新课标人教版高中数学必修二教案合集

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人教版高中数学必修二全册教案

人教版高中数学必修二全册教案
第一单元相似与全等
教学目标
- 了解相似与全等的基本概念
- 掌握相似三角形的判定方法和相似比的计算
- 掌握全等三角形的判定方法和全等条件
- 能够应用相似与全等的知识解决实际问题
教学内容
1. 相似三角形的判定方法
2. 相似比的计算
3. 全等三角形的判定方法
4. 全等条件
5. 实际问题的解决
教学步骤
1. 导入：通过展示两个相似或全等的图形，引发学生对相似与全等的疑惑，并带入本单元的教学内容。

2. 概念讲解：介绍相似与全等的定义和基本性质，并结合具体例子进行说明。

3. 相似三角形的判定方法：讲解相似三角形的三种判定方法，并通过练巩固学生的理解。

4. 相似比的计算：教授相似比的计算方法，以及在计算过程中常见的注意事项。

5. 全等三角形的判定方法：讲解全等三角形的判定方法，并通过实例演示。

6. 全等条件：介绍全等三角形的各种条件，并进行相关例题讲解。

7. 实际问题的解决：通过一些实际问题，引导学生将相似与全等的知识应用于解决实际情况。

8. 小结：总结本单元的重点内容，强化学生对相似与全等的理解和应用能力。

9. 练：布置相应的练题，巩固学生对本单元知识的掌握。

教学评价与反思
1. 通过学生的课堂参与情况，观察他们对相似与全等概念的理解程度。

2. 检查学生在相似比计算和全等条件判定方面的掌握情况。

3. 分析学生在解决实际问题时的思考能力和应用能力。

扩展阅读
- 人教版高中数学必修二全册教材
- 相似与全等的相关练习册和习题集。

高中数学必修二全册教案人教课标版(优秀教案)

新人教版必修全册教课方案课题：柱、锥体的结构特色课型：新讲课教课目的：经过实物模型，察看大批的空间图形，认识柱体、锥体的结构特色，并能运用这些特色描述现实生活中简单物体的结构.教课重点：让学生感觉大批空间实物及模型，归纳出柱体、锥体的结构特色.教课难点：柱、锥的结构特色的归纳.教课过程：一、新课导入：在现实生活中，我们的四周存在着各种各种的物体，它们拥有不一样的几何形状。

由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体。

下面请同学们察看课本图的物体，它们拥有什么样的几何结构特色？你能对它们进行分类吗？分类的依照是什么？学生察看思虑，最后归类总结。

上图中的物体大概可分为两大类：（一）由若干个平面多变形围成的几何体叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。

相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的极点。

（二）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的关闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。

这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特色。

二、解说新课：.棱柱的结构特色：请同学们依据方才的分类，再对照一以下图中()()()()中的几何体，并找寻它们的共同特征。

（师生共同议论，总结出棱柱的定义及其有关看法）（）定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

（）棱柱的有关看法：（出示右图模型，边比较模型边介绍）棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共极点叫做棱柱的极点。

（）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

（）棱柱的表示用底面各极点的字母表示，如右图的六棱柱可表示为“棱柱ABCDEF A' B ' C ' D ' E ' F '”思虑：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体能否是棱柱？解答：不是棱柱。

高中数学必修二教案6篇

高中数学必修二教案6篇高中数学必修二教案（精选篇1）教学目标1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。

启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重难点1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的.最大值和最小值。

教学过程一、创设情景，提出问题;设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式在此基础上，引导学生认识基本不等式。

三、理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

3、符号语言叙述：4、探究基本不等式证明方法：[问]如何证明基本不等式(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

人教版高中数学必修二全册教案

（2）体会对比在学习中的作用。
（3）感受几何作图在生产活动中的应用。
二、教学重点、难点
重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。
三、学法与教学用具
1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。
2．教学用具：三角板、圆规
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱
（三）巩固练习
课本P12 练习1、2 P18习题1.2 A组1
（四）归纳整理
请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图
（五）课外练习
1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。
2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。
四、教学思路
（一）创设情景，揭开课题
“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。
在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？
请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？
6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。
8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。
1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图）

人教版高中数学必修二教案

人教版高中数学必修二教案篇一：人教版高中数学必修2教案讲义1：空间几何体一、教学要求：通过实物模型，观察大量的空间图形，认识柱体、锥体、台体、球体及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、锥体、台体、球体的结构特征.三、教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.四、教学过程：（一）、新课导入：1. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算.（二）、讲授新课：1. 教学棱柱、棱锥的结构特征：①、讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？②、定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱. → 列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.③、分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’④、讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？⑤、定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高. → 讨论：棱锥如何分类及表示？⑥、讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？★棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形★棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.2. 教学圆柱、圆锥的结构特征：① 讨论：圆柱、圆锥如何形成？② 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.→结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. → 表示方法③ 讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？→ 柱体、锥体.④ 观察书P2若干图形，找出相应几何体；三、巩固练习：1. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为12cm,求圆锥的底面半径.2.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.3.正四棱锥的底面积为46cm,侧面等腰三角形面积为6cm,求正四棱锥侧棱.（四）、教学棱台与圆台的结构特征：① 讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？② 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.讨论：棱台的分类及表示？圆台的表示？圆台可如何旋转而得？③ 讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？ 22★ 棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.★ 圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.④ 讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？（以台体的上底面变化为线索）2．教学球体的结构特征：① 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体.结合图形认识：球心、半径、直径.→ 球的表示.② 讨论：球有一些什么几何性质？③ 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）3. 教学简单组合体的结构特征：① 讨论：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？② 定义：由柱、锥、台、球等几何结构特征组合的几何体叫简单组合体.4. 练习：圆锥底面半径为１cmcm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. （补充平行线分线段成比例定理）（五）、巩固练习：1. 已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为26cm, 则长、宽、高分别为多少？2. 棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高3. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面体的高.★例题：用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台的上、下底面的半径的比是1：4，截去的圆锥的母线长为3厘米，求此圆台的母线之长。

