第三章—自适应滤波器

自适应信号处理器分为两大类，一类是自适应天线，另 一类是自适应滤波器。本章主要讨论自适应滤波器的工作原 理、基本原理、重要算法和典型应用。
3.1
自适应滤波原理
自适应滤波器由参数可调的数字滤波器和自适应 算法两部分组成，如下图：
x(n)
参数可调数字Filter
-
y(n) e(n)
d(n)
自适应算法
+
Vi(n) (1 2i ) n Vi(0)
为确保算法收敛，有 lim Vi(n) 0 ，即收敛到V的原点，即W n *点。 的W 1 |1 因此必须保证 2i | 1 0 i x(n) 可以由给定的 R 求 (0 , 1 ,, L ) 0 由R的特征值, 1 ,, L 1 0 在此范围内选取！ max 这样计算仍比较繁锁，可采用直接估计 的方法，让R L t r [ R] k max 矩阵的迹：
P 2 RW 2 P T 0 W * R 1 P w
min (W W *)T R(W W *) ，让 V W W * 得
min V T RV
此式表明：当W偏离最佳值W*一个数值V 0 ， 将比 min 大一个数值V T RV!
3.3 均方误差性能曲面
由上面①②③三式，得均方误差表示式：
E[d 2 (n)] W T (n) E[ X (n)Z T (n)]W (n) 2E[d (n) X T (n)]W (n)④ 将④式进一步写成： E[d 2 (n)] W T (n) Rw(n) 2PT w(n)
即： 0 V0(n 1) 1 2 0 V0(n) V (n 1) V (n) 1 21 1 1 0 1 2 L VL (n) VL (n 1) 由于它们之间没有耦合，所以可分别由初始权值进行迭 代运算求解，可得： V (n) ( I 2) n V (0)
3.4 二次性能曲面的基本性质
平稳随机信号的统计特性是不随时间变化的。因此，其 性能曲面在坐标系中是固定不变或“刚性”的。自适应过 程就是从性能曲面上某点（初始状态）开始，沿着曲面向 下搜索最低点的过程。 但对非平稳随机信号来说，这种性能曲面是“晃动的”、 “模糊的”自适应过程，不仅要求沿性能曲面向下搜索最 低点，而且还对最低点进行跟踪。 我们这里只讨论平稳随机过程，且为方便理解，只讨论 两个权系数W0和W1的自适应线性组合。 此时性能曲面是三维空间( , w0 , w1 ) 中的一个抛物面。
Σ
x(n) 产生 y(n) 与参考信号 d (n) 比较 e(n) 经过自适应算法对Filter参数进行调整。
自适应算法的原则：最终使e(n)均方值最小！
自适应滤波器是一种能自动调整本身参数的特殊维纳滤波器。 它在设计时，不需先知道输入信号和噪声的统计特性。它能在 自己工作中逐渐学会or估计出所需的统计特性。并以此依据自 动调整自己的参数以达到最佳滤波的目的。
等高线方程：由 E[d 2 (n)] W T RW 2PTW 得： W T RW 2P T W 常数 若将坚持原点平移至 W * (W0* ,W1* ) ，得到权偏移矢量全标系 V (V0 ,V1 ) W W * 等高线方程： T V T RV 常数 （可由 min V RV 得到） 这是一组同心椭圆，中心位于新坐标原点V=0。 将上面讨论推广到L+1个权系数的情况不难想象，等高线将是 ( L+1维空间中的一组同心超椭圆，椭圆中主位于坐标系v0 , v1 ,, vL ) 的原点。这组同心超椭圆有L+1个主轴，它们也是均方误差 曲面的主轴。
x ( n ) [ x ( n ) x ( n 1)... x ( n L )]T 单输入
输入信号和输出信号之间的关系式为： 对单输入情况： 对多输入情况： 还可表示为：
y(n) wk (n) x(n k )
y (n) wk (n) xk (n)
k 0
L
k 0 L
3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17
自适应的递归最小二乘方算法 IIR递推结构自适应滤波器的LMS算法 自适应滤波器计算举例 自适应滤波器的数字实现 最小二乘自适应滤波器 最小二乘格形自适应算法 快速横向滤波自适应算法 自适应滤波器的应用
设计维纳和卡尔滤波器，要求已知关于信号和噪声统计 特性的先验知识。但在许多情况下人们对此并不知道或知道 甚少，某些情况下这些统计特性还是时变的。处理上述这类 信号需要采用自适应滤波器。
自适应滤波器常见的例子： 1.自适应预测：（可用于语音编码、谱估计、信号白化等）
ˆ 输入信号是s(n),输出响应是预测值 S (n D)
期望响应d(n)是n+D时刻的信号值 S (n D)
2.自适应建模
（a）
（b）
