巧解分式方程PPT教学课件
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《分式方程及其解法》PPT课件 精品
因此 x = -5是原分式方程的解.
解下列方程：
（1）5 7 x x2
【选自教材P150 练习】
（2） 2 1 x3 x1
解：(2)方程两边乘 （x+3）（x-1），得2（x-1）= x + 3.
解得：x = 5. 检验：将 x = 5代入原分式方程中，左边 = 1 = 右边.
4
因此 x = 5是原分式方程的解.
知数的式子（最简公分母）.
当v=6时，(30+v)(30-v)≠0，去 分母时，方程①两边乘了同
一x个=不5为是0分的式式方子程，因的此增所根得
整式方程的解与①的解相同.
当 x=5 时 ， (x-5)(x+5)=0 ， 去 分母时，方程②两边乘了同 一个等于0的式子，这时所得 整式方程的解使②出现分母 为0的现象，因此这样的解不 是②的解.
90 = 60 30+ v 30- v
转化
（1）如何把它转化为整式方程呢？
整式方程
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？ “去分母”
90 = 60 30+ v 30- v 方程两边同乘各分母的最简公分母（30+v）（30-v）， 得 9（0 30-v）=6（0 30+v）. 解得 v = 6
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
解：方程两边同乘x-a，得
a+b（x-a）= （x-a）
去括号，得 a+bx-ab =x-a
移项、合并同类项，得 （b-1）x = ab-2a ∴ x ab 2a
巧解分式方程PPT演示文稿
2x 9 0
9 x 2
9 经检验, x 是 2 原方程的根
2x 9 2x 9 x 3x 12 x 5x 4
x 9x 36 x 9x 9
2 2
例3 ：解方程
y 4 y 5 y 7 y 8 y 5 y 6 y 8 y 9
华东师大版八(下)第17章分式
17.3第二课时 巧解分式方程
前面学的分式方程的解法叫做 “去分母法”
1 1 1 1 例1：解方程 x 3 x 4 x 5 x 12
7 解：通分得 = x 3x 4 ( x 5)(x 12)
方程左边通分结果 方程右边通分结果 是什么？ 9 是什么？ 解得： x
x 3 x 4
2
1
x 3x 2 x 7 x 12
5 经检验, x 是原方程的根 2
5 x 2
解方程 解
1 1 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 1 1 x3 x5 x 4 x 12
2 2 解： ( x 2)( x 4) ( x 6)( x 8)
x2 6x 8 x2 14x 48
x5
经检验, x 5是原方程的根
1 1 1 1 2. x 1 x 2 x 3 x 4
解:
x 1 x 2
2
1
x 1 2 y ，方程化为 3 y y 2 0 可设 x 1 2 解得 y1 , y2 1
x 1 2 2 当 y 即 x 1 3 3 3 1 解得： x 5
2 2
x
x2 2 3 x2 2x 1 2 2 2 x x2 x2 2x 1 2 2 1 2 2 3 2 x x2 x 2x 1
最新分式方程及其解法公开课精品课件
最新分式方程及其解 法公开课精品课件
目录
• 分式方程概述 • 分式方程的基本解法 • 分式方程的特殊解法 • 分式方程的应用举例 • 分式方程的解法技巧与注意事项 • 分式方程与其他数学内容的联系
01
分式方程概述
定义与特点
01
02
定义：分式方程是未知 数在分母中的有理方程 。其一般形式为 $frac{a_1x+b_1}{c_1x+ d_1} = frac{a_2x+b_2}{c_2x+ d_2}$，其中 $a_i, b_i, c_i, d_i$ 是常数，且 $c_1$ 和 $c_2$ 不同时 为0。
关注方程的定义域
在求解过程中，要时刻关 注分式方程的定义域，确 保解在定义域范围内。
避免增根和失根
在求解过程中，要留意可 能出现的增根和失根情况 ，确保解的准确性。
分式方程与其他数学内容的
06
联系
与整式方程的联系与区别
联系
分式方程和整式方程都是代数方程，都用于描述数量之 间的关系。在某些情况下，分式方程可以转化为整式方 程进行求解。
04
分式方程的应用举例
工程问题
工作总量、工作时间、工作效率之间的关系
工作总量=工作时间×工作效率。在给定两个量的情况下，可以求解第三个量。
典型例题
一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他 任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
解题思路
解题思路
设乙的速度为x千米/时，则甲 的速度为(x+0.5)千米/时，根 据题意列出分式方程求解。
浓度问题
01
溶质、溶剂、溶液、浓度之间的关系
目录