人教版高中数学必修二全套教案

人教版高中数学必修二全套教案
本文档包含了人教版高中数学必修二全套教案，以下是各个章节的概要：
第一章矩阵与行列式
- 第一节二阶与三阶行列式
- 第二节行列式的性质与应用
- 第三节矩阵的概念与运算
- 第四节线性方程组的解与解集
第二章二次函数与一元二次方程
- 第一节二次函数及其图像
- 第二节二次函数的性质与图像的应用
- 第三节一元二次方程的解法
- 第四节一元二次方程的应用
第三章三角函数与解三角形
- 第一节各象限角的三角函数
- 第二节倍角、半角与合角公式
- 第三节解三角形
第四章概率与统计
- 第一节事件与概率
- 第二节条件概率与分组统计
- 第三节随机事件的数量表达与独立性- 第四节随机事件的相互关系
第五章推理与证明
- 第一节数学归纳法
- 第二节常见数学问题的证明方法
- 第三节直角三角形的判定定理
第六章平面向量
- 第一节平面向量的概念与运算
- 第二节向量的线性运算与共线问题- 第三节三角形与平面向量
第七章立体几何
- 第一节立体几何的基本概念
- 第二节球面与球台
- 第三节圆锥曲线与锥体
第八章三角恒等变换与解三角恒等式
- 第一节三角恒等变换及其证明
- 第二节三角方程的解法与平面解的应用
以上是人教版高中数学必修二全套教案的章节概要，具体内容请参考教材。

新人教版高中数学必修二教案(全册)

新人教版高中数学必修二教案(全册)第一章：二次函数与一元二次方程1.1 二次函数的基本性质与图像- 教学目标：了解二次函数的定义和基本性质，掌握画出二次函数的图像的方法。

- 教学内容：二次函数的定义、顶点、对称轴等基本性质，画出二次函数的图像。

- 教学步骤：1. 引入二次函数的概念，阐述其基本性质。

2. 对比一次函数和二次函数的特点，引导学生理解二次函数的图像形态。

3. 指导学生根据给定的二次函数方程画出对应的图像。

- 教学反思：本节课通过引入二次函数的基本概念和性质，帮助学生理解二次函数的图像形态，并通过实例让学生练画出二次函数的图像，加深对二次函数的理解。

1.2 一元二次方程- 教学目标：掌握一元二次方程的概念、解法和应用。

- 教学内容：一元二次方程的定义、解法和应用。

- 教学步骤：1. 介绍一元二次方程的定义和基本概念。

2. 分析一元二次方程的解的情况，讲解解一元二次方程的方法。

3. 引入一元二次方程的应用，如求解实际问题等。

- 教学反思：通过讲解一元二次方程的定义、解法和应用，帮助学生掌握解一元二次方程的方法，并引导学生将所学知识应用于实际问题的求解中，提高数学应用能力。

第二章：不等式2.1 不等式的概念与性质- 教学目标：了解不等式的概念和性质，掌握解不等式的方法。

- 教学内容：不等式的定义、性质、解法。

- 教学步骤：1. 引入不等式的概念和基本性质。

2. 分析不等式的解的情况，介绍解不等式的方法。

3. 给出具体的不等式问题，引导学生解决实际问题。

- 教学反思：通过引入不等式的概念和性质，帮助学生掌握解不等式的方法，并通过实际问题的解决，提高学生的数学应用能力。

2.2 一元一次不等式组- 教学目标：了解一元一次不等式组的概念和解法。

- 教学内容：一元一次不等式组的定义、解法。

- 教学步骤：1. 引入一元一次不等式组的概念和基本性质。

2. 讲解解一元一次不等式组的方法。

3. 给出具体的一元一次不等式组问题，引导学生解决实际问题。

人教版高中数学必修二全册优质教案【可下载打印】

人教版高中数学必修二全册优质教案【可打印】一、教学内容本节课，我们将深入探讨人教版高中数学必修二第二章《函数、方程与不等式》2.3节“一元二次方程解法”。

具体内容涉及一元二次方程标准形式、求解方法，包括直接开平方法、配方法、公式法以及它们适用范围和优缺点。

二、教学目标通过本节课学习，学生应能够：1. 理解一元二次方程基本概念，掌握其标准形式。

2. 运用直接开平方法、配方法和公式法求解一元二次方程。

3. 分析各种解法适用条件，并比较它们优缺点。

4. 解决实际问题中涉及一元二次方程。

三、教学难点与重点重点：一元二次方程求解方法及其实际应用。

难点：配方法运用及其理解，一元二次方程根判别式理解和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT展示求解过程，板书重要步骤。

2. 学具：学生每人一份练习纸，包含随堂练习题目。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个简单实际情景，如“一个正方形对角线比边长多2，求边长”，引导学生发现其中一元二次方程问题。

2. 新课导入：回顾一元二次方程基本概念，引导学生发现解一元二次方程必要性。

3. 例题讲解：a. 直接开平方法：以方程x^2 = 4为例，讲解求解步骤。

b. 配方法：以方程x^2 5x + 6 = 0为例，详细演示配方法过程。

c. 公式法：依据一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，推导求解公式，并以具体方程为例讲解。

