第六章：控制系统校正

第六章系统的性能指标与校正

本章目录

6.1 控制系统设计的基本思路

6.2 串联校正装置的结构与特性

6.3 基于频率法的串联校正设计

6.4 基于根轨迹的串联校正设计

小结

本章简介

在本书第一章，曾指出控制理论学习的两大任务是系统的分析和系统的设计。在第二章到第五章，我们从时域和频域两个角度分析了控制系统的稳定性、相对稳定性和及其性能指标。本章考虑如何根据系统的要求或预定的性能指标对控制系统进行分析。

一个控制系统一般可分解为被控环节、控制器环节和反馈环节三个部分，其中被控部分和反馈部分一般是根据实际对象而建立的模型，不可变的，因此根据要求对控制器进行设计是控制系统设计的主要任务。同时需要指出，由于系统设计的目的也是对系统性能的校正，因此控制器（又称补偿器或调节器）的设计有时又称控制系统的校正。

本章内容包括了无源控制器设计、有源控制器设计（PID控制器）两个内容，重点介绍控制器的结构、校正原理和设计方法。

6.1 控制系统设计的基本思路

一般的控制系统均可表示为如图6－1的形式，

是控制系统的不可变部分，即被控对象，

为反馈环节。未校正前，系统不一定能达到理想的控

制要求，因此有必要根据希望的性能要求进行重新设

计。在进行系统设计时，应考虑如下几个方面的问题：

（1）综合考虑控制系统的经济指标和技术指标，这

是在系统设计中必须要考虑的。

（2）控制系统结构的选择。对单输入、单输出系统，一般有四种结构可供选择：前馈校正、串联校正、反馈校正和复合校正，其框图如图6－2。考虑到串联校正比较经济，易于实现，且设计简单，在实际应用中大多采用此校正方法，因此本章只讨论串联校正，典型的校正装置有超前校正、滞后校正、滞后－超前校正和PID校正等装置。

（3）控制器或校正装置的选择。校正装置的物理器件可以有电气的、机械的、液压的和气动的等形式，选择的一般原则是根据系统本身结构的特点、信号的性质和设计者的经验，并综合经济指标和技术指标进行选择。本书我们以电气校正装置作为控制器，详述有源和无源装置的工作原理和设计方法。其思想方法同样适用于其它类型的校正装置设计。

（4）校正手段或校正方法的选择。究竟采用时域还是频域方法，须根据控制系统性能指标的表达方式选择。控制系统的性能指标通常包括动态和静态两个方面。动态性能指标用于反应控制系统的瞬态响应情况，它一般可用时域性能指标和频域指标两

个方面：1）时域性能指标：调整时间

、上升时间

、峰值时间

和最大超调量

等；2）频域性能指标：开环指标包括相位裕量

、增益裕量

；闭环指标包括谐

振峰值

、谐振频率

和频带宽度

等。

在进行系统设计时，若所使用的指标是时域指标，则一般宜用根轨迹法进行设计，使闭环系统的极点重新配置；若所使用的指标是频域指标，宜用频率法（如伯德图或极坐标）进行设计。

最后需要指出，由于电子技术和计算机技术的发展，目前实际系统中大量采用的控制器是有源校正装置，如典型的PID调节器，但正如下文大家将看到的，无源校正与有源校正尽管组成形式有差别，但它们的工作原理是相同的。

图6-2控制系统校正的几种方式

6.2串连校正装置的结构与特性

前面介绍了校正装置的结构形式。为了满足不同系统的控制性能要求，串联校正装置可设计成相位超前校正、相位迟后校正和和相位迟后－超前校正形式。本节首先介绍此三种装置的无源和有源网络结构，然后在此基础上介绍频率校正原理和MATLAB的设计方法。而关于串联校正装置的根轨迹方法则在下一节介绍。

6.2.1 超前校正

如前所述，为满足控制系统的静态性能要求，最直接的方法是增大控制系统的开环增益，但当增益增大到一定数值时，系统有可能变为不稳定，或即使能稳定，其动态性能一般也不会理想。为此，需在系统的前向通道中加一超前校正装置，以实现在开环增益不变的前提下，