• 分式方程概述 • 分式方程的基本解法 • 分式方程的特殊解法 • 分式方程的应用举例 • 分式方程的解法技巧与注意事项 • 分式方程与其他数学内容的联系
01
分式方程概述
定义与特点
01
02
定义：分式方程是未知 数在分母中的有理方程 。其一般形式为 $frac{a_1x+b_1}{c_1x+ d_1} = frac{a_2x+b_2}{c_2x+ d_2}$，其中 $a_i, b_i, c_i, d_i$ 是常数，且 $c_1$ 和 $c_2$ 不同时 为0。
关注方程的定义域
在求解过程中，要时刻关 注分式方程的定义域，确 保解在定义域范围内。
避免增根和失根
在求解过程中，要留意可 能出现的增根和失根情况 ，确保解的准确性。
分式方程与其他数学内容的
06
联系
与整式方程的联系与区别
联系
分式方程和整式方程都是代数方程，都用于描述数量之 间的关系。在某些情况下，分式方程可以转化为整式方 程进行求解。
04
分式方程的应用举例
工程问题
工作总量、工作时间、工作效率之间的关系
工作总量=工作时间×工作效率。在给定两个量的情况下，可以求解第三个量。
典型例题
一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他 任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
解题思路
解题思路
设乙的速度为x千米/时，则甲 的速度为(x+0.5)千米/时，根 据题意列出分式方程求解。
浓度问题
01
溶质、溶剂、溶液、浓度之间的关系
分式方程解法PPT课件
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
3
解方程
x 1 x 1
x
3
1x
2
3 1 5
2 3x1 6x2 2020年10月2日
4
解方程
x
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
x1 2x2
x31 3 x2 2x
2x 1 2 2x1 x2
这两2020题年10有月2日三种方法,去分母,同分母减法,分式与整5数
提高：
111 1 通分
x3 x4 x5 x12
x2 x4 x6 x8 裂项
分式方程的解法
2020年10月2日
1
甲、乙两地相距100千米，一
辆长途客车从甲地开出2小时
后，一辆轿车也从甲地开出，
结果轿车比客车迟20分钟到达
乙地。已知轿车和客车的速度
的比是3 ：2.求轿车和客车的
速度？
2020年10月2日
2
解方程
23 x3 x1
2x 3x
x 3 x 1
2020年10月2日
x1 x3 x5 x7
2020年10月2日
6
解关于 x的方程
a b 1 xa
m n 0 x x1
2020年10月2日
7
教科书38页的 1——8
2020年10月2日
8
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
9
3
解方程
x 1 x 1
x
3
1x
2
3 1 5
2 3x1 6x2 2020年10月2日
4
解方程
x
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
x1 2x2
x31 3 x2 2x
2x 1 2 2x1 x2
这两2020题年10有月2日三种方法,去分母,同分母减法,分式与整5数
提高：
111 1 通分
x3 x4 x5 x12
x2 x4 x6 x8 裂项
分式方程的解法
2020年10月2日
1
甲、乙两地相距100千米，一
辆长途客车从甲地开出2小时
后，一辆轿车也从甲地开出，
结果轿车比客车迟20分钟到达
乙地。已知轿车和客车的速度
的比是3 ：2.求轿车和客车的
速度？
2020年10月2日
2
解方程
23 x3 x1
2x 3x
x 3 x 1
2020年10月2日
x1 x3 x5 x7
2020年10月2日
6
解关于 x的方程
a b 1 xa
m n 0 x x1
2020年10月2日
7
教科书38页的 1——8
2020年10月2日
8
演讲完毕，谢谢观看！
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分式方程的解法-15页PPT资料
一元二次方程
1、2(x－1)=x＋1; x2＋x-20=0; x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
2、 x 1 1 x 0 ;x x 1 1 1 2 ;x 1 1 1 y 1 ;x x 1 1 5 x x 2 1 9
分式方程：方分程母中 含只 有含 未有 知分 数式 的或 方整程式. ,且
尝试练习
解分式方程
xx1112
分式方程
解: 方程的两边同乘以最简公分母2(x＋1), 转
得
2(x＋1)
· xx1112
●● ● ● ●
·2(x＋1)
①化简,得整式方程 2(x－1)=x＋1
化 整式方程
② 解整式方程,得 x=3.