4. 随堂练习：发放练习纸，学生独立完成三道不同类型题目，教师巡回指导。

六、板书设计1. 一元二次方程标准形式。

2. 直接开平方法、配方法和公式法求解步骤。

3. 不同解法适用条件对比。

七、作业设计1. 作业题目：a. 求解方程x^2 3x 4 = 0。

b. 如果一个一元二次方程两个根和是6，它们乘积是15，求这个方程。

c. 实际问题：一块矩形场地长比宽多3米，面积是18平方米，求场地长度和宽度。

答案：a. x1 = 4, x2 = 1。

b. x^2 + 6x 15 = 0。

新人教版高中数学必修第二册《空间直线、平面的垂直》教案

空间直线、平面的垂直【第一课时】【教学目标】1．会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角2．理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题【教学重难点】1．异面直线所成的角2．直线与平面垂直的定义3．直线与平面垂直的判定定理【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？二、基础知识1．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．（3）范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°．[名师点拨]当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°．注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直记法l ⊥α有关概念直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直名师点拨（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．（2）注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．三、合作探究异面直线所成的角如图，在正方体ABCD EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心．求：（1）BE 与CG 所成的角；（2）FO 与BD 所成的角．【解】（1）如图，因为CG ∥BF ．所以∠EBF （或其补角）为异面直线BE 与CG 所成的角，又在△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°．（2）连接FH ，因为HD ∥EA ，EA ∥FB ，所以HD ∥FB ，又HD ＝FB ，所以四边形HFBD 为平行四边形．所以HF ∥BD ，所以∠HFO （或其补角）为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA ，AF ，易得FH ＝HA ＝AF ，所以△AFH 为等边三角形，又知O 为AH 的中点，所以∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角为30°．1．[变条件]在本例正方体中，若P 是平面EFGH 的中心，其他条件不变，求OP 和CD 所成的角．解：连接EG ，HF ，则P 为HF 的中点，连接AF ，AH ，OP ∥AF ，又CD ∥AB ，所以∠BAF （或其补角）为异面直线OP 与CD 所成的角，由于△ABF 是等腰直角三角形，所以∠BAF ＝45°，故OP 与CD 所成的角为45°．2．[变条件]在本例正方体中，若M ，N 分别是BF ，CG 的中点，且AG 和BN 所成的角为39．2°，求AM 和BN 所成的角．解：连接MG ，因为BCGF 是正方形，所以BF═∥ CG ，因为M ，N 分别是BF ，CG 的中点，所以BM ═∥ NG ，所以四边形BNGM 是平行四边形，所以BN ∥MG ，所以∠AGM （或其补角）是异面直线AG 和BN 所成的角，∠AMG （或其补角）是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39．2°，所以∠AMG＝101．6°，所以AM和BN所成的角为78．4°．[规律方法]求异面直线所成的角的步骤（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．（3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ．若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°．直线与平面垂直的定义（1）直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（）A．平行．相交C．异面．垂直（2）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【解析】（1）因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m．故l与m不可能平行．（2）对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】（1）A（2）B[规律方法]对线面垂直定义的理解（1）直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．（2）由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b．直线与平面垂直的判定如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．（1）求证：PC⊥平面AEF；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．【证明】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC．又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC．又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF．（2）由（1）知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD．1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH．证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ，因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，又FH ⊂平面PAC ，所以BD ⊥FH ．2．[变条件]若本例中PA ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG ．证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥PA ，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，所以DC ⊥平面PAD ，又AG ⊂平面PAD ，所以AG ⊥DC ，因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ，所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ，又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ，所以PC ⊥平面AFG ．3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD ．证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG ．因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥ 12CD ，又AE ═∥ 12CD ，所以GF ═∥ AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF ．因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，易知CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD ．因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD ．（1）线线垂直和线面垂直的相互转化（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直（无论它们是异面还是共面），通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．【课堂检测】1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是（）A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C．过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c．因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c．因为b∥c，所以a⊥b．当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（）A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：选B．因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1．3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线（）A．相交且垂直B．不相交也不垂直C．相交不垂直D．不相交但垂直解析：选D．如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD．4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b 平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC 的补角，所以直线a，b所成的角为60°．答案：60°【第二课时】【教学目标】1．了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法2．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【教学重难点】1．直线与平面所成的角2．直线与平面垂直的性质【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象、逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．直线与平面所成的角的定义是什么？2．直线与平面所成的角的范围是什么？3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？4．如何求直线到平面的距离？5．如何求两个平行平面间的距离？二、基础知识1．直线与平面所成的角（1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°．（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．名师点拨把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．2．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言Error!⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线名师点拨（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．3．线面距与面面距（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．三、合作探究直线与平面所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解】取AA1的中点M，连接EM，BM．因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3．于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为2 3．[规律方法]线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN ⊥C1D，求证：MN∥A1C．【证明】（1）如图，连接A1C1．因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1．因为四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，所以A 1C 1⊥B 1D 1．又因为CC 1∩A 1C 1＝C 1，所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C ．又因为A 1C ⊂平面A 1C 1C ，所以B 1D 1⊥A 1C ．（2）如图，连接B 1A ，AD 1．因为B 1C 1═∥ AD ，所以四边形ADC 1B 1为平行四边形，所以C 1D ∥AB 1，因为MN ⊥C 1D ，所以MN ⊥AB 1．又因为MN ⊥B 1D 1，AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以MN ⊥平面AB 1D 1．由（1）知A 1C ⊥B 1D 1．同理可得A 1C ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以A 1C ⊥平面AB 1D 1．所以A 1C ∥MN ． [规律方法]（1）若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．（2）直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③若l ⊥α于A ，AP ⊥l ，则AP ⊂α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．