计数原理基础测试题
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A． B． C． D．
24． 的展开式中，系数最小的项为（）
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项
25．若 ，则
A．-1B．1C．0D．2
26．甲、乙等 人排一排照相，要求甲、乙 人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（）
A． 种B． 种C． 种D． 种
27．石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（）种
故选：A．
23．D
，
其展开式通项为 ，
令 ，得 ， ， ，
因此，展开式中含 的系数为 ，故选：D.
24．C
由题设可知展开式中的通项公式为 ，其系数为 ，当 为奇数时展开式中项的系数 最小，则 ，即第8项的系数最小，应选答案C。
25．A
由题得
.
令x=1得 ，
令x=-1时 ，
所以 .
故选：A
26．B
根据题意，甲、乙看做一个元素安排中间位置，共有 种排法，
A．四项B．三项
C．两项D．一项
5．若 ,则 =（）
A． B． C．1D．32
6． 展开式中的常数项为（）
A． B． C． D．60
7．若 的展开式中含有常数项，则 的最小值为（）
A．5B．4
C．3D．2
8． 的展开式中 的项的系数为（）
A．120B．80C．60D．40
9．在二项式 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含有 项的系数是（）
A．70B．140C．420D．840
30．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（）
A．250个B．249个C．48个D．24个
参考答案
1．A
在 的展开式中，共有 项，中间一项是第 项，对应的二项式系数为
故选：
2．C
解：对于 ，
对于10﹣3r＝4，
∴r＝2，
A．12B．24C．36D．72
28．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()
A．300B．216C．180D．162
29．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是（）
其余 人排其它 个位置，共有 种排法，
利用乘法原理，可得不同的排法有 种．
故选 ．
27．C
4名水暖工分配到3个家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案数为 ．
故选：C．
28．C
分两类:一、当偶数取 时，则有 ；二、当偶数取 或 时，考虑首位，只有三个数可排，故有 ，因此共有 .所以应选C.
29．C
试题分析：先分组：“ 个男 个女”或“ 个女 个男”，第一种方法数有 ，第二种方法数有 .然后派到西部不同的地区，方法数有 种.
再令 ，可得 ，
则 .
故选：D.
19．A
解： 的展开式中，
含 的项的系数为 ，
故选：A．
20．B
…
…
… ,
所以 … 除以88的余数是1，
故选:B.
21．D
令
故答案为D.
22．A
二项式 的通项为
的二项展开式中存在常数项 为正偶数
为正偶数，
n为正偶数推不出
∴ 是 的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．
时， ，
展开式中不含2018的项是1，其展开式除以2018的余数为1， 正确．
故选 ．
16．A
因为 展开式中前三项的二项式系数的和等于22，
所以 ，整理得 ，解得 ，
所以二项式 展开式的通项为 ，
令 可得 ，
所以展开式中的常数项为 .
故选A
17．B
依题意： ，得到
解得 .
故选：B.
18．D
，令 ，可得 ．
A． B．121C． D．
20． … 除以88的余数是（）
A．－1B．1C．－87D．87
21．若 ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
22．“ ”是 的二项展开式中存在常数项”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
23． 的展开式中含 的项的系数为（）
C．偶数项的系数和是 D．当 时，除以 的余数为 .
16．已知 展开式中前三项的二项式系数的和等于22，则展开式中的常数项为（）
A． B． C． D．
17．将 的展开式按照 的升幂排列，若倒数第三项的系数是 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
18．若 ，则
A．2B．1C． D．
19． 的展开式中，含 的项的系数（ ）
计数原理基础测试题
1．在 的展开式中，中间一项的二项式系数为（）.
A．20B． C．15D．
2．在二项式 的展开式中，含 的项的系数是（）．
A． B． C． D．
3．在 的展开式中，令 的系数为800，则含 项的系数为（）
A．30B．960C．300D．360
4．已知 展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则展开式中有理项共有（）项.
13．A
因为 ，故 ，
又 的展开式中 的系数为 ，故选A.
