高三第一轮复习：函数与方程

-----第一课时高三数学郭克辉

教材分析：

函数零点的概念是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属于中低档题。主要考察函数零点与相应方程的关系，零点存在的判定条件。

学情分析：

函数零点的概念，函数零点与相应方程的关系，零点存在的判定条件。由于对数是高一上学期学的，现在对于这些概念性的题肯定已经模糊，故在教学上以基本的概念为主，为接下来二分法的学习做铺垫。

教学目标：

1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件；

2. 培养学生的观察能力，培养学生的抽象概括能力，培养学生分析、解决问题的能力；

3. 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

教学重点：1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；

2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．

教学难点：理解根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概念，对“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解；通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

教学过程：

一、知识梳理：

1．函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．

2．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．

3．函数)(x f y =零点的求法：

①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

二、例题讲解

c 例1．求函数2223+--=x x x y 与x 轴的交点，并画出它的大致图象．

b/a 例2．：研究方程|x2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数．

解：设y=|x2－2x －3|和y=a ，利用Excel 、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数．如下图，当a=0或a ＞4时，有两个实根；当a=4时，有三个实根；当0＜a ＜4时，有四个实根．

练习c1.如果抛物线f(x)= c bx x ++2

的图象与x 轴交于两点(-1,0)和(3,0),则f(x)>0的解集是（ C ）

A ． (-1,3)

B ．[-1,3]

C ．

D ．

c2．已知d cx bx x x f +++=23)(,在下列说法中：

(1)若f(m)f(n)<0,且m

(2) 若f(m)f(n)<0,且m

(3) 若f(m)f(n)>0,且m

(4) 若f(m)f(n)>0,且m

其中正确的命题题号是 (2) ．

b/a3. 讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数．

解:原方程转化为,即方程x2-5x+a+3=0在区间（1,3）内是否有根,由

得:,设f(x)= x2-5x+a+3,对称轴是,若得有一根在区间（1,3）内,即当时,原方程有一根; 若得时,原方程有两根; 时, 原方程无解．

三、归纳小结

1．函数零点的概念 2．函数零点的意义 3．函数零点的求法

四、布置作业

c1. 设方程1022=+x x

的根为β,则∈β（ C ）

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ． (2,3)

D ．(3,4)

c2. 关于x 的一元二次方程0142)3(22=++++m x m mx 有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m 的取值范围是 .

解：设f(x)= mx2+2(m+3)x+2m+14,根据图象知当或时,

符合题意得

.

b/a3.已知二次函数c bx ax x f ++=2)(和一次函数bx x g -=)(，其中R c b a ∈,,且满足c b a >>，0)1(=f .证明：函数)()(x g x f 与的图象交于不同的两点. 解：由，

即函数)()(x g x f 与的图象交于不同两点。

五、板书设计