求点到平面的距离如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．【解】（1）证明：如图，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ．因为四边形ABCD 为矩形，所以点O 为BD 的中点．又点E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．（2）V ＝16AP ·AB ·AD ＝36AB ．由V ＝34，可得AB ＝32．作AH ⊥PB 于点H ．由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ，即AH 的长就是点A 到平面PBC 的距离．因为PB ＝AP 2＋AB 2＝132，所以AH ＝AP ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313．[规律方法]从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．【课堂检测】1．若斜线段AB 是它在平面α内射影长的2倍，则AB 与平面α所成角的大小为（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°解析：选A ．斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段与平面所成的角．又AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝OB AB ＝12，所以∠ABO ＝60°．2．已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，则下列结论中不正确的是（）A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PD ⊥BDD ．PA ⊥BD解析：选C ．PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥BD ，D 正确；Error!⇒BC ⊥平面PAB ⇒BC ⊥PB ．故A 正确；同理B 正确；C 不正确．3．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，则过M 且与直线AB 和B 1C 1都垂直的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条解析：选A ．显然DD 1是满足条件的一条，如果还有一条l 满足条件，则l ⊥B 1C 1，l ⊥AB ．又AB ∥C 1D 1，则l ⊥C 1D 1．又B 1C 1∩C 1D 1＝C 1，所以l ⊥平面B 1C 1D 1．同理DD 1⊥平面B 1C 1D 1，则l ∥DD 1．又l 与DD 1都过M ，这是不可能的，因此只有DD 1一条满足条件．4．如图，已知AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，AE ⊥BC 交BC 于点E ，D 是FG 的中点，AF ＝AG ，EF ＝EG ．求证：BC ∥FG ．证明：连接DE ．因为AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，所以AD ⊥平面ABC ．又BC ⊂平面ABC ，所以AD⊥BC．又AE⊥BC，所以BC⊥平面ADE．因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG．同理ED⊥FG．又AD∩ED＝D，所以FG⊥平面ADE．所以BC∥FG．【第三课时】【学习目标】1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小2．理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理3．理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【学习重难点】1．二面角2．平面与平面垂直的判定定理3．平面与平面垂直的性质定理【核心素养】1．直观想象、数学运算2．直观想象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．二面角的定义是什么？2．如何表示二面角？3．二面角的平面角的定义是什么？4．二面角的范围是什么？5．面面垂直是怎样定义的？6．面面垂直的判定定理的内容是什么？7．面面垂直的性质定理的内容是什么？二、基础知识1．二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．（2）图形和记法图形：记作：二面角αABβ或二面角αlβ或二面角PABQ或二面角PlQ．2．二面角的平面角（1）定义：在二面角αlβ的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．（2）图形、符号及范围图形：符号：Error!⇒∠AOB是二面角的平面角．范围：0°≤∠AOB≤180°．（3）规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．名师点拨（1）二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．（2）构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．3．平面与平面垂直（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．（2）判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直Error!⇒α⊥β名师点拨定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线．4．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言Error!⇒a ⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线名师点拨对面面垂直的性质定理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．三、合作探究二面角的概念及其大小的计算（1）在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成锐二面角A 1BD A 的正切值为（）A ．32B ．22C ．2D ．3（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定【解析】（1）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 的中点，因为A 1D ＝A 1B ，所以在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD ．又因为在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，所以∠A 1OA 为二面角A 1BD A 的平面角．设AA 1＝1，则AO ＝22．所以tan ∠A 1OA ＝122＝2．（2）反例：如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是CD ，C 1D 1的中点，二面角D AA 1E 与二面角B 1AB C 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．【答案】（1）C （2）D（1）求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．（2）作出二面角的平面角的方法方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB 为二面角αa β的平面角．方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角ABC D 的平面角．方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB 为二面角αl β的平面角．[提醒]二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．平面与平面垂直的判定角度一利用定义证明平面与平面垂直如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD＝AC ＝a ．求证：平面ABD ⊥平面BCD ．【证明】因为△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形，所以取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，BD⊥CE ．在△ABD 中，AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，所以AE ＝ AB 2－BE 2＝22a ．同理CE ＝22a ，在△AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ．由于AC 2＝AE 2＋CE 2，所以AE ⊥CE ，∠AEC 是二面角A BD C 的平面角，又因为∠AEC ＝90°，所以二面角A BD C 为直二面角，所以平面ABD ⊥平面BCD ．角度二利用判定定理证明平面与平面垂直如图，在四棱锥P ABCD 中，若PA ⊥平面ABCD 且四边形ABCD 是菱形．求证：平面PAC ⊥平面PBD ．【证明】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ．因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．又因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．[规律方法]证明平面与平面垂直的两种常用方法（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：面面垂直的性质定理的应用已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC．因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ，因为AD ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥AC ． [反思归纳]利用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．垂直关系的综合问题如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA ．【证明】（1）如图，取EC 的中点F ，连接DF ．因为EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EC ⊥BC ．同理可得BD ⊥AB ，易知DF ∥BC ，所以DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，因为EF ＝12EC ，EC ＝2BD ，所以EF ＝BD ．又FD ＝BC ＝AB ，所以Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故DE ＝DA ．（2）取CA 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC ．因为EC ∥BD ，BD ＝12EC ，所以MN綊BD，所以N点在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN．又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA．因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA．（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA．又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．[规律方法]垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：【课堂检测】1．给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直．A．4B．3C．2 D．1解析：选B．①②④正确．①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理．2．在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中，正确的是（）A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α解析：选B．A项中l与α可以平行或斜交，A项错．B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确．C项中，l可在α内，C项错．D项中，l可在α内，D项错．3．在三棱锥PABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角PABC的大小为Ｗ．解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角PABC的平面角．在△PAB中，PM＝22－（3）2＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°．答案：60°4．已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β．其中正确的说法序号为Ｗ．解析：对于说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．答案：④5．如图，四边形ABCD，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．求证：AB⊥DE．证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD．又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD．因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE．。