14．B
由题意可知 , , ,即 ,
,解得 ．故B正确．
15．D
解：二项式 的展开式中，
令 ，得出 ，
展开式中非常数项系数绝对值的和为 ， 选项错误；
展开式中的通项公式为 ，
系数最大的项是第1009项， 选项错误；
令 ，得 ，
展开式中偶数项的系数和是 ， 选项错误；
则x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10
故选 ．
3．B
展开式中 的系数为 ，
展开式中 的系数为
所以 的系数为
所以 ，即 ，
解得 ，
所以 展开式中 的系数为 ，
展开式中 的系数为 ，
所以含 项的系数为 ，
故选：B.
4．B
由 ，令 ，得到其各项系数的和为 ，其各项二项式系数的和为 ，依题意 .所以 展开式的通项公式为 ，要使 为整数，则 .所以有理项共有两项.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第五项的二项式系数最大，则 ，通项为 ，令 ，故系数是 .
10．C
,展开式中含有常数项，则 ， ，
由于 ， ，则 最小值为 .
11．D
因为 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以 ，解得 ，
所以二项式 中奇数项的二项式系数和为 ．
12．D
本题考察二项展开式的系数.
由于
51=52-1， ,
又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.
A． B． C． D．
10．使（x2+ ）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是
A．3B．4C．5D．6
11．已知 的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．
A． B． C． D．
12．设 ，且 ，若 能被13整除，则
A．0B．1
C．11D．12
13．在 的展开式中常数项为（）
故选：B.
5．D
取 ，
.
故选： .
6．C
二项式 的通项公式为： ，
令 ，所以 展开式中 的系数为： ；
令 ，所以 展开式中常数项为： ，因此
展开式中的常数项为： .
故选：C
7．A
解： 的展开式的通项公式为
，
因为有常数项,
所以令 ，又 ，所以 的最小值为 .
故选:A
8．A
展开式中 的项为 .
故选：
9．C
30．C
先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其它三个数位上课从剩余的4个数任选4个全排，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类计数原理可得满足题设条件的四位数共有 个，应选答案C。
A． B． C． D．
14．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝( )
A．5B．6C．7D．8
15．对于二项式 的展开式中，有下列四个命题，其中正确命题是（）
A．非常数项系数绝对值的和是 B．系数最大的项是第 项和第 项
24． 的展开式中，系数最小的项为（）
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项
25．若 ，则
A．-1B．1C．0D．2
26．甲、乙等 人排一排照相，要求甲、乙 人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（）
A． 种B． 种C． 种D． 种
27．石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（）种
故选：A．
23．D
，
其展开式通项为 ，
令 ，得 ， ， ，
因此，展开式中含 的系数为 ，故选：D.
24．C
由题设可知展开式中的通项公式为 ，其系数为 ，当 为奇数时展开式中项的系数 最小，则 ，即第8项的系数最小，应选答案C。
25．A
由题得
.
令x=1得 ，
令x=-1时 ，
所以 .
故选：A
26．B
根据题意，甲、乙看做一个元素安排中间位置，共有 种排法，
A．四项B．三项
C．两项D．一项
5．若 ,则 =（）
A． B． C．1D．32
6． 展开式中的常数项为（）
A． B． C． D．60
7．若 的展开式中含有常数项，则 的最小值为（）
A．5B．4
C．3D．2
8． 的展开式中 的项的系数为（）
A．120B．80C．60D．40
9．在二项式 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含有 项的系数是（）
A．70B．140C．420D．840
30．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（）
A．250个B．249个C．48个D．24个
参考答案
1．A
在 的展开式中，共有 项，中间一项是第 项，对应的二项式系数为
故选：
2．C
解：对于 ，
对于10﹣3r＝4，
∴r＝2，
A．12B．24C．36D．72
28．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()
A．300B．216C．180D．162
29．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是（）
其余 人排其它 个位置，共有 种排法，
利用乘法原理，可得不同的排法有 种．
故选 ．
27．C
4名水暖工分配到3个家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案数为 ．
故选：C．
28．C
分两类:一、当偶数取 时，则有 ；二、当偶数取 或 时，考虑首位，只有三个数可排，故有 ，因此共有 .所以应选C.
29．C
试题分析：先分组：“ 个男 个女”或“ 个女 个男”，第一种方法数有 ，第二种方法数有 .然后派到西部不同的地区，方法数有 种.