系统的动态性能亦能满足设计的要求。本节先讨论超前校正网络的特性，然后分别介绍基于频率响应法的超前校正装置的设计过程。

（一）超前校正装置

（6－1）

式中，

，

（6－2）

式中，

，

图6－3分别为无源和有源超前校正网络。对于无源校正装置(a)，忽略该网络的输入阻抗和输出阻抗效应，则其传递函数为：

对于有源校正装置(b)，其对应的传递函数为：另一

(6－3)

式中

在式（6－3）中，令，则（6－3）可写成如下形式：

（6－4）

上式即为实际的比例微分控制器（PD）的传递函数的表达式。

（二）超前校正装置的极点及频率特性

超前校正装置的零、极点分布如图6－4所示，由于，故的零点总在其极点的右侧。由式（6－1）和式（6－2）可知，在采用超前校正网络时，系统的开环增益会有（或

）倍的衰减。对此，用放大倍数

或（）的附加放大器予以补偿。经补偿后，令，

其传递函数，频率特性为：

（6－5）

与式（6－5）对应的幅频特性的表达式分别为：

（6－6）

（6－7）

其相应的极坐标如图6－5。由图可见，超前校正装置的极坐标是一个位于第一象限的半圆，

圆心坐标，半径为。从坐标原点到半圆作切线，它与正实轴的

夹角即为该校正装置的最大超前角，且有：

（6－8）

此最大超前角对应的频率可由式（6－7）得到。令，则有：

（6—9）对式（6－6）的幅频特性取对数坐标，有：

（6－10）

根据式（6—7）、（6—10），可令，利用如下Matkab语句作出它的伯德图，如图6—6所示。

图6—6

alpha=0.1; T=1;

Gc=tf([T,1],[alpha*T,1]);

[x0,y0,w]=Bode(Gc);[x,y]=bode_asymp(Gc,w);

subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)

subplot(212),semilogx(w,y0(:))

，因而当时，校正网络的相位总是正值。这明输出

由式（6—7）可知，由于

信号在相位上总超前于输入信号一个角度，因而称该校正网络为超前校正。同时，由于当

，

；当时，，所以超前校正装置又是

一个高通滤波器。

是零点和极点的几何平均值。理论上，最大相位超前

比较图6－4和图6－5可见，

不大于，但实际上，一般超前校正网络的最大相位超前角不大于。如果要得

角

到大于

的相位超前角，可用两个超前校正网络相串联来实现，并在串联的两个网络之间

加一隔离放大器，以消除它们之间的负载效应。

6.2.2 迟后校正

与超前校正相反，如果一个控制系统具有良好的动态性能，但其静态性能指标较差（如静态误差较大）时，则一般可采用迟后校正装置，使系统的开环增益有较大幅度的增加，而同时又可使校正后的系统动态指标保持原系统的良好状态。

(一) 迟后校正装置

无源的迟后校正装置可由图6—7（a）构成，其传递函数为

（6—11）

式中，。

有源的迟后校正装置由图6－7（b），其传递函数为

(6－12)

等式右边负号可串联一反相器加以抵消，因而（6－12）可改式中，

，

写为比例积分控制器PI的形式：

（6－13）

（二）迟后校正装置的极点及频率特性

由式（6－11）可分别得到该迟后校正装置的零、极点分布图（6—8）、极坐标图（6—9）、伯德图（6—10）

图6-10

图中

和

分别为Φ =arcsin

ω

=

比较超前校正装置和迟后校正装置可以发现，迟后校正装置具有如下特点： 1）输出相位总滞后于输入相位，这是校正中必须要避免的； 2）它是一个低通滤波器，具有高频率衰减的作用；