人教版高中数学必修二全册完整教案

人教版高中数学必修二全册完整教案第一章直线与函数1.1 直线的方程1.1.1 直线的斜率- 定义直线的斜率- 计算直线的斜率的公式- 利用斜率求直线上两点的坐标1.1.2 斜率的性质- 平行线的斜率相等- 垂直线的斜率的乘积为-11.2 一次函数1.2.1 一次函数的概念- 定义一次函数- 一次函数的图像特征1.2.2 一次函数的性质- 一次函数的图像是一条直线- 一次函数的零点和函数值1.3 函数的概念与性质1.3.1 函数的定义- 定义函数的概念- 函数的自变量和因变量1.3.2 函数的性质- 函数的奇偶性- 函数的单调性- 函数的周期性第二章二次函数2.1 二次函数的概念2.1.1 二次函数的定义- 定义二次函数- 二次函数的特征2.1.2 二次函数的图像- 二次函数的开口方向- 二次函数的对称轴2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数图像的平移- 二次函数图像的平移规律- 利用平移法画出二次函数的图像2.2.2 二次函数的最值- 二次函数的最值与对称轴的关系- 求解二次函数的最值2.3 一元二次方程2.3.1 一元二次方程的概念- 定义一元二次方程- 一元二次方程的解的概念2.3.2 二次方程的解法- 利用因式分解法求解一元二次方程- 利用配方法求解一元二次方程第三章数据统计与概率3.1 统计的基本概念3.1.1 总体与样本- 定义总体和样本的概念- 总体与样本的区别和联系3.1.2 统计量- 定义统计量- 常用的统计量3.2 统计图3.2.1 条形图与折线图- 绘制条形图和折线图的步骤- 根据统计图分析数据3.2.2 饼图与频数分布直方图- 绘制饼图和频数分布直方图的步骤- 利用饼图和频数分布直方图分析数据3.3 概率与概率统计3.3.1 概率的定义和性质- 定义概率的概念- 概率的性质和运算法则3.3.2 随机变量和概率分布- 定义随机变量- 描述随机变量的概率分布这份文档包含了《人教版高中数学必修二》全册的完整教案。

人教版高中数学必修二全册教案

人教版高中数学必修二全册教案人教版高中数学必修二全册教案分为六个单元，分别是函数与方程、平面几何、立体几何、概率与统计、数列与数学归纳法以及不等式。

第一单元《函数与方程》主要介绍了函数的概念与性质，以及一次函数、二次函数等各种函数的图像、性质和应用。

通过学习这个单元，学生可以了解函数的图像与性质之间的关系，掌握函数的变化规律和应用能力。

第二单元《平面几何》主要介绍了平面直角坐标系、直线方程、圆和椭圆等平面几何的基本概念和性质。

通过学习这个单元，学生可以了解平面直角坐标系的建立方法，熟练掌握直线方程的求解方法，以及圆和椭圆的性质和方程。

第三单元《立体几何》主要介绍了空间几何的基本概念和性质，包括空间向量、直线与平面的位置关系、立体图形的判定和计算等。

通过学习这个单元，学生可以了解空间几何的基本概念和性质，掌握立体图形的判定和计算方法。

第四单元《概率与统计》主要介绍了概率与统计的基本概念和方法，包括事件与概率、频率与概率的比较、统计图表与数据分析等。

通过学习这个单元，学生可以了解概率与统计的基本概念和方法，熟练掌握事件与概率的计算和统计图表的分析。

第五单元《数列与数学归纳法》主要介绍了等差数列、等比数列、斐波那契数列等常见数列的性质和求解方法，以及数学归纳法的基本思想和应用。

通过学习这个单元，学生可以了解数列的性质和求解方法，掌握数学归纳法的基本思想和应用。

第六单元《不等式》主要介绍了一元一次不等式、一元二次不等式等常见不等式的性质和求解方法，以及不等式组的性质和求解方法。

通过学习这个单元，学生可以了解不等式的性质和求解方法，掌握不等式组的性质和求解方法。

以上是人教版高中数学必修二全册教案的主要内容。

这些教案通过系统化、有针对性的教学设计，帮助学生系统掌握数学知识，培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