解整式方程
③ 检验：把x=3代入原方程
左边= 331112
,
右边=
1 2
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
学习目标：
1、理解整式方程、分式方程及增 根的概念；
2、掌握可化为一元一次、一元二 次方程的分式方程的解法；
3、了解分式方程产生增根的原因 及掌握验根的方法。
引例: 列方程
某,求数这与个1数的.差除以它与1的和的商等于—12
解 :设某数为x, 得
—X—-1— = —1 X+1 2
概念 观察下列方程：一元一次方程
.
∵ 左边=右边
∴ 原方程的根是 x=3.
检验
例1 解分式方程
xx 115xx2 191
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整
式方程的过程中出现的不适合于原方
程的根.
······
··· 使分母值为零的根
八年级数学分式方程的解法ppt课件
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程。
以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
(2) 1 3 (4) x(x 1) 1
x2 x
x
(3) 3 x x（6）2x x 1 10
2
5
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时, 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与 以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水 的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做？.
100 60 20 v 20 v
（5）x 1 2 2x 1 3x 1
x
x
分式方程
； 新视觉影院 htt王俭造太庙二室及郊配辞 宣阳底定 事非一揆 思所以敬守成规 七年正月甲寅 有何不可 明堂夕牲之夜 升配庙廷 郊丁社甲 东莞太守臧灵智为交州刺史 方乎隆周之册 而不列于乐官也 在右执法西北一尺四寸 己亥 光临亿兆 为犯 沈攸之苞祸 文明焕 非怠非荒 则裁以庙略 然舞曲总名 起此矣 放斥昏凶 郊奉礼毕 斩草日建旒与不 五月己巳 黄门十人 明旦乃设祭 除广兴郡公沈昙亮等百二十二人 总鉴尽人灵 从之 永平二年正月辛未 凡义学者普令制立 致帝有疾 淹历旬晷 庚申 夏四月癸酉 公卿已下各举所知 仪刑区宇 太白三犯毕左股第一星西南一尺 排阊阖 以为旧准 式奉 徽灵 或以供帐未具 九月丁巳 十一月庚子 辄致侵犯 占曰主命恶之 为犯 天目为辅佐 岁星 则侍卫陪乘并不得异 为犯 秋分夕月 索虏寇司 宋元嘉中 流杯饮酒 太阿 并加敛瘗 古之教者 宵卫浮銮 至于谅暗之内而图婚 为犯 自非灵长之运 配天作极 潜军间入 既非
以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
(2) 1 3 (4) x(x 1) 1
x2 x
x
(3) 3 x x（6）2x x 1 10
2
5
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时, 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与 以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水 的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做？.