再令 ，可得 ，
则 .
故选：D.
19．A
解： 的展开式中，
含 的项的系数为 ，
故选：A．
20．B
…
…
… ,
所以 … 除以88的余数是1，
故选:B.
21．D
令
故答案为D.
22．A
二项式 的通项为
的二项展开式中存在常数项 为正偶数
为正偶数，
n为正偶数推不出
∴ 是 的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．
时， ，
展开式中不含2018的项是1，其展开式除以2018的余数为1， 正确．
故选 ．
16．A
因为 展开式中前三项的二项式系数的和等于22，
所以 ，整理得 ，解得 ，
所以二项式 展开式的通项为 ，
令 可得 ，
所以展开式中的常数项为 .
故选A
17．B
依题意： ，得到
解得 .
故选：B.
18．D
，令 ，可得 ．
A． B．121C． D．
20． … 除以88的余数是（）
A．－1B．1C．－87D．87
21．若 ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
22．“ ”是 的二项展开式中存在常数项”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
23． 的展开式中含 的项的系数为（）
C．偶数项的系数和是 D．当 时，除以 的余数为 .
16．已知 展开式中前三项的二项式系数的和等于22，则展开式中的常数项为（）
A． B． C． D．
17．将 的展开式按照 的升幂排列，若倒数第三项的系数是 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
18．若 ，则
A．2B．1C． D．
19． 的展开式中，含 的项的系数（ ）
计数原理基础测试题
1．在 的展开式中，中间一项的二项式系数为（）.
A．20B． C．15D．
2．在二项式 的展开式中，含 的项的系数是（）．
A． B． C． D．
3．在 的展开式中，令 的系数为800，则含 项的系数为（）
A．30B．960C．300D．360
4．已知 展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则展开式中有理项共有（）项.
13．A
因为 ，故 ，
又 的展开式中 的系数为 ，故选A.
14．B
由题意可知 , , ,即 ,
,解得 ．故B正确．
15．D
解：二项式 的展开式中，
令 ，得出 ，
展开式中非常数项系数绝对值的和为 ， 选项错误；
展开式中的通项公式为 ，
系数最大的项是第1009项， 选项错误；
令 ，得 ，
展开式中偶数项的系数和是 ， 选项错误；
则x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10
故选 ．
3．B
展开式中 的系数为 ，
展开式中 的系数为
所以 的系数为
所以 ，即 ，
解得 ，
所以 展开式中 的系数为 ，
展开式中 的系数为 ，
所以含 项的系数为 ，
故选：B.
4．B
由 ，令 ，得到其各项系数的和为 ，其各项二项式系数的和为 ，依题意 .所以 展开式的通项公式为 ，要使 为整数，则 .所以有理项共有两项.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第五项的二项式系数最大，则 ，通项为 ，令 ，故系数是 .
10．C
,展开式中含有常数项，则 ， ，
由于 ， ，则 最小值为 .
11．D
因为 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以 ，解得 ，
所以二项式 中奇数项的二项式系数和为 ．
12．D
本题考察二项展开式的系数.
由于
51=52-1， ,
又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.
A． B． C． D．
10．使（x2+ ）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是
A．3B．4C．5D．6
11．已知 的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．
A． B． C． D．
12．设 ，且 ，若 能被13整除，则
A．0B．1
C．11D．12
13．在 的展开式中常数项为（）
故选：B.
5．D
取 ，
.
故选： .
6．C
二项式 的通项公式为： ，
令 ，所以 展开式中 的系数为： ；
令 ，所以 展开式中常数项为： ，因此
展开式中的常数项为： .
故选：C
7．A
解： 的展开式的通项公式为
，
因为有常数项,
所以令 ，又 ，所以 的最小值为 .
故选:A
8．A
展开式中 的项为 .
故选：
9．C
30．C
先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其它三个数位上课从剩余的4个数任选4个全排，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类计数原理可得满足题设条件的四位数共有 个，应选答案C。
A． B． C． D．
14．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝( )
A．5B．6C．7D．8
15．对于二项式 的展开式中，有下列四个命题，其中正确命题是（）
A．非常数项系数绝对值的和是 B．系数最大的项是第 项和第 项