成，是一个循序渐进的过程，不能一蹴而就。
因此设计课程时，是在学生对正切函数已有的认知基础上，得到其一部分性质，但是并不完善，为了完善函数的性质，想到通过函数的图像直观地得到。
2.课堂实践在课堂教学中，学生在学习了正、余弦函数的基础上，能够按照事先设计的思路逐步研究正切函数的性质，特别是在如何利用正切函数已有的性质基础上画出其图像、只需要画出那个区间上的图像，讨论非常热烈，体现了学生在课堂中的主体地位。
另外，在得到函数的图像之后，在函数的性质是如何在图像上反映出来这一问题，理解得很透彻，分析得也十分到位在本节课中我釆用“类比一一探究一一讨论”教学法。
在学习了正弦函数图像与性质，平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图像。
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