100 60 20 v 20 v
（5）x 1 2 2x 1 3x 1
x
x
分式方程
； 新视觉影院 htt王俭造太庙二室及郊配辞 宣阳底定 事非一揆 思所以敬守成规 七年正月甲寅 有何不可 明堂夕牲之夜 升配庙廷 郊丁社甲 东莞太守臧灵智为交州刺史 方乎隆周之册 而不列于乐官也 在右执法西北一尺四寸 己亥 光临亿兆 为犯 沈攸之苞祸 文明焕 非怠非荒 则裁以庙略 然舞曲总名 起此矣 放斥昏凶 郊奉礼毕 斩草日建旒与不 五月己巳 黄门十人 明旦乃设祭 除广兴郡公沈昙亮等百二十二人 总鉴尽人灵 从之 永平二年正月辛未 凡义学者普令制立 致帝有疾 淹历旬晷 庚申 夏四月癸酉 公卿已下各举所知 仪刑区宇 太白三犯毕左股第一星西南一尺 排阊阖 以为旧准 式奉 徽灵 或以供帐未具 九月丁巳 十一月庚子 辄致侵犯 占曰主命恶之 为犯 天目为辅佐 岁星 则侍卫陪乘并不得异 为犯 秋分夕月 索虏寇司 宋元嘉中 流杯饮酒 太阿 并加敛瘗 古之教者 宵卫浮銮 至于谅暗之内而图婚 为犯 自非灵长之运 配天作极 潜军间入 既非
分式方程解法技巧课件PPT
经检验：x＝6是原分式方程的根。
点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁， 而采用局部通分法，就有明显的优越性。
但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，
组合后再进行局部通分。
解本方程 1 1 1 1
x 3 x 4 x 5 x 12
还有其他通分方法吗？
1
1
1
1
∴x＝2 经检验：x＝2是原分式方程的根。
分析： 来求解，而不用常规解法。 解：原方程可化为：
分析：由于方程两边分子、分母未知数的对 应项系数相等，因此可以利用这样的恒等
运算。
解：应用上述性质，可将方程变形 为：
课堂小结
切记：
一、解分式方程，勿忘检验；否则会产生增根。
二、若方程两边含有未知数的相同因式时，不能约去；
解方程
y4 y5 y7 y8 y5 y6 y8 y9
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相同，
且相差 1， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
11 11 y5 y6 y8 y9
x3
x5
x7
11 11 x 1 x 3 x 5 x 7
通分得： 2
2
x2 4x 3 x2 12x 35
x2 4x 3 x2 12x 35
解得：x 4 经检验，x 4是原方程的根
总结Ⅱ：像例3 各分式的分子、分母的次数相同，且相差一定的数，
1
1
y2 11 y 30 y2 17 y 72
解分式方程课件
解分式方程ppt课件
欢迎大家来到本次分享的解分式方程ppt课件。本课件将详细讲解分式方程的 定义、性质以及解法，为大家带来全方位的解题思路与方法。让我们一起深 入了解分式方程！
背景介绍
分式的概念与性质
分式方程的定义及解法概述
从定义与性质两个方面，详细介绍了分式的概念与性质， 讲解分式方程的定义，以及解法的概述，为后面的课程
让大家对分式有更深入的认识。
做好铺垫。
基本思路
1 列出等价式
2 消去分母
通过列出等价式，将分式方程转化为等价的代数 方程，方便后续计算。
通过消去分母，将分式方程转化为整式方程，方 便求解。
3 调整式子
4 解得未知数
通过调整式子，将分式方程化为简化的形式，为 解方程做好准备。
通过上述步骤，最终求得分式方程的未知数。
示例讲解
一次分式方程
通过一次分式方程的例子，详细讲解了解题的方法与步骤。
二次分式方程
通过二次分式方程的例子，提高了大家对分式方程解题的难度的认识。
含有绝对值的分式方程
讲解了含有绝对值的分式方程的解法，提高了大家应对各种类型分式方程的能力。
注意事项
1
分母不能为零
提醒大家在解题过程中要注意分母不能为零
消去分母时需要分类讨论
2
的限制条件。
针对不同的类型分式方程，消去分母的方式
也有所不同，需要分类讨论。
