锐角三角函数(余弦、正切)

第28章 锐角三角函数 ——余弦 正切
复习与探究：
B
c
a
A
b
C
在 RtABC中， C90
1.锐角正弦的定义
∠A的正弦：
sinA
A的对边 斜边
BC AB
a c
2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边 的比， ∠A的对边与邻边的比也随之确 定吗？为什么？交流并说出理由。
思考探究
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C＝∠C’＝90°，∠A
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC=6，sin A 3 ，求cosA和tanB的值． B
5
6
解： sin A BC ， AB
A
C
AB BC 6 5 10. sin A 3
又AC AB 2 BC 2 102 62 8,
cos A AC 4，tan B AC 4 .
1 tanA
BC
CD
AC (AD)
2 tanB (AC) CD
BC (BD)
A
DB C
练习
1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6， 求sinB，cosB，tanB.
A
wk.baidu.com
B
C
D
2.（2010·黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ 4
则tanB＝（ ）
5
B
A. 4
B. 3
C. 3
▪ cosA，tanA没有单位，它表示一个比值， 即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对 边与邻边的比；
▪ cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表 示“tan”乘以“A”
sinAA斜 的边 对边ac
coAsA斜 的边 邻边 bc
tanA A A的 的邻 对边 边 ba
锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做∠A的锐角三 角函数.
D.4m
4．（2010·怀化中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 4 5
则cosB的值等于（ B ）
A. 3 B. 4 C. 3 D. 5
5
5
4
5
5.（2010·东阳中考）如图，为了测量河两岸A.B两点的距 离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α，那
么AB等于（ A.a·sinα C.a·cosα
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
注意
▪ cosA，tanA是一个完整的符号，它表示 ∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符 号“∠”；
结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的 余弦等于它余角的正弦。一个锐角的正切和它余角的正切 互为倒数.
结论：一个锐角的正弦等于它余角的 余弦，或一个锐角的余弦等于它余角 的正弦。一个锐角的正切和它余角的 正切互为倒数.
sin A cos(90 0 A) cos A sin(90 0 A) tan A tan(90 0 A) 1
＝∠A’ ，那么 AC 与 A ' C ' 有什么关系．你能解释一
下吗？
AB
A'B '
B'
B
A
C A'
C'
∵∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’
∴Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
AC AB , A'C' A' B'
即 AC A'C' . AB A' B'
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
对于锐角A的每一 个确定的值，sinA有 唯一确定的值与它对 应，所以sinA是A的函 数。
同样地， cosA， tanA也是A的函数。
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，
AB=10，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． B
解：在RtABC中，
10
6
AC AB 2 BC 2 102 62 8,
A
C
sin A BC 6 3，cos A AC 8 4，tan A BC 6 3
AB 10 5
AB 10 5
AC 8 4
sin B AC 8 4，cos B BC 6 3，tan B AC 8 4 .
AB 10 5
AB 10 5
BC 6 3
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值 有什么规律吗？正切呢?
在Rt△ABC中
sinA A的对边 a A的斜边 c
cosA A的的邻边 b A的的斜边 c
tanA A的的对边 a A的的邻边 b
28.1锐角三角函数（3）
斜边c
B s i n A A的 对 B边 C a 斜边A Bc
∠A的对边a
c o s A A的 邻 AC 边 b 斜 边ABc
AB 5
BC 3
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值 为( )
1
5
25
A.2 B． C．2 D．
5
5
1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值
（）
C
B
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
A
C
2、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出 ∠A和∠B的对边、邻边.
A
∠A的邻边b
C
t a n AA邻 的 边 对 边B A C Ca b
请同学们拿出
1
1
自己的学习工具— 1
2
—一副三角尺，思
考并回答下列问题：
3
2
1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？
30° 60°
45° 45°
2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如 果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边 的长度。
）
B.a·tanα
D. a
tan
A
a
C
α
B
【解析】选B.在Rt△ABC中，tanα= AB
AC
所以AB=a·tanα
【规律方法】 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)； 2.sinA,cosA是一个完整的符号,表示∠A的正弦、余弦,习 惯省去“∠”符号； 3.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形 的边长无关.
D. 4
3.（32010·丹东4 中考）如5 图，小颖5 利用有一
C
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，
已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为 30
1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那 °A
D
么这棵树高是（A ）
B
E
A.( 5 3 3 )m 32
B.(5 3 3 )m 2
C. 5 3 m 3