（a）是正向建模，（b）是逆向建模。在正向建模中，自 适应处理器调整自己的权值，使得输出响应y(n)尽可能逼 近未知系统的输出d(n)。在逆向建模中，自适应处理器调 整自己的权值以成为被建模系统的逆系统，即把被建模系 统的输出转换成为输入信号的延时。
即：
0 V0(n) 1 20 V (n) 1 21 1 0 1 2 L VL (n)
n
V0(0) V (0) 1 VL (0)
3.自适应干扰器
传感器阵列接收到目标信号，导向延时使其预定观测方 向上波束增益最大。固定目标信号滤波器输出为 S (n) N (n) ˆ 自适应处理器输出是噪声的估计N (n) ，并用来抵消 N (n) 常用于波束形成器。
• 设计自适应滤波器时，首先要确定滤波器的结构（FIR， IIR或格形结构），然后设计自适应算法以调整滤波器参 数，其目标是使某一特定的代价函数最小化。（本章选择 均方误差为代价函数）
3.5 最陡下降法
前面分析知，自适应线性组合器的均方误差性能曲面是 权系数的二次函数，但在实际应用中，性能曲面的参数甚至 解析式都是未知的。因此，只能由已测数据，采用某种算法 对性能曲面自动进行搜索。寻找最低点，从而得到最佳权矢 量。牛顿法和最陡下降法是两种著名的方法，牛顿法在数学 上有重要意义，但实现很困难。因此，我们只介绍最陡下降 法，它在工程上易于实现。
V (n 1) ( I 2R)V (n) [ I 2QQ 1 ]V (n) (QQ 1 2QQ 1 )V (n) Q( I 2 )Q 1V (n)
Q 1V (n 1) ( I 2)Q 1V (n) V (n 1) ( I 2)V (n) 1 又 V Q V
收敛因子（常数）。 将梯度公式代入上式，得：
W (n 1) W (n) W (n) 2[ RW (n) P] W (n) 2R[W (n) W * ]
(W R 1 P)
[ I 2R]W (n) 2RW * W (0 方程由 ) W (1) W (n) 计算很困难，一般将w坐标 V V 通过平移 坐标，通过旋转到主坐标
最陡下降法是沿性能曲面最陡方向向下搜索曲面最低点。 曲面的最陡下降是曲面的负梯度方向。这是一个迭代搜索过 程。
最陡下降法迭代计算权矢量公式为：
w( n 1) w( n) ( ( n)) w( n) ( n)
是控制搜索步长的参数-----称为自适应增益常数或称为
W 平移V 旋转V
V W W *
V Q 1V （V 是V的旋转）
min (W W * ) T R(W W * ) T min V RV min V T V
是R的特征值矩阵：可由R的特征方程det[R-aI]=0解出。
第三章 自适应滤波器
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3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
自适应滤波原理 自适应线性组合器 均方误差性能曲面 二次性能曲面的基本性质 最陡下降法 学习曲线和收敛速度 自适应的最小均方算法 权矢量噪声 失调量
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当输入w(n)只有两个元素时，可得到如图的自适应滤波器：
ξ
0
min
1
1
0 自适应过程，即自动调整权系数w(n)，使均方误差达到最小 min值的过程，相当于沿性能曲面往下搜索达最低点的过程。
最常用的搜索方法是梯度法，因此，性能曲面的梯度 是一个很重要的概念。
均方误差性能曲面的梯度为：
现用一个与 W0 W1 平面平行与其相距 1 的平面切割该抛物面， W0 W1 交线在 平面上投影是一个椭圆。 如图：椭圆中心为 W * (W0* ,W1* )，它是性能曲面最低点 min 的 投影。
如果用若干个与 W0 W1 平面距离不同的平行平面来切割性能 曲面，交线投影将是一组中心同在W*的椭圆。它们各与一 个确定的 相对应。因此称为等均方应线性组合器是一种参数可自适应调整的有限 冲激响应数字滤波器，具有非递归结构形式，分析实现 简单。在大多数自适应信号处理中得到广泛应用。 自适应线性组合器的一般形式：
输入信号矢量：
x ( n ) [ x0 ( n ) x1 ( n )... x L ( n )]T 多输入
k 0
t r [R] 也可由输入信号取样值进行估计：
2 t r [ R] E[ xk (n)] k 0 L
2 i Vi 2Vi 2 i 2 Vi
2
i 0,1,, L
由此总结出二次性能曲面的三个基本性质：主轴是R的特征矢量。 （1）输入信号自相关矩阵R的特征矢量Qn 确定了性能曲面的主轴; （2）因此它定义的旋转系统V 就是椭圆的主轴系统。 （3）R的特征值给出了性能曲面沿主轴的二阶导数值。