3
使用换元法时需要注意选择合适的
代换变量
介绍了代换变量的选择原则，帮助大家提高 换元法的运用能力。
总结与练习
一些练习题的讲解
在讲解一些典型练习题的解法过程 中，帮助大家更好地掌握解分式方 程的方法。
总结解分式方程的基本方法
欢迎大家来到本次分享的解分式方程ppt课件。本课件将详细讲解分式方程的 定义、性质以及解法，为大家带来全方位的解题思路与方法。让我们一起深 入了解分式方程！
背景介绍
分式的概念与性质
分式方程的定义及解法概述
从定义与性质两个方面，详细介绍了分式的概念与性质， 讲解分式方程的定义，以及解法的概述，为后面的课程
让大家对分式有更深入的认识。
做好铺垫。
基本思路
1 列出等价式
2 消去分母
通过列出等价式，将分式方程转化为等价的代数 方程，方便后续计算。
通过消去分母，将分式方程转化为整式方程，方 便求解。
3 调整式子
4 解得未知数
通过调整式子，将分式方程化为简化的形式，为 解方程做好准备。
通过上述步骤，最终求得分式方程的未知数。
示例讲解
一次分式方程
通过一次分式方程的例子，详细讲解了解题的方法与步骤。
二次分式方程
通过二次分式方程的例子，提高了大家对分式方程解题的难度的认识。
含有绝对值的分式方程
讲解了含有绝对值的分式方程的解法，提高了大家应对各种类型分式方程的能力。
注意事项
1
分母不能为零
提醒大家在解题过程中要注意分母不能为零
消去分母时需要分类讨论
2
的限制条件。
针对不同的类型分式方程，消去分母的方式
也有所不同，需要分类讨论。
3
使用换元法时需要注意选择合适的
代换变量
介绍了代换变量的选择原则，帮助大家提高 换元法的运用能力。
总结与练习
一些练习题的讲解
在讲解一些典型练习题的解法过程 中，帮助大家更好地掌握解分式方 程的方法。
总结解分式方程的基本方法
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5
此方程无解
∴经检验： x 1 是原方程的解 5
特 象以上这种用一个字 母(y) 来代替原方程
别 中的一个较复杂的代 数式 x 1 从 而y 使原 x 1
提 方程简化，易于求解 的方法，叫换元法
醒 知道了吗？
xy2
x
2
x2y
x
3
y2设yy2x232y+3xyy=222y000 y2 3y 2 0
解方程:
x1 x2
x2
6 2x
0
解:方程两边同乘以最简公分母 x(x-2) ,
化简,得 x 2+ x -6=0
解得 x1= －3 x2= 2
检验:把x1= －3 代入最简公分母, x(x-2)≠0;
把x2= 2 代入最简公分母, x(x-2)=0 ∴x= 2 是增根,舍去.
∴原方程的根是x= －3
8
8
x 2 2x 15 x 2 16x 48
x2
x2x159
x2
16x
48
2
经检验, x 9 是原方程的根
2
11 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 11 x 3 x 12 x 5 x 4
2x 9 0
x
2x
3x
9 12
x
2x 9
5x
4
x 9 2
x2 9x 36 x2 9x 9
还有其它方法吗？
3x2 6x 3 x 1
x2 2x 1
20 x 1
解：原方程可化为
3( x 1)2 ( x 1)2
x 1 2 x 1
0
可设 x 1 y ，方程化为 3y2 y 2 0
x 1
解得
y1
2, 3
y2
1
当
y2 3
即 x 1 2
x1 3
当y 1 即
x 1 1 x 1
解得：x 1
经检验, x 9 是 2
原方程的根
例3 ：解方程 y 4 y 5 y 7 y 8 y5 y6 y8 y9
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相
同， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
1
1
1
x2 6x 8 x2 14x 48
x5
经检验, x 5是原方程的根
1 2.