图6-8 图6-9

），使校正后系统剪切频率前移，从而达到增

3）利用它的高频衰减作用（当

大相位裕量的目的。

6.2.3 迟后－超前校正

(一) 迟后－超前校正装置

上图构成了迟后－超前的无源和有源装置，无源校正装置的传递函数为：

（6－14）

上式中，令，且令。同时，上式也可改写成如下形式：

（6－15）

其中前半部分起超前作用，后半部分起迟后作用。

同理，有源校正装置的传递函数为：

（6－16）

显然，有源迟后－超前校正装置的传递函数同时是一个典型的PID控制器，式中：K P为比例系数，T i积分时间常数，T d为微分时间常数。

（二）迟后－超前校正装置的极点及频率特性

根据迟后－超前装置的传递函数，可得到其频率特性：

（6－17）

其对应的幅频特性和相频特性分别为：

(6－18)

图6-14

(6－19)

根据上面二式可分别画出其零、极点分布图、极坐标图、伯德图。从图中看出，因，迟后部分的零极点更靠近原点，使系统的静态性能得到改善。

从图6－13和6－14可以看出当变化时，迟后－超前校正装置起超前作用，而当

变化时，校正装置起迟后作用。由下列Matlab语句可得到其伯德图：

alpha=[0.1:0.1:0.5]; T1=1;T2=5;

Gc=tf([T1,1],[alpha*T1,1])*tf([alpha*T2,i],[T2,1]);

[x0,y0,w]=bode(Gc);[x,y]=bode_asymp(Gc,w);

subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)

subplot(212),semilogx(w,y0(:))

为：

同时，容易计算相角为零的频率

（6－20）

可见，迟后－超前校正装置是超前装置和迟后装置的组合。

6.3 基于频率法的串联校正设计

6.3.1 超前校正

用频率法对系统进行超前校正的基本原理是：通过所加的校正装置的相位超前特性来增

大系统的相位裕量，改变系统开环频率特性，并要求校正网络最大的相位超前角

出现在系

统新的剪切频率处，使校正后系统具有如下特点：低频段的增益满足稳态精度的要求，中频

段对数幅频特性的 斜率为

，并具有较宽的频带，使系统具有满意的动态性能，

高频段要求幅值迅速衰减，以减少噪声的影响。

用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可分为：

1）根据稳态误差的要求，确定系统的开环增益K ，并据此画出未校正系统的伯德图，并测出其相位裕量

。

2）由期望的相位裕量值

，计算超前校正装置应提供的相位超前量 ，即

式中的ε是用于补偿因超前校正装置的引入，使系统的剪切频率增大而导致未校正系统相角迟后量的增加。ε值可以这样估计的：如果未校正系统的开环对数幅频特性在剪切频率处的

斜率为

，一般取

；如果该频段的斜率为

，则取

。

3）根据所确定的最大相位超前角

，按式（6—8）算出相应的 值，即

处的幅值(参见图6—5)。由未校正系统的对数幅频特性图，

4）计算校正装置在

处的频率，则该频率就是校正后系统的开环剪切频率，即

求得其幅值为

和。

5）确定校正网络的转折频率

，（6—11）

6）画出校正后系统的伯德图，并验算相位裕量是否满足要求？如果不满足，则需增大值，从步骤3）开始重新进行计算，直到满足要求。

串联超前校正有如下特点；

1）这种校正主要对未校正系统中频段的频率特性进行校正，使校正后中频段幅值的斜率，且有足够大的相位裕量。

为

2）超前校正会使系统瞬态响应的速度变快。由例6—1可知，校正后系统的剪切频率由未校正前的6.3增大到9。这表示校正后系统的频带变宽，瞬态响应的速度变快；但系统抗高频噪声的能力也变差。

