M-3章 自适应格形滤波器分解

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第3章 最小均方误差自适应格形滤波器

前面介绍的滤波器是横向结构的（或称为直接形式），这一章我们介绍另一类结构的自适应滤波器，称为自适应格形滤波器。自适应格形滤波器具有一系列重要优点，使其有着广泛的应用领域，例如用于系统辨识和控制、噪声干扰对消、信道均衡、以及语音分析和合成等。特别是递推最小二乘格型滤波器具有非常好的数值特性并能跟踪时变信号。

自适应格形滤波器正如自适应横向滤波器一样，有最小均方误差准则和最小二乘准则两种，因而自适应格形滤波器也两类不同的算法及实现结构。这一章将讨论最小均方误差自适应格形滤波器。

求解线性预测正规方程也可采用Levinson-Durbin 算法，其运算量比直接求解正规方程要小得多。根据Levinson-Durbin 算法可以发展出格形滤波器。格形滤波器具有一系列重要优点，使其在自适应中获得广泛应用。格形滤波器的优点包括：（1）一个m 阶格形滤波器可以产生相当于从1阶到m 阶的m 个横向滤波器的输出。这使我们能在变化的环境下动态地选择最佳的阶；（对于横向滤波器来说，一旦滤波器的长度改变就会导致一组新的滤波器系数，而新的滤波器系数与旧的完全不同。而格形滤波器的结构是阶次递推式的，它的阶数的改变并不影响其它级的反射系数。）（2）格形滤波器具有模块式结构，便于实现高速并行处理；（3）格形滤波器系数优良的数值特性。

3.1 线性预测滤波器

3.1.1 前向线性预测滤波器

前向线性预测是已知)1(-n x ，…，)(m n x -等m 个值，用这m 个值线性组合预测)(n x ，即

)()1()(ˆ1m n x a n x a n x

mm m -----= ∑=--=m

k mk

k n x a

1

)( 3.1.1）

mk a 称为前向预测系数。实现这种处理的滤波器称为前向线性预测滤波器。前向

线性预测误差为

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()()()∑=-+=-=m

k mk

f

m

k n x a

n x n x

n x e 1

)(ˆ （3.1.2）

如果把f

m e 看成是输出，)(n x 是其输入，这时滤波器称为前向线性预测误差滤波

器。其传递函数为

∑

=-+

==m

k k mk f m

f

m z a z X z E z H 1

1)()()( （3.1.4）

其中)(z E f m 、)(z X 分别为f m e 、)(n x 的z 变换。前向线性预测滤波器和前向线性

预测误差滤波器可用图3.1来表示。

图3.1 前向线性预测误差滤波器

我们主要讨论)(n x 为实信号的情况，但不难推广到复信号情况。 根据最小均方误差准则，最佳预测系数应满足

0}

)]({[2=∂∂mk

f

m a n e E m k ≤≤1 （3.1.5）

可得

0)}()({=-k n x n e E f m m k ≤≤1 （3.1.6）

即最佳预测误差与用于预测的数据正交。这就是对于前向线性预测的正交原理。

由（3.1.6）得

()

f

m e n

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进一步得 0)()(1

=-+

∑=m

i mi

i k r a

k r m k ≤≤1 （3.1.10）

这就是最佳mk a （m k ≤≤1）必须满足的正规方程。它是m 个方程组成的方程组。

根据正交原理（式（3.1.6））可求得对于最佳mk a 的最小前向预测误差功率 ()]})()[({})]({[1

min 2

∑=-+

==m

i mk

f m

f m

f

m

i n x a

n x n e E n e E ε

()∑=+

==m

i mi

f m

i r a

r n x n e E 1

)()0(})({ （3.1.11）

结合式（3.1.10）和（3.1.11），可得下面的矩阵方程

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡--001)0()1()()1()0()1()()

1()0(1

f

m mm m a a r m r m r m r r r m r r r ε （3.1.12） 方程（3.1.12）称为Yule-Walker 方程。这是一个1+m 方程的方程组。已知

)0(r ,)1(r ,…, )(m r ，即可接出1m a ,2m a ,…, mm a ,f

m

ε，得出最佳向前预测误差滤波器和相应的最小预测误差。

3.1.2 后向线性预测滤波器

由)1(+-m n x ,…, )(n x 预测)(m n x -，就称为后向预测。前后向预测可用图3.2表示。

对)(m n x -的后项预测可表示为

()∑=+--=-m

k mk

k m n x b

m n x

1

)(ˆ （3.1.13）

相应的后项线性预测误差为

()()()∑=+-+-=---=m

k mk

b

m

k m n x b

m n x m n x

m n x e 1

)(ˆ （3.1.14）

类似地，后向线性预测滤波器和后向线性预测误差滤波器如图3.3所示。