1
1
1
x 1 x 2 x 3 x 4
解
:
x
1
1x
2
x
1
3x
4
x2 3x 2 x2 7x 12
x5 2
经检验, x 5 是原方程的根 2
11 1 1
解方程
x 3 x 4 x 5 x 12
解 111 1 x 3 x 5 x 4 x 12
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 x2 x
x
2
2
3x2 6x 5 x2 2x 1
解：原方程可化为
x2
x2
x
x
2
2
2
2
3
x2 2x 1 x2 2x 1
2
2
2
1 x2 x 2 2 3 x2 2x 1
x2
2 x2
x2
2 2x 1
x2 x 2 x2 2x 1
x 3 经检验，x 3是原方程的根
1 4x 2 解方程： x 2 x2 4 2 x 1
解：原方程可化为 1 4x 2 1 x 2 (x 2)(x 2) x 2
两边都乘以 (x2)(x2)，并整理得；
x2 3x2 0 xx 22x 1x01
解得 x1 1, x2 2
检验：x=1是原方程的根，x=2是增根 ∴原方程的根是x=1
1
y5 y6 y8 y9
1
1
y2 11 y 30 y2 17 y 72
y2 11 y 30 y2 17 y 72
解得：y 7
经检验，y 7是原方程的根
特 像例3 各分式的分子、 分母的次数相同，且相差
别 一定的数，可将各分式拆 成几项的和。这种解法称
提 为 —— 拆 项 法 醒 知道了吗？
华东师大版八(下)第17章分式
17.3第二课时 巧解分式方程
前面学的分式方程的解法叫做 “去分母法”
例1：解方程 1 1 1 1
x 3 x 4 x 5 x 12
解：通分得
x
7
3x
4
=
(x
7 5)( x
12 )
方程左x边2通分x结果12
是什么？
解得： x
x2 17x 60
方程右边通分结果
9
是什么？
2
经检验，x 9 是 原 方 程 的 根 2
特 别 提 醒
像例1 这样的方程用常规 解法往往复杂，采取局部 通分法,会使解法很简单. 这种解法称为 ——通 分 法
知道了吗？
1. 1 1 1 1 x2 x4 x6 x8
解： 2
2
(x 2)(x 4) (x 6)(x 8)
yyy11yyy222000 y1 yyy111,1y12,1yy,22y22 2 02 y1
下面的过程请同学们自己完成 相信你们能行
以下各方程能利用换元法进行换元吗？
x x2 1
x2 1 x
5 2
能 y 1 5 y2
( x )2 5( x ) 3 能 y2 5y 3
x 1
x 1
x2 x2
解方程
3x2 6x 3 x2 2x 1
x x
1 2 1
0
解：原方程可化为
3( x 1)2 ( x 1)2
x 1 2 x 1
0
两边都乘以 ( x 1)2
得 3(x 1)2 (x 1)(x 1) 2(x 1)2 0
化简整理得
∴经检验：
10x
x
2
1
0 解得 x 1
是原方程的5 解
5
x2 x4 x6 x8
x 1 x 3 x 5 x 7
解：1 1 1 1 1 1 1 1
x 1
x3
x5
x7
11 11 x 1 x 3 x 5 x 7
通分得： 2
2
x2 4x 3 x2 12x 35
x2 4x 3 x2 12x 35
解得：x 4
经检验，x 4是原方程的根
⑶用一个字母来代替原方程中的一个较复 杂的代数式 ，从而使原方程简化，易于求 解的方法，叫换元法
作业
复习回顾： 平面向量
这是什么? 向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
1 1
3(x2 1) x2 1
2x
0
不能
小结
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复 杂 ，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解 法称为 ——通 分 法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差 一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种 解法称为 —— 拆 项 法
此方程无解
∴经检验： x 1 是原方程的解 5
特 象以上这种用一个字 母(y) 来代替原方程
别 中的一个较复杂的代 数式 x 1 从 而y 使原 x 1
提 方程简化，易于求解 的方法，叫换元法
醒 知道了吗？
xy2
x
2
x2y
x
3
y2设yy2x232y+3xyy=222y000 y2 3y 2 0
解方程:
x1 x2
x2
6 2x
0
解:方程两边同乘以最简公分母 x(x-2) ,
化简,得 x 2+ x -6=0
解得 x1= －3 x2= 2
检验:把x1= －3 代入最简公分母, x(x-2)≠0;
把x2= 2 代入最简公分母, x(x-2)=0 ∴x= 2 是增根,舍去.
∴原方程的根是x= －3
8
8
x 2 2x 15 x 2 16x 48
x2
x2x159
x2
16x
48
2
经检验, x 9 是原方程的根
2
11 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 11 x 3 x 12 x 5 x 4
2x 9 0
x
2x
3x
9 12
x
2x 9
5x
4
x 9 2
x2 9x 36 x2 9x 9
还有其它方法吗？
3x2 6x 3 x 1
x2 2x 1
20 x 1
解：原方程可化为
3( x 1)2 ( x 1)2
x 1 2 x 1
0
可设 x 1 y ，方程化为 3y2 y 2 0
x 1
解得
y1
2, 3
y2
1
当
y2 3
即 x 1 2
x1 3
当y 1 即
x 1 1 x 1
解得：x 1
经检验, x 9 是 2
原方程的根
例3 ：解方程 y 4 y 5 y 7 y 8 y5 y6 y8 y9
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相
同， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
1
1
1
x2 6x 8 x2 14x 48
x5
经检验, x 5是原方程的根
1 2.