3）虽然超前校正一般能较有效地改善系统的动态性能，但当未校正系统的相频特性曲线在剪附近急剧地下降时，若用单级的超前校正网络去校正，收效不大。因为校正后系统

切频率

的剪切频率向高频段移动。在新的剪切频率处，由于未校正系统的相角迟后量过大，因而用单级的超前校正网络难于获得较大的相位裕量。此时可采用多级串联校正。

6.3.2 迟后校正

根据迟后校正网络具有低通滤波器的特性，因而当它与系统的不可变部分串联时，它

对频率特性的低频段影响甚微，但会使系统开环频率特性的中频和高频段增益降低，剪切频率

减小，从而有可能使系统获得足够大的相位裕量。由此可见，迟后校正在一定的条件下，

也能使系统同时满足动态和静态性能的要求。

会减小，频带变窄，瞬

不难看出，迟后校正的不足之处是：校正后系统的剪切频率

态响应速度变慢；同时，在剪切频率

的两个转折频率、比越小越好，但考

应尽可能地减少迟后角。理论上可选取

虑到物理实现上的可行性，一般取~为宜。

根据上述分析，用频率法对系统进行迟后校正的一般步骤为：

1）根据给定静态误差系数的要求，计算系统的开环增益K。并画出未校正系统的伯德图，求出相应的相位裕量和增益裕量。

2）在已作出的相频曲线上寻找一个频率点，要求在该点处的开环频率特性的相角为：

。上式中，γ为系统所要求的相位裕量，ε是补偿

以这一频率作为校正后系统的剪切频率

因迟后网络的引入而在剪切频率

处的幅值等于20lgβ，据此确定迟后网络的β值。据此可保证在剪切

3）设未校正系统在

频率

处，校正后开环系统的幅值为0。

4）选择迟后校正网络中的一个转折频率~，则另一个转折频率为

。

5）画出校正后系统的伯德图，并求出校正后系统的相位裕量。校核设计指标，如果不满足要求，则可通过改变T值，重新设计迟后校正网络。

6.3.3 迟后－超前校正

如果未校正系统为不稳定，或对校正后系统的动态和静态性能均有较高的要求时，只采用上述的超前校正或迟后校正，难于达到预期的校正效果。此时，宜对系统采用串联迟后—超前校正。

应用频率法设计迟后－超前校正装置，即利用校正装置的超前部分来增大系统的相位裕量，以改善其动态性能，但因加大了带宽，易受高频噪声的影响，降低了系统的抗干扰能力；利用它的迟后部分来改善系统的静态性能，但会恶化系统的动态性能，对系统的相对稳定性不利。因此采用这种校正方式，应合理应用迟后和超前校正各自的优点，克服它们各自的弱点，经多次试探才能成功。