教师可以按照这些教案的步骤和方法进行教学，同时根据学生的实际情况进行差异化教学，提高学生的学习效果。

新人教版高中数学必修二复数全套教案

复数的概念【第一课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？二、新知探究探究点1：复数的概念下列命题：①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④解析：对于复数a＋b i（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D．答案：D判断与复数有关的命题是否正确的方法（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i 的性质．探究点2：复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m2＋m －6m＋（m 2－2m ）i ：（1）为实数？（2）为虚数？（3）为纯虚数？解：（1）当⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．（2）当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．（3）当⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，以确定实部和虚部．（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．（3）下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0．探究点3：复数相等（1）（2019·浙江杭州期末考试）若z 1＝－3－4i ，z 2＝（n 2－3m －1）＋（n 2－m －6）i （m ，n ∈R ），且z 1＝z 2，则m ＋n ＝（）A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0（2）若log 2（x 2－3x －2）＋ilog 2（x 2＋2x ＋1）>1，则实数x 的值是________．解析：（1）由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A ．（2）因为log 2（x 2－3x －2）＋ilog 2（x 2＋2x ＋1）>1，所以⎩⎨⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎨⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2．【答案：（1）A （2）－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．注意：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ．若忽略前提条件，则结论不能成立．三、课堂总结1．复数的有关概念（1）复数的定义形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1．（2）复数集全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }叫做复数集．（3）复数的表示方法复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ），我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⎩⎨⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ.（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i （b ∈R ）不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i （b ∈R ）才是纯虚数．四、课堂检测1．若复数z ＝a i 2－b i （a ，b ∈R ）是纯虚数，则一定有（） A ．b ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B ．z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0． 2．若复数z ＝m 2－1＋（m 2－m －2）i 为实数，则实数m 的值为（） A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D ．因为复数z ＝m 2－1＋（m 2－m －2）i 为实数，所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2．3．若复数z ＝（m ＋1）＋（m 2－9）i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以⎩⎨⎧m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3．答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝（x 2－2x －3）i （x ∈R ），则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3．答案：3【第二课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？二、新知探究探究点1：复数与复平面内的点已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R ．当复数z 在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）．（1）在实轴上；（2）在第三象限．解：（1）若z 对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12．（2）若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12．故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12．互动探究：变条件：本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值．解：若z 对应的点（a 2－1，2a －1）在抛物线y 2＝4x 上，则有（2a －1）2＝4（a 2－1），即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54．利用复数与点的对应解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）可以用复平面内的点Z（a ，b ）来表示，是解决此类问题的根据．（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．探究点2：复数与复平面内的向量在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C ．求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．解：法一：由复数的几何意义得A （0，1），B （1，0），C （4，2），则AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，所以⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即点D的坐标为（3，3），所以点D 对应的复数为3＋3i ．法二：由已知得OA →＝（0，1），OB →＝（1，0），OC →＝（4，2），所以BA →＝（－1，1），BC →＝（3，2），所以BD →＝BA →＋BC →＝（2，3），所以OD →＝OB →＋BD →＝（3，3），即点D 对应的复数为3＋3i ．复数与平面向量的对应关系（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．探究点3：复数的模（1）设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是（） A ．－1<a <1 B ．a <－1或a >1 C ．a >1D ．a >0（2）（2019·贵州遵义贵龙中学期中测试）已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 在复平面内对应点的集合是（）A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆解析：（1）由题意得a 2＋22<（－2）2＋12，即a 2＋4<5（a ∈R ），所以－1<a <1．（2）由题意知（|z |－3）（|z |＋1）＝0，即|z |＝3或|z |＝－1，因为|z |≥0，所以|z |＝3，所以复数z 在复平面内对应点的集合是1个圆．答案：（1）A （2）A求解复数的模的思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．三、课堂总结1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）．（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ） ←――→一一对应平面向量OZ →．3．复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|4．共轭复数（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．（2）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．（3）复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i ． ■名师点拨复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为（a ，b ），复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为（a ，－b ），所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．四、课堂检测1．已知z ＝（m ＋3）＋（m －1）i （m ∈R ）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）A ．（－3，1）B ．（－1，3）C ．（1，＋∞）D ．（－∞，－3）解析：选A ．由题意得⎩⎨⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1．2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB→对应的复数为（） A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选D ．由题意可知，点A 的坐标为（－1，－2），则点B 的坐标为（－1，2），故向量OB→对应的复数为－1＋2i ． 3．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是____________．解析：依题意，可知z ＝a ＋i （a ∈R ），则|z |2＝a 2＋1．因为0＜a ＜2，所以a 2＋1∈（1，5），即|z |∈（1，5）．答案：（1，5）4．若复数z 1＝2＋b i 与复数z 2＝a －4i 互为共轭复数，则a ＝________，b ＝________．解析：因为z 1与z 2互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝4．答案：2 4复数的三角表示【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数z ＝a ＋b i 的三角形式是什么？ 2．复数的辐角、辐角的主值是什么？ 3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？ 4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？二、基础知识1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线(射线OZ →)为终边的角，叫做复数z ＝a＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z .r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．■名师点拨（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．（2）复数0的辐角是任意的．（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π. （4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则（1）z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2) ＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．（2）z 1z 2＝r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．三、合作探究1．复数的代数形式与三角形式的互化角度一代数形式化为三角形式把下列复数的代数形式化成三角形式：（1）3＋i ；（2）2－2i.【解】（1）r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限，所以cos θ＝32，即θ＝π6，所以3＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.（2）r ＝2＋2＝2，cos θ＝22，又因为2－2i 对应的点位于第四象限，所以θ＝7π4.所以2－2i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin7π4.复数的代数形式化三角形式的步骤（1）先求复数的模．（2）决定辐角所在的象限．（3）根据象限求出辐角．（4）求出复数的三角形式．[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．角度二三角形式化为代数形式分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．（1）4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6；（2）32(cos 60°＋isin 60°)；（3）2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3.【解】（1）复数4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6.4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6＝4×32＋4×12i＝23＋2i.（2）32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝32，辐角的主值为θ＝60°. 32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i ＝34＋34i.（3）2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π. 所以复数的模r ＝2，辐角的主值为53π.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π ＝2×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32i＝1－3i.复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）．2．复数三角形式的乘、除运算计算：（1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π；（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；（3）4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4.