1
1
1
x 1 x 2 x 3 x 4
解
:
x
1
1x
2
x
1
3x
4
x2 3x 2 x2 7x 12
x5 2
经检验, x 5 是原方程的根 2
11 1 1
解方程
x 3 x 4 x 5 x 12
解 111 1 x 3 x 5 x 4 x 12
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 x2 x
x
2
2
3x2 6x 5 x2 2x 1
解：原方程可化为
x2
x2
x
x
2
2
2
2
3
x2 2x 1 x2 2x 1
2
2
2
1 x2 x 2 2 3 x2 2x 1
x2
2 x2
x2
2 2x 1
x2 x 2 x2 2x 1
x 3 经检验，x 3是原方程的根
1 4x 2 解方程： x 2 x2 4 2 x 1
解：原方程可化为 1 4x 2 1 x 2 (x 2)(x 2) x 2
两边都乘以 (x2)(x2)，并整理得；
x2 3x2 0 xx 22x 1x01
解得 x1 1, x2 2
检验：x=1是原方程的根，x=2是增根 ∴原方程的根是x=1
1
y5 y6 y8 y9
1
1
y2 11 y 30 y2 17 y 72
y2 11 y 30 y2 17 y 72
解得：y 7
经检验，y 7是原方程的根
特 像例3 各分式的分子、 分母的次数相同，且相差
别 一定的数，可将各分式拆 成几项的和。这种解法称
提 为 —— 拆 项 法 醒 知道了吗？
华东师大版八(下)第17章分式
17.3第二课时 巧解分式方程
前面学的分式方程的解法叫做 “去分母法”
例1：解方程 1 1 1 1
x 3 x 4 x 5 x 12
解：通分得
x
7
3x
4
=
(x
7 5)( x
12 )
方程左x边2通分x结果12
是什么？
解得： x
x2 17x 60
方程右边通分结果
9
是什么？
2
经检验，x 9 是 原 方 程 的 根 2
特 别 提 醒
像例1 这样的方程用常规 解法往往复杂，采取局部 通分法,会使解法很简单. 这种解法称为 ——通 分 法
知道了吗？
1. 1 1 1 1 x2 x4 x6 x8
解： 2
2
(x 2)(x 4) (x 6)(x 8)
yyy11yyy222000 y1 yyy111,1y12,1yy,22y22 2 02 y1
下面的过程请同学们自己完成 相信你们能行
以下各方程能利用换元法进行换元吗？
x x2 1
x2 1 x
5 2
能 y 1 5 y2
( x )2 5( x ) 3 能 y2 5y 3
x 1
x 1
x2 x2
解方程
3x2 6x 3 x2 2x 1
x x
1 2 1
0
解：原方程可化为
3( x 1)2 ( x 1)2
x 1 2 x 1
0
两边都乘以 ( x 1)2
得 3(x 1)2 (x 1)(x 1) 2(x 1)2 0
化简整理得
∴经检验：
10x
x
2
1
0 解得 x 1
是原方程的5 解
5
x2 x4 x6 x8
x 1 x 3 x 5 x 7
解：1 1 1 1 1 1 1 1
x 1
x3
x5
x7
11 11 x 1 x 3 x 5 x 7
通分得： 2
2
x2 4x 3 x2 12x 35
x2 4x 3 x2 12x 35
解得：x 4
经检验，x 4是原方程的根
⑶用一个字母来代替原方程中的一个较复 杂的代数式 ，从而使原方程简化，易于求 解的方法，叫换元法
作业
复习回顾： 平面向量
这是什么? 向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
1 1
3(x2 1) x2 1
2x
0
不能
小结
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复 杂 ，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解 法称为 ——通 分 法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差 一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种 解法称为 —— 拆 项 法