前面我们介绍了基于频率法的串联控制器的顺向设计方法，即依据指标或设计要求，首先选择三类控制器中的一种方式，然后按设计规则进行设计。事实上，若能根据指标设计出

校正后的期望频率特性，则根据：，由校正前后的幅频特性和相频，亦可得到待定的控制器。此法对于最小相位系统尤其有效。

6.3.4基于频率法的Matlab串联校正设计

根据上面对三类控制器频率法设计思路的介绍，可总结出一般性的设计步骤：

（1）根据静态性能指标，设计开环系统的增益，然后求出校正前系统的幅值裕量和相位裕量，并与设计要求比较；

（2）确定校正后期望的剪切频率

，具体值的选取与选择的校正方式（相位超前、

（3）根据待设计的校正装置的形式和转折频率，计算有关参数，进而确定校正装置；

（4）得出校正后系统，并校验是否满足设计要求。不满足，则从（2）重新开始。

但毕竟，控制系统的设计是一项十分麻烦的工作，并需要大量的经验，为此，可借助飞速发展的计算机仿真技术，简化控制系统的设计工作。

本节介绍频率法的MATLAB设计方法，主要利用伯德（Bode）图进行系统的设计，常用的函数有：

Bode—伯德图作图命令；

Margin—求取系统的幅值裕度和相位裕度；

Bode_asymp—伯德图幅频特性的渐近线(自编函数)；

Semilogx—半对数作图函数；

Logspace—用于在某个区域中产生若干频点；

Nicols、Mgrid—用于Nicols曲线和等M圆、等N圆的作图命令；

Nyquist—Nyquist曲线作图命令；

Phase、Abs—求取复数行矢量的相角和幅值函数。

这些函数或命令大部分在第五章或第九章作过说明。

结合例6－4介绍采用Matlab进行设计的具体步骤，设计一个补偿器

6.4 基于根轨迹的串联校正设计

与频域法相似，利用根轨迹法进行系统的设计也有两种方法：1）常规方法；2）Matlab方法。Matlab的根轨迹方法允许进行可视化设计，具有操作简单、界面直观、交互性好、设计效率高等优点。目前常用的Matlab设计方法有：1）直接编程法；2）Matlab控制工具箱提供的强大的Rltool工具；3）第三方提供的应用程序，如CTRLLAB等。本节在给出根轨迹的设计思路的基础上，将重点介绍第一、二种方法。

6.4.1 超前校正

关于超前校正装置的用途，在频率校正法中已进行了较详细的叙述，在此不再重复。

利用根轨迹法对系统进行超前校正的基本前提是：假设校正后的控制系统有一对闭环主导极点，这样系统的动态性能就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。因此在设计校正装置之前，必须先把系统时域性能的指标转化为一对希望的闭环主导极点。通过校正装置的引入，使校正后的系统工作在这对希望的闭环主导极点处，而闭环系统的其它极点或靠近某一个闭环零点，或远离s平面的虚轴，使它们对校正后系统动态性能的影响最小。

是否采用超前校正可以按如下方法进行简单判断：若希望的闭环主导极点位于校正前系统根轨迹的左方时，宜用超前校正，即利用超前校正网络产生的相位超前角，使校正前系统的根轨迹向左倾斜，并通过希望的闭环主导极点。

（一）根轨迹超前校正原理

设一个单位反馈系统，为系统的不变部分，为待设计的超前校正装置，为

的根轨迹于图6—19上，设点为系统希望的闭环极点，则

附加放大器的增益。绘制

若为校正后系统根轨迹上的一点，必须满足根轨迹的相角条件，即

于是得超前校

正装置提供的

超前角为：

（6—

21）

显然在

已知

样的是

存在的，但它的零点和极点的组合并不唯一，这相当于张开一定角度的剪刀，以

为中心在摆动。若确定

了的位置，即确定了校正装置的参数。下面介绍三种用于确定超前校正网络零点和极

点的方法。

（二）三种确定超前校正装置参数的方法

零极点抵消法

的零点设置在正对希望闭环极点下方的负实轴上，

在控制工程实践中，通常把

或位于紧靠坐标原点的两个实极点的左方，此法一般可使校正后系统的期望闭环极点成为主导极点。

比值α最大化法

能使超前校正网络零点和极点的比值α为最大的设计方法。按照该法去设计的零点和极点，能使附加放大器的增益尽可能地小。

，以为顶点，线段O为边，向左作角γ，角γ的另一边与

以图6—19上的点O和

，点就是所求的一个零点。再以线段为边，向左作角

负实轴的交点

，该角的另一边与负实轴的交点

，点就是所求的一个极点。

根据正弦定理，由图6—18求得

（6—22）

（6—23）

于是有

（6—24）

将夹角γ作为自变量，式（6—24）对γ求导，并令其等于零，即

由上式解得对应于最大α值时的γ角为

（6—25）

被确定后，式（6—25）中的θ和φ均为已知值，因而由上式

不难看出，当希望的闭环极点

可求得γ角，然后由式（6－22）和式（6－23）求得相应的零极点。

幅值确定法

设系统的开环传递函数:

(6－26)

且令超前校正装置的传递函数：

（6－27）

若要求校正后系统的稳态误差系数

，则由上式可首先确定：

（6－28）

确定后，根据根轨迹原理，若为校正后的闭环极点，则它除必须满足相角条

在开环增益

件外，还应满足幅值条件：

（6－29）

上式中。同样根据平面三角形原理，对于

有：

（6－30）

而对于有：

（6－31）

，并由式（6－29）可得：

由上二式消去

（6－32）

根据三角函数性质，上式可写成如下形式：

（6－33）

进而有：