【解】（1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π＝32⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i＝163＋16i.（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)] ＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°) ＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i ＝3－34＋3＋34i.（3）4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝22－22i.（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．（2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍． 3．复数三角形式乘、除运算的几何意义在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．【解】因为3－3i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π所以23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝3＋3i ，23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π＋isin 32π＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2．四、课堂检测1．复数1－3i 的辐角的主值是( ) A ．53π B ．23π C ．56πD ．π3解析：选A ．因为1－3i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π，所以1－3i 辐角的主值为53π.2．复数9(cos π＋isin π)的模是________．答案：93．arg(－2i)＝________．答案：32π 4．计算：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π. 解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°) ＝cos 90°＋isin 90° ＝i.（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 1112π＋isin 1112π＝－1＋32＋3－12i.复数的四则运算【第一课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？ 2．复数的加、减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：复数的加、减法运算（1）计算：（5－6i ）＋（－2－i ）－（3＋4i ）；（2）设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i （x ，y ∈R ），且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2．解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i ＝－11i ．（2）因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，所以（3＋x ）＋（2－y ）i ＝5－6i ，所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝（2＋2i ）－（3－8i ）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i ．解决复数加、减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．探究点2：复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i ．（1）求AO→表示的复数；（2）求CA→表示的复数．解：（1）因为AO→＝－OA →，所以AO →表示的复数为－（3＋2i ），即－3－2i ．（2）因为CA→＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为（3＋2i ）－（－2＋4i ）＝5－2i ．互动探究：1．变问法：若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．解：因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为（3＋2i ）＋（－2＋4i ）＝1＋6i ．所以点B所对应的复数为1＋6i ．2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数．解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中知点B 的坐标为（1，6），得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M 对应的复数为12＋3i ．复数加、减法几何意义的应用技巧（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．三、课堂总结1．复数加、减法的运算法则及加法运算律（1）加、减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）是任意两个复数，则z 1＋z 2＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ，z 1－z 2＝（a －c ）＋（b －d ）i ．（2）加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．②结合律：（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）． 2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→．四、课堂检测1．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）的结果为（） A ．5－3i B ．3＋5i C ．7－8iD ．7－2i解析：选C ．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i ＝7－8i ．2．已知复数z 1＝（a 2－2）－3a i ，z 2＝a ＋（a 2＋2）i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a 的值为____________．解析：由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋（a 2－3a ＋2）i 是纯虚数，得⎩⎨⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0⇒a ＝－2．答案：－23．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i ．（1）求z 1－z 2；（2）在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．解：（1）由复数减法的运算法则得z 1－z 2＝（－2＋i ）－（－1＋2i ）＝－1－i ．（2）在复平面内作复数z 1－z 2所对应的向量，如图中OZ→．【第二课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？ 2．复数乘法的运算律有哪些？ 3．如何在复数范围内求方程的解？二、新知探究探究点1：复数的乘法运算（1）（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（）A ．1＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－3＋i（2）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则（a ＋b i ）2＝（）A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i（3）把复数z 的共轭复数记作z －，已知（1＋2i ） z －＝4＋3i ，求z ．解：（1）选B ．（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（1－i ）（1＋i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝（1－i 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i ．（2）选D ．因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以（a ＋b i ）2＝（2＋i ）2＝3＋4i ．（3）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i ，由已知得，（1＋2i ）（a －b i ）＝（a ＋2b ）＋（2a －b ）i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知，{a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ．复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i 2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a ＋b i ）2＝a 2＋2ab i ＋b 2i 2＝a 2－b 2＋2ab i ，（a ＋b i ）3＝a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋b 3i 3＝a 3－3ab 2＋（3a 2b －b 3）i ．探究点2：复数的除法运算计算：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i；（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i．解：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i ．（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i ．复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．探究点3： i 的运算性质（1）复数z ＝1－i1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为（） A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019等于________．解析：（1）z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1．（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 22 019＝i 2 019＝（i 4）504·i 3＝1504·（－i ）＝－i ．答案：（1）B （2）－i（1）i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0（n ∈N *）．（2）记住以下结果，可提高运算速度． ①（1＋i ）2＝2i ，（1－i ）2＝－2i ．②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ． ③1i ＝－i ．探究点4：在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程．（1）x 2＋5＝0；（2）x 2＋4x ＋6＝0．解：（1）因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5，又因为（5i ）2＝（－5i ）2＝－5，所以x ＝±5i ，所以方程x 2＋5＝0的根为±5i ．（2）法一：因为x 2＋4x ＋6＝0，所以（x ＋2）2＝－2，因为（2i ）2＝（－2i ）2＝－2，所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ，即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ．法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i （a ，b ∈R 且b ≠0），则（a ＋b i ）2＋4（a ＋b i ）＋6＝0，所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得（a 2－b 2＋4a ＋6）＋（2ab ＋4b ）i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，又因为b ≠0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，解得a ＝－2，b ＝±2．所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ．在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求解方法（1）求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac2a．②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i2a ．（2）利用复数相等的定义求解设方程的根为x＝m＋n i（m，n∈R），将此代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解．三、课堂总结1．复数乘法的运算法则和运算律（1）复数乘法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋b i）（c＋d i）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．（2）复数乘法的运算律2．复数除法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（c＋d i≠0）（a，b，c，d∈R），则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i（c＋d i≠0）．■名师点拨对复数除法的两点说明（1）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．四、课堂检测1．若复数（1＋b i）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（）A．－2B．－1 2C．12D．2解析：选D．因为（1＋b i）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．2．已知i为虚数单位，则复数i2－i的模等于（）A．5B．3C．33D．55解析：选D．因为i2－i＝i（2＋i）（2－i）（2＋i）＝i（2＋i）5＝－15＋25i，所以|i2－i |＝|－15＋25i|＝（－15）2＋（25）2＝55，故选D．3．计算：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018；（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．解：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018＝2＋2i－2i＋⎝⎛⎭⎪⎫22i1 009＝i（1＋i）＋⎝⎛⎭⎪⎫1i1 009＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）＝22－14i＋25－25i＝47－39i．。

人教版高中数学必修2 全册教案

按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放人教版数学必修二第一章空间几何体重难点解析第一章课文目录1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

2、画出简单组合体的三视图。

3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。

4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。

5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

知识结构：一、空间几何体的结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

新教材人教版高中数学必修第二册 8-1基本立体图形(第2课时圆柱、圆锥、圆台)(教案)

第八章立体几何初步8.1基本立体图形第2课时圆柱、圆锥、圆台一、教学目标1.通过计算机模拟或者利用实物概括出圆柱、圆锥、圆台的几何结构特征；2.能用数学语言概述圆柱、圆锥、圆台的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；3.通过对圆柱、圆锥、圆台的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点1.让学生观察大量空间实物及计算机模型，进而概括出圆柱、圆锥、圆台的结构特征；2.会进行旋转体的相关计算.三、教学过程：（1）创设情景通过上节课学习了棱柱、棱锥、棱台等多面体，那么生活中常见的旋转体有哪些？它们具有什么样的结构特点？阅读课本以及通过计算机模拟生活中的一些物体,让学生小组合作完成以下问题（2）新知探究问题1：什么是旋转体？旋转体包含哪些图形？让学生仔细观察这些物体,回答出概念.问题2：能否通过观察给出圆柱、圆锥、圆台、球的定义？它们具有什么样的结构特点？让学生仔细观察这些物体,小组合作，让学生畅所欲言，学生之间质疑，教师从旁引导学生不断揭示它们联系和区别。

问题3：什么是简单组合体，它们具有什么样的结构特点？让学生仔细观察这些物体,回答出概念，并找出它们的结构特征。

圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。

圆柱的构成：旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

圆柱的表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱O’O。

练习：判断正误(1)圆柱的底面是圆面 ( )(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 ( )(3)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 ( )(1)√,圆柱的底面是圆面．(2)√,如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)×，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体。

高中数学必修2课程教案5篇

高中数学必修2课程教案5篇高中数学必修2课程教案5篇教案是实现教学目标的计划性和决策性活动。

教案以计划和布局安排的形式，对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策，以解决怎样教的问题。

下面小编给大家带来关于高中数学必修2课程教案，方便大家学习高中数学必修2课程教案1一、知识点归纳(一)空间几何体的结构特征(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

(2)柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.(二)空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图;侧视图;俯视图;是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变，平行于y轴(或在y轴上)的线段长度减半。

(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和②圆柱的表面积③圆锥的表面积④圆台的表面积⑤球的表面积⑥扇形的面积公式 (其中表示弧长，表示半径)2、空间几何体的体积①柱体的体积②锥体的体积③台体的体积④球体的体积二、练习与巩固(1)空间几何体的结构特征及其三视图1.下列对棱柱说法正确的是( )A.只有两个面互相平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行，且各侧棱也平行2.一个等腰三角形绕它的底边所在的直线旋转360。

新教材人教版高中数学必修第二册 9-1-2分层随机抽样(教案)

第九章统计案例9.1.2分层随机抽样一、教学目标1.理解分层抽样的概念与特征，巩固简单随机抽样、系统抽样两种抽样方法；2.掌握简单随机抽样与分层抽样的区别与联系;3.通过对分层随机抽样的学习，培养学生数据分析、数学运算、数学建模等数学素养.二、教学重难点1.正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本;2.恰当的选择两种抽样方法解决现实生活中的抽样问题.三、教学过程：（1）创设情景1000,800,700名，为了了解全校学生的视力某校高一、高二和高三年级分别有学生情况，从中抽取容量为100的样本，怎样抽取较为合理？（2）新知探究问题1:能否用简单随机抽样或系统抽样进行抽样，为什么？学生回答，教师点拨指出由于不同年级的学生视力状况有一定的差异，用简单随机抽样或系统抽样进行抽样不能准确反映客观实际，在抽样时不仅要使每个个体被抽到的机会相等，还要注意总体中个体的层次性。

问题2:你认为哪些因素影响学生视力？抽样要考虑哪些因素？学生回答，教师点拨(提出本节课所学内容:分层抽样)（3）新知建构分层抽样的定义:当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”．说明：①分层抽样时，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，每一个个体被抽到的可能性都是相等的；②由于分层抽样充分利用了我们所掌握的信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据具体情况采取不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用．分层抽样的步骤：（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分。

（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比。

（3）确定各层应抽取的样本容量。

（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本。

人教版高中数学必修二全册教案(精品)

人教版高中数学必修二全册教案(精品)教案简介本教案为人教版高中数学必修二全册的教学指南，旨在帮助学生更好地掌握数学知识并提升解题能力。

教案内容精选，结构合理，既满足教学要求，又具有一定的趣味性和挑战性。

教案特点- 精心编写：本教案由经验丰富的数学老师团队编写，确保教学内容准确、完整。

- 知识覆盖广：教案覆盖了数学必修二全册的各个章节，包括函数、导数、不等式、平面向量等内容。

- 强调实践操作：教案注重将数学知识与实际问题相结合，引导学生进行实践操作与应用。

- 突出重点难点：教案对各章节的重点难点进行了深入分析与讲解，帮助学生理解掌握关键知识。

- 互动性强：教案设计了多种互动教学方式，激发学生的研究兴趣，提高课堂氛围。

教案结构本教案共分为以下几个部分：1. 教学目标：明确每节课的教学目标，帮助学生知道本节课要学到什么。

2. 教学准备：列出教师在备课过程中需要准备的教学素材和工具。

3. 教学过程：详细描述每个教学环节的具体内容和教学步骤，并给出相应的教学示意图和实例演示。

4. 教学评价：提供一些教学评价的方式和方法，帮助教师对学生的研究情况进行评估。

5. 教学反思：教师对本节课教学效果的总结与反思，为后续教学提供改进措施和建议。

使用建议- 教师可以根据本教案的内容和教学过程，结合自己的教学经验进行灵活调整，以适应学生的实际情况。

- 学生可以通过认真研究本教案的内容，加强对基础知识的掌握，并通过练题提高解题能力。

- 家长可以关注学生在研究过程中的困惑和进步，与学生和教师进行良好的沟通合作，共同促进学生的学业发展。

结语本教案旨在帮助学生更好地学习数学，提高数学解题能力，希望能够为学生的学习提供有价值的帮助。

希望学生和教师能够充分利用本教案，共同努力，取得良好